2.3 Analisis Ragam ANAVA
Analisa Ragam Analysis of Variance merupakan metode yang digunakan untuk menganalisis atau menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen
sumber keragaman. Dalam analisis variansi yang paling sederhana, dipergunakan satu peubah tak bebas. Persyaratan utama yang harus dipenuhi berkaitan erat dengan skala
pengukuran. Peubah tak bebas paling tidak harus dapat diukur dalam bentuk skala interval. Sedangkan peubah bebas dapat berupa peubah nonmetrik peubah yang tidak
dapat diukur atau sebagai gabungan antara peubah nonmetrik dengan peubah metrik peubah yang dapat diukur. Peubah bebas yang nonmetrik lebih dikenal sebagai
faktor, sementara peubah metrik disebut sebagai kofaktor. Bila keseluruhan peubah bebas tersebut hanya terdiri atas kofaktor, maka
analisa yang dipakai adalah Analisa Regresi. Analisa Regresi sederhana memecahkan permasalahan yang hanya mengandung satu kofaktor saja. Bila lebih dari satu
kofaktor, pemecahan tersebut ditangani oleh Analisa Regresi Ganda Multiple Regression Analysis. Akan tetapi bila keseluruhan peubah bebas adalah faktor, maka
analisa yang digunakan pada dasarnya adalah Analisa Variansi Analysis of Variance. Jika yang menjadi perhatian utama terletak pada apakah ada kemungkinan pengaruh
satu faktor terhadap peubah tak bebas, maka pembahasan ini disebut dengan Analisa Variansi Satu Arah One - Way Classification Analysis of Variance, jika pada dua
faktor analisanya dilakukan dengan Analisa Variansi Dua Arah Two - Way Classification Analysis of Variance.
2.3.1 Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah Di dalam klasifikasi satu arah melibatkan sebuah faktor penentu. Populasi yang
berbeda ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda dan dianggap saling bebas dan berdistribusi normal dengan rataan
I
µ µ
µ =
= =
...
2 1
dan variansi
2
σ . Istilah perlakuan digunakan secara umum dengan arti berbagai klasifikasi, apakah itu kelompok, adukan, penganalisis, pupuk yang berbeda, atau berbagai daerah disuatu
negara. dan variansi
Universitas Sumatera Utara
Ingin dicari metode yang sesuai untuk menguji hipotesis: H
:
I
µ µ
µ =
= =
...
2 1
H
1
: tidak semua =
i
µ
Misalkan
ij
y
menyatakan pengamatan ke j dalam perlakuan ke i dan T
i
menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i,
i
y menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i, T
..
jumlah semua nI pengamatan, dan
..
y rataan semua nI pengamatan. Tiap pengamatan dapat ditulis dalam bentuk
ij i
ij
y ε
µ + =
, ….2.6
Tabel 2.2 k sampel acak
Perlakuan 1 2
I
n
y y
y
1 12
11
n
y y
y
2 22
21
In I
I
y y
y
2 1
Jumlah T
1
. T
2
.
T
I
. T..
Rataan .
1
y .
2
y
.
I
y ..
y Dengan
ij
ε menyatakan penyimpangan ke j pada sampel ke i dari rataan perlakuan padanannya. Suku
ij
ε menyatakan galat acak yang peranannya sama dengan suku galat dalam model regresi. Bentuk lain dari persamaan 2.6 diperoleh dengan
mengganti
i i
α µ
µ +
= , dengan kendala
∑
= I
i i
1
α = 0 dipenuhi.
Jadi dapat ditulis :
ij i
ij
y
ε α
µ
+ +
=
Universitas Sumatera Utara
Bila µ menyatakan rataan keseluruhan dari semua
i
µ ; yakni
I
I i
i
∑
=
=
1
µ µ
Dengan:
i
α disebut sebagai efek atau pengaruh perlakuan ke i. Hipotesis nol bahwa rataan populasi sama dan lawan tandingan bahwa paling
sedikit dua dari rataan ini tidak sama diganti dengan hipotesis yang setara, H
:
I
α α
α =
= =
...
