Pendekatan Multiple Regresi Pada Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah

(1)

PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA ANALISIS RAGAM

KLASIFIKASI DUA ARAH

SKRIPSI

MARISA INDA PUTRI

080823023

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

(2)

PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA ANALISIS RAGAM

KLASIFIKASI DUA ARAH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mancapai gelar Sarjana Sains

MARISA INDA PUTRI

080823023

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

(3)

PERSETUJUAN

Judul : PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA

ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI DUA ARAH

Kategori : SKRIPSI

Nama : MARISA INDA PUTRI

Nomor Induk Mahasiswa : 080823023

Program Stusi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Disetujui

Medan, Juni 2010 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Marwan Harahap, M.Eng Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP 19461225197403001 NIP 195003211980303001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP 196401091988031004

(4)

PERNYATAAN

PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI DUA ARAH

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa Skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2010

MARISA INDA PUTRI 080823023

(5)

PENGHARGAAN

Bismillahhirrahmanirrahhim, Segala Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas berkat dan limpah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi ini tepat pada waktu yang telah ditentukan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan pada penulis dalam menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah diberikan agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Serta Bapak Drs. Djakaria Sebayang dan Bapak Drs. H.Haluddin Panjaitan yang telah bersedia manjadi dosen penguji skripsi. Terima Kasih atas saran dan masukannya.

Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas sumatera Utara, semua dosen Departemen Matematika FMIPA USU, Pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada ayahanda dan ibunda yang saya sayangi dan ketiga adikku tercinta yang telah memberikan semangat, doa dan motivasi tiada henti serta semua keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT akan Membalasnya.

(6)

ABSTRAK

Prosedur Regresi Berganda untuk memperoleh suatu jawaban b=(XTX)−1 (XTY) bagi persamaan normal XTXb = (XTY) maka disyaratkan bahwa matriks XTX bersifat tidak singular. Dalam praktek, ini berarti bahwa persamaan normalnya harus terdiri atas persamaan-persamaan yang bebas satu sama lain yang banyaknya sama dengan banyaknya parameter yang harus diduga. Akan tetapi kalau datanya berasal dari percobaan yang terancang, perlu diperiksa bahwa semua persamaan itu bebas, kalau ternyata tidak demikian diambil langkah-langkah yang diperlukan untuk memperoleh nilai dugaan.

Pendekatan Regresi dapat digunakan untuk memecahkan masalah Analisis Ragam, baik ANOVA klasifikasi satu arah atupun klasifikasi dua arah. Dalam ANOVA, model adalah faktor terpenting. Disini akan dipelajari ANOVA klasifikasi dua arah dengan pendekatan regresi untuk masalah model pengaruh tetap. Permasalahan ini dapat dikerjakan jika modelnya diidentifikasikan secara benar dan kalau langkah-langkah pencegahan telah diambil agar diperoleh persamaan normal yang bebas. Suatu ciri model analisis ragam adalah bahwa model terparameterisasikan secara berlebih sehingga harus dibuat kendala-kendala pada parameter-parameternya.

Dalam model Regresi pada ANOVA, variabel bebas X diberi 0 atau 1 atau dengan membuat peubah boneka pada baris dan kolom.

(7)

MULTIPLE REGRESSION APPROACH TO TWO WAYS CLASSIFICATION ANALYSIS OF VARIANCE

ABSTRACT

The procedurs for multiple regression to obtained a solution 1 )

( −

= X X

b T (XTY) , of the normal equation XTXb = (XTY) , it is necessary that XTX be a nonsingular matrix. All this means in practise is that the normal equations must involve as many independent equation as there are parameters to be estimated. If data are obtained from a designed experiment, however, some case is needed to check that all the normal equations are independent, or if they are not, take steps to obtained stimated just the same.

Regression approach can be used for solving Analysis of Variance problems, whether of one way or two ways ANOVA. In ANOVA, model is an important factor. This study focus on two ways classification ANOVA with regression approach for solving the fixed effect model. It can be done if the model is identified truly and if the preventive procedure have been done so an independent normal equation has been. A characteristic of ANOVA is that the analysis model is overparameterized, so have to made constraint for parameters. In the Regression model approach for ANOVA problem, the independent variable X at categorical form 0 and 1 or have to make dummy variables at row and colomn factors.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstrack vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Kontribusi Penelitian 3

1.5 Tinjauan Pustaka 3

1.6 Metodologi Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori 6

2.1 Analisis Regresi 6

2.1.1 Regresi Linear Sederhana 6

2.1.2 Metode Kuadrat Terkecil 8

2.1.3 Uji Kelinearan dan Keberartian Regresi 9 2.1.4 Pendekatan melalui Analisis Variansi 11 2.2 Pengertian Dasar Penyimpangan dan Ragam 13

2.3 Analisis Ragam (ANAVA) 15

2.3.1 Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah 15 2.3.2 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah 21 2.3.3 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi 28

Bab 3 Pembahasan 34

3.1 Multiple Regresi 34

3.1.1 Metode Kuadrat Terkecil dengan Matriks 37 3.1.2 Analisis Ragam dalam Regresi Linear Berganda 38 3.2 Pendekatan Multiple Regresi pada Analisis Ragam Klasifikasi 41

Dua Arah

3.3 Pendekatan Multiple Regresi pada Analisis Ragam Klasifikasi 45 Dua Arah dengan Interaksi

3.4 Penggunaan Peubah Boneka 47

(9)

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 56

4.1 Kesimpulan 56

4.2 Saran 56

(10)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1 Tabel Analisis Variansi Regresi Sederhana 12

Tabel 2.2 k Sampel Acak 16

Tabel 2.3 Analisis Variansi untuk Klasifikasi Satu Arah 21

Tabel 2.4 Klasifikasi Dua Arah 22

Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah 28 Tabel 2.6 Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi 29 Tabel 2.7 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi 33 Tabel 2.8 Jumlah Kuadrat ANAVA Dua Arah dengan Interaksi 33 Tabel 3.1 Tabel ANAVA untuk Sumber Variasi Y 40 Tabel 3.2 Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah tanpa Interaksi 44 Tabel 3.3 Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi 46 Tabel 3.4 Data 24 Amatan dari Katalisator dan Pereaksi 49

Tabel 3.5 Data Contoh 49

Tabel 3.6 Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah 51

Tabel 3.7 Data Peubah Boneka X1, X2, X3 52

Tabel 3.8 Data Peubah Boneka X4, X5 52

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Diagram Pencar 7

Gambar 2.2 Menguraikan Variasi menurut Unsurnya 11 Gambar 2.3 Contoh Pengamatan dari Individu pertama sampai ke N 13

(12)

ABSTRAK

Dalam model Regresi pada ANOVA, variabel bebas X diberi 0 atau 1 atau dengan membuat peubah boneka pada baris dan kolom.

(13)

MULTIPLE REGRESSION APPROACH TO TWO WAYS CLASSIFICATION ANALYSIS OF VARIANCE

ABSTRACT

The procedurs for multiple regression to obtained a solution 1 )

( −

= X X

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sampai saat ini, model Regresi dan model Analisis Variansi telah dipandang sebagai dua hal yang tidak berkaitan. Meskipun ini merupakan pendekatan yang umum dalam menerangkan kedua cara ini pada taraf permulaan, model Analisis Variansi dapat dipandang sebagai hal khusus model Regresi Linear.

Dalam penelitian menggunakan eksperimen, analisisnya dilakukan menggunakan Analisis Variansi (ANAVA) berdasarkan model dan desain eksperimen yang cocok untuk permasalahannya. Desain dan analisis eksperimen yang berpedoman pada pengetahuan dasar inilah yang akan dibicarakan hubungannya dengan Analisis Regresi. Analisis Regresi pada dasarnya adalah studi mengenai ketergantungan variabel tak bebas dengan satu atau lebih variabel bebas, dengan tujuan untuk mengestimasi dan/atau memprediksi rata-rata populasi atau nilai rata-rata variabel tak bebas berdasarkan nilai variabel bebas. Hasil Analisis Regresi adalah berupa koefisien (parameter) untuk masing-masing variabel bebas. Prosedur Regresi berganda untuk memperoleh parameternya, 1

)

( −

= X X

b T (XTY) yaitu, disyaratkan bahwa matriks (XTX) bersifat tidak singular, ini berarti bahwa persamaan normalnya harus terdiri atas persamaan-persamaan yang bebas satu sama lain yang banyaknya sama dengan banyaknya parameter yang harus diduga. Akan tetapi, kalau datanya dari suatu percobaan yang terancang, perlu diperiksa bahwa semua persamaan itu bebas, kalau ternyata tidak demikian, maka harus diambil langkah-langkah yang diperlukan untuk memperoleh nilai dugaan.

