BAB 3 Fungsi Logaritma

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1.Misal

y

1 adalah invers dari fungsiy

a.

y



x

2



1

1

2





y

x

1







y

x

Karena terdapat dua nilaixuntuk nilaiy tertentu, makaytidak punya invers b. y 3x

3 y x Maka

3

1 x

y  c. y

 

x13

3

1

y

x





1

3





y

x

Maka y13 x 1

2. x2 ; 1x0 a.

f

 

x



1

2



x ; x0

Jika dibuat garis-garis sejajar sumbux, maka garis tersebut paling banyak memotong fungsi

f

 

x

di satu titik Jika,

f

 

x

memiliki invers

2

x ; 1x0 b.

g

 

x



1

2

x ; x0

Jika dibuat garis-garis sejajar sumbux, maka terdapat garis y 1 yang memotong

g

 

x

di x1 dan x0 Jika,

g

 

x

tidak mempunyai invers

3.

 

4 3

1 2

 

x x x f

a.

y



f

 

x

, maka

4 3

1 2

 

x x y

1 2 4

3xy y x 1 4 2

3xy x  y



3

y



2







4

y



1

x

2

3

1

4









y

y

x

Jadi,

 

3 2 , 2 3

1 4

1

   

 _x

x x x

f b.

 

2 1

4 3 1 1

4 3

1

2 

  

 x

x x

f _xx c.

 

2 1 2 1 2 0 . 3

1 0 . 4 0

1

     



f d.

 

4

1

4

1

0

.

2

4

0

.

3

0

1

















f

4. a.

9



3

2



2

log

9



3

b.

1

.

000



10

3



log

1

.

000



3

c.

7

3



343



7

log

343



3

d.

2 1 2 log 2

2 2 2 1

 



e. 3

125 1 log 5

125

1  35 

f. e01ln10 g.

5

x



6



5

log

6



x

h. e3t 8ln83t 5. a. 2

log

32



5



2

5



32

b.

log

1



0



10

0



1

c. e e  e21  e

2 1 log

d.

81 1 3 4 81

1

log 4

3   

    

 

e. t

log

u



v



t

v



u

f. lnx t et x 6. a.

x 1 10 2

10 103 104 101 102 103

logx 0 1 2 3 4 -1 -2 -3

BAB 3

LOGARITMA

b.

x

logx

1 log10

e

loge0,4343

2

e

log

e

2



0

,

8686

3

e

log

e

3



1

,

3029

4

e

log

4



1

,

7372

e

1



e

log

1





0

,

4343

e

2



e

log

e

2





0

,

8686

3



e

log

e

3





1

,

3029

7. a. misalkan 5

log

30



x

maka5x 30 Karena52255x 3053 125 Maka2x3….. (i)

Misalkan 8

log

60



y

maka 8y 60 Karena81 88y 6082 64 Maka1 y2….. (ii)

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa y

x atau 5

log

30



8

log

60

yang terbesar 5

log

30

b.misal log90x maka10x 90 100 10

90 10 10

101  x  2 Maka1x 2

Misal

ln

e

5



y

maka

e

y



e

5



y



5

Karena1x2 dan y5 maka dapat disimpulkan x y atau

log

90



ln

e

5 yang terbesar lne5.

c.misal 2

log

3



x

maka 2x3 4 2 3 2 2

21   x  2  Maka1x 2….. (i)

Misal3

log

2



y

maka 3y 2 3 3 2 3 1

30   y  1  maka 0 y1….. (ii)

dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa x

y atau 2

log

3



3

log

2

yang terbesar

2

log

3

8. a. misalkan 9

log

27



n

, maka 27

9n 

 

3

2 n



27

3 2

3 3 n 

Sehingga 2n3 2 3  n Jadi,

2 3 27 log

9



b. n

32 1 log

4

, maka

32 1 4n 

5 2

2

2

n



 Sehingga 2n5

2 5   n Jadi,

2 5 32

1 log

4

  c. 5log

 

5 5 n, maka

5

5

5

n



2 1

5

.

