86
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Dari pengertian di atas, jika A suatu matriks persegi berordo m, A
2
= A
×
A, A
3
= A
×
A
×
A = A
2
×
A, dan seterusnya.
Contoh:
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 . Tentukan
a. A
2
; b.
2A
2
– 3A.
Penyelesaian:
a. A
2
= A
×
A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 8
8 3
3 2
2 1
3 2
2 1
b. 2A
2
– 3A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 3
5 8
8 3
2
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ +
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
9 6
6 3
10 16
16 6
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
10 10
9 Sekarang, coba kalian selidiki, apakah A
2
×
A = A
×
A
2
= A
3
? Selidiki pula, apakah A
3
×
A = A
×
A
3
= A
2
×
A
2
= A
4
?
Contoh:
Misalkan diberikan matriks A berordo m ×
n, dengan m n dan
m , n bilangan asli.
Untuk A
k
, k bilangan asli, dapatkah ditentukan nilainya? Me- ngapa?
Berpikir Kritis
Diskusi
6. Sifat-Sifat Perkalian Matriks
Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, perhatikan contoh-contoh berikut.
1. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
4 3
1 , B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 2
2 1
, dan C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
1 1
2 .
a. Tentukan A
×
B, B
×
C, dan A
×
C. b.
Apakah A
×
B
×
C = A
×
B
×
C? c.
Apakah A
×
B + C = A
×
B + A
×
C?
Di unduh dari : Bukupaket.com
87
Matriks
Penyelesaian:
a. A
×
B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
6 5
2 1
3 2
2 1
4 3
1
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 7
3 4
1 1
1 2
3 2
2 1
A
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 2
1 2
1 1
1 2
4 3
1
b. A
×
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
11 16
3 4
5 7
3 4
4 3
1
A
×
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
11 16
3 4
1 1
1 2
6 5
2 1
Ternyata A
×
B
×
C = A
×
B
×
C. Berarti, perkalian matriks bersifat asosiatif. c.
A
×
B + C = µ
³
´´
¦ ¥
²² ¤
£ +
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 1
1 2
3 2
2 1
4 3
1
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 7
1 1
2 1
1 1
4 3
1
A
×
B + A
×
C = 1
2 5
6 2
1 2
1 £
¤ ²
¥ ¦
´ + £
¤ ²
¥ ¦
´
= £
¤ ²
¥ ¦
´ 1
1 7
5 Ternyata A
×
B + C = A
×
B + A
×
C berarti perkalian matriks bersifat distributif kanan. Dengan menggunakan contoh di atas, dapat ditunjukkan bahwa perkalian
matriks juga bersifat distributif kiri, yaitu A + B
×
C = A
×
C + B
×
C. 2.
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4 dan O =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
. Tentukan OA dan AO.
OA =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4
AO =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4 Dengan demikian, OA = AO = O.
Di unduh dari : Bukupaket.com
88
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
3. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 1
3 dan B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
. Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini.
a. 3AB
b. 3AB
c. A
3B
Penyelesaian:
a. 3AB =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
µ
³
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
2 1
3 3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
12 24
9 33
3 1
2 4
6 3
9
b. 3AB = 3
3 1
2 4
2 1
3 £
¤ ²
¥ ¦
´ £
¤ ²
¥ ¦
´
³
µ =
3 11 3
8 4
33 9
24 12 £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´
c. A3B =
µ
³
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
3 2
1 3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
12 24
9 33
9 3
6 12
2 1
3 Dari hasil perkalian tersebut, tampak bahwa 3AB = 3AB = A3B. Apakah 3AB =
AB3? Apakah hal ini termasuk sifat asosiatif? Kemukakan alasan kalian.
Berdasarkan contoh-contoh di atas dan pembahasan sebelumnya, untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapat
dikalikan atau dijumlahkan, dengan k adalah suatu skalar anggota himpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifat-
sifat berikut:
a. Tidak komutatif, yaitu A
×
B B
×
A b.
Asosiatif, yaitu A
×
B
×
C = A
×
B
×
C c.
Distributif kanan, yaitu A
×
B + C = A
×
B + A
×
C d.
Distributif kiri, A + B
×
C = A
×
C + B
×
C e.
