3.2 Pendekatan Multiple Regresi pada Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah
Secara matematik model tersebut tanpa interaksi dapat ditulis sebagai berikut. y
ij
=
ij j
i
ε β
α µ
+ +
+
, ... 3.5
dengan I
i ,...,
2 ,
1 =
, J
j ,...
2 ,
1 =
, dengan:
ij
y = Nilai pengamatan dari perlakuan ke i dalam kelompok ke j, µ
=
Nilai tengah populasi, sering disebut dengan rataan umum,
i
α = Parameter yang menyatakan rataan baris ke i,
j
β = Parameter yang menyatakan rataan kolom ke j,
ij
ε = Galat pada pengamatan ke i,j. Penyajian dengan matriks untuk 3.5 diatas dapat ditulis sebagai
Y=X ε
β + I
J
=
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
2 1
2 22
21 1
12 11
IJ I
I J
J
y y
y y
y y
y y
y
J I
β β
α α
µ
1 1
:
+
IJ I
I J
J
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε
2 1
2 22
21 1
12 11
Jika diperhatikan matriks X di atas, terlihat bahwa jumlah kolom ke 2 sampai kolom ke I adalah kolom pertama jadi kolom-kolom matriks ini tidak bebas satu sama
lain. Karena itu X
X
T
singular, sehingga persamaan normal tidak memberikan jawaban yang tunggal untuk parameter yang ingin ditaksir. Agar persamaan normal
mempunyai jawab yang tunggal, maka syarat kendala perlu ditambahkan. Kendala yang memberikan jawaban seperti itu adalah
Universitas Sumatera Utara
∑ ∑
= =
= =
I i
J j
j i
1 1
β α
. ... 3.6
Dengan kendala tersebut, maka persamaan normalnya Y
X b
X X
T T
=
mempunyai
jawab tunggal, yaitu
I I
I I
J J
J J
J J
I I
I J
J J
IJ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
J I
b b
a a
a b
1 2
1
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑∑
= =
= =
= =
=
I i
iJ I
i i
J j
Ij J
j j
J j
j I
i J
j ij
y y
y y
y y
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
Bila b , a
i
dan b
j
merupakan penaksir dari µ ,
α , dan β , maka persamaan normalnya Y
X b
X X
T T
= dapat ditulis
IJ b +J
∑
= I
i i
a
1
+
∑∑ ∑
= =
=
=
I i
J j
ij J
j j
y b
I
1 1
1
J b + Ja
1
+
∑ ∑
= =
=
J j
j J
j j
y b
1 1
1
J b + Ja
2
+
∑ ∑
= =
=
J j
j J
j j
y b
1 2
1
.... 3.7 J b
+ Ja
I
+
∑ ∑
= =
=
J j
Ij J
j j
y b
1 1
I b +
∑ ∑
= =
= +
I i
i I
i i
y Ib
a
1 1
1 1
I b +
∑ ∑
= =
= +
I i
iJ I
i i
y Ib
a
1 1
1
Universitas Sumatera Utara
Akibat dari kendala 3.6, maka persamaan baris pertama dari 3.7 dapat disederhanakan menjadi:
IJ b =
∑∑
= =
I i
J j
ij
y
1 1
, b
=
∑∑
= =
I i
J j
ij
y
1 1
IJ = y ..
Karena
∑
= J
j j
1
β , maka persamaan baris kedua 3.7 menjadi
a
1
=
∑
=
− =
−
J j
j
y y
J Jb
y
1 .
1 1
.. ..
a
2
= y
y −
. 2
..
a
I
= ..
.
y y
I
− Karena
∑
= I
i i
1
α , maka
b
1
= ..
.
1 .
1 1
1
y y
b y
I Ib
y
I i
i
− =
− =
−
∑
=
b.
J
= ..
. y
y
J
− Jadi persamaan normal 3.7 menjadi
y b
= =
µˆ ..
.. ˆ
.
y y
a
i i
i
− =
= α
, i=1,2,...,I, ..
ˆ
.
y y
b
j j
j
− =
= β
, j=1,2,..J. Persamaan 3.5 dengan mengganti parameternya menjadi
j i
ij
b a
y y
+ +
=
..
ˆ
JK
regresi
∑∑ ∑∑
= =
= =
+ =
− =
I i
J j
j i
I i
J j
ij
b a
y y
1 1
2 2
1 1
.. ˆ
, ..
..
1 1
1 2
1 .
2 .
∑∑ ∑∑
= =
= =
− +
− =
I i
J j
I i
J j
j i
y y
y y
JK
regresi
JKB J
j j
JKA I
i i
y y
I y
y J
∑ ∑
= =
− +
− =
1 2
. 1
2 .
.. ..
JKA = jumlah kuadrat karena baris, JKB = Jumlah kuadrat karena kolom.
Universitas Sumatera Utara
JK
sisa
∑∑
= =
− =
I i
J j
ij ij
y y
1 1
2
ˆ ,
dk 1
1 1
− −
− −
− =
J I
n 1
1 1
− −
= −
− −
= J
I J
I IJ
. Sehingga diperoleh Tabel 3.2.
Tabel 3.2 Analisis Ragam Klasifikasi dua Arah tanpa Interaksi
Sumber Keragaman
DB Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tangah
ABaris B Kolom
Sisa I-1
J-1 I-1J-1
∑
=
−
I i
i
y y
J
1 2
.
..
∑
=
−
J j
j
y y
I
1 2
.. .
∑∑
= =
−
I i
J j
ij ij
y y
1 1
2
ˆ
∑
=
− −
I i
i
I y
y J
1 2
.
1 ..
∑
=
− −
J j
j
J y
y I
1 2
1 ..