2 1
= 0 H
1
: tidak semua =
i
α .
Uji yang dipakai didasarkan pada perbandingan dua taksiran bebas dari kesamaan variasi populasi
2
σ . Kedua taksiran tersebut diperoleh dengan menguraikan total variasi data, diusahakan oleh penjumlahan ganda
∑∑
= =
−
I i
n j
ij
y y
1 1
2
.. menjadi dua
komponen.
Teorema 2.1 Identitas Jumlah Kuadrat
∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
=
− +
− =
−
I i
I i
n j
i ij
i I
i n
j ij
y y
y y
n y
y
1 1
1 2
2 1
1 2
. ..
. ..
.
Bukti
. .
. ..
. 2
.. .
] .
. ..
. 2
.. .
[ .]
.. .
[ ..
1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
− +
− −
+ −
= −
+ −
− +
− =
− +
− =
−
I i
n j
I i
n j
I i
n j
i ij
i ij
i i
I i
n j
i ij
i ij
i i
I i
n j
I i
n j
i ij
i ij
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
Universitas Sumatera Utara
Suku yang ditengah sama dengan nol, karena
. .
.
1 1
1 1
= −
= −
= −
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
n y
n y
y n
y y
y
n j
ij n
j n
j n
j ij
i ij
i ij
Jumlah yang pertama tidak mengandung indeks j, jadi dapat ditulis
. ..
. ..
.
2 1
1 1
2
∑∑ ∑
= =
=
− =
−
I i
n j
I i
i i
y y
n y
y
Sehingga
∑∑ ∑∑
∑
= =
= =
=
− +
− =
−
I i
n j
i ij
I i
n j
I i
i ij
y y
y y
n y
y
1 1
2 2
1 1
1 2
. ..
. ..
Agar memudahkan penggunaannya maka suku identitas jumlah kuadrat akan ditandai dengan lambang berikut:
JKT = =
−
∑∑
= =
I i
n j
ij
y y
1 1
2
.. jumlah kuadrat total
JKA =
∑
=
−
I i
i
y y
n
1 2
.. .
= jumlah kuadrat perlakuan
JKG =
∑∑
= =
−
I i
n j
i ij
y y
1 1
2
. = jumlah kuadrat galat
Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan: JKT = JKA + JKG. Identitas jumlah kuadrat menyatakan bahwa variasi antar perlakuan dan dalam
perlakuan dijumlahkan menjadi jumlah kuadrat total. Akan tetapi, pemahaman lebih mendalam dapat diperoleh dengan menyelidiki nilai harapan dari JKA dan JKG.
Kemudian akan diturunkan taksiran variasi yang merumuskan rasio yang akan digunakan untuk menguji kesamaan dari rataan populasi.
Universitas Sumatera Utara
Perlu dibandingkan ukuran variansi antara perlakuan yang sesuai dengan variansi dalam perlakuan agar dapat ditemukan perbedaan yang berarti dalam
pengamatan akibat pengaruh perlakuan. Perhatikan nilai harapan jumlah kuadrat
perlakuan.
Teorema 2.2 EJKA = I-1
∑
=
+
I i
i
n
1 2
2
α σ
Bukti Bila JKA dipandang sebagai peubah acak yang nilai-nilainya berubah bila percobaan
diulang beberapa kali, maka dapat ditulis:
JKA =
∑
=
−
I i
i
y y
n
1 2
.. .
.
Dari model :
ij i
ij
E y
+ +
= α
µ
Diperoleh .
. i
i i
E y
+ +
= α
µ
.., ..
E y
+ =
µ karena
.
1
=
∑
= I
i i
α Jadi
JKA =
∑
=
− +
I i
i i
E E
n
1 2
.. .
α
dan EJKA =
∑ ∑
∑
= =
=
+ −
+
I i
I i
I i
i i
i i
E E
n E
nIE E
E n
n
1 1
1 2
2 2
. 2
.. .