(15)

Metode yang banyak digunakan untuk menganalisis data dari suatu percobaan yang terancang adalah teknik analisis ragam. Seringkali teknik ini dipandang sama sekali berbeda dari regresi secara umum, belum banyak peneliti yang menyadari bahwa setiap masalah analisis ragam dengan pengaruh tetap dapat ditangani melalui teknik regresi secara umum kalau modelnya diidentifikasi secara benar dan langkah-langkah pencegahan telah diambil agar diperoleh persamaan normal yang bebas. Suatu ciri analisis ragam adalah model ini terparameterisasikan secara berlebih, artinya model ini mengandung lebih banyak parameter dari pada yang dibutuhkan untuk merepresentasikan pengaruh-pengaruh yang diinginkan. Parameterisasi berlebihan ini biasanya dikompensasi dengan membuat kendala terhadap parameter-peremeternya. Kendala pada percobaan untuk klasifikasi 2 arah tanpa interaksi

diambil

∑ ∑

= = = =

j j i

1 1

0 β

α dan dengan interaksi

∑ ∑

∑

= = = = = = = =

j ij I

i ij j

1 1 1 1

0 γ γ

α .

Seringkali tanpa disadari bahwa semua situasi analisis ragam mempunyai model, dan bahwa model itulah yang menjadi dasar bagi pembuatan tabel analisis ragam.

Pendekatan regresi untuk suatu rancangan percobaan, maka peubah bebas (X) diberi nilai satu (1) dan nol (0), atau dengan membuat peubah boneka yang bersifat pengelompokan.

1.2 Perumusan Masalah

Dalam aplikasinya model regresi dan model analisis variansi digunakan untuk menangani dua masalah yang berlainan. Akan tetapi, setiap model matematika yang parameternya linear seperti model analisis variansi, dapat dipandang sebagai hal khusus model regresi linear. Yang menjadi masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana teknik analisis variansi klasifikasi dua arah dapat dikerjakan melalui pendekatan regresi.

(16)

1.3 Tujuan Penelitian

Menguraikan cara untuk menyelesaikan persoalan analisis ragam klasifikasi dua arah dengan pendekatan multiple regresi dengan penggunaan peubah bebas (X) yang diberi nilai satu (1) dan nol (0) atau dengan membuat peubah boneka yang bersifat pengelompokan.

1.4 Kontribusi Penelitian

a. Dapat diketahui bahwa Analisis Regresi merupakan model linear yang sangat umum dan sampai batas tertentu dapat digunakan menangani permasalahan dalam Analisis Variansi.

b. Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika yang berhubungan dengan Analisis Variansi (ANOVA) dengan pendekatan regresi. c. Mengkaji lebih dalam lagi hubungan antara Analisis Variansi dan Analisis

Regresi.

1.5 Tinjauan Pustaka

Multiple regresi banyak dibahas pada ([2], [4], [6], [8], [11]dan [12]. Model regresi yang menggunakan lebih dari satu variabel bebas disebut model regresi berganda. Pada umumnya, hubungan antara k variabel yaitu antara Y dengan X1,X2,..., Xk dengan

k variabel bebas suatu sampel dengan n observasi adalah

i ki k i

i X X X

Y =β₀ +β₁ ₁ +β₂ ₂ +...+β +ε Dengan :

Xi = variabel independen ke-i

Yi = variabel dependen ke-i k

β β β

β0, 1, 2,..., = parameter model yang akan ditaksir

(17)

Setelah menaksir persamaan regresi, pada referensi [6] yaitu masalah berikutnya menilai baik buruknya kecocokan model regresi yang digunakan dengan data. Perhatikan kesamaan berikut :

(y_i −y)=(yˆ_i −y)+(y_i −yˆ_i) Variasi regresi sisa

Bila ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan maka diperoleh

∑

₌n − =

∑

₌ − + −

i i i

i y y y y y

1 1

2 2

)} ˆ ( ) ˆ {( )

(

∑

= − + = − + = − −

i i i

i i

i y y y y y y y

1 1 1

2 2

). ˆ )( ˆ ( 2 ) ˆ ( )

ˆ (

Perkalian yang terakhir penulisan i = 1 dan n pada∑ dihilangkan sehingga menjadi

∑

(yˆi −y)(yi −yˆi)=

∑

yˆi(yi −yˆi)−y

∑

(yi −yˆi).

Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol karena

∑

(yi −yˆi)=

∑

(yi −a−bxi)=0

Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena )

ˆ )( (

) ˆ ( ˆ

∑

yi yi −yi =

∑

a+bxi yi −yi

= a

∑

(y_i −yˆ_i)+b

∑

(y_i −yˆ_i)x_i = 0 + b

∑

(y_i −a−bx_i)x_i = 0

Jadi persamaan dapat ditulis kembali sebagai berikut:

∑

₌ − = ₌ − − ₌n −

i i n

i y y y y y

1 1

2 1

) ˆ ( )

ˆ ( )

(

JKT JKR JKS

Persamaan ini adalah persamaan dasar dalam analisis regresi dan analisis variansi. Jadi dengan demikian dapat pula ditulis sebagai :

(18)

Dari referensi [6] dan [12] secara matematik model klasifikasi dua arah tanpa interaksi dapat ditulis sebagai berikut:

ij j i ij

y =µ+α +β +ε ,

dengan:

i=1,2,...,I, j=1,2,...J,

Bila kedua faktor ada interaksi, maka banyaknya pengamatan per sel haruslah lebih besar dari satu agar interaksi dan sisa dapat dipisah. Dengan adanya interaksi maka persamaan menjadi

yijk = µ+αi +βj +γij +εijk,

dengan:

i = 1,2,…,I; j= 1,2,…,J; k=1,2,...,K.

K = adalah banyaknya dalam pengamatan dalam tiap sel.

1.6 Metode Penelitian

1. Membentuk model Analisa Variansi klasifikasi dua arah, yaitu Model Analisis Variansi dapat ditulis dalam bentuk umum model Analisis Regresi dengan Xi (i =

1,2,... I) mendapat nilai 1 dan 0.

2. Menaksir parameter pada analisis variansi klasifikasi dua arah, yaitu parameterisasi yang berlebihan dalam Analisis Variansi dikompensasi dengan membuat kendala terhadap parameter-parameternya.

3. Membentuk tabel Analisis Variansi yaitu, Model Analisis Variansi adalah menjadi dasar pembuatan tabel Analisis Variansi klasifikasi dua arah.

4. Pendekatan Regresi terhadap Analisis Variansi klasifikasi dua arah, yaitu membentuk persamaan regresi berganda dengan penggunaan peubah boneka (dummy variables) atau peubah bebas.

(19)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisis Regresi

Salah satu tujuan analisis data adalah untuk memperkirakan/memperhitungkan besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya. Setiap kebijakan (policy), baik dari pemerintah maupun swasta, selalu dimaksudkan untuk mengadakan perubahan (change). Sebagai contoh, Pemerintah menambah jumlah pupuk agar produksi padi meningkat, Pemerintah menaikkan gaji pegawai negeri agar prestasi kerja mereka meningkat dan lain sebagainya. Untuk keperluan evaluasi/penilaian suatu kebijaksanaan mungkin ingin diketahui besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya. Kejadian-kejadian tersebut untuk keperluan analisis bisa dinyatakan didalam perubahan nilai variabel. Untuk analisis dua kejadian (events) digunakan dua variabel X dan Y. Teknik Statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel disebut Analisis Regresi.

2.1.1 Regresi Linear Sederhana

Regresi linear sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variabel dependen tunggal dengan variabel independen tunggal. Hubungan antara variabel dependen dan variabel independen ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai berikut:

i i a bX

(20)

Dengan:

Yi = variabel terikat ke-i Xi = variabel bebas ke-i

a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) b = kemiringan (slope) kurva linear

Dalam membuat keputusan, selalu ada resiko yang disebabkan oleh adanya kesalahan (error). Risiko hanya bisa diperkecil dengan memperkecil kesalahan (minimized error→minimized risk). Dengan memperhitungkan kesalahan pengganggu

ε, maka bentuk persamaan linear menjadi sebagai berikut: Yi = a+bXi +ε

Dengan :

a dan b adalah konstanta yang diestimasi

ε adalah kesalahan pengganggu (disturbance’s error)

εi = Yi - Yˆidisebut juga sisa yang terkandung galat yang sifatnya acak dan

penyimpangan model dari keadaan sesungguhnya.

