Tujuan Kegiatan Pembelajaran Uraian Materi

MAT. 01. Matriks 27

2. Kegiatan Belajar 2

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat: ? Menghitung determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks, dan invers matriks. ? Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

b. Uraian Materi

DETERMI NAN DAN I NVERS MATRI KS Definisi. Misalkan A adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det A sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah det A dinamakan determinan A. Dari definisi di atas, determinan matriks dapat dijelaskan sebagai suatu skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks dengan operasi tertentu jumlah hasil kali elementer bertanda dari matriks tersebut, yang merupakan karakteristik matriks. Untuk lebih jelasnya marilah kita tinjau contoh berikut: A = ? ? ? ? ? ? 22 21 12 11 a a a a ; B = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a Maka: detA = det ? ? ? ? ? ? 22 21 12 11 a a a a = a 11 a 22 + -a 21 a 22 = a 11 a 22 - a 21 a 22 detB = det ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 – a 12 a 21 a 33 – a 11 a 23 a 32 MAT. 01. Matriks 28 Determinan Matriks berordo 2 x 2 Misal A = ? ? ? ? ? ? d c b a maka det A = det ? ? ? ? ? ? d c b a = ad – bc Contoh1 Tentukan determinan matriks-matriks berikut ini. a A = ? ? ? ? ? ? 2 1 4 3 b B = ? ? ? ? ? ? ? ? 3 6 1 2 c C = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 Jaw ab: a det A = det ? ? ? ? ? ? 2 1 4 3 = 3x2-4x1 = 6 – 4 = 2 b det B = det ? ? ? ? ? ? ? ? 3 6 1 2 = 2x-3 – -1x6 = -6 – -6 = -6 + 6 = 0 c det C = det ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 = -4x1 – -3x-2 = -4 – 6 = -10 Determinan Matriks berordo 3 x 3 Misalkan A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a maka besar det A dapat dihitung dengan dua cara: Cara I : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? h g i h g e d f e d b a c b a Determinan Matriks melalui cara di atas, diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali pada panah-panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali panah-panah yang mengarah ke kiri. + + + - - - MAT. 01. Matriks 29 Maka det A = acf + bfg + cdh – gec – hfa – idb Cara I I : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a Maka det A = a i h f e - b i g f d + c h g e d Contoh 2 1 A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 2 1 1 1 2 1 3 , hitung detA dengan dua cara? Jaw ab: Cara I : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 sehingga det A = 3x1x1 + 1x1x2 + 2x1x3 – 2x1x2 –3x1x3- 1x1x1 = 3 + 2 + 6 – 4 – 9 – 1 = -3 Cara I I : detA = 3 1 3 1 1 - 1 1 2 1 1 + 2 3 2 1 1 = 3 1-3 – 1-2 + 2 3-2 = 3 -2 – -1 + 21 = -6 + 1 + 2 = -3 2 Hitung determinan matriks dari B = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 4 2 1 1 3 2 1 dengan menggunakan dua cara? + + - MAT. 01. Matriks 30 Jaw ab : Teorema. misalkan A adalah suatu matriks n x n. a Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan konstanta k, maka det A = k det A. b Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det A = - det A. c Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris yang lain, maka detA’ = det A. Contoh3 A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 4 1 3 2 1 ; B = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 4 1 12 8 4 ; C = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 3 2 1 4 1 ; D = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 3 2 3 2 1 Jika det A = -2, tentukan determinan matriks-matriks yang lain menggunakan sifat-sifat di atas? Jaw ab: Matriks B dihasilkan dengan mengalikan baris ke-1 matriks A dengan 4. Sehingga sesuai sifat di atas, detB = 4 x det A = 4 x -2 = -8. Matriks C dihasilkan dengan menukar baris ke-1 dan baris ke-2. Sehingga sesuai dengan sifat di atas, det C = - det A = - -2 = 2. Matriks D dihasilkan dengan mengalikan –2 baris ke-1 dari A, kemudian ditambahkan pada baris ke-2. Sehingga menurut sifat di atas, det D = det A = -2. MI NOR, KOFAKTOR DAN ADJOI N MATRI KS Definisi. Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri a ij dinyatakan oleh M ij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah MAT. 01. Matriks 31 baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. bilangan -1 i+ j M ij dinyatakan oleh C ij dan dinamakan kofaktor entri a ij . Contoh 4 A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 1 3 6 5 2 8 4 1 Minor entri a 11 adalah M 11 = 4 1 3 6 5 2 8 4 1 ? = 4 1 6 5 ? = -26 Kofaktor a 11 adalah C 11 = -1 1+ 1 M 11 = M 11 = 26 Demikian juga, minor entri a 32 adalah M 32 = 4 1 3 6 5 2 8 4 1 ? = 6 2 8 1 = -10 Kofaktor a 32 adalah C 32 = -1 3+ 2 M 32 = M 32 = --10 = 10 Definisi. Jika A adalah suatu matriks n x n dan Cij adalah kofakor aij, maka matriks ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Cnn Cn Cn n C C C n C C C ? ? ? ? ? ? 2 1 2 22 21 1 12 11 dinamakan matriks kofaktor A. Tranpose matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adjA. Contoh 5 A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 3 6 1 4 2 maka kofaktor A adalah C 11 = -12 C 12 = -10 C 13 = -7 C 21 = 4 C 22 = -2 C 23 = 16 C 31 = -12 C 32 = 6 C 33 = 17 MAT. 01. Matriks 32 Sehingga matriks kofaktor adalah: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 6 12 16 2 4 7 10 12 sedangkan adjoin A m erupakan tranpose matriks kofaktor yaitu: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 16 7 6 2 10 12 4 12 I NVERS MATRI KS Teorema. Jika A adalah matriks persegi yang dapat dibalik, maka A -1 = det 1 A adj A I nvers Matriks berordo 2 x 2 Misalkan A = ? ? ? ? ? ? d c b a maka A -1 = A det 1 adj A = bc ad ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? a c b d Contoh 6 A = ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 tentukan invers matriks A? Jaw ab: A -1 = 9 8 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 3 2 = -1 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 3 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 3 2 I nvers Matriks berordo 3 x 3 Ada dua cara mencari invers matriks yaitu: 1. Menggunakan rumus A -1 = det 1 A adj A 2. Menggunakan reduksi matriks atau metode penyapuan dengan langkah- langkah sebagai berikut: MAT. 01. Matriks 33 a Membagi baris pertama dengan elemen yang ada dalam kolom pertama; gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol pada kolom pertama dari setiap baris yang lain. b Membagi baris kedua dengan elemen yang ada dalam kolom kedua; gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol pada kolom kedua dari setiap baris yang lain. c Membagi baris ke-n dengan elemen yang ada dalam kolom ke-n; gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol pada kolom ke-n dari setiap baris yang lain. Contoh 7 Carilah invers dari matriks A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 3 2 3 3 1 menggunakan dua cara? Jaw ab: Cara I : detA = 1 2 2 3 2 ? ? ? ? - 3 2 1 3 ? ? ? + 3 2 1 2 ? ? ? = 1-2 –3-3 + 3-2 = -2 + 9-6 = 1 kofaktor A adalah C 11 = -2 C 12 = 3 C 13 = -2 C 21 = 0 C 22 = 1 C 23 = -1 C 31 = -3 C 32 = 3 C 33 = -2 matriks kofaktor A adalah: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 3 1 1 2 3 2 dan adjA= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 3 1 3 3 2 Jadi A -1 = 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 3 1 3 3 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 3 1 3 3 2 MAT. 01. Matriks 34 Cara I I : Langkah I 1 2 2 1 1 3 2 1 3 3 1 ? ? ? ? ? Langkah I I 1 1 1 1 1 3 2 1 3 3 1 ? ? Langkah I I I 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 ? ? ? jadi A -1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 3 1 3 3 2 PENYELESAI AN SI STEM PERSAMAAN LI NI ER DENGAN MENGGUNAKAN MATRI KS Teorema. Aturan Cramer jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tidak diketahui sehingga detA ? 