Dari referensi [6] dan [12] secara matematik model klasifikasi dua arah tanpa interaksi dapat ditulis sebagai berikut:
ij j
i ij
y
ε β
α µ
+ +
+ =
, dengan:
I i
,..., 2
, 1
= ,
J j
,... 2
, 1
= ,
Bila kedua faktor ada interaksi, maka banyaknya pengamatan per sel haruslah lebih besar dari satu agar interaksi dan sisa dapat dipisah. Dengan adanya interaksi
maka persamaan menjadi y
ijk
=
ijk ij
j i
ε γ
β α
µ
+ +
+ +
, dengan:
i = 1,2,…,I; j= 1,2,…,J; k=1,2,...,K. K = adalah banyaknya dalam pengamatan dalam tiap sel.
1.6 Metode Penelitian
1. Membentuk model Analisa Variansi klasifikasi dua arah, yaitu Model Analisis
Variansi dapat ditulis dalam bentuk umum model Analisis Regresi dengan X
i
i = 1,2,... I mendapat nilai 1 dan 0.
2. Menaksir parameter pada analisis variansi klasifikasi dua arah, yaitu
parameterisasi yang berlebihan dalam Analisis Variansi dikompensasi dengan membuat kendala terhadap parameter-parameternya.
3. Membentuk tabel Analisis Variansi yaitu, Model Analisis Variansi adalah menjadi
dasar pembuatan tabel Analisis Variansi klasifikasi dua arah. 4.
Pendekatan Regresi terhadap Analisis Variansi klasifikasi dua arah, yaitu membentuk persamaan regresi berganda dengan penggunaan peubah boneka
dummy variables atau peubah bebas. 5.
Mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Analisis Regresi
Salah satu tujuan analisis data adalah untuk memperkirakanmemperhitungkan besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya.
Setiap kebijakan policy, baik dari pemerintah maupun swasta, selalu dimaksudkan untuk mengadakan perubahan change. Sebagai contoh, Pemerintah menambah
jumlah pupuk agar produksi padi meningkat, Pemerintah menaikkan gaji pegawai negeri agar prestasi kerja mereka meningkat dan lain sebagainya. Untuk keperluan
evaluasipenilaian suatu kebijaksanaan mungkin ingin diketahui besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya. Kejadian-kejadian
tersebut untuk keperluan analisis bisa dinyatakan didalam perubahan nilai variabel. Untuk analisis dua kejadian events digunakan dua variabel X dan Y. Teknik
Statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel disebut Analisis Regresi.
2.1.1 Regresi Linear Sederhana
Regresi linear sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variabel dependen tunggal dengan
variabel independen tunggal. Hubungan antara variabel dependen dan variabel independen ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai
berikut:
i i
bX a
Y +
= untuk i = 1, 2, ..., n
Universitas Sumatera Utara
Dengan: Y
i
= variabel terikat ke-i X
i
= variabel bebas ke-i a = intersep titik potong kurva terhadap sumbu Y
b = kemiringan slope kurva linear
Dalam membuat keputusan, selalu ada resiko yang disebabkan oleh adanya kesalahan error. Risiko hanya bisa diperkecil dengan memperkecil kesalahan
minimized error →minimized risk. Dengan memperhitungkan kesalahan pengganggu
ε , maka bentuk persamaan linear menjadi sebagai berikut: Y
i
= ε
+ +
i
bX a
Dengan : a dan b adalah konstanta yang diestimasi
ε adalah kesalahan pengganggu disturbance’s error ε
i
= Y
i
-
i
Yˆ
disebut juga sisa yang terkandung galat yang sifatnya acak dan penyimpangan model dari keadaan sesungguhnya.
Dalam praktek, untuk melihat hubungan antara X dan Y, dikumpulkan pasangan data X,Y sebagai suatu observasi, misalnya sebagai berikut:
n i
X X
X X
,..., ,...,
,
2 1
n i
Y Y
Y Y
,...., ,...,
,
2 1
digambar pada sistem koordinat tegak lurus hasilnya disebut diagram titik atau diagram pencar. Dapat dilihat pada gambar 2.1.
Y
X
Gambar 2.1 Diagram Pencar
Universitas Sumatera Utara
Garis lurus yang terdapat pada diagram pencar pada gambar 2.1 yang memperlihatkan adanya hubungan antara kedua variabel disebut garis regresi atau garis perkiraan, dan
persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi yang merupakan suatu variabel matematika yang
mendefenisikan hubungan antara dua variabel.
