4. Pipa Persediaan Pipeline Transit Inventory Merupakan persediaan yang sedang dalam proses pengiriman dari tempat asal
ke tempat di mana barang itu akan digunakan. Persediaan ini timbul karena jarak dari tempat asal ke tempat tujuan cukup jauh dan bisa memakan waktu
beberapa hari atau beberapa minggu.
2.2. Permintaan
2.2.1. Pengertian Permintaan
Permintan adalah banyaknya jumlah barang yang diminta pada suatu pasar tertentu dengan tingkat harga tertentu pada tingkat pendapatan tertentu dan dalam
periode tertentu.
2.2.2.
Teori Permintaan
Dapat dinyatakan:
“Perbandingan lurus antara permintaan terhadap harganya yaitu apabila permintaan naik, maka harga relatif akan naik, sebaliknya bila permintaan turun,
maka harga relatif akan turun.”
2.2.3. Hukum Permintaan
Hukum permintaan pada hakikatnya merupakan suatu hipotesis yang menyatakan: “Hubungan antara barang yang diminta dengan harga barang tersebut dimana
hubungan berbanding terbalik yaitu ketika harga meningkat atau naik maka jumlah barang yang diminta akan menurun dan sebaliknya apabila harga turun
jumlah barang meningkat. ”
Universitas Sumatera Utara
2.3. Program Linier
Program Linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan
cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Misalnya pengalokasian fasilitas produksi, sumber daya nasional untuk kebutuhan domestik, penjadwalan produksi
dan lain-lain.
2.3.1. Karakteristik-karakteristik Dalam Program Linier
Dalam membangun model dari formulasi di atas akan digunakan karakteristik- karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier yaitu:
1. Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan untuk pendapatan atau keuntungan atau diminimumkan
untuk ongkos. Fungsi ini merupakan bentuk hubungan antara variabel keputusan.
3. Pembatas
Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.
Universitas Sumatera Utara
2.3.2. Asumsi Dalam Program Linier
Dalam menggunakan model program linear, diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut:
1.
Asumsi kesebandingan proposionality a.
Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas
juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
2. Asumsi penambahan additivity
a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak
bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. b.
Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.
3. Asumsi pembagian divisibility
Dalam persoalan program linear, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan pecahan.
4. Asumsi kepastian certainty
Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.
Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap, sebagai berikut:
1. Tentukan variabel keputusan dan nyatakan dalam simbol matematik.
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier
bukan perkalian dari variabel keputusan.
Universitas Sumatera Utara
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam
persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya masalah itu.
Bentuk baku model Program Linier:
Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan
=
1
�
1
+
2
�
2
+ ⋯ + �
Fungsi pembatas :
11
�
11
+
12
�
12
+ ⋯ +
1
�
1 1
21
�
21
+
22
�
22
+ ⋯ +
2
�
2 2
. . . . . . .
1
�
1
+
2
�
2
+ ⋯ +
� dan
�
1
0, �
2
0, … , �
3
2.3.3. Metode Simpleks
Program linier yang melibatkan lebih dari 2 atau banyak variabel sulit diselesaikan dengan metode grafik. Dalam keadaan ini kebutuhan metode yang
lebih umum menjadi nyata. Metode umum itu dikenal dengan nama Metode Simpleks yang dirancang untuk menyelesaikan masalah Program Linier, baik
yang melibatkan dua atau lebih dari 2 variabel.
Universitas Sumatera Utara
Perhatikan model Program Linier:
Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan
=
1
�
1
+
2
�
2
+ ⋯ + �
Fungsi pembatas :
11
�
11
+
12
�
12
+ ⋯ +
1
�
1 1
21
�
21
+
22
�
22
+ ⋯ +
2
�
2 2
. . . . . . . .
1
�
1
+
2
�
2
+ ⋯ +
� dan
�
1
0, �
2
0, … , �
3
Jika didefinisikan:
n n
mn m
m n
n
b b
b B
x x
x X
a a
a a
a a
a a
a A
. .