Dalam praktek, untuk melihat hubungan antara X dan Y, dikumpulkan pasangan data (X,Y) sebagai suatu observasi, misalnya sebagai berikut:

n i X

X X

X₁, ₂,..., ,...,

n i Y

Y Y

Y1, 2,..., ,....,

digambar pada sistem koordinat tegak lurus hasilnya disebut diagram titik atau diagram pencar. Dapat dilihat pada gambar 2.1.

(21)

Garis lurus yang terdapat pada diagram pencar pada gambar 2.1 yang memperlihatkan adanya hubungan antara kedua variabel disebut garis regresi atau garis perkiraan, dan persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi yang merupakan suatu variabel matematika yang mendefenisikan hubungan antara dua variabel.

2.1.2 Metode Kuadrat Terkecil

Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki deviasi atau kesalahan terkecil, maka digunakan metode kuadrat terkecil. Metode kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung β₀ dan β₁, sedemikian sehingga kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa metematika, dinyatakan sebagai berikut:

Yi = β0 +β1Xi +ei, i = 1, 2, …, n

ei = Yi −(β +0 β1Xi)= kesalahan pengganggu

2 1 0 2

)] (

[ _i _i

i Y X

e =∑ − β +β

∑ = jumlah kesalahan kuadrat

Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung β₀ dan β₁ sedemikian rupa sehingga

∑

e_i2 = terkecil (minimum). Caranya ialah dengan membuat turunan parsial (partial differential) dari

∑

ei2 mula-mula terhadap β0 kemudian terhadap β₁ kemudian menyamakannya dengan nol.

∑

₌ ₋ ₊ ₋ ₌ _⇒ ₌ ₊

∂ ∂

i i

X n

Y X

Y e

1 0 1

0 0

0 ) 1 )]( (

[

2 β β β β

β .... (2.1)

∑

₌ ₋ ₊ ₋ ₌ _⇒ ₌ ₊

∂

∂ 2

1 0

1 0 1

0 ) )]( (

[

2 _i _i _i _i _i _i _i

X X

Y X X

X Y

β β

β …. (2.2)

Persamaan (2.1) dibagi dengan

n X n

n n

n⇒

∑

i = β0 +β₁

∑

i ⇒Y =β0 +β1X

(22)

Masukkan β₀ ke persamaan (2.2)

∑

+     − = ⇒ + − = 2 1 1 2 1 1 )

( _i _i _i _i i i _i _i

i X X

n X n Y Y X X X X Y Y

X β β β β

(

_∑

)

_∑

∑ ∑

∑

= − + 2

1 2 1 i i i i i i X n X n Y X Y

X β β

(

)

n Y X Y X n X

X_i i

∑

_i _i

∑ ∑

i i

∑

= −         − 1 2 2 β Sehingga

(

)

∑

_∑

∑ ∑

(

_∑

)

∑

∑ ∑

− − = − −

= ₂ 2 ₂ 2

1 / / i i i i i i i i i i i i X X n Y X Y X n n X X n Y X Y X β

2.1.3 Uji Kelinearan dan Keberartian Regresi

Setelah menaksir persamaan regresi, masalah berikutnya adalah menilai baik buruknya model regresi dengan data. Jadi diperlukan ukuran tentang kecocokan data. Analisis regresi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui derajat hubungan linear antara satu variabel dengan variabel lain. Umumnya analisis korelasi digunakan dalam hubungannya dengan analisis regresi untuk mengukur ketepatan garis regresi dalam menjelaskan (explaining) variasi nilai variabel dependen.

Ukuran statistik yang dapat menggambarkan hubungan antara suatu variabel dengan variabel lain adalah koefisien determinasi (R2) dan koefisien korelasi (r). Koefisien determinasi adalah salah satu nilai statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui apakah ada hubungan pengaruh antara dua variabel. Perhatikan kesamaan berikut:

(y_i −y)=(yˆ_i −y)+(y_i−yˆ_i) Variasi regresi sisa

Bila ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan maka diperoleh

∑

₌n − =

∑

₌ − + −

i n i i i i

i y y y y y

y 1 1 2 2 )} ˆ ( ) ˆ {( ) ( =

∑

= − + = − + = − − n i n i n i i i i i i

i y y y y y y y

1 1 1

2 2 ). ˆ )( ˆ ( 2 ) ˆ ( ) ˆ

(23)

Perkalian yang terakhir pada persamaan (2.3) penulisan i = 1 dan n pada∑ dihilangkan sehingga menjadi

∑

(yˆ_i −y)(y_i −yˆ_i)=

∑

yˆ_i(y_i −yˆ_i)−y

∑

(y_i −yˆ_i). Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol karena menurut (2.1)

∑

(yi −yˆi)=

∑

(yi −a−bxi)=0

Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena menurut (2.2) )

ˆ )( (

) ˆ ( ˆ

∑

yi yi −yi =

∑

a+bxi yi −yi

= a

∑

(y_i −yˆ_i)+b

∑

(y_i− yˆ_i)x_i = 0 + b

∑

(yi −a−bxi)xi

= 0,

Jadi persamaan dapat ditulis kembali sebagai berikut

∑

₌ − = ₌ − − ₌n −

i i n

i y y y y y

1 1

2 1

) ˆ ( )

ˆ ( )

( …. (2.4)

JKT JKR JKS

Persamaan (2.4) adalah persamaan dasar dalam Analisis Regresi dan Analisis Variansi. Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total (JKT) atau jumlah variasi total dan menyatakan jumlah penyimpangan y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas kanan disebut jumlah kuadrat regresi (JKR) dan ini adalah variasi respons disekitar nilai rata-ratanya ( )y . Bagian kedua ruas kanan disebut jumlah kuadrat galat (sisa) dan disingkat JKS. Bagian ini mengukur sisa dari variasi total (JKT) yang tidak dapat diterangkan oleh x, atau bagian yang sifatnya acak. Jadi dengan demikian dapat pula ditulis sebagai berikut:

JKT = JKR + JKS

Variasi Total = Variasi karena Regresi + Variasi karena Sisa.

Sifat penjumlahan (aditif) seperti ini banyak dijumpai dalam statistika, dan ini tidak hanya berlaku untuk bentuk kuadrat tapi juga untuk derajat kebebasannya. Jika pengaruh X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar dibandingkan dengan JKS. Bila JKR besar maka JKS kecil dan sebaliknya, sedangkan JKT tetap. Dengan demikian JKT dapat dijadikan pembanding untuk menentukan besar kecilnya JKR atau JKS.

(24)

Dari definisi

R2 = =

− −

∑

2 2 ) (

) ˆ (

y y

i i

JKS JKR

Dengan:

R2 disebut koefisien korelasi dua arah atau koefisien penentu (determinasi). Karena 0≤JKR≤JKT, maka tentunya 0≤R2 ≤1. Jadi R2 dapat mengukur kecocokan data dengan model makin dekat R2 dengan 1 makin baik kecocokan data dengan model dan sebaliknya, makin dekat R2 dengan 0 makin jelek kecocokan tersebut. y

y_i −y y_i −yˆ_i yˆ =a+bx

y yˆ_i − y

Gambar 2.2 Menguraikan variasi menurut unsurnya

2.1.4 Pendekatan Melalui Analisis Variansi

Dari persamaan (2.4) dapat dilihat penguraian jumlah kuadrat total atas kedua komponennya, jumlah kuadrat regresi dan jumlah kuadrat galat. Tujuan utama penguraian bukanlah untuk menghitung R2, tetapi merupakan langkah awal yang sangat penting dalam menelaah komponen jumlah kuadrat total. Untuk menentukan apakah pengaruh suatu peubah bebas X besar atau kecil terhadap respon Y diperlukan pembanding yang baku, yang tidak dipengaruhi baik buruknya model yang digunakan. Pembanding baku tersebut adalah penaksir tak bias dari σ2_{, variansi}ε_.

(25)

Disamping JKT dapat diuraikan atas kedua komponennya, derajat kebebasannya dapat diuraikan juga. Sifat penjumlahan (aditif) ini merupakan salah satu keunggulan dari metode kuadrat terkecil.