5

5

n



1

2 3

5

5

n



Sehingga

2 3  n Jadi,

2 3 5 5 log

5

 d. log10n, maka

10 10n 

1

10 10n  Sehingga n1 Jadi, log101 e. 25

log

625



n

, maka

625 25n 

4 2

5 n  Sehingga 2n4

2  n Jadi, 25

log

625



2

f. n

64 1 log

16

, maka

64 1 16n 

6 4

2

2

n



 Sehingga 4n6

2 3   n Jadi,

2 3 64

1 log

g. 2log8 2 n, maka

2

8

2

n



2

8

2

n



2 1

2

.

2

2

n



3

2 1

3

2

2

n



Sehingga

2 1 3  n Jadi,

2 1 3 2 8 log

2

 h. 2 2

log

16



n

, maka

 

2 2 n 16

 

1 4

2

2

.

2

2

1



n

4

2

2

2

3



n

Sehingga 4 2 3

 n

3 8  n Jadi,

3 8 16 log

2 2



9. a. misalkan lne4 n, maka

4

e en 

Sehingga n4

Bentuk paling sederhana darilne4 4 b.misalkan n

e 1

ln , maka

e en 1

1



e en

Sehingga n1

Bentuk paling sederhana dariln11 e c.misalkan

ln

e



n

, maka

e

e

n



2 1

e

e

n



Sehingga

2 1  n

Bentuk paling sederhana dari

2 1 ln e  d.misalkan e4 n

ln , maka e

en 

1

e en 

Sehingga n1

Bentuk paling sederhana dari lne1 e.misalkan lne2 n, maka

2



e en

Sehingga n2

Bentuk paling sederhana dari lne22 f.

 

lne 2 ?

dari jawaband.dapat dibentuk paling sederhana dari lne1, maka

 

1

1 1 1

1 1

lne2 2  ₂   10. a.

y



4

log

5

x

Syarat numerus harus lebih besar 0, berarti5x0

0  x

Jadi, dominan fungsi tersebut adalah interval

 

0

,



b.

y



log



3



4

x



Syarat numerus harus lebih besar 0, berarti34x0

3 4   x

4 3  x

Jadi, dominan fungsi tersebut adalah interval 

     ,

4 3 c.

y



ln

 

x

2

syarat numerus harus lebih besar 0, karena x2 selalu bernilai positif untuk

0 

x , maka domain fungsi tersebut adalah



x

|

x



0

,

x



R



d. y 

 

lnx 2

Syarat numerus harus lebih besar 0, berarti x 0

jadi, domain fungsi tersebut adalah interval

 

0

,



e.

y



ln



x

2



25



Syarat numerus harus lebih besar 0, 0

25

2

  x



x



5

 

x



5



0

5

 

x atau x5

jadi, domain fungsi tersebut adalah interval







,



5



atau

 

5

,



f.

y



ln



2



x



x

2



Syarat numerus harus lebih besar 0, 0

2  2 

x x



2



x

 

1



x



0

1 2 

 x

jadi, domain fungsi tersebut adalah interval





2

,

1



g. 

  

 

 

5 3 2 log

x x y

Syarat numerus harus lebih besar 0, 0

5 3 2

  x

x

0 3

2x  atau x50 2

3  

x x5

2 3  

x

atau

x5

jadi, domain fungsi tersebut adalah

interval 

  

 _{ }

2 3

, atau

 

5

,



h. 

  

 

 

5 3 2 log

x x y

Syarat numerus harus lebih besar 0, 0

5 3 2

  x

x

0 3

2x  atau x50 2

3 

x x5

5  

x

atau

2 3  x

jadi, domain fungsi tersebut adalah interval







,



5



atau 

     ,

2 3

B. Evaluasi Pemahaman dan Pennguasaan Materi.

1. a.

y



2

log

 



x

Domain :







,

0



Range :







,





Intercepty: tidak ada Interceptx: –1 Asimtot : sumbuy

b.

y





2

log

 



x

Domain :







,

0



Range :







,





Intercepty: tidak ada Interceptx: –1 Asimtot : sumbuy c.