; .
. ;
... .
. .
. .
. .
. ...
...
2 1
2 1
2 1
2 22
21 1
12 11
maka pembatas dari model tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk sistem persamaan AX = B.
Perhatikan suatu sistem AX = B dari persamaan linear dalam n variabel n m. Definisi:
1. Solusi basis
Solusi basis untuk AX = B adalah solusi di mana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis dari AX = B
maka sebanyak n – m variabel harus dinolkan. Variabel-variabel yang
Universitas Sumatera Utara
dinolkan ini disebut variabel nonbasis NBV. Selanjutnya, dapatkan harga dari n
– n – m = m variabel lainnya yang memenuhi AX = B, yang disebut variabel basis BV.
2. Solusi basis fisibel
Jika solusi variabel pada suatu solusi basis berharga nonnegatif, maka solusi itu disebut solusi basis fisibel BFS.
3. Solusi feasibel titik ekstrem
Yang dimaksud dengan solusi feasibel titik ekstrem atau titik sudut ialah solusi feasibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua
solusi feasibel lainnya.
Untuk menyelesaikan persoalan program linier maksimasi dengan menggunakan metode simpleks, lakukanlah langkah-langkah berikut:
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
2. Cari Solusi Basis Fisibel BFS.
3. Jika seluruh NBV mempunyai koefisien nonnegatif artinya berharga positif
atau nol pada baris fungsi tujuan [baris persamaan z yang biasa disebut baris 0 atau baris z
j
– c
j
], maka BFS sudah optimal. Jika pada baris 0 masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah satu variabel yang mempunyai
paling negatif pada baris 0 itu. Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis
entering variable, disingkat EV.
4. Hitung rasio dari Ruas kanan Koefisien EV pada setiap baris di mana EV-
nya mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel
Universitas Sumatera Utara
ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis atau leaving variable, disingkat LV.
2.3.4. Teknik M Metode pinalti
Program linier dengan sistem batasan yang mengandung tanda ≥ atau =, diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan atau variabel fiktif. Variabel
ini akan terbuang dari tabel simpleks segera ia menjadi variabel nonbasis.
Penambahan variabel ini akan merusak sistem batasan. Akan tetapi kesulitan ini dapat diatasi dengan menciptakan situasi di mana variabel ini
menjadi nol pada penyelesaian akhir. Hal ini dapat dicapai dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan.
Dalam kasus memaksimumkan, M bertanda negatif -M dan dalam kasus meminimumkan M bertanda positif M.
2.3.5. Teknik Dua Fase
Dengan digunakannya konstanta M yang merupakan bilangan positif yang sangat besar sebagai penalty, maka bisa terjadi kesalahan perhitungan, terutama apabila
perhitungan itu dilakukan dengan menggunakan komputer. Kesalahan itu bisa terjadi karena koefisien fungsi tujuan relatif sangat kecil dibandingkan dengan
harga M, sehingga komputer akan memperlakukannya sebagai koefisien yang berharga nol.
Kesulitan ini bisa dikurangi dengan menggunakan teknik kedua fase. Di sini konstanta M dihilangkan dengan cara menyelesaikan persoalan dalam dua
fase dua tingkatan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Fase I: Fase ini digunakan untuk menguji apakah persoalan yang kita hadapi
memiliki solusi fisibel atau tidak. Pada fase ini fungsi tujuan semula diganti dengan meminimumkan jumlah variabel artifisialnya. Jika nilai
minimum fungsi tujuan baru ini berharga nol artinya seluruh variabel artifisial berharga nol, berarti persoalan memiliki solusi fisibel, lanjutkan
ke fase 2. Tetapi, jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga positif, maka persoalan tidak memiliki solusi fisibel.
Fase II: Gunakan solusi basis optimum dari fase I sebagai solusi awal bagi
persoalan semula. Dalam hal ini ubahlah bentuk fungsi tujuan fase I dengan mengembalikannya pada fungsi tujuan persoalan semula.
