MAT. 01. Matriks
27
2. Kegiatan Belajar 2
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:
?
Menghitung determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks, dan invers matriks.
?
Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.
b. Uraian Materi
DETERMI NAN DAN I NVERS MATRI KS
Definisi. Misalkan A adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det A sebagai jumlah hasil kali
elementer bertanda dari A. Jumlah det A dinamakan determinan A. Dari definisi di atas, determinan matriks dapat dijelaskan sebagai suatu
skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks dengan operasi tertentu jumlah hasil kali elementer bertanda dari matriks tersebut, yang merupakan
karakteristik matriks. Untuk lebih jelasnya marilah kita tinjau contoh berikut:
A =
? ?
? ?
? ?
22 21
12 11
a a
a a
; B =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a
Maka: detA = det
? ?
? ?
? ?
22 21
12 11
a a
a a
= a
11
a
22
+ -a
21
a
22
= a
11
a
22
- a
21
a
22
detB = det
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
13
a
22
a
31
–
a
12
a
21
a
33
– a
11
a
23
a
32
MAT. 01. Matriks
28 Determinan Matriks berordo 2 x 2
Misal A =
? ?
? ?
? ?
d c
b a
maka det A = det
? ?
? ?
? ?
d c
b a
= ad – bc
Contoh1
Tentukan determinan matriks-matriks berikut ini. a
A =
? ?
? ?
? ?
2 1
4 3
b B =
? ?
? ?
? ?
? ?
3 6
1 2
c C =
? ?
? ?
? ?
? ?
? 1
2 3
4
Jaw ab:
a det A = det
? ?
? ?
? ?
2 1
4 3
= 3x2-4x1 = 6 – 4 = 2
b det B = det
? ?
? ?
? ?
? ?
3 6
1 2
= 2x-3 – -1x6 = -6 – -6 = -6 + 6 = 0
c det C = det
? ?
? ?
? ?
? ?
? 1
2 3
4
= -4x1 – -3x-2 = -4 – 6 = -10
Determinan Matriks berordo 3 x 3
Misalkan A =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
i h
g f
e d
c b
a
maka besar det A dapat dihitung dengan dua cara:
Cara I :
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
h g
i h
g e
d f
e d
b a
c b
a
Determinan Matriks melalui cara di atas, diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali pada panah-panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan
hasil kali panah-panah yang mengarah ke kiri.
+ + + - - -
MAT. 01. Matriks
29
Maka det A = acf + bfg + cdh – gec – hfa – idb
Cara I I :
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
i h
g f
e d
c b
a
Maka det A = a
i h
f e
- b
i g
f d
+ c
h g
e d
Contoh 2
1 A =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
1 3
2 1
1 1
2 1
3
, hitung detA dengan dua cara?
Jaw ab:
Cara I :
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
3 2
1 3
2 1
1 1
1 1
1 3
2 1
3
sehingga det A = 3x1x1 + 1x1x2 + 2x1x3 – 2x1x2 –3x1x3- 1x1x1
= 3 + 2 + 6 – 4 – 9 – 1 = -3
Cara I I : detA = 3
1 3
1 1
- 1
1 2
1 1
+ 2
3 2
1 1
= 3 1-3 – 1-2 + 2 3-2 = 3 -2 – -1 + 21
= -6 + 1 + 2 = -3
2 Hitung determinan matriks dari B =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
6 4
2 1
1 3
2 1
dengan menggunakan dua
cara?
+ +
-
MAT. 01. Matriks
30 Jaw ab :
Teorema. misalkan A adalah suatu matriks n x n.
a Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan
konstanta k, maka det A = k det A. b
Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det A = - det A.
c Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A
ditambahkan pada baris yang lain, maka detA’ = det A.
Contoh3
A =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
1 2
1 4
1 3
2 1
; B =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
1 2
1 4
1 12
8 4
; C =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
1 2
1 3
2 1
4 1
; D =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
1 2
1 2
3 2
3 2
1
Jika det A = -2, tentukan determinan matriks-matriks yang lain menggunakan sifat-sifat di atas?
Jaw ab:
Matriks B dihasilkan dengan mengalikan baris ke-1 matriks A dengan 4. Sehingga sesuai sifat di atas, detB = 4 x det A = 4 x -2 = -8.
Matriks C dihasilkan dengan menukar baris ke-1 dan baris ke-2. Sehingga sesuai dengan sifat di atas, det C = - det A = - -2 = 2.
Matriks D dihasilkan dengan mengalikan –2 baris ke-1 dari A, kemudian ditambahkan pada baris ke-2. Sehingga menurut sifat di atas, det D = det
A = -2.
MI NOR, KOFAKTOR DAN ADJOI N MATRI KS
Definisi. Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri a
ij
dinyatakan oleh M
ij
dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah
MAT. 01. Matriks
31
baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. bilangan -1
i+ j
M
ij
dinyatakan oleh C
ij
dan dinamakan kofaktor entri a
ij
.