Perkalian dengan skalar k, yaitu kA
×
B = kA
×
B. f.
Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas, yaitu I sehingga AI = IA = A
g. Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O.
Di unduh dari : Bukupaket.com
89
Matriks
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Investigasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Misalkan A, B, C, dan D matriks. Apakah berlaku sifat-sifat berikut?
a. Jika AB = AC dan A bukan matriks nol maka B = C.
b. Jika AD matriks nol maka A atau D matriks nol.
Jika ”ya”, buktikan. Jika ’tidak”, carilah contoh matriks A, B, C
, dan D sehingga a.
AB = BC dan A bukan matriks, tetapi B
C. b.
AD matriks nol, tetapi A dan D bukan matriks nol.
1. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 1
3 , B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 1
1 2
, dan C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
2 2
1 1
. Tentukan hasil perkalian berikut.
a. A
×
B d.
C
t
×
A b.
B
×
C e.
C
t
×
B c.
A
×
C f.
C
t
×
A
t
2. Diketahui P =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
1 2
, Q = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
1 2
, dan R = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
1 3
2 .
Tentukan hasil perkalian berikut. a.
P
×
Q
×
R d.
Q
t
×
R b.
Q
×
R
×
P e.
P
×
Q
t
c. P + Q
×
R f.
P
×
Q
t
×
R
t
3. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan berikut.
a.
2 1
1 5
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
4 6
d.
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 3
2 1
2 2
4 3
1
b.
a b
1 2
8 £
¤ ²
¥ ¦
´ £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´ 5
19
e.
a b
2 3
1 4
2 3
24 14
23 13
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
c.
3 1
2 4
2 6
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
4. Tentukan matriks persegi X ordo 2 yang memenuhi persamaan berikut.
a.
1 2
2 1
4 2
3 1
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
X
b.
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
3 4
1 2
2 2
X
Di unduh dari : Bukupaket.com
90
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
5. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
1 2
. Tentukan hasil operasi berikut. a.
A
2
c. A
2
×
A b.
A
×
A
2
d. A
4
6. Diketahui
A =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 4
3 3
dan B = 1
1 2
5 £
¤ ²
¥ ¦
´ . Tentukan hasil operasi berikut.
a. A + B
2
c. B – A
2
b. A
2
+ 2AB + B
2
d. B
2
– 2BA + A
2
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Jika X =
3 2
4 3
£ ¤
² ¥
¦ ´
dan I = 1
1 £
¤ ²
¥ ¦
´ .
Tunjukkan bahwa X
2
+ 2X + I = 4 2
1 2
1 £
¤ ²
¥ ¦
´ . Selidiki apakah
X – I
2
= X
2
– 2X + I. 2.
Diketahui matriks A =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 1
2 3
1 1
3 2
1
dan B =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 3
1 2
2 2
2 1
4
. Tentukan hasil operasi berikut.
a. A
2
d. A – B
×
A + B b.
B
2
e. A
×
B + B
t
c. A
×
B f.
A
t
×
A
t
+ B
t
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika matriks
A =
1 2
4 3
£ ¤
² ¥
¦ ´
maka nilai x yang memenuhi per-
samaan |A – xI| = 0 dengan I matriks satu-
an dan |A – xI| deter- minan dari A – xI ada-
lah .... a. 1 dan –5
b. –1 dan –5 c. –1 dan 5
d. –5 dan 0 e. 1 dan 0
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2001
D. Balikan atau Invers Matriks
Kalian tentu tahu bahwa balikan invers dari 2 adalah 2
–1
atau
1 2
, invers dari 3 adalah 3
–1
atau 1
3 , dan seterusnya. Jika kalian cermati,
2 ×
2
–1
= 1, 3 ×
3
–1
= 1, dan seterusnya. Angka 1 merupakan identitas terhadap perkalian. Operasi invers juga berlaku pada matriks.
Sebelum lebih lanjut mempelajari tentang invers suatu matriks, terlebih dahulu coba kalian pelajari determinan. Untuk lebih
mudahnya, determinan yang dipelajari adalah determinan matriks ordo 2
× 2. Mengapa determinan harus dipelajari terlebih dahulu?
Karena invers suatu matriks dapat ditentukan jika determinannya diketahui dan determinan itu tidak sama dengan nol.
Di unduh dari : Bukupaket.com