2.1.2 Metode Kuadrat Terkecil
Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki deviasi atau kesalahan terkecil, maka digunakan metode kuadrat terkecil. Metode
kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung β dan
1
β , sedemikian sehingga kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa metematika,
dinyatakan sebagai berikut: Y
i
=
i i
e X
+ +
1
β β
, i = 1, 2, …, n e
i
=
1 i
i
X Y
β β +
− = kesalahan pengganggu
2 1
2
] [
i i
i
X Y
e
β β
+ −
∑ =
∑
= jumlah kesalahan kuadrat
Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung β dan
1
β sedemikian rupa sehingga
∑
2 i
e
= terkecil minimum. Caranya ialah dengan membuat turunan parsial partial differential dari
∑
2 i
e
mula-mula terhadap β
kemudian terhadap
1
β kemudian menyamakannya dengan nol.
∑ ∑
∑ ∑
+ =
⇒ =
− +
− =
∂ ∂
i i
i i
i
X n
Y X
Y e
1 1
2
1 ]
[ 2
β β
β β
β .... 2.1
∑ ∑
∑ ∑
∑
+ =
⇒ =
− +
− =
∂ ∂
2 1
1 1
2
] [
2
i i
i i
i i
i i
X X
Y X
X X
Y e
β β
β β
β …. 2.2
Persamaan 2.1 dibagi dengan n
X n
n n
Y n
i i
∑ ∑
+ =
⇒
1
β β
X Y
1
β β
+ =
⇒
Sehingga
X Y
1
β β
− =
Universitas Sumatera Utara
Masukkan β ke persamaan 2.2
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
+
−
= ⇒
+ −
=
2 1
1 2
1 1
i i
i i
i i
i i
i i
X X
n X
n Y
Y X
X X
X Y
Y X
β β
β β
∑ ∑
∑ ∑ ∑
+ −
=
2 1
2 1
i i
i i
i i
X n
X n
Y X
Y X
β β
n Y
X Y
X n
X X
i i
i i
i i
∑ ∑ ∑
∑ ∑
− =
−
1 2
2
β
Sehingga
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
− −
= −
− =
2 2
2 2
1 i
i i
i i
i i
i i
i i
i
X X
n Y
X Y
X n
n X
X n
Y X
Y X
β
2.1.3 Uji Kelinearan dan Keberartian Regresi Setelah menaksir persamaan regresi, masalah berikutnya adalah menilai baik
buruknya model regresi dengan data. Jadi diperlukan ukuran tentang kecocokan data. Analisis regresi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui derajat
hubungan linear antara satu variabel dengan variabel lain. Umumnya analisis korelasi digunakan dalam hubungannya dengan analisis regresi untuk mengukur ketepatan
garis regresi dalam menjelaskan explaining variasi nilai variabel dependen. Ukuran statistik yang dapat menggambarkan hubungan antara suatu variabel
dengan variabel lain adalah koefisien determinasi R
2
dan koefisien korelasi r. Koefisien determinasi adalah salah satu nilai statistik yang dapat digunakan untuk
mengetahui apakah ada hubungan pengaruh antara dua variabel. Perhatikan kesamaan berikut:
ˆ ˆ
i i
i i
y y
y y
y y
− +
− =
− Variasi regresi sisa
Bila ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan maka diperoleh
∑ ∑
= =
− +
− =
−
n i
n i
i i
i i
y y
y y
y y
1 1
2 2
} ˆ
ˆ {
=
∑ ∑
∑
= =
=
− −
+ −
+ −
n i
n i
n i
i i
i i
i i
y y
y y
y y
y y
1 1
1 2
2
. ˆ
ˆ 2
ˆ ˆ
…..2.3
Universitas Sumatera Utara
Perkalian yang terakhir pada persamaan 2.3 penulisan i = 1 dan n pada ∑
dihilangkan sehingga menjadi
∑ ∑
∑
− −
− =
− −
. ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
i i
i i
i i
i i
y y
y y
y y
y y
y y
Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol karena menurut 2.1
∑ ∑
= −
− =
− ˆ
i i
i i
bx a
y y
y
Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena menurut 2.2
ˆ ˆ
ˆ
∑ ∑
− +
= −
i i
i i
i i
y y
bx a
y y
y
= a
∑ ∑
− +
−
i i
i i
i
x y
y b
y y
ˆ ˆ
= 0 + b
∑
− −
i i
i
x bx
a y
= 0, Jadi persamaan dapat ditulis kembali sebagai berikut
∑ ∑
∑
= =
=
− −
− =
−
n i
i i
n i
i n
i i
y y
y y
y y
1 1
2 1
2
ˆ ˆ
…. 2.4 JKT
JKR JKS
Persamaan 2.4 adalah persamaan dasar dalam Analisis Regresi dan Analisis Variansi. Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total JKT atau jumlah variasi total dan
menyatakan jumlah penyimpangan y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas kanan disebut jumlah kuadrat regresi JKR dan ini adalah variasi respons disekitar
nilai rata-ratanya y . Bagian kedua ruas kanan disebut jumlah kuadrat galat sisa
dan disingkat JKS. Bagian ini mengukur sisa dari variasi total JKT yang tidak dapat diterangkan oleh x, atau bagian yang sifatnya acak. Jadi dengan demikian dapat pula
ditulis sebagai berikut: JKT = JKR + JKS
Variasi Total = Variasi karena Regresi + Variasi karena Sisa. Sifat penjumlahan aditif seperti ini banyak dijumpai dalam statistika, dan ini tidak
hanya berlaku untuk bentuk kuadrat tapi juga untuk derajat kebebasannya. Jika pengaruh X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar dibandingkan
dengan JKS. Bila JKR besar maka JKS kecil dan sebaliknya, sedangkan JKT tetap. Dengan demikian JKT dapat dijadikan pembanding untuk menentukan besar kecilnya
JKR atau JKS.