α α
Karena E
ij
merupakan peubah bebas dengan rataan nol dan variansi
2
σ , maka diperoleh :
, .
2 2
n E
E
i
σ =
, ..
2 2
nI E
E σ
=
. =
i
E E
∑ ∑
= =
+ −
= −
+ =
I i
i I
i i
n I
I n
JKA E
sehingga
1 2
2 1
2 2
2
1 α
σ σ
σ α
Universitas Sumatera Utara
Salah satu taksiran
2
σ yang didasarkan pada I-1 derajat kebebasan diberikan oleh
Rataan Kuadrat Perlakuan
1
2 1
− =
I JKA
s
.
Bilo H benar dan tiap
i
α pada teorema 2.2 sama dengan nol, maka
2
1 σ
=
−
I JKA
E
Dan
2 1
s merupakan taksiran
2
σ yang tak bias. Akan tetapi, bila H
1
yang benar, maka
1 1
1 2
2
− +
=
−
∑
=
I n
I JKA
E
I i
i
α σ
dan
2 1
s menaksir
2
σ ditambah suatu suku tambahan mengukur variasi akibat pengaruh yang sistematik.
Taksiran
2
σ yang kedua dan bebas dari hipotesis, didasarkan pada In-1 derajat kebebasan, ialah rumus yang dikenal, yaitu
Rataan Kuadrat Galat 1
2
− =
n I
JKG s
Identitas jumlah kuadrat tidak saja menguraikan keragaman total data, tetapi juga jumlah semua derajat kebebasan. Dengan perkataan lain
nI - 1 = I – 1 + In-1. Bila H
benar, rasio
2 2
1
s s
f =
Merupakan suatu nilai peubah acak F yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan I-1 dan In-1. Karena
2 1
s menaksir lebih
2
σ bila H salah, maka diperoleh uji ekasisi
dengan daerah kritis selutuhnya terletak disebelah ujung kanan fungsi distribusi.
Universitas Sumatera Utara
Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian α bila
] 1
, 1
[ −
− n
I I
f f
α
Perhitungan masalah analisis varianasi diringkas dalam bentuk tabel seperti pada tabel 2.3.
Tabel 2.3 Analisis Variansi untuk klasifikasi satu arah
Sumber Jumlah
Derajat Rataan
f Variasi
Kuadrat Kebebasan
Kuadrat Hitungan
Perlakuan JKA
I-1
1
2 1
− =
I JKA
s
2 2
1
s s
Galat JKG
In-1 1
2
− =
n I
JKG s
Total JKT
nI-1
2.3.2 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Analisis Variansi klasifikasi dua arah merupakan pengembangan atau perluasan dari
analisa dengan satu arah. Anava klasifikasi dua arah membahas tentang keragaman dalam satu peubah tidak bebas Y yang ditimbulkan oleh keragaman dua faktor.
Seperti digambarkan dalam tabel 2.4.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.4 Klasifikasi dua arah
Perlakuan Blok
1 2 ... J Jumlah Rataan
1
11
y
12
y …
J
y
1
T
1
. .
1
y 2
21
y
22
y …
J
y
2
T
2
. .
2
y
I
1 I
y
2 I
y ...
IJ
y T
I
. .
I
y Jumlah
T.
1
T.
2
… T.
J
T.. Rataan
1
. y
2
. y …
J
y. ..
y Dengan:
= .
i
y rataan pengamatan untuk perlakuan ke i
=
j
y.
rataan pengamatan dalam blok ke j ..
y = rataan keseluruhan ij pengamatan T
i
. = jumlah pengamatan untuk perlakuan ke i T.
j
= jumlah pengamatan dalam blok ke j ..
T = jumlah keseluruhan ij pengamatan. Rata-rata rataan populasi perlakuan ke i,
i
µ , didefenisikan sebagai
J
J j
ij i
∑
=
=
1
.
µ µ
Rata-rata rataan populasi blok ke j,
j
.