3

log





2





1

x

y

grafikydidapa dari grafik

y



3

log

x

digeser ke kanan 2 satuan, lalu dicerminkan terhadap sumbux, kemudian digeser ke atas 1 satuan Domain :

 

2

,



Range :







,





Intercepty: tidak ada Interceptx: 5

Asimtot : sumbu x2 d.

y





log

 

x



1

Domain :





1

,





Range :







,





Intercepty: 0 Interceptx: 0

Asimtot : sumbu x1 e.

y



ln

 



x

Domain :







,

0



Range :







,





Intercepty: tidak ada Interceptx: –1 Asimtot : sumbuy f.

y





ln

 



x

Domain :







,

0



Range :







,





Intercepty: tidak ada Interceptx: –1 Asimtot : sumbuy g.

y



ln



x



e



Domain :





e

,





Range :







,





Intercepty: 1 Interceptx: 1–e Asimtot : sumbu –e

h.

y



ln

 



x



2

Domain :







,

0



Range :







,





Intercepty: tidak ada Interceptx: 1₂

e  Asimtot : sumbuy 2.

 



3



2



1

x

x

x

f

Untuk setiap fungsi

f

 

x

berlaku komposisi

f

 

x

dengan fungsi inversnya adalah fungsi identitas

I

 

x



x

 



f

x

 

f

f



 

x

f

1





1

 

x

x

I





Sehingga

f



f

1

 

x





x

Jadi,



1

 

5





5

f

f

3.



titikAadalah titik potong grafik

y



2

x dengan sumbu

y



x



0



1

2

0





0





y

x

 

0

,

1

A





titikBadalah titik potong grafik

x

y



2

log

dengan sumbu

x



y



0



x

y



0



0



2

log

x 

0

2 1  x

 

1

,

0

B





titikCadalah titik potong grafik

x

y



2

log

dengan nilai x4

4

log

4





2



y

x

4

2

y



2

2

2

y



2  y

 

4

,

2

C





titikDberada pada grafik

y



2

xfungsi x

y



2

saling invers dengan fungsi

x

y



2

log

.

Karena titikDterletak pada

y



2

x, titikCterletak pada

y



2

log

x

sedangkan jarakC ke yx sama dengan jarakDke y x, maka titikDadalah

invers dari titik

C

 

4

,

2

Jadi,

D

 

2

,

4

4.



titikAadalah titik potong grafik

y



e

x dengan sumbu

y



x



0



1

0





0





y

e

x

 

0

,

1

A





titikBadalah titik potong grafik ylnx dengan sumbu

x



y



0



x y 00ln

x e0 

1  x

 

1

,

0

B





titikCterletak pada grafik

y



e

x dengan nilai x 1

e e y

x1  11 

     

e C 1,1



titikDberada pada grafik ylnx Fungsi ylnx saling invers dengan fungsi

y



e

x

karena titikDterletak pada y lnx, titik Cterletak pada

y



e

x, sedangkan jarak C ke y x sama dengan jarakDke

x

y  , maka titikDadalah invers dari

titik 

    

e C 1,1

jadi, 

     1, 1

e D

5. a.

y



21

log

x

b.

y



2

log

2

x

c.

x x

y2log1 2y 1

1

2y x x y





2

x

y



2

log



x

y





2

log

d.

2 2 2 log

2 x x

y   y  x y

 2 . 2

x y



1

2

x

y



1



2

log



2

log





1



x

y

6. a.

y



2

log

 

x



1

Domain :

 

1

,



Range :







,





b.

y



3

log

 

1



x

Domain :







,

1



Range :







,





7. a.

f

 

x



e

x1

y

x

e

y

x

ln

1

1











1 ln   y x

Maka 1

   



ln



1

x

x

f

b.grafik

c. Intersepx:e(masukkan y0 ke fungsi

f

1

 

x

) Intersepy: tidak ada

Asimtot : sumbuy 8. a.

9

   

t



ln

t



1

 t e

t 9

1 

  ₁

9 

 t e t

 

1

9

1



t



e

t

b.

c.Intersepx: tidak ada Intersepy: 2

Asimtot : y1

1. D.

Grafik fungsi y logx

 Titk potong sumbu x y 0

1

10

log

0



x



x



0



Titiknya

 

1

,

0

 Syarat numerus pada fungsi logaritma harus positif.

Bilangan numerus adalahx, maka 0



x , dengan perkataan lain grafik berada di kanan sumbuy

 Turunan fungsi logx adalah

10 ln .

1 x yang nilainya positif untuk x0. Karena turunanya selalu bernilai positif untuk x0, maka fungsi tersebut adalah fungsi naik

Jadi, grafiknya sebagai berikut 2. D.