Pemecahan persoalan dilakukan dengan cara seperti biasa.
2.3.6. Teori Dualitas
Teori Dualitas merupakan salah satu konsep program linear yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi
teori ini adalah bahwa setiap persoalan programa linear mempunyai suatu programa linear lain yang saling berkaitan yang disebut dual , sedemikian
sehingga solusi pada persoalan semula yang disebut primal juga memberi solusi pada dualnya.
Hubungan antara primal dengan dual sebagai berikut: 1.
Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.
2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual, dan untuk setiap
variabel primal ada satu pembatas dual. 3.
Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya.
Universitas Sumatera Utara
4. Fungsi tujuan berubah bentuk maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya.
5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris pembatas pada
dual. 6.
Setiap baris pembatas pada primal berkorespondensi dengan kolom pada dual.
7. Dual dari dual adalah primal.
2.3.7. Metode Dual Simpleks
Apabila pada suatu iterasi kita mendapat persoalan program linear yang sudah optimum berdasarkan kondisi optimalitas, tetapi belum fisibel ada pembatas
nonnegatif yang tidak terpenuhi, maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual simpleks. Syarat digunakannya metode ini
adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda ≤, sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi.
Pada dasarnya metode dual simpleks ini menggunakan tabel yang sama seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving dan entering variable-nya
ditentukan sebagai berikut: 1.
Leaving variable kondisi fisibilitas Yang menjadi leaving variable pada dual simpleks adalah variabel basis yang
memiliki harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai.
2. Entering variable kondisi optimalitas a. Tentukan perbandingan ratio antara koefisien persamaan z dengan
koefisien persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau nol. Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan yang
bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel.
Universitas Sumatera Utara
b. Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio terkecil, sedangkan persoalan maksimasi, entering variable adalah variabel
dengan rasio absolut terkecil.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PEMBAHASAN
Perumusan fungsi tujuan dan fungsi kendala dari penelitian akan dijelaskan sebagai berikut:
3.1. Pengumpulan Data
Data yang dikumpulkan dalam penelitian ini meliputi data permintaan untuk kurun waktu antara bulan Juli 2012 sampai dengan bulan Desember 2012 dalam
satuan bungkus pack dari PT. Multi Mas Chemindo.
Tabel 3.1. Data permintaan tiap produk
Bulan Urea
Kieserite Rock Phosphate
Juli 2.250
7.920 9.580
Agustus 2.250
7.910 9.940
September 2.710
7.880 9.630
Oktober 2.670
8.000 9.890
November 2.870
7.970 9.860
Desember 3.000
7.890 10.000
3.2. Variabel Keputusan
Variabel keputusan yang diharapkan dari permasalahan adalah jumlah persediaan optimal dari produk, yaitu:
X
1
= Pupuk Urea X
2
= Kieserite X
3
= Rock Phosphate
Universitas Sumatera Utara
3.3. Perumusan Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan yang akan dimaksimalkan adalah laba. Koefisien variabel dari variabel keputusan yaitu keuntungan yang diperoleh dari tiap produk.
Fungsi tujuan dari model program linier untuk memaksimumkan laba dapat dirumuskan sebagai berikut:
Maksimum: = 7.000
�
1
+ 9.000 �
2
+ 10.000 �
3
3.4. Perumusan Fungsi Kendala
Fungsi kendala terdiri dari kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan terhadap pupuk.
1. Model fungsi kendala dari kapasitas penyimpanan. Tiap bungkus pack pupuk memiliki berat yang sama yaitu 50 kg. Kapasitas
penyimpanan yang tersedia adalah 1.000 ton 1.000.000 kg. Persamaan dapat ditulis:
50 �
1
+ 50 �
2
+ 50 �
3
1.000.000
2. Model fungsi kendala dari permintaan terhadap pupuk. Dari tabel permintaan di atas dapat dibuat persamaan sebagai berikut:
�
1
3.000 �
2
8.000 �
3
10.000
Universitas Sumatera Utara
3.5. Analisis Simpleks
