19
Integral
E. Integral Parsial Pengayaan
Jika kita menjumpai soal
u dv ,
dengan u dan v adalah fungsi- fungsi dalam variabel x yang sulit dikerjakan, sedangkan
u dv
lebih mudah dikerjakan maka kita perlu mendapatkan hubungan kedua
integral tersebut untuk memperoleh penyelesaian
u dv .
Misalnya, y = uv
, dengan u = ux dan v = vx adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel dapat didiferensialkan maka y = uv + uv. Dalam
notasi Leibniz, hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
dx dv
u v
dx du
dx dy
+ =
dx
dv u
v dx
du dx
uv d
+ =
d uv = v du + u dv
Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh +
= dv
u du
v uv
d
uv =
+ dv
u du
v Dari persamaan terakhir, diperoleh hubungan
dv u
dan
du v
, yaitu
dv u
= uv –
du v
Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi dan bagian lain fungsi
yang mengandung dx adalah dv. Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial. Strategi
penggunaan integral parsial adalah sebagai berikut. a.
Memilih dv yang dapat segera diintegralkan. b.
Memilih
du v
yang lebih mudah dikerjakan daripada u dv
.
Tentukan
x x dx
4
.
Penyelesaian: Pilihan 1:
Misalkan dipilih u = x
4 dan dv = x dx.
Dengan demikian, du = 1
2 x 4
dx dan v =
. 2
1
2
x
x x
x x
x x
4 =
1 2
4 1
4 1
4
2
dx dx
2
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
15 2
2 3
x x
dx = .... a. 18
d. 24 b. 20
e. 26 c. 22
Soal SPMB, 2006
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas x
x dx 1
3
+ = ....
a.
108 15
d.
116 15
b.
128 15
e.
106 15
c.
96 15
Soal Tes STT TEL- KOM, 1992
Contoh:
Di unduh dari : Bukupaket.com
20
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Bentuk ini sulit dikerjakan sehingga pemisalan u dan dv yang demikian tidak digunakan. Pilihan 2:
Misalkan dipilih u = x x
4 dan dv = dx.
du =
x x
dx 4
4 2 x
dan v = x. x x
x x
x x
x x
£ ¤
² ¥
¦ ´
4 = 4
4 2
4 dx
dx
2
Bentuk ini juga sulit dikerjakan sehingga pemisalan u dan dv yang demikian juga tidak digunakan.
Pilihan 3: Misalkan u = x. Dengan demikian, du = dx
dv =
x 4
dx sehingga
dv x
dx 4
= dv
=
x 4
dx – 4
v =
4 4
2 1
x d
x
2 3
4 3
2 =
x
v Ternyata pemisalan u dan dv seperti ini memudahkan bentuk integral tersebut sehingga
dapat kita gunakan.
x x dx
4
=
2 3
4 3
2 x
x –
dx x
4 3
2
2 3
=
2 3
4 3
2 x
x –
4 4
3 2
2 3
x d
x =
c x
x x
4 15
4 4
3 2
2 5
2 3
+
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Tentukan integral-integral berikut. 1.
+ dx
x x
3
5
4. 6
2 3
x dx x
2. +
dx x
x 4
2 8
3
5. +
2 3
1 2
x dx
x
3.
x x dx
2
6. 3
2
2
x x
dx 4
3
x
Di unduh dari : Bukupaket.com
21
Integral
Coba kerjakan soal berikut secara berurutan dengan menggunakan integral parsial.
1. x x dx
3. x
x dx
3
2. x
x dx
2
4. x
x dx
4
Dari keempat soal di atas, pemilihan fungsi u manakah yang kalian anggap sulit? Mengapa kalian menilai demikian? Jelaskan.
7.
x x
dx
2
2
9.
x x
dx
3
4 +
8.
x x
dx
3
1
10. 8
1
4
3 2
x dx x
+
F. Penggunaan Integral
Kategori