µ , didefenisikan sebagai
I
I i
ij j
∑
=
=
1
. µ
µ
Universitas Sumatera Utara
Dan rata-rata rataan keseluruhan µ , didefenisikan sebagai
IJ
I i
J j
ij
∑∑
= =
=
1 1
µ µ
Untuk menentukan apakah ada bagian variasi dalam pengamatan yang diakibatkan oleh perbedaan dalam perlakuan, dilakukan uji
semua tidak
: ...
. .
:
i. 1
. 2
1
= =
= =
= µ
µ µ
µ µ
H H
I
dan untuk menentukan apakah ada variasi yang diakibatkan oleh perbedaan blok dilakukan uji
semua tidak
: ,
. ...
. .
:
.j 1
2 1
= =
= =
= µ
µ µ
µ µ
H H
J
Tiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk
ij ij
ij
y
ε µ
+ =
dengan
ij
ε mengukur penyimpangan nilai amatan
ij
y
dari rataan populasi
ij
µ .
Bentuk persamaan yang lebih disukai diperoleh dengan penggantian
j i
ij
β α
µ µ
+ +
=
Dengan
i
α menyatakan pengaruh perlakuan ke i dan
j
β menyatakan pengaruh blok
ke j. Dianggap bahwa pengaruh perlakuan dan blok aditif. Jadi dapat ditulis
ij j
i ij
y
ε β
α µ
+ +
+ =
Model ini mirip dengan klasifikasi satu arah, perbedaan utamanya adalah adanya pengaruh blok
j
β . Konsep dasarnya mirip sekali dengan klasifikasi satu arah kecuali disini pengaruh tambahan akibat blok harus diperhitungkan dalam analisis karena
sekarang variasi dikendalikan secara sistematis dalam dua arah.
Universitas Sumatera Utara
Bila sekarang dikenakan pembatasan bahwa
∑
=
=
I i
i 1
α dan
1
=
∑
= J
j j
β
Maka,
i J
j j
i i
J
α µ
β α
µ µ
+ =
+ +
=
∑
=1
.
dan
j I
i j
i j
I β
µ β
α µ
µ +
= +
+ =
∑
=1
.
Hipotesis nol bahwa i rataan perlakuan
i
µ . sama, dan karena itu sama dengan
µ dengan menguji hipotesis
semua tidak
: ,
... :
i 2
1
= =
= =
= α
α α
α
i I
H H
Begitu juga hipotesis nol bahwa j rataan blok
j
.
µ sama, setara dengan menguji hipotesis
semua tidak
: ...
:
j 1
2 1
= =
= =
= β
β β
β H
H
J
Tiap uji pada perlakuan akan didasarkan pada perbandingan taksiran-taksiran bebas untuk variasi populasi bersama
2
σ . Taksiran ini diperoleh dengan memisahkan jumlah kuadrat total data menjadi tiga bagian dengan menggunakan identitas berikut.
Teorema 2.3 Identitas Jumlah Kuadrat
∑∑ ∑
∑
= =
= =
− +
− =
−
I i
J j
I i
J j
j i
ij
y y
I y
y J
y y
1 1
1 1
2 2
2
.. .
.. .
..
∑∑
= =
+ −
− +
I i
J j
j i
ij
y y
y y
1 1
2
.. .
.
Universitas Sumatera Utara
Bukti
∑∑ ∑∑
= =
= =
+ −
− +
− +
− =
−
I i
J j
I i
j i
ij j
i J
j ij
y y
y y
y y
y y
y y
1 1
1 2
1 2
..] .
. ..
. ..
. [
..
∑ ∑∑
∑∑ ∑
= =
= =
= =
+ −
− +
− +
− =
I i
I i
J j
I i
J j
j i
ij j
J j
i
y y
y y
y y
y y
1 1
1 1
1 2
2 1
2
.. .
. ..
. ..
.
∑∑
= =
− −
+
I i
J j
j i
y y
y y
1 1
.. .
.. .