Tabel 2.1 Tabel Analisis Variansi Regresi Sederhana

Sumber JK (Jumlah dk(Derajat RK(Rataan F Variasi Kuadrat) Kebebasan) Kuadrat) hitung

Regresi JKR =

∑

(Yˆ_i −Y)2 1 s =JKR/1 ₁2 s s₁2

Sisa JKS =

∑

(Y_i −Yˆ_i)2 n-2 2 =

s JKS/(n-2)

Total JKT =

∑

(Y_i −Y)2 n-1

Tabel 2.1 Memperlihatkan bentuk umum tabel analisis variansi (ANAVA) untuk regresi linear sederhana. Kolom keempat menunjukkan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat kebebasannya, untuk regresi dan sisa.

Andaikan hipotesis yang akan diuji adalah H0 : β =0

H1 : β ≠0

Yang pada dasarnya hipotesis nol ini mengatakan bahwa variasi dalam Y diakibatkan oleh fluktuasi acak yang tidak tergantung pada nilai X dengan kata lain X tidak mempengaruhi respons Y. Bila hipotesis nol ditolak yaitu bila nilai Statistik F hitungan melebihi nilai kritisF_α(1, n-2) maka disimpulkan bahwa terdapat jumlah variasi yang berarti dalam responY yang disebabkan atau diterangkan oleh model yang dipandang benar, yaitu fungsi linear. Bila statistik F berasal dalam daerah penerimaan maka disimpulkan bahwa data tidak memberikan cukup dukungan kepada model yang dianggap benar.

(26)

2.2 Pengertian Dasar Penyimpangan dan Ragam

Sebagai contoh misalkan dilakukan penelitian lapangan melalui survei sehingga hasil sampel yang diperoleh meliputi N individu. Individu tersebut dapat berupa perorangan, rumah tangga, industri kecil, atau wilayah dan lainnya. Masing-masing individu dinyatakan dengan huruf I yang menunjukkan individu ke-i dalam sampel. Informasi yang diperoleh dari setiap individu memberikan nilai-nilai pengamatan Y adalah: Y1, Y2, Y3, …, Yn. Dapat dilihat gambar 2.3 yaitu satu contoh mengenai

berbagai hasil pengamatan yang diperoleh dari individu pertama sampai dengan ke- N. Y

5 -

4 - Y =3,36

3 - 2 - 1 -

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (individu)

Gambar 2.3 Contoh pengamatan dalam bentuk nilai rata-rata

Langkah pertama yang harus dilakukan yaitu memilih model apa yang akan digunakan. Model tersebut bisa berupa nilai rata-rata, median, modus dan lainnya ataupun yang lebih rumit mengikuti suatu pola tertentu secara linear ataupun nonlinear. Pada gambar 2.3 diambil suatu contoh dalam bentuk nilai rata-rata hitung, Y , dari seluruh pengamatan. Model ini akan menggambarkan dengan sempurna pola yang terdapat dalam kenyataan bila masing-masing individu dalam sampel memberikan nilai yang persis sama besarnya dengan nilai rata-rata tersebut.

Dengan demikian seberapa besar penyimpangan yang terjadi antara nilai pengamatan dan nilai yang terkandung dalam model dihitung dari nilai rata-rata digambarkan dengan menguraikan setiap nilai pengamatan menjadi

(27)

Yi = Y +(Yi −Y) i = 1,2,3, …, N …. (2.5)

Dimana (Y_i −Y)memberikan besaran nilai penyimpangan sehingga menggambarkan naik turunnya (fluktuasi) hasil pengamatan terhadap model dan menunjukkan seberapa jauh model yang dipakai tidak mampu menjelaskan kenyataan yang ada. Arah panah ke bawah berarti penyimpangan yang negatif sedangkan arah ke atas menunjukkan penyimpangan yang positif.

Persamaan (2.5) mempergunakan suatu model yang sederhana nilai rata-rata Y . Dalam bentuk umumnya persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

Yi = Yˆ+(Yi −Yˆ) i = 1,2,3, …, N

Pengamatan = Cocokan + Residual

Yˆ merupakan model yang menggambarkan prediksi atau dugaan (estimasi) yang disebut juga dengan fitted values. Nilai Yˆ dapat berupa suatu titik fungsi linear atau nonlinear, Sedangkan (Yi −Yˆ)menunjukkan besarnya penyimpangan atau residual.

Berdasarkan definisi dapat dilihat dengan jelas bahwa residual merupakan sisa dari hasil pengamatan yang belum dapat dijelaskan oleh suatu model tertentu. Dalam Analisis Regresi, yang menjadi tujuan utama adalah membuat jumlah kuadrat sisa atau residu, JKS =

∑

(Yi −Yˆ)2 sekecil mungkin agar dicapai suatu pemecahan persoalan dalam bentuk besaran dan arah pengaruh peubah bebas terhadap peubah tak bebas. Oleh karena itu terdapat keterkaitan yang erat antara banyak peubah bebas dan JKS. Semakin banyak peubah bebas dalam suatu persamaan regresi, JKS akan cenderung mengecil dengan kata lain semakin besar kemampuan model dalam menjelaskan keragaman peubah tak bebas.

Tujuan yang sama pada Analisis Regresi itulah menjadi arah pokok dalam pendekatan Analisis Ragam meskipun dilihat dari sudut pandang yang lain. Analisis Ragam mencoba membuat semua residu mengacak (random). Dalam keadaan demikian, keragaman peubah tak bebas tidak bisa dijelaskan lebih lanjut oleh kofaktor dan atau faktor lain kecuali dari yang sedang dalam pertimbangan.

(28)

2.3 Analisis Ragam (ANAVA)

Analisa Ragam (Analysis of Variance) merupakan metode yang digunakan untuk menganalisis atau menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen sumber keragaman. Dalam analisis variansi yang paling sederhana, dipergunakan satu peubah tak bebas. Persyaratan utama yang harus dipenuhi berkaitan erat dengan skala pengukuran. Peubah tak bebas paling tidak harus dapat diukur dalam bentuk skala interval. Sedangkan peubah bebas dapat berupa peubah nonmetrik (peubah yang tidak dapat diukur) atau sebagai gabungan antara peubah nonmetrik dengan peubah metrik (peubah yang dapat diukur). Peubah bebas yang nonmetrik lebih dikenal sebagai faktor, sementara peubah metrik disebut sebagai kofaktor.

Bila keseluruhan peubah bebas tersebut hanya terdiri atas kofaktor, maka analisa yang dipakai adalah Analisa Regresi. Analisa Regresi sederhana memecahkan permasalahan yang hanya mengandung satu kofaktor saja. Bila lebih dari satu kofaktor, pemecahan tersebut ditangani oleh Analisa Regresi Ganda (Multiple Regression Analysis). Akan tetapi bila keseluruhan peubah bebas adalah faktor, maka analisa yang digunakan pada dasarnya adalah Analisa Variansi (Analysis of Variance). Jika yang menjadi perhatian utama terletak pada apakah ada kemungkinan pengaruh satu faktor terhadap peubah tak bebas, maka pembahasan ini disebut dengan Analisa Variansi Satu Arah (One - Way Classification Analysis of Variance), jika pada dua faktor analisanya dilakukan dengan Analisa Variansi Dua Arah (Two - Way Classification Analysis of Variance).

2.3.1 Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah

Di dalam klasifikasi satu arah melibatkan sebuah faktor penentu. Populasi yang berbeda ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda dan dianggap saling bebas dan berdistribusi normal dengan rataan µ₁ =µ₂ =...=µ_I dan variansi

σ . Istilah perlakuan digunakan secara umum dengan arti berbagai klasifikasi, apakah itu kelompok, adukan, penganalisis, pupuk yang berbeda, atau berbagai daerah disuatu negara. dan variansi

(29)

Ingin dicari metode yang sesuai untuk menguji hipotesis: H0 : µ1 =µ2 =...=µI

H1 : tidak semua µi =0

Misalkan yij menyatakan pengamatan ke j dalam perlakuan ke i dan Ti

menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i, y i

menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i, T.. jumlah

semua nI pengamatan, dan y rataan semua nI pengamatan. Tiap pengamatan dapat _.. ditulis dalam bentuk

ij i ij

y =µ +ε , ….(2.6)

Tabel 2.2 k sampel acak

Perlakuan 1 2  I

y y y

1 12 11



y y y

2 22 21

   

In I I

y y y



2 1

Jumlah T1. T2.  TI. T..

Rataan _{y .}₁. _y₂ _ _.

y y ..