Grafik fungsi

x y2log1

x x

y y 1

2 1 log

2  



y x

2 1 

y x2

x

y



2

log



x

y





2

log

Jadi, y x

x

y 2log1  2log Grafik fungsi

y





2

log

x

adalah percerminan fungsi

y



2

log

x

terhadap sumbux. sedangkan grafik fungsi

x

y



2

log

juga mempunyai titik potong sumbuxpada

 

1

,

0

, grafiknya ada disebelah kanan sumbux, dan merupakan fungsi naik 3. D.

b

a





,

log

5

3

log

3

2

2 18

18

5

2

log

50

log





2 18 18

5

log

2

log





5

log

.

2

18

log

1

18

2





18

log

2

3

2

log

1

5 2

2







2 5

2 2 2

3

2

log

2

3

log

2

log

1









2 5 5

2

3

log

2

log

2

3

log

.

2

1

1









3 log . 2 2 2

1 1

5 5 log

1

2    

a

5 log 2 5 log . 3 log 1 3 3 2 2 2 1 1     a b b a a 2 . 1 2 2 1 1     ab a a 1 2

2 2 1 1     a ab a 1 2

2 2 1 1     a ab 2 1 2 1    4. C.

 

log2

2 log 4 log 3 2 log 2 log 4 log 3 3 2 3 3 3 9

2

6

.

3

2

6

27







 

3 log2 log2

3 2 2 3

2

6

3

















 

3. .3log2 3log2

2 2

3

3





2 log 2 log .

33 3

3

3





2 log 2

log 3 3

3

3

3





2

2

3





10 2 8   5. A. 3 2 1 log . 1 log . 1 log a c b c b a             3 2 1

log

.

log

.

log

  



a

b

b

c

c

a

 

a

b

 

b

c

 

c

a

log

.

3

.

log

.

2

log

.

1









   

a

b

b

c

c

a

log

.

log

.

log

.

3

2

1









a

c

c a

log

.

log

.

6





a

a

log

.

6





6 1 . 6    6. C.



2

log

3



4

log

9



3

log

4



9

log

2





2

log

3



22

log

3

2



3

log

2

2



33

log

2





      _       _

 . log2

2 1 log . 2 3 log . 2 2 3

log 2 3 3

2







_ _

 . log2

2 5 3 log 3

log 2 3

2





_ _

 . log2

2 5 3 log .

2 2 3

5

3

log

1

.

2

5

.

3

log

.

2

2 ₂





7. C.

   

c a

c a b a

b

a

log log log5 log 5

  

c a a

c

log

5

5log



2

.a a a   8. D.

Diketahui

log

₄

24

2













b

a

3 1 2 3 2

log

log











a

b

a

b

3 1 2 1 3 1 2 1 _. 2 4 . 2 2 log log                   a b a b 6 1 6 1 . 1 4 2 4 2

log

log

  





















b

a

b

a

4 2 4 2

log

.

6

1

log

6 1

b

a

b

a

















 

24 4 . 6 1     9. A.

Diketahui :

x



2

log

3

,

y



2

log

5

 

 

3

1

5

.

3

log

5

.

9

log

3 2 2

2



3 1

5

log

3

log

2 2

2





5 log . 3 1 3 log .

22  2  y x 3 1 2   10. E.



log 5





log27



8

1

log 16 125

9      



3 3





4





5 3



3

log

5

log

2

2

log

2 3

1 2 _





 

  

log3 3 3 5 log 4 2 log 2

3 2 2 5

1 3

 

 

1



log2



log5

 

log3 8

1 2

3 3 2 5

           

  

log5 log3 16

3 3 5

 

3 log . 16

3 3

 

16 3 1 . 16

3    

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

1. log2log27log6log5log3log18 3

6

18 5 27 2 log

 

 

10 3 log 270

log  3



10 log 3 log 3



 

log3 1

3 



2.Diketahui : 8

log

5



a

a. 2

log

5



?

a



5

log

8

a



5

log

3

2

a  5 log . 3 1 2

a

3

5

log

2



b. 4 2 log51 5

1

log  2  5 log . 2 1 2

 

a 3 . 2 1 

 a

2 3  

c. 2

1

5

log

5

log

2

2



5 log . 2 1 2

 a 3 . 2 1

 a

2 3 

3.akan dibuktikan





_





 







2

2 2

2

1

log

2

log

a

x

x

a

a

a Bukti :









   

 

     

 2

2 2 2 2

2

log log

a a x a x

a a

a











 



2

2 2 2

.

log

a

a

x

a

a

2 2

2 2

log

log

a

a

x

a

a

a









 



a

a

x

a

a

a

a

log

.