2
∑∑
= =
+ −
− −
+
I i
J j
j i
ij i
y y
y y
y y
1 1
.. .
. ..
. 2
∑∑
= =
+ −
− −
+
I i
J j
j i
ij j
y y
y y
y y
1 1
.. .
. ..
. 2
. Suku perkalian silang semuanya sama dengan nol. Jadi
∑∑ ∑
∑
= =
= =
− +
− =
−
I i
J j
I i
J j
j i
ij
y y
I y
y J
y y
1 1
1 1
2 2
2
.. .
.. .
..
∑∑
= =
+ −
− +
I i
J j
j i
ij
y y
y y
1 1
2
.. .
. Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan dengan lambang persamaan
JKT = JKA + JKB + JKG Dengan :
JKT =
∑∑
= =
−
I i
J j
ij
y y
1 1
2
.. = jumlah kuadrat total
JKA =
∑
=
−
I i
i
y y
J
1 2
.. .
= jumlah kuadrat perlakuan
JKB =
∑
=
−
J j
j
y y
I
1 2
.. .
= jumlah kuadrat blok
JKG =
∑∑
= =
+ −
−
I i
J j
j i
ij
y y
y y
1 1
2
.. .
. = jumlah kuadrat galat
Universitas Sumatera Utara
Dengan mengikuti cara kerja seperti diuraikan pada teorema 2.2 yaitu bila jumlah kuadrat tersebut ditafsirkan sebagai fungsi peubah acak bebas, maka dapat
IJ
y y
y ,...,
,
12 11
ditunjukkan bahwa nilai harapan jumlah kuadrat perlakuan, blok, dan galat adalah,
EJKA =
∑
=
+ −
I i
i
J I
1 2
2
1 α
σ
EJKB = J-1
∑
=
+
J j
j
I
1 2
2
β σ
EJKG = I-1J-1 .
2
σ Salah satu taksiran
2
σ didasarkan pada I-1 derajat kebebasan, adalah
1
2 1
− =
I JKA
s
Bila pengaruh perlakuan ...
2 1
= =
= =
I
α α
α , maka
2 1
s merupakan taksiran tak bias dari
2
σ . Akan tetapi, bila pengaruh perlakuan tidak semuanya nol, maka
1 1
1 2
2
− +
=
−
∑
=
I J
I JKA
E
I i
i
α σ
dan
2 1
s akan secara berlebihan menaksir
2
σ . Taksiran kedua
2
σ , didasarkan atas J-1 derajat kebebasan, diberikan oleh
1
2 2
− =
J JKB
s
.
Taksiran
2 2
s merupakan taksiran tak bias dari
2
σ bila pengaruh blok
. ...
2 1
= =
= =
J
β β
β Bila pengaruh blok tidak semuanya nol, maka:
1 1
1 2
2
− +
=
−
∑
=
J I
J JKB
E
J j
j
β σ
Universitas Sumatera Utara
Dan
2 2
s akan secara berlebihan menaksir
2
σ . Taksiran ketiga dari
2
σ , didasarkan pada I-1J-1 derajat kebebasan dan bebas dari
2
s
, diberikan oleh
1 1
2
− −
= J
I JKG
s ,
Yang tidak bias, terlepas apakah kedua hipotesis nol benar atau salah. Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh perlakuan semuanya sama
dengan nol, dengan menghitung rasio:
2 2
1 1
s s
f = ,
Yang merupakan nilai peubah acak F
1
yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan I-1 dan I-1J-1 bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian
α bila ].