Dengan ε_ij menyatakan penyimpangan ke j pada sampel ke i dari rataan perlakuan padanannya. Suku ε_ij menyatakan galat acak yang peranannya sama dengan suku galat dalam model regresi. Bentuk lain dari persamaan (2.6) diperoleh dengan mengganti µ_i =µ+α_i, dengan kendala

∑

i i

α = 0 dipenuhi. Jadi dapat ditulis :

ij i ij

(30)

Bila µ menyatakan rataan keseluruhan dari semua µ_i; yakni I I i i

∑

₌ = 1 µ µ Dengan: i

α disebut sebagai efek atau pengaruh perlakuan ke i.

Hipotesis nol bahwa rataan populasi sama dan lawan tandingan bahwa paling sedikit dua dari rataan ini tidak sama diganti dengan hipotesis yang setara,

H0 : α1 =α2 =...=αI= 0

H1 : tidak semua αi =0.

Uji yang dipakai didasarkan pada perbandingan dua taksiran bebas dari kesamaan variasi populasi σ2. Kedua taksiran tersebut diperoleh dengan menguraikan total variasi data, diusahakan oleh penjumlahan ganda

∑∑

= = − I i n j ij y y 1 1 2 ..)

( menjadi dua komponen.

Teorema 2.1 Identitas Jumlah Kuadrat

∑

∑∑

₌ ₌ − = ₌I − + ₌ ₌ −

i I i n j i ij i I i n j

ij y n y y y y

1 1 1

2 2 1 1 2 .) ( ..) . ( ..) ( . Bukti . .) ( .) ..)( . ( 2 ..) . ( ] .) ( .) ..)( . ( 2 ..) . [( .)] ( ..) . [( ..) (

1 1 1 1 1 1

2 2

1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

∑∑

= = = = = = = = = = = = − + − − + − = − + − − + − = − + − = − I i n j I i n j I i n j i ij i ij i i I i n j i ij i ij i i I i n j I i n j i ij i ij y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

(31)

Suku yang ditengah sama dengan nol, karena

. 0 .

( 1

1 1 1

= −

= − =

−

∑

= = = n

y n y y

n y y

j ij n

j ij i

ij i

Jumlah yang pertama tidak mengandung indeks j, jadi dapat ditulis

. ..) . ( ..)

. (

1 1 1

∑∑

₌I ₌ − =

∑

₌ −

i n

i i i y n y y

Sehingga

∑∑

₌ ₌ − =

∑

₌ − + ₌I ₌ −

i n

i ij I

i n

i i

ij y n y y y y

1 1

2 2

1 1 1

.) (

..) . ( ..)

(

Agar memudahkan penggunaannya maka suku identitas jumlah kuadrat akan ditandai dengan lambang berikut:

JKT =

∑∑

− =

= =

i n

ij y

y 1 1

2 ..)

( jumlah kuadrat total

JKA =

∑

= −

i y

y n

2 ..) .

( = jumlah kuadrat perlakuan

JKG =

∑∑

= = −

i n

i ij y

y 1 1

2 .)

( = jumlah kuadrat galat

Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan: JKT = JKA + JKG.

Identitas jumlah kuadrat menyatakan bahwa variasi antar perlakuan dan dalam perlakuan dijumlahkan menjadi jumlah kuadrat total. Akan tetapi, pemahaman lebih mendalam dapat diperoleh dengan menyelidiki nilai harapan dari JKA dan JKG. Kemudian akan diturunkan taksiran variasi yang merumuskan rasio yang akan digunakan untuk menguji kesamaan dari rataan populasi.

(32)

Perlu dibandingkan ukuran variansi antara perlakuan yang sesuai dengan variansi dalam perlakuan agar dapat ditemukan perbedaan yang berarti dalam pengamatan akibat pengaruh perlakuan. Perhatikan nilai harapan jumlah kuadrat perlakuan.

Teorema 2.2 E(JKA) = (I-1)

∑

+ I

i i

n 1

2 2

α σ

Bukti

Bila JKA dipandang sebagai peubah acak yang nilai-nilainya berubah bila percobaan diulang beberapa kali, maka dapat ditulis:

JKA =

∑

= −

i y

y n

2 ..) .

( .

Dari model : y_ij =µ+α_i +E_ij Diperoleh

. i i

i E

y =µ+α + ..,

.. E

y =µ+ karena 0. 1

∑

₌I i

α Jadi JKA =

∑

= + −

i i E E

n 1

2 ..) . (α

dan E(JKA) =

∑

= + = − + =

i i i

i n E E nIE E n E E

1 1 1

2 2

.) ( 2

..) ( .)

( α

Karena Eij merupakan peubah bebas dengan rataan nol dan variansi σ2, maka

diperoleh : ( .) , 2 2

n E

E i =σ ( ..) ,

2 2

nI E

E =σ E(Ei.)=0

∑

= =

+ − =

− + =

i i I

i i

n I

I n

JKA E sehingga

1 2 2

2 2 2

) 1 ( ) (

α σ

σ σ α

(33)

Salah satu taksiran σ2_{yang didasarkan pada I-1 derajat kebebasan diberikan oleh}

Rataan Kuadrat Perlakuan

1 2

1 − =

I JKA

s .

Bilo H0 benar dan tiap αi pada teorema 2.2 sama dengan nol, maka

2 1=σ

   

− I JKA E

Dan 2 1

s merupakan taksiran σ2 yang tak bias. Akan tetapi, bila H1 yang benar, maka

1 1

1 2 2

− + =      

−

∑

₌ I n I

JKA E

i i

α σ

dan s menaksir ₁2 σ2ditambah suatu suku tambahan mengukur variasi akibat pengaruh yang sistematik.

Taksiran σ2yang kedua dan bebas dari hipotesis, didasarkan pada I(n-1) derajat kebebasan, ialah rumus yang dikenal, yaitu

Rataan Kuadrat Galat

) 1 ( 2

− =

n I

JKG s

Identitas jumlah kuadrat tidak saja menguraikan keragaman total data, tetapi juga jumlah semua derajat kebebasan. Dengan perkataan lain

nI - 1 = I – 1 + I(n-1). Bila H0 benar, rasio

2 2 1 s s f =

Merupakan suatu nilai peubah acak F yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan I-1 dan I(n-1). Karena s menaksir lebih ₁2 σ2bila H0 salah, maka diperoleh uji ekasisi

(34)

Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian αbila )]

1 ( , 1

[ − −

> f I I n f _α

Perhitungan masalah analisis varianasi diringkas dalam bentuk tabel seperti pada tabel 2.3.

Tabel 2.3 Analisis Variansi untuk klasifikasi satu arah

Sumber Jumlah Derajat Rataan f Variasi Kuadrat Kebebasan Kuadrat Hitungan

Perlakuan JKA I-1

1 2

1 − =

I JKA

s ₂

2 1 s s

Galat JKG I(n-1)

) 1 ( 2

− =

n I

JKG s

Total JKT nI-1

2.3.2 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah

Analisis Variansi klasifikasi dua arah merupakan pengembangan atau perluasan dari analisa dengan satu arah. Anava klasifikasi dua arah membahas tentang keragaman dalam satu peubah tidak bebas Y yang ditimbulkan oleh keragaman dua faktor. Seperti digambarkan dalam tabel 2.4.

(35)

Tabel 2.4 Klasifikasi dua arah

Perlakuan Blok

1 2 ... J

Jumlah Rataan

1 y₁₁ y12 … y1J T1. y 1. 2 y ₂₁ y … 22 y2J T2. y 2.

     

I y _I₁ y_I₂ ... y IJ TI. y I.

Jumlah T.1 T.2 … T.J T..

Rataan y .₁ y … .₂ y. _J y .. Dengan:

= .

y rataan pengamatan untuk perlakuan ke i

= j

y. rataan pengamatan dalam blok ke j ..

y = rataan keseluruhan ij pengamatan

Ti. = jumlah pengamatan untuk perlakuan ke i

T.j = jumlah pengamatan dalam blok ke j

T = jumlah keseluruhan ij pengamatan.

Rata-rata rataan populasi perlakuan ke i, µi, didefenisikan sebagai

j ij i

∑

₌

= 1 .

µ µ

Rata-rata rataan populasi blok ke j, µ._j, didefenisikan sebagai

i ij j

∑

₌

= 1 .

µ µ

(36)

Dan rata-rata rataan keseluruhan µ, didefenisikan sebagai

i J

j ij

∑∑

₌ ₌

= 1 1 µ µ

Untuk menentukan apakah ada bagian variasi dalam pengamatan yang diakibatkan oleh perbedaan dalam perlakuan, dilakukan uji

0 semua

tidak :

... . . :

i. 1

. 2

1 0

= = = = =

µ µ µ

µ µ H

H _I

dan untuk menentukan apakah ada variasi yang diakibatkan oleh perbedaan blok dilakukan uji

0 semua tidak :

, . ... . . :

.j 1

2 1 0

= = = = =

µ µ µ

µ µ H

H J

Tiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk

ij ij ij

y =µ +ε

denganε_ijmengukur penyimpangan nilai amatan y_ij dari rataan populasi µ_ij.