Universitas Sumatera Utara
Dari definisi R
2
= =
− −
∑ ∑
2 2
ˆ y
y y
y
i i
JKS JKR
Dengan: R
2
disebut koefisien korelasi dua arah atau koefisien penentu determinasi. Karena 0
JKT JKR
≤ ≤
, maka tentunya 0 1
2
≤ ≤ R
. Jadi R
2
dapat mengukur kecocokan data dengan model makin dekat R
2
dengan 1 makin baik kecocokan data dengan model dan sebaliknya, makin dekat R
2
dengan 0 makin jelek kecocokan tersebut. y
y y
i
−
i i
y y
ˆ −
bx a
y +
= ˆ
y y
y
i
− ˆ
x
Gambar 2.2 Menguraikan variasi menurut unsurnya
2.1.4 Pendekatan Melalui Analisis Variansi Dari persamaan 2.4 dapat dilihat penguraian jumlah kuadrat total atas kedua
komponennya, jumlah kuadrat regresi dan jumlah kuadrat galat. Tujuan utama penguraian bukanlah untuk menghitung R
2
, tetapi merupakan langkah awal yang sangat penting dalam menelaah komponen jumlah kuadrat total. Untuk menentukan
apakah pengaruh suatu peubah bebas X besar atau kecil terhadap respon Y diperlukan pembanding yang baku, yang tidak dipengaruhi baik buruknya model yang digunakan.
Pembanding baku tersebut adalah penaksir tak bias dari
2
σ , variansi ε.
Universitas Sumatera Utara
Disamping JKT dapat diuraikan atas kedua komponennya, derajat kebebasannya dapat diuraikan juga. Sifat penjumlahan aditif ini merupakan salah
satu keunggulan dari metode kuadrat terkecil.
Tabel 2.1 Tabel Analisis Variansi Regresi Sederhana
Sumber JK Jumlah dkDerajat
RKRataan F
Variasi Kuadrat Kebebasan
Kuadrat hitung
Regresi JKR =
∑
−
2
ˆ Y
Y
i
1
2 1
s =JKR1 s
s
2 1
Sisa JKS =
∑
−
2
ˆ
i i
Y Y
n-2 =
2
s JKSn-2
Total JKT =
2
∑
−Y Y
i
n-1
Tabel 2.1 Memperlihatkan bentuk umum tabel analisis variansi ANAVA untuk regresi linear sederhana. Kolom keempat menunjukkan jumlah kuadrat dibagi dengan
derajat kebebasannya, untuk regresi dan sisa. Andaikan hipotesis yang akan diuji adalah
H :
= β
H
1 :
≠ β
Yang pada dasarnya hipotesis nol ini mengatakan bahwa variasi dalam Y diakibatkan oleh fluktuasi acak yang tidak tergantung pada nilai X dengan kata lain X tidak
mempengaruhi respons Y. Bila hipotesis nol ditolak yaitu bila nilai Statistik F hitungan melebihi nilai kritis
α
F
1, n-2 maka disimpulkan bahwa terdapat jumlah variasi yang berarti dalam responY yang disebabkan atau diterangkan oleh model
yang dipandang benar, yaitu fungsi linear. Bila statistik F berasal dalam daerah penerimaan maka disimpulkan bahwa data tidak memberikan cukup dukungan kepada
model yang dianggap benar.
Universitas Sumatera Utara
2.2 Pengertian Dasar Penyimpangan dan Ragam