1 1
, 1
[
1
− −
− J
I I
f f
α
Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh blok semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio:
2 2
2 2
s s
f = ,
Yang merupakan nilai peubah acak F
2
yang berdistibusi F dengan derajat kebebasan J-1 dan I-1J-1 bila hipotesis nol benar. Perhitungan Anava untuk klasifikasi dua
arah disajikan dalam tabel 2.5.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rataan Kuadrat
F Hitunga
n Perlakuan
Blok
Galat JKA
JKB
JKG I-1
J-1
I-1J-1
1
2 1
− =
I JKA
s
1
2 2
− =
J JKB
s
1 1
2
− −
= J
I JKG
s
2 2
1 1
s s
f =
2 2
2 2
s s
f =
Jumlah JKT
IJ-1
2.3.3 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi Klasifikasi dua arah dengan interaksi mencakup uji hipotesa tentang pengaruh baris,
kolom dan interaksi antara baris dan kolom. Untuk menentukan rumus klasifikasi dua arah dengan pengamatan yang berulang dalam rancangan acak lengkap, pandang K
sebagai replikasi pada tiap kombinasi perlakuan faktor A diamati pada I taraf dan faktor B pada J taraf. Pengamatan dapat disajikan dalam suatu matriks yang barisnya
menyatakan taraf faktor A sedangkan kolomnya menyatakan taraf faktor B. Tiap kombinasi perlakuan menentukan suatu sel dalam matriks. Jadi terdapat IJ sel,
masing-masing berisi K pengamatan. Seluruh IJK pengamatan diperlihatkan pada tabel 2.6.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.6 Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi
Faktor A baris
Faktor B kolom 1 2 … J
Jumlah Rataan
1
2
I
111
y
121
y …
1 1J
y
112
y
122
y …
2 1J
y
K
y
11 K
y
12
…
JK
y
1 211
y
221
y …
1 2 J
y
212
y
222
y …
2 2 J
y
K
y
21 K
y
22
…
JK
y
2
11 I
y
21 I
y …
1 IJ
y
12 I
y
22 I
y …
2 IJ
y
K I
y
1 K
I
y
2
…
IJK
y
.. 1
y
.. 2
y
.. I
y
.. 1
y
.. 2
y
.. I
y
Jumlah
. 1
. y
. .
2
y …
. .
J
y y…
Rataan
1
. y .
2
. y . … .
.
J
y y …
Pengamatan pada sel ij membentuk sampel acak berukuran n dari suatu populasi yang dianggap berdistribusi normal dengan rataan
ij
µ dan variansi
2
σ . Semua populasi yang banyaknya IJ dianggap mempunyai variansi yang sama. Tiap
pengamatan dalam tabel 2.6 dapat ditulis dalam bentuk
ijk ij
ijk
y
ε µ
+ =
,
Universitas Sumatera Utara
Dengan
ijk
ε mengukur penyimpangan pengamatan nilai
ijk
y pada sel ke ij dari rataan populasi
ij
µ . Bila
ij
γ menyatakan pengaruh interaksi antara faktor A taraf ke i dan faktor B taraf ke j,
i
α pengaruh faktor A,
j
β
pengaruh faktor B dan µ rataan
keseluruhan, maka dapat ditulis
ij j
i ij
γ β
α µ
µ
+ +
+ =
sehingga
ijk ij
j i
ijk
y ε
γ β
α µ
+ +
+ +
=
Yang akan dikenakan pembatasan
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
= =
= =
J j
ij I
i ij
J j
j I
i i
1 1
1 1
, ,
, γ
γ β
α
Ketiga hipotesis yang akan diuji adalah:
semua tidak
: ...
:
i 1
2 1
= =
= =
= α
α α
α H
H
I
semua tidak
: ...
:
j 1
2 1
= =
= =
= β
β β
β H
H
J
semua tidak
: ...
:
1 12
11
= =
= =
=
ij IJ
H H
γ γ
γ γ
Tiap uji ini akan didasarkan pada perbandingan taksiran
2
σ yang bebas diperoleh dengan menguraikan jumlah kuadrat data menjadi empat bagian dengan
menggunakan kesamaan identitas berikut.
Teorema 2.4 Identitas Jumlah Kuadrat
∑∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
=
− +
− =
−
I i
J j
I i
J j
j i
ijk K
k
y y
IK y
y JK
y y
1 1
1 1
2 2
2 1
... .
. ...
.. ...