.
∑∑
= =
− −
−
I i
J j
ij ij
J I
y y
1 1
2
1 1
ˆ
Total IJ-1
∑∑
= =
−
I i
J j
ij
y y
1 1
2
.. Dalam pengujian hipotesis:
1. H :
=
1
α =
2
α … = =
I
α 0, H
1
: minimal ada satu I
i
i
,.., 2
, 1
, =
≠ α
. 2. H
: =
1
β =
2
β … = =
J
β 0,
H
1
: minimal ada satu
,.., 2
, 1
, J
j
j
= ≠
β .
Untuk pengujian 1, J
I JKS
I JKA
F 1
1 1
− −
− =
. Bila F
I-1,I-1J-1,
α F untuk suatu
α tertentu, maka H ditolak, sebaliknya
H
1
diterima. Untuk pengujian 2,
J I
JKS J
JKB F
1 1
1 −
− −
= .
Bila F
J-1,I-1J-1,
α F untuk suatu α tertentu, maka H ditolak, sebaliknya
H
1
diterima.
Universitas Sumatera Utara
3.3 Pendekatan Multiple Regresi pada Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi
Bila kedua faktor ada interaksi, maka banyaknya pengamatan per sel haruslah lebih besar dari satu agar interaksi dan sisa dapat dipisah. Dengan adanya interaksi
ij
γ maka persamaan 3.5 menjadi
ijk ij
j i
ijk
y
ε γ
β α
µ
+ +
+ +
=
, ....3.8
i= 1,2,…,I; j= 1,2,…,J; k=1,2,...,K. K adalah banyaknya dalam pengamatan dalam tiap sel.
Agar persamaan normal mempunyai jawab tunggal, maka diperlukan kendala
∑ ∑
= =
= =
I i
J j
j i
1 1
β α
,
∑
=
=
I i
ij 1
γ
untuk setiap i,
∑
=
=
J j
ij 1
γ
untuk setiap j.
Rata-rata keseluruhan
∑∑∑
= =
=
=
I i
J j
K k
ijk
n y
y
1 1
1 ...
; n= IJK
Rata-rata taraf ke I faktor A I
i JK
y
J j
i
,..., 2
, 1
y
1 K
1 k
ijk ..
= =
∑∑
= =
Rata-rata taraf ke J faktor B I
j IK
y y
I i
K k
ijk j
,..., 2
, 1
;
1 1
. .
= =
∑∑
= =
Rata-rata sel ke i,j K
y y
K k
ijk ij
1 .
∑
=
= Penaksiran parameter dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat sesatan
terhadap parameter-parameternya, sehingga diperoleh I
i y
y a
y b
i i
i
,.., 2
, 1
, ˆ
, ˆ
... ..
...
= −
= =
= =
α µ
j i
y y
y y
g J
j y
y b
j i
ij ij
ij j
j j
dan ,
ˆ ,
,.., 2
, 1
, ˆ
... .
. ..
. ...
. .
∀ +
− −
= =
= −
= =
γ β
=
ijk
yˆ
... .
. ...
.. ...
y y
y y
y
j i
− +
− +
... .
. ..
.
y y
y y
j i
ij
+ −
− +
. ij
y =
Universitas Sumatera Utara
JK
Regresi
=
∑∑∑
= =
=
−
I i
J j
K k
ijk
y y
1 1
1 2
... ˆ
∑∑∑
= =
=
− =
I i
J j
K k
ij
y y
1 1
1 2
.
...
JKA I
i i
y y
JK
∑
=
− =
1 2
... ..
JKB J
j j
y y
IK
∑
=
− +
1 2
... .
.
1 1
2 ...
. .
.. .
AB JK
I i
J j
j i
ij
y y
y y
K
∑∑
= =
+ −
− +
JK
sisa
=
∑∑∑
= =
=
−
I i
J j
K k
ij ijk
y y
1 1
1 2
.
Sehingga Analisis Ragamnya dapat dituliskan seperti pada tabel 3.3. Dalam pengujian hipotesis:
1. H :
=
1
α =
2
α … =
=
I
α ,
H
1
: minimal ada satu ≠
=
i
α .
2. H :
=
1
β =
2
β … =
=
J
β 0, H
1
: minimal ada satu
≠
j
β .
3. H :
= =
12 11
γ γ
… =
=
IJ
γ 0,
H
1
: minimal ada satu
≠
ij
γ
Tabel 3.3 Tabel Analisis Ragam Klasifikasi 2 arah dengan Interaksi
Sumber Keragaman
DB Jumlah
Kuadrat Kuadrat Tengah
ABaris B Kolom
ABInteraksi Sisa
I-1 J-1
I-1J-1 IJK-1
JKA JKB
JKAB JKS
2 1
s =JKAI-1
2 2
s = JKBJ-1
2 3
s
= JKABI-1J-1 s
2
= JKSIJK-1 Total
IJK-1 JKT
Untuk pengujian 1, 1
1 −
− =
K IJ
JKS I
JKA F
. Bila F
I-1,IJK-1,
α F untuk suatu α tertentu, maka tolak H , sebaliknya H
1
diterima.
Universitas Sumatera Utara
Untuk pengujian 2, 1
1 −
− =
K IJ
JKS J
JKB F
. Bila F
J-1,IJK-1,
α F untuk suatu α tertentu, maka tolak H , sebaliknya H
1
diterima. Untuk pengujian 3,
1 1
1 −
− −
= K
IJ JKS
J I
AB JK
F .
Bila F
I-1J-1,IJK-1,
α F untuk suatu α tertentu, maka tolak H , sebaliknya H
1
diterima.
3.4 Penggunaan Peubah Boneka
Kategori