Bentuk persamaan yang lebih disukai diperoleh dengan penggantian

j i ij µ α β

µ = + +

Dengan α_i menyatakan pengaruh perlakuan ke i dan β_j menyatakan pengaruh blok ke j. Dianggap bahwa pengaruh perlakuan dan blok aditif. Jadi dapat ditulis

ij j i ij

y =µ+α +β +ε

Model ini mirip dengan klasifikasi satu arah, perbedaan utamanya adalah adanya pengaruh blok β_j. Konsep dasarnya mirip sekali dengan klasifikasi satu arah kecuali disini pengaruh tambahan akibat blok harus diperhitungkan dalam analisis karena sekarang variasi dikendalikan secara sistematis dalam dua arah.

(37)

Bila sekarang dikenakan pembatasan bahwa

∑

₌I =

i i

1 0

α dan 0

1 =

∑

J₌ j

β Maka,

i J

j i i

J µ α

β α µ

µ = +

+ + =

∑

) (

. dan j

j i j

I µ β

β α µ

µ =

∑

=1 + + = + ) (

Hipotesis nol bahwa i rataan perlakuan µ_i. sama, dan karena itu sama denganµ dengan menguji hipotesis

0 semua tidak :

, 0 ...

i 2 1 0

= = = = =

α α α

H H

Begitu juga hipotesis nol bahwa j rataan blok µ._j sama, setara dengan menguji hipotesis

0 semua tidak :

0 ...

j 1

2 1 0

= = = = =

β β β

β H

H _J

Tiap uji pada perlakuan akan didasarkan pada perbandingan taksiran-taksiran bebas untuk variasi populasi bersama σ2. Taksiran ini diperoleh dengan memisahkan jumlah kuadrat total data menjadi tiga bagian dengan menggunakan identitas berikut.

Teorema 2.3 Identitas Jumlah Kuadrat

∑∑

₌I ₌ − =

∑

₌ − +

∑

₌ −

i J

j j i

ij y J y y I y y

1 1 1 1

2 2

..) .

( ..)

. ( ..)

(

∑∑

₌ ₌ − − + + I

i J

j i

ij y y y

y 1 1

2 ..) . . (

(38)

Bukti

∑∑

₌I ₌ − =

∑∑

₌ ₌ − + − + − − +

i J j I i j i ij j i J j

ij y y y y y y y y y

1 1 1

2 1 2 ..)] . . ( ..) . ( ..) . ( [ ..) (

∑

₌

∑

₌ − +

∑∑

₌ ₌ − +

∑∑

₌ ₌ − − + = I i I i J j I i J j j i ij j J j

i y y y y y y y

1 1 1 1 1

2 2 1 2 ..) . . ( ..) . ( ..) . (

∑∑

₌ ₌ − − + I i J j j i y y y

y 1 1 ..) . ..)( . ( 2

∑∑

₌ ₌ − − − + + I i J j j i ij

i y y y y y

y 1 1 ..) . . ..)( . ( 2

∑∑

₌ ₌ − − − + + I i J j j i ij

j y y y y y

y 1 1 ..) . . ..)( . ( 2 .

Suku perkalian silang semuanya sama dengan nol. Jadi

∑∑

₌I ₌ − =

∑

₌ − +

∑

₌ −

i J j I i J j j i

ij y J y y I y y

1 1 1 1

2 2 2 ..) . ( ..) . ( ..) (

∑∑

₌ ₌ − − + + I i J j j i

ij y y y

y 1 1 2 ..) . . (

Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan dengan lambang persamaan JKT = JKA + JKB + JKG

Dengan :

JKT =

∑∑

= = − I i J j ij y y 1 1 2 ..)

( = jumlah kuadrat total

JKA =

∑

= − I i i y y J 1 2 ..) .

( = jumlah kuadrat perlakuan

JKB =

∑

= − J j j y y I 1 2 ..) .

( = jumlah kuadrat blok

JKG =

∑∑

= = − − + I i J j j i

ij y y y

y 1 1 2 ..) . .

(39)

Dengan mengikuti cara kerja seperti diuraikan pada teorema 2.2 yaitu bila jumlah kuadrat tersebut ditafsirkan sebagai fungsi peubah acak bebas, maka dapat

y y

y₁₁, ₁₂,..., ditunjukkan bahwa nilai harapan jumlah kuadrat perlakuan, blok, dan galat adalah,

E(JKA) =

∑

− I

i i

J I

1 2 2

) 1

( σ α

E(JKB) = (J-1)

∑

+ J

j j

I 1

2 β

E(JKG) = (I-1)(J-1)σ2. Salah satu taksiran σ2

didasarkan pada I-1 derajat kebebasan, adalah

1 2

1 − =

I JKA s

Bila pengaruh perlakuan α₁ =α₂ =...=α_I =0, maka s merupakan taksiran tak bias ₁2 dari σ2. Akan tetapi, bila pengaruh perlakuan tidak semuanya nol, maka

1 1

1 2 2

− + =      

−

∑

₌ I J I

JKA E

i i

α σ

dan s akan secara berlebihan menaksir₁2 σ2. Taksiran kedua σ2, didasarkan atas J-1 derajat kebebasan, diberikan oleh

1 2

2 − =

J JKB

s .

Taksiran s merupakan taksiran tak bias dari ₂2 σ2 bila pengaruh blok .

0 ...

1 =β = =βJ =

β Bila pengaruh blok tidak semuanya nol, maka:

1 1

1 2 2

− + =      

−

∑

₌

J I J

JKB E

j j

β σ

(40)

Dan s22 akan secara berlebihan menaksir 2

σ . Taksiran ketiga dari σ2, didasarkan pada (I-1)(J-1) derajat kebebasan dan bebas dari s2, diberikan oleh

) 1 )( 1 ( 2

− − =

J I

JKG

s ,

Yang tidak bias, terlepas apakah kedua hipotesis nol benar atau salah.

Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh perlakuan semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio:

2 2 1 1

s s f = ,

Yang merupakan nilai peubah acak F1 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan

I-1 dan (I-1)(J-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian

α bila f1 > fα[I −1,(I −1)(J −1)].

Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh blok semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio:

2 2 2 2

s s f = ,

Yang merupakan nilai peubah acak F2 yang berdistibusi F dengan derajat kebebasan

J-1 dan (I-1)(J-1) bila hipotesis nol benar. Perhitungan Anava untuk klasifikasi dua arah disajikan dalam tabel 2.5.

(41)

Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah

Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rataan Kuadrat

F Hitunga

n Perlakuan

Blok

Galat

JKA

JKB

JKG

I-1

J-1

(I-1)(J-1)

1 2

1 − =

I JKA s

1 2

2 − =

J JKB s

) 1 )( 1 ( 2

− − =

J I

JKG s

2 2 1 1

s s f =

2 2 2 2

s s f =

Jumlah JKT IJ-1

2.3.3 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi

Klasifikasi dua arah dengan interaksi mencakup uji hipotesa tentang pengaruh baris, kolom dan interaksi antara baris dan kolom. Untuk menentukan rumus klasifikasi dua arah dengan pengamatan yang berulang dalam rancangan acak lengkap, pandang K sebagai replikasi pada tiap kombinasi perlakuan faktor A diamati pada I taraf dan faktor B pada J taraf. Pengamatan dapat disajikan dalam suatu matriks yang barisnya menyatakan taraf faktor A sedangkan kolomnya menyatakan taraf faktor B. Tiap kombinasi perlakuan menentukan suatu sel dalam matriks. Jadi terdapat IJ sel, masing-masing berisi K pengamatan. Seluruh IJK pengamatan diperlihatkan pada tabel 2.6.