. .
... .
. ..
.
1 1
1 2
1 1
2
∑∑∑ ∑∑
= =
= =
=
− +
+ −
− +
I i
J j
K k
ij ijk
I i
J j
j i
ij
y y
y y
y y
K
Universitas Sumatera Utara
Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan dengan lambang persamaan JKT = JKA + JKB +JKAB + JKG
Derajat kebebasannya menurut kesamaan IJK - 1 = I-1 + J-1 + I-1J-1 + IJK-1.
Bila tiap jumlah kuadrat pada sebelah kanan kesamaan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat kebebasannya, maka diperoleh keempat statistik yaitu
, 1
2 1
− =
I JKA
s ,
1
2 2
− =
J JKB
s
, 1
1
2 3
− −
= J
I AB
JK s
1
2
− =
K IJ
JKG s
Semua taksiran variansi ini adalah taksiran
2
σ yang bebas dengan syarat bahwa tidak ada pengaruh
ij
dan ,
γ β
α
j i
. Bila jumlah kuadrat dipandang sebagai fungsi dari peubah acak bebas Y
111
, Y
112
, …, Y
IJK
maka
1 1
1 2
2 2
1
− +
=
−
=
∑
=
I JK
I JKA
E S
E
I i
i
α σ
1 1
1 2
2 2
2
− +
=
−
=
∑
=
J IK
J JKB
E S
E
J i
j
β σ
1 1
1 1
1 2
1 2
2 3
− −
+ =
− −
=
∑∑
= =
J I
K J
I AB
JK E
S E
I i
ij J
j
γ σ
2 2
1 σ
=
−
= K
IJ JKG
E S
E Dari rumus dengan mudah dapat disimpulkan bahwa keempat taksiran
2
σ tidak bias bila H
hipotesis nol benar.
Universitas Sumatera Utara
Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh perlakuan semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio:
2 2
1 1
s s
f = ,
Yang merupakan nilai peubah acak F
1
yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan I-1 dan IJK-1 bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian
α bila ].
1 ,
1 [
1
− −
K IJ
I f
f
α
Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh blok semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio:
2 2
2 2
s s
f =
, Yang merupakan nilai peubah acak F
2
yang berdistibusi F dengan derajat kebebasan J-1 dan IJK-1 bila hipotesis nol benar. Hipotesis ini ditolak pada taraf keberartian
α bila ].
1 ,
1 [
2
− −
K IJ
J f
f
α
Untuk menguji hipotesis H bahwa pengaruh
interaksi semuanya nol, maka:
2 2
3 3
s s
f =
yang merupakan nilai peubah acak F
3
yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan I-1 J-1 dan IJK-1 bila H
benar. Adanya
interaksi bila
]. 1
, 1
1 [
3
− −
− K
IJ J
I f
f
α
Perhitungan mengenai masalah Anava untuk klasifikasi dua arah dengan interaksi disajikan dalam tabel 2.7.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.7 Analisis Variansi untuk klasifikasi dua arah dengan interaksi
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rataan Kuadrat f hitung
Pengaruh utama
A baris
B kolom
Interaksi AB
Sisa JKA
JKB
JKAB
JKG I-1
J-1
I-1J-1
IJK-1
1
2 1
− =
I JKA
S
1
2 2
− =
J JKB
S
1 1
2 3
− −
= J
I AB
JK S
1
2
− =
K IJ
JKG S
2 2
1 1
S S
f =
2 2
2 2
S S
f =
2 2
3 3
S S
f =
Total JKT
IJK-1 Jumlah Kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut:
Tabel 2.8
A B
1 2 … J Jumlah
1 2
I
. 11
y
. 12
y …
. 1 j
y
. 21
y
. 22
y …
. 2 j
y
. 1
I
y
. 1
I
y …
IJ
y ..
1
y ..
2
y
..
I
y Jumlah
. .
1
y .
.
2
y …
. .
J
y y…
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PEMBAHASAN DAN HASIL
Kategori