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah: x 1 = det det 1 A A , x 2 = det det 2 A A , … ,x n = det det A A n di mana A j adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri dalam matriks. Dari teorema di atas, dapat dijelaskan penyelesaian sistem persamaan linier sebagai berikut: Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Misalkan diketahui sistem persamaan linier dengan dua variabel ax + by = p × d adx + bdy = pd 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 ? 2 3 2 3 MAT. 01. Matriks 35 cx + dy = q × b bcx + bdy = bq ad-bcx = pd – bq x = bc ad bq pd ? ? x = d c b a d q b p = x x ? sedangkan untuk mencari nilai variabel y, dicari dengan cara seperti di atas yaitu. ax + by = p × c acx + bcy = cp cx + dy = q × a acx + ady = aq bc-adx = cp – aq y = bc ad cp aq ? ? y = d c b a q c p a = y y ? ? ? ? ? ? ? ? d c b a disebut determinan utama Contoh 8 Selesaikan sistem persam aan berikut: a. 3x + 4y = 7 b 3x 1 – 4x 2 = -5 5x – 2y = 3 2x 1 + x 2 = 4 Jaw ab: a x = x x ? = 2 5 4 3 2 3 4 7 ? ? = 26 26 ? ? = 1 MAT. 01. Matriks 36 y = y y ? = 2 5 4 3 3 5 7 3 ? = 26 26 ? ? = 1 Jadi nilai x dan y berturut-turut adalah 1 dan 1. b x 1 = ……… x 2 = …….. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel Misalkan diketahui sistem persamaan linier tiga variabel ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hz + iz = r ? = i h g f e d c b a disebut determinan utama ? x = i h r f e q c b p ; ? y = i r g f q d c p a ; ? z = r h g q e d p b a x = x x ? ; y = y y ? ; z = z z ? Contoh 9 1. Selesaikan sistem persamaan berikut: 2x + 3y – z = -7 x - y + z = 6 3x + y – 2z = -5 Jaw ab: ? = 2 1 3 1 1 1 1 3 2 ? ? ? = 2 2 1 1 1 ? ? - 3 2 3 1 1 ? -1 1 3 1 1 ? = 2 1 –3 -5 –14 = 2 + 15 – 4 = 13 MAT. 01. Matriks 37 ? x = 2 1 5 1 1 6 1 3 7 ? ? ? ? ? = -7 2 1 1 1 ? ? - 3 2 5 1 6 ? ? -1 1 5 1 6 ? ? = -7 1 –3 -7 –11 = -7 + 21 – 1 = 13 ? y = 2 5 3 1 6 1 1 7 2 ? ? ? ? = 2 2 5 1 6 ? ? + 7 2 3 1 1 ? -1 5 3 6 1 ? = 2 -7 + 7 -5 –1-23 = -14 - 35 + 23 = -26 ? z = 5 1 3 6 1 1 7 3 2 ? ? ? = 2 5 1 6 1 ? ? - 3 5 3 6 1 ? - 7 1 3 1 1 ? = 2 -1 –3 -23 + 74 = -2 + 69 - 28 = 39 x = x x ? = 13 13 ; y = y y ? = 13 26 ? = -2 ; z = y y ? = 13 39 = 3 Jadi HP { 1, -2, 3 } 2. Selesaikan sistem persamaan berikut: x 1 + 2x 3 = 6 -3x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 30 -x 1 – 2x 2 + 3x 3 = 8 Jaw ab: ? = ……….. ? x 1 = …………. ? x 2 = …………. ? x 3 = …………. MAT. 01. Matriks 38 x 1 = ? ? 1 x = ………… ; x 2 = ? ? 2 x = ………… ; x 3 = ? ? 3 x = ………… HP { x 1 = …., x 2 = …, x 3 = … c. Rangkuman 2 1. detA = det ? ? ? ? ? ? 22 21 12 11 a a a a = a 11 a 22 + -a 21 a 22 = a 11 a 22 - a 21 a 22 detB = det ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 – a 12 a 21 a 33 – a 11 a 23 a 32 2. A adalah matriks persegi, maka minor entri a ij dinyatakan oleh M ij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah bar is ke i dan kolom ke j dicoret dari A. bilangan -1 i+ j M ij dinyatakan oleh C ij dan dinamakan kofaktor entri a ij . 3. Jika A adalah suatu matriks n x n dan Cij adalah kofakor aij, maka matriks ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Cnn Cn Cn n C C C n C C C ? ? ? ? ? ? 2 1 2 22 21 1 12 11 dinamakan matriks kofaktor A. Tranpose matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adjA. 4. A -1 = det 1 A adj A 5. jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tidak diketahui sehingga detA ? 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah x 1 = det det 1 A A , x 2 = det det 2 A A , … ,x n = det det A A n di mana A j adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri- entri dalam kolom ke j dar i A dengan entri-entri dalam matriks. MAT. 01. Matriks 39

d. Tugas Latihan 2