(42)

Tabel 2.6 Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi

Faktor A (baris)

Faktor B (kolom) 1 2 … J

Jumlah Rataan



111

y y₁₂₁_…y1J1

112

y y₁₂₂_…y1J2

  

y₁₁ y₁₂_K_…y1JK

211

y y₂₂₁_…y2 J1

212

y y₂₂₂_…y2 J2

  

y₂₁ y₂₂_K_…y2JK

  

yI11yI21_…yIJ1

yI12yI22_…yIJ2   

yI1K yI2K … yIJK

.. 1 y

.. 2 y



.. 1 y

.. 2 y



Jumlah y .₁_. y.₂. … y._J. y… Rataan

y . .1 y . … ..2 .

y y …

Pengamatan pada sel ij membentuk sampel acak berukuran n dari suatu populasi yang dianggap berdistribusi normal dengan rataan µij dan variansi

2 σ . Semua populasi yang banyaknya IJ dianggap mempunyai variansi yang sama. Tiap pengamatan dalam tabel 2.6 dapat ditulis dalam bentuk

ijk ij ijk

(43)

Dengan ε_ijk mengukur penyimpangan pengamatan nilai y pada sel ke ij dari rataan _ijk populasi µij. Bila γij menyatakan pengaruh interaksi antara faktor A taraf ke i dan

faktor B taraf ke j, α_ipengaruh faktor A,

β

_j pengaruh faktor B danµ rataan keseluruhan, maka dapat ditulis

ij j i

ij µ α β (γ)

µ = + + +

sehingga y_ijk =µ+α_i+β_j +(γ)_ij +ε_ijk Yang akan dikenakan pembatasan

∑

₌ = ₌ = ₌ = J₌ =

j ij I i ij J j j I i i 1 1 1 1 0 ) ( , 0 ) ( , 0 ,

0 β γ γ

Ketiga hipotesis yang akan diuji adalah:

0 semua tidak : 0 ... : i 1 2 1 0 = = = = = α α α α H H _I 0 semua tidak : 0 ... : j 1 2 1 0 = = = = = β β β β H H _J 0 ) ( semua tidak : 0 ) ( ... ) ( ) ( : 1 12 11 0 = = = = = ij IJ H H γ γ γ γ

Tiap uji ini akan didasarkan pada perbandingan taksiran σ2yang bebas diperoleh dengan menguraikan jumlah kuadrat data menjadi empat bagian dengan menggunakan kesamaan (identitas) berikut.

Teorema 2.4 Identitas Jumlah Kuadrat

∑∑

₌I ₌

∑

₌ − =

∑

₌ − +

∑

₌ −

i J j I i J j j i ijk K k y y IK y y JK y y

1 1 1 1

2 2 2 1 ...) . . ( ...) .. ( ...) ( . .) ( ...) . . .. . (

1 1 1

2 1 1 2

∑∑∑

∑∑

= = = = = − + + − − + I i J j K k ij ijk I i J j j i ij y y y y y y K

(44)

Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan dengan lambang persamaan JKT = JKA + JKB +JK(AB) + JKG

Derajat kebebasannya menurut kesamaan

IJK - 1 = (I-1) + (J-1) + (I-1)(J-1) + IJ(K-1).

Bila tiap jumlah kuadrat pada sebelah kanan kesamaan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat kebebasannya, maka diperoleh keempat statistik yaitu

, 1 2 1 − = I JKA s , 1 2 2 − = J JKB s , ) 1 )( 1 ( ) ( 2 3 − − = J I AB JK s ) 1 ( 2 − = K IJ JKG s

Semua taksiran variansi ini adalah taksiran σ2

yang bebas dengan syarat bahwa tidak ada pengaruh α_i,β_j dan (γ)_ij.

Bila jumlah kuadrat dipandang sebagai fungsi dari peubah acak bebas Y111,

Y112, …, YIJK maka

1 1 ) ( 1 2 2 2 1 − + =     − =

∑

= I JK I JKA E S E I i i α σ 1 1 ) ( 1 2 2 2 2 − + =     − =

∑

= J IK J JKB E S E J i j β σ ) 1 )( 1 ( ) ( ) 1 )( 1 ( ) ( ) ( 1 2 1 2 2 3 − − + =     − − =

∑∑

= = J I K J I AB JK E S E I i ij J j γ σ 2 2 ) 1 ( )

( =σ

    − = K IJ JKG E S E

Dari rumus dengan mudah dapat disimpulkan bahwa keempat taksiran σ2tidak bias bila H0 (hipotesis nol) benar.

(45)

Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh perlakuan semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio:

2 2 1 1

s s f = ,

Yang merupakan nilai peubah acak F1 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan

I-1 dan IJ(K-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian α bila f₁ > f_α[I −1,IJ(K −1)].

Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh blok semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio:

2 2 2 2

s s f =

Yang merupakan nilai peubah acak F2 yang berdistibusi F dengan derajat kebebasan

J-1 dan IJ(K-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis ini ditolak pada taraf keberartian

α bila f₂ > f_α[(J −1,IJ(K−1)]. Untuk menguji hipotesis H0 bahwa pengaruh

interaksi semuanya nol, maka:

2 2 3 3

s s f =

yang merupakan nilai peubah acak F3 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan

(I-1) (J-1) dan IJ(K-1) bila H0 benar. Adanya interaksi bila

)]. 1 ( ), 1 )( 1 [(

3 > f I − J − IJ K−

f _α

Perhitungan mengenai masalah Anava untuk klasifikasi dua arah dengan interaksi disajikan dalam tabel 2.7.

(46)

Tabel 2.7 Analisis Variansi untuk klasifikasi dua arah dengan interaksi

Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rataan Kuadrat f hitung

Pengaruh utama A (baris)

B (kolom)

Interaksi AB

Sisa

JKA

JKB

JK(AB)

JKG

I-1

J-1

(I-1)(J-1)

IJ(K-1)

1 2

1 − =

I JKA S

1 2

2 − =

J JKB S

) 1 )( 1 (

) ( 2

− − =

J I

AB JK S

) 1 ( 2

− =

K IJ

JKG S

2 2 1 1

S S f =

2 2 2 2

S S f =

2 2 3 3

S S f =

Total JKT IJK-1

Jumlah Kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut:

Tabel 2.8

1 2 … J

Jumlah

1 2



. 11 y

y12._…y1 j. .

21 y

y22._…y2 j.



. 1

y yI1._…yIJ

.. 1 y

.. 2 y



Jumlah _._. 1 y

y.2. … y.J.

(47)

BAB 3

PEMBAHASAN DAN HASIL

3.1 Multiple Regresi

Untuk memperkirakan/meramalkan nilai dari variabel Y, akan lebih baik apabila ikut memperhitungkan variabel-variabel lain yang ikut mempengaruhi Y. Dengan demikian ada hubungan antara satu variabel tidak bebas (dependent variable) Y dengan beberapa variabel lain yang bebas (independent variable) X1, X2, …, Xk.

Hubungan antara sebuah variabel tak bebas (dependent variable) dengan dua buah atau lebih variabel bebas (independent variable) dalam bentuk regresi disebut dengan Regresi Linear Ganda.

Untuk meramalkan Y, apabila semua nilai variabel bebas diketahui, maka dapat digunakan persamaan regresi linear berganda. Hubungan antara Y dan X1, X2,

…, Xk yang sebenarnya adalah :

Yi = β0 +β1X1i+β2X2i +...+βkXki+εi … (3.1)

Anggapan yang diambil dalam model ini ialah bahwa X₁,X₂,...,X_n tidak mempunyai distribusi sedangkan ε_iberdistribusi N(0,σ2)

Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks berikut. Y = XB + ε

Dengan:

Y, B, ε = vektor X = matriks

(48)

dimana Y =                             n i Y Y Y Y . . . . . 2 1                             = k i β β β β β . . . . . 1 0                             = n i ε ε εε ε . . . . . 2 1 X =                             . . . . 1 . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . 1 . . . 1 2 1 2 1 2 22 12 21 11 kn n n ki i i k ki X X X X X X X X X X X X

Koefisien β harus diestimasi berdasarkan data hasil penelitian sampel acak. Prosedur estimasi tergantung pada asumsi mngenai variabel X dan kesalahan pengganggu ε. Beberapa asumsi yang penting adalah sebagai berikut:

1. Nilai harapan setiap kesalahan pengganggu sama dengan nol⇒E(ε_i)=0, untuk semua i. 0 0 . . . 0 . . . 0 0 ) ( . . . ) ( . . . ) ( ) ( 2 1 =                                 =                                 n i E E E E ε ε εε (vektor nol)

2. Kesalahan pengganggu yang satu (ε_i)tidak berkorelasi (bebas) terhadap kesalahan pengganggu lainnya (ε_j), akan tetapi memiliki variasi yang sama.

2 2 ) ( , , 0 )

(ε_iε_j = i≠ j E ε_i =σ

E untuk semua i.