Contoh 4
A =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? 4
1 3
6 5
2 8
4 1
Minor entri a
11
adalah M
11
=
4 1
3 6
5 2
8 4
1 ?
=
4 1
6 5
?
= -26
Kofaktor a
11
adalah C
11
= -1
1+ 1
M
11
= M
11
= 26
Demikian juga, minor entri a
32
adalah M
32
=
4 1
3 6
5 2
8 4
1 ?
=
6 2
8 1
= -10
Kofaktor a
32
adalah C
32
= -1
3+ 2
M
32
= M
32
= --10 = 10
Definisi. Jika A adalah suatu matriks n x n dan Cij adalah kofakor aij, maka
matriks
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
Cnn Cn
Cn n
C C
C n
C C
C
? ?
? ?
? ?
2 1
2 22
21 1
12 11
dinamakan matriks kofaktor A. Tranpose
matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adjA.
Contoh 5
A =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
1 2
3 3
6 1
4 2
maka kofaktor A adalah
C
11
= -12 C
12
= -10 C
13
= -7 C
21
= 4 C
22
= -2 C
23
= 16 C
31
= -12 C
32
= 6 C
33
= 17
MAT. 01. Matriks
32
Sehingga matriks kofaktor adalah:
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
17 6
12 16
2 4
7 10
12
sedangkan adjoin A m erupakan tranpose matriks kofaktor yaitu:
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? 17
16 7
6 2
10 12
4 12
I NVERS MATRI KS
Teorema. Jika A adalah matriks persegi yang dapat dibalik, maka A
-1
= det
1 A
adj A
I nvers Matriks berordo 2 x 2
Misalkan A =
? ?
? ?
? ?
d c
b a
maka A
-1
= A
det 1
adj A = bc
ad ?
1
? ?
? ?
? ?
? ?
a c
b d
Contoh 6
A =
? ?
? ?
? ?
2 3
3 4
tentukan invers matriks A?
Jaw ab:
A
-1
= 9
8 1
?
? ?
? ?
? ?
? ?
4 3
3 2
= -1
? ?
? ?
? ?
? ?
4 3
3 2
=
? ?
? ?
? ?
? ?
4 3
3 2
I nvers Matriks berordo 3 x 3
Ada dua cara mencari invers matriks yaitu: 1.
Menggunakan rumus A
-1
= det
1 A
adj A 2.
Menggunakan reduksi matriks atau metode penyapuan dengan langkah- langkah sebagai berikut:
MAT. 01. Matriks
33
a Membagi baris pertama dengan elemen yang ada dalam kolom
pertama; gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol pada kolom pertama dari setiap baris yang lain.
b Membagi baris kedua dengan elemen yang ada dalam kolom kedua;
gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol pada kolom kedua dari setiap baris yang lain.
c Membagi baris ke-n dengan elemen yang ada dalam kolom ke-n;
gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol pada kolom ke-n dari setiap baris yang lain.
Contoh 7
Carilah invers dari matriks A =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? 2
2 1
3 2
3 3
1
menggunakan dua cara?
Jaw ab: Cara I
: detA = 1
2 2
3 2
? ?
? ?
- 3
2 1
3 ?
? ?
+ 3
2 1
2 ?
? ?
= 1-2 –3-3 + 3-2 = -2 + 9-6
= 1 kofaktor A adalah
C
11
= -2 C
12
= 3 C
13
= -2 C
21
= 0 C
22
= 1 C
23
= -1 C
31
= -3 C
32
= 3 C
33
= -2
matriks kofaktor A adalah:
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? 2
3 3
1 1
2 3
2
dan adjA=
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? 2
1 2
3 1
3 3
2
Jadi A
-1
= 1
1
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? 2
1 2
3 1
3 3
2
=
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? 2
1 2
3 1
3 3
2
MAT. 01. Matriks
34 Cara I I :
Langkah I
1 2
2 1
1 3
2 1
3 3
1 ?
? ?
? ?
Langkah I I
1 1
1 1
1 3
2 1
3 3
1 ?
?
Langkah I I I
1 2
1 1
2 1
2 1
2 3
1 2
3 1
2 3
1
? ?
?
jadi A
-1
=
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
2 1
2 3
1 3
3 2
PENYELESAI AN SI STEM PERSAMAAN LI NI ER DENGAN
MENGGUNAKAN MATRI KS
Teorema. Aturan Cramer jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tidak diketahui sehingga detA
?
0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah:
x
1
= det
det
1
A A
, x
2
= det
det
2
A A
, … ,x
n
= det
det A
A
n
di mana A
j
adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri dalam matriks.
Dari teorema di atas, dapat dijelaskan penyelesaian sistem persamaan linier sebagai berikut:
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Misalkan diketahui sistem persamaan linier dengan dua variabel ax + by = p × d adx + bdy = pd
1 1
1
2 1
2 1
2 1
2 3
1 ?
