BY : SRI ESTI
c. h = {2, 1, 3, 4, 1, 4, 2, 1, 4, 4}
4. Misalkan W = {a, b, c, d}. Tentukan apakah setiap himpunan pasangan terurut
berikut merupakan sebuah fungsi dari W ke W a.
{b, a, c, d, d, a, c, d, a, d} b.
{d, d, c, a, a, b, d, b} c.
{a, b, b,b, c, b, d, b} d.
{a, a, b, a, a, b, c, d, d, a}
2. Fungsi Satu-satu
Definisi fungsi satu-satu injektif : Sebuah fungsi f : A
→ B dikatakan satu- satu jika elemen-elemen yang berbeda dalam domain A mempunyai range yang
berbeda. Cara lain mengatakannya yaitu f adalah fungsi satu- satu jika f a = fa’
maka a = a’.
Definisi fungsi onto atau pada : Sebuah fungsi f : A
→ B dikatakan “pada” jika setiap elemen B merupakan range dari beberapa elemen A. Dengan kata lain f : A
→ B adalah “pada” jika range dari f semuanya adalah codomain yaitu jika f A = B. Dikatakan bahwa f adalah fungsi dari A “pada” B atau f memetakan A pada B.
Definisi korespondensi satu-satu fungsi bijektif : Sebuah fungsi f : A
→ B dikatakan korespondensi satu-satu atau fungsi bijektif antara A dan B jika f adalah
satu- satu dan “pada”. Ini berasal dari kenyataan bahwa setiap elemen A kemudian
akan berkorespondensi secara unik ke elemen B dan sebaliknya.
Definisi fungsi invertibel mempunyai invers : Sebuah fungsi f : A
→ B dikatakan invertibel jika ada sebuah fungsi g : B
→ A sedemikian sehingga f o g = 1
g
dan g o f = 1
A
dimana 1
g
dan 1
A
adalah pemetaan identitas. Dalam hal ini, fungsi g disebut invers dari f dan dinyatakan dengan f
-1
. Dengan demikianf invertibel jika f
-1
adalah fungsi dari B ke A. Juga,
Contoh :
1.
A B
C D
E Manakah fungsi pada gambar diatas yang :
a fungsi satu-satu b fungsi “pada”
c fungsi bijektif d fungsi invertible
a b
c 1
2 3
4 r
s t
u v
w x
y z
f
1
f
2
f
3
f
4
BY : SRI ESTI
Penyelesaian : a
f
1
dan f
2
, karena tidak ada elemen kedua yang menjadi range lebih dari satu b
f
2
dan f
3
, karena setiap elemen kedua merupakan range dari elemen pertama c
f
2
karena setiap elemen pertama akan berkorespondensi secara unik ke elemen kedua dan sebaliknya.
d f
2
, karena f
2
fungsi bijektif maka f
2
fungsi invertibel dan f
2 -1
adalah sebuah fungsi dari C ke B
2. Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B adalah himpunan huruf-huruf abjad. Misalkan
fungsi f, g dan h dari A ke B didefinisikan sebagai berikut : a.
a → r b. a
→ z c. a
→ a b
→ a b
→ y b
→ c c
→ s c
→ x c
→ e d
→ r d
→ y d
→ r e
→ e e
→ z e
→ s Apakah fungsi-fungsi di atas satu-satu?
Penyelesaian : a.
Tidak, f memetakan r ke a dan d b.
Tidak, g memetakan z ke a dan e c.
Ya, h memetakan range yang berbeda untuk elemen yang berbeda dari domain.
Latihan soal :
1. Tentukan apakah setiap fungsi berikut satu-satu?
a. Setiap orang di bumi memetakan jumlah usianya
b. Setiap negara di dunia memetakan letak garis lintang dan garis bujur
ibukotanya c.
Setiap buku yang ditulis oleh pengarangnya memetakan nama pengarangnya d.
Setiap negara di dunia yang mempunyai seorang perdana menteri memetakan nama perdana menterinya
2. Misalkan f : A → B, g : B → C, dan h : C → D yang didefinisikan pada gambar
berikut. Tentukan yang mana fungsi “pada”, satu-satu dan invertibel?
f g
h
a b
c 1
2 3
x y
z w
4 5
6 A
B C
D
f g
h
BY : SRI ESTI
3. Tentukan komposisi f
ο g о h dari fungsi di atas. 4.
Perhatikan fungsi fx = 2
x
, gx = x
3
, hx = x
2
yang grafiknya ada gambar berikut. Tentukan manakah fungsi yang satu-
satu, “pada” dan invertibel?
5. Misalkan W = {1, 2, 3, 4, 5} dan f : W → W, g = W → W dan H : W → W yang
didefinisikan oleh digram panah berikut. Tentukan apakah setiap fungsi tersebut invertibel dan jika benar tentukanlah fungsi inversnya.
3. Fungsi pada Perkalian