Apabila dinyatakan dalam bentuk matriks, maka asumsi tersebut menjadi sebagai berikut:

(49)

                                = ) ( ) ( ) ( . . . ) ( ) ( ) ( . . . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n i i i n n T E E E E E E E E E E E E E ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

εε ε ε ε ε

εε

   

= ₂I

2 2 2 2 ... 0 ... 0 0 0 ... ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 σ σ σ σ σ =                                 T

ε = transpos dari vektor kolom ε, atau dengan kata lain, εT merupakan vektor baris )

... ... ...

( ₁ ₂ _i _n

T ε ε ε ε

ε = . I = matriks identitas, karena setiap kesalahan pengganggu mempunyai varians yang sama.

3. X1i, X2i, …, Xki merupakan bilangan real, tanpa mengandung kesalahan. Dengan

perkataan lain, matriks merupakan himpunan angka-angka konstan (fixed numbers).

4. Matriks X mempunyai rank k < n (ada k kolom dari matriks X yang bebas linear). Jumlah observasi n harus lebih banyak dari jumlah variabel, atau lebih banyak dari koefisien regresi linear yang akan diestimasi.

k kX

X X

Yˆ =βˆ₀+βˆ₁ ₁+βˆ₂ ₂ +...+βˆ … (3.2)

Apabilaβˆ0,βˆ1,βˆ2,...,βˆksudah dihitungsebagaipendugaparameter β1,β2,...,βk,

berdasarkan data dari sampel, maka Yˆ dapat digunakan untuk meramalkan Y, setelah X1, X2, …, Xk diketahui nilainya.

(1)

Dengan :

Sukuβ₀X₀suku konstanta X0 = 1,

Suku β₁X₁+β₂X₂+β₃X₃ untuk pereaksi, Suku β4X4 +β5X5 untuk katalisator,

suku β₆X₆ +β₇X₇+β₈X₈ +β₉X₉ β₁₀X₁₀+β₁₁X₁₁ untuk interaksi pereaksi dan katalisator.

Untuk mendapatkan kolom-kolom X ortogonal terhadap kolom-kolom Xj, maka di-buat peubah boneka sebagai berikut.

Tabel 3.7. Data peubah boneka X1, X2, X3.

X1 X2 X3 Pereaksi

-1 0 -1 A

1 0 - 1 B

0 -1 1 C

0 1 1 D

Tabel 3.8. Data peubah boneka X4, X5.

X4 X5 Katalisator

-1 1 1

0 - 2 2

1 1 3

Karena rancangan dua arah ini setimbang sempurna serta banyak amatan dalam setiap sel sama, dapat dibuat peubah boneka interaksi dengan cara menggandakan unsur-unsur yang berpadanan pada peubah-peubah boneka lainnya, dengan mengambil keenam kombinasi dari (tiga peubah boneka pereaksi) kali (dua peubah boneka katalisator). Jadi:

4 2 8

5 1 7

4 1 6

X X X

= = =

11 3 5

4 3 10

5 2 9

X X X

= = =

(2)

Peubah boneka di atas dapat dibuat matriks X yang berukuran 24×12

X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

                                                                            = 9 7 14 12 12 12 13 13 9 15 15 13 7 9 15 13 4 6 9 5 7 11 6 4 Y                                                                             − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 2 0 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 2 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 2 0 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 2 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 1 2 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 1 2 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 X

Dapat diperlihatkan kolom-kolom matriks X saling ortogonal satu terhadap lainnya, sehingga XTX merupakan suatu matriks diagonal berukuran 12×12, yaitu:

XT =diag{24,12,12,24,16,48,8,24,8,24,16,48}, Y

XT ={240,12,−12,48,0,−48,2,−18,−6 ,−18−20,36}T. Dengan demikian b=(XTX)−1XTY mempunyai nilai:

(3)

                                                − − − − − − =                                                                                                   4 3 4 5 4 3 4 3 4 3 4 11 0 2 1 1 10 36 20 -18 -6 -18 -2 48 -0 48 12 -12 240 48 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 48 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 1 =

b _{{ 10, 1, -1, 2, 0, -1,}

4 3 , 4 5 , 4 3 , 4 3 , 4 3 , 4 1 − − − − T

} ... (3.9)

JKR=bT(XTY)

=     ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ 4 3 4 5 4 3 4 3 4 3 4 1 1 0 2 1 1 10                                       36 20 -18 -6 -18 -2 48 -0 48 12 -12 240 =

(4)

JKR=bT(XTY)= 2400 + {12 + 12 + 96} + {0 + 48} +{ 25 27}

2 1 13 2 1 4 2 1 13 2 1

+ + + + +

= 2400 + 120 + 48 + 84 = 2652

JKS Y Y b (X Y)

T T

T −

= 2700 – 2652 = 48

Dari persamaan (3.9) diperoleh persamaan regresinya yaitu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 11

3 4

5 4

3 4

1 0

2 10

ˆ _X _X _X _X _X _X _X _X _X _X _X

Y = + − + + − + − − − − +

Tabel 3.9. Analisis ragam klasifikasi dua arah dengan Pendekatan Regresi

Sumber DB JK RK F

Pereaksi Katalisator Katalis*Pereaksi

Galat

3 2 6 12

120 48 84 48

40 24 14 4

10.0 6.0 3.5

Total 23 300

Hasil yang diperoleh dengan menggunakan peubah boneka sama dengan Tabel 3.9 di atas, sehingga kesimpulannya sama yaitu ada pengaruh yang nyata pada interaksi katalisator dan pereaksi dan sumbangan yang paling nyata diberikan oleh b10 dan b11. Hal ini menandakan adanya interaksi yang sesungguhnya antara X3 dan X4 dengan X3 dan X5.

(5)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Dalam analisis ragam semua peubah bebas atau faktor bersifat kategori sedangkan dalam analisis regresi bersifat kuantitatif

2. Matriks XTX pada analisis ragam bersifat singular, sehingga perlu syarat tambahan, sedangkan pada analisis regresi jarang sekali hal itu terjadi.

3. Pemilihan peubah boneka adalah hal penting dan mendapatkan jumlah kuadrat masing-masing parameter digunakan prinsip jumlah kuadrat ekstra.

4. Semakin rumit rancangannya, semakin rumit konversi bentuk regresinya, dan semakin besar ukuran matriks X nya.

5. Kolom-kolom matriks X saling ortogonal satu terhadap lainnya, sehingga XTX merupakan matriks diagonal.

4.2 Saran

Jika tersedia paket program komputer untuk menangani masalah Analisis Variansi maka sebaiknyalah menggunakannya dari pada menggunakan program Regresi.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

1. Algifari. 2000. Analisis Regresi Teori, Kasus , dan Solusi. Yogyakarta:BPFE. 2. Drapper, NR and Harry smith, S. 1981. Applied Regression Analysis, Second

Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

3. Gujarati, Damodar N. 2006. Dasar-dasar Ekonometrika. Jakarta: Penerbit Erlangga.

4. Neter, Wasserman, Kutner. 1985. Applied Linear Statistical Models, Second Edition. United States of America: Richard D. Irwin, Inc.

5. Pasay, N.Haidy.A.1984. Kupasan Sidik Ragam Berjalur ANOVA. Jakarta: LPFE-UI.

6. Sembiring, R.K. 1995. Analisis Regresi Edisi ke-2. Bandung: Penerbit ITB. 7. Sudjana. 1996. Teknik Analisis Regresi dan Korelasi bagi para peneliti.

Bandung: Penerbit TARSITO.

8. Supranto J. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi edisi keenam. Jakarta: Penerbit Erlangga.

9. Supranto J. 2003. Pengantar Matrix. Jakarta: PT RINEKA CIPTA. 10. Syahid, Abdul. 2008. Jurnal : Analisis Regresi dan Korelasi dalam

Perancangan Percobaan. http:// www.google.com.

11. Walpole, Ronald E. 1992. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

12. Walpole dan Raymond H. Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi ke-4. Bandung: Penerbit ITB.

13. http:// www.anova.com/ 14.

, 10 Januari 2010.

http://www.koefisien arah regresi untuk@searchwinds.com 15. hyperstat online: Introduction to ANOVA.

, 20 Januari 2010. http//:www.davidmlane.com/intro_ANOVA.htm

16. Wikipedia, 2009. analysis of variance.

l, 20 Januari 2010. http://en.wikipedia.org/wiki/analysis_of_variance

17. Wikipedia, 2009. anova-manova.

, 20 Januari 2010. http://en.wikipedia/org/wiki/Anova-Manova

18. Wikipedia, 2009 statistika.

, 21 januari 2010. http://en.wikipedia/org/wiki/statistika, 23 januari 2010.