2 3
2 3
MAT. 01. Matriks
35
cx + dy = q × b bcx + bdy = bq ad-bcx = pd – bq
x = bc
ad bq
pd ?
?
x =
d c
b a
d q
b p
= x
x ?
sedangkan untuk mencari nilai variabel y, dicari dengan cara seperti di atas yaitu.
ax + by = p × c acx + bcy = cp cx + dy = q × a acx + ady = aq
bc-adx = cp – aq y =
bc ad
cp aq
? ?
y =
d c
b a
q c
p a
= y
y ?
? ?
? ?
? ?
? d
c b
a
disebut determinan utama
Contoh 8
Selesaikan sistem persam aan berikut: a. 3x + 4y = 7
b 3x
1
– 4x
2
= -5 5x – 2y = 3
2x
1
+ x
2
= 4
Jaw ab:
a x = x
x ?
=
2 5
4 3
2 3
4 7
? ?
= 26
26 ?
? = 1
MAT. 01. Matriks
36
y = y
y ?
=
2 5
4 3
3 5
7 3
?
= 26
26 ?
? = 1
Jadi nilai x dan y berturut-turut adalah 1 dan 1. b x
1
= ……… x
2
= ……..
Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Misalkan diketahui sistem persamaan linier tiga variabel ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q gx + hz + iz = r
?
=
i h
g f
e d
c b
a
disebut determinan utama
?
x =
i h
r f
e q
c b
p
;
?
y =
i r
g f
q d
c p
a
;
?
z =
r h
g q
e d
p b
a
x = x
x ?
; y = y
y ?
; z = z
z ?
Contoh 9
1. Selesaikan sistem persamaan berikut: 2x + 3y – z = -7
x - y + z = 6 3x + y – 2z = -5
Jaw ab:
?
=
2 1
3 1
1 1
1 3
2 ?
? ?
= 2
2 1
1 1
? ?
- 3
2 3
1 1
?
-1
1 3
1 1
?
= 2 1 –3 -5 –14 = 2 + 15 – 4
= 13
MAT. 01. Matriks
37
?
x =
2 1
5 1
1 6
1 3
7 ?
? ?
? ?
= -7
2 1
1 1
? ?
- 3
2 5
1 6
? ?
-1
1 5
1 6
? ?
= -7 1 –3 -7 –11 = -7 + 21 – 1
= 13
?
y =
2 5
3 1
6 1
1 7
2 ?
? ?
?
= 2
2 5
1 6
? ?
+ 7
2 3
1 1
?
-1
5 3
6 1
?
= 2 -7 + 7 -5 –1-23 = -14 - 35 + 23
= -26
?
z =
5 1
3 6
1 1
7 3
2 ?
? ?
= 2
5 1
6 1
? ?
- 3
5 3
6 1
?
- 7
1 3
1 1
?
= 2 -1 –3 -23 + 74 = -2 + 69 - 28
= 39 x =
x x
? =
13 13
; y = y
y ?
= 13
26 ?
= -2 ; z = y
y ?
= 13
39 = 3
Jadi HP { 1, -2, 3 }
2. Selesaikan sistem persamaan berikut: x
1
+ 2x
3
= 6 -3x
1
+ 4x
2
+ 6x
3
= 30 -x
1
– 2x
2
+ 3x
3
= 8
Jaw ab:
?
= ………..
?
x
1
= ………….
?
x
2
= ………….
?
x
3
= ………….
MAT. 01. Matriks
38
x
1
= ?
?
1
x = ………… ; x
2
= ?
?
2
x = ………… ; x
3
= ?
?
3
x = …………
HP { x
1
= …., x
2
= …, x
3
= …
c. Rangkuman 2
1. detA = det
? ?
? ?
? ?
22 21
12 11
a a
a a
= a
11
a
22
+ -a
21
a
22
= a
11
a
22
- a
21
a
22
detB = det
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
13
a
22
a
31
– a
12
a
21
a
33
– a
11
a
23
a
32
2. A adalah matriks persegi, maka minor entri a
ij
dinyatakan oleh M
ij
dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah bar is ke i
dan kolom ke j dicoret dari A. bilangan -1
i+ j
M
ij
dinyatakan oleh C
ij
dan dinamakan kofaktor entri a
ij
. 3. Jika A adalah suatu matriks n x n dan Cij adalah kofakor aij, maka matriks
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
Cnn Cn
Cn n
C C
C n
C C
C
? ?
? ?
? ?
2 1
2 22
21 1
12 11
dinamakan matriks kofaktor A. Tranpose matriks ini
dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adjA. 4. A
-1
= det
1 A
adj A 5. jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n
bilangan tidak diketahui sehingga detA
?
0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah
x
1
= det
det
1
A A
, x
2
= det
det
2
A A
, … ,x
n
= det
det A
A
n
di mana A
j
adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri- entri dalam kolom ke j dar i A dengan entri-entri dalam matriks.
MAT. 01. Matriks
39
d. Tugas Latihan 2