2

log

₂

2

2 2









 



1

.

2

1

log

₂

2









 



a

x

a

2

1

log

₂

2









 



a

x

a

Jadi, terbukti bahwa





_















2

2 2

2

1

log

2

log

a

x

x

a

a

a

4.Diketahui :

a

p p a

log

9

log

9

log



….. (i)

Akan dibuktikan bahwa a

log

p



p

log

a



1

Bukti :

Substitusi g p kepersamaan (i) menjadi

a

p

p

_p

p a

log

log

log



a

p

_p a

log

1

log



1

log

log

p



p

a



a

Terbukti

5.Diketahui e

log

10



2

,

3

Akan dibuktikan 10

log



0

,

435

e

Bukti :

10

3

,

2

10

log





e

2,3



e

3 , 21 3 , 2

3 , 2

10



e

3 , 2

1 10

1

 e

3

,

2

1

log

10



e

4347826

,

0

log

10



e

435 , 0 

6. a.akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positifNberlaku

N

N

e

log

.

3

,

2

log



10

Bukt : 7183 , 2  e

e

N

N

e

log

log

log

₁₀

10



4343

,

0

log

7183

,

2

log

log

10

10 10

N

N





N

log

.

443

,

0

1

₁₀



N

log

.

3025

,

2

10



N

log

3

,

2

10



Jadi, e

log

N



2

,

3

10

log

N

b. e

log

6

,

31



2

,

3

10

log

6

,

31

84 , 1 8 , 0 . 3 ,

2 



7. a. Diketahui :a

log

2



b

log

8

Akan dibuktikan :a3b Bukti :

8

log

2

log

b

a



3

2

log

2

log

b

a



2

log

.

3

2

log

b

a



2 log 1 2 log

3 1

b

a 

1

2

log

2

log

3

1 b

a



2

log

2

log

3

1 b

a



Sehingga

 

₃

pangkatkan

3

3 ₃1

3 1

b

a

b

a





1 3

b a 

b a3

Terbukti

b.Diketahui :

p

2



qr

akan dibuktikan :

q

p

p

p

r q r

q

log

.

log

.

2

log

log





Bukti :

 

2 1

2

_qr

_p

_qr

p







….. (i)

p

p

r q

log

log



 

 

2 1 2

1

log

log

qr

r

qr

q





; substitusi

 

_qr

21





q qr

 

r qr



log 2 1 log

2 1

 









 qlogq qlogr 2

1



r q r r



log log

2 1





 

log 1



2 1 log 1 2 1

 



 q r r q

2 1 log 2 1 log . 2 1 2 1

 



 q r r q



qlogr rlogq



2

1

1 











_





r

r

_q q

log

1

log

2

1

1





















_





r

r

q q

log

1

log

2

1

1

2





 

r r q q

log 2

1 log 1

2

 





 





r



r r

q q q

log 2

1 log log

2  2 







r

r

a q

log

.

2

1

log



2







r

q

r

a q q

log

.

2

log

log

2





r

rq

_q q

log

1

.

log



;

rq



p

2



q

p



r

q

log

.

log

2



q

p

r a

log

.

log

.

2



Terbukti

8. a. log5

2 5 log

log 2 2

2  

a

8 log 5 4

log 2

2 5

2  



2

log

.

3

2

log

3 2

2





3 1 . 3  

b. log27log14log9log7log6 6

7 9

14 27 log

  

0 1 log  

c. . log32

2 1 16 log . 2 3 8 log . 2

3 2  2  2

5 2 4 2 3 2

2 log . 2 1 2 log . 2 3 2 log . 3 2

 



2 log . 5 . 2 1 2 log . 4 . 2 3 2 log . 3 . 3

2 2  2  2



1 . 2 5 1 . 6 1 .

2   

2 3 2 5 6

2   

d.

6 5 log 3 25 24 log 9 10

log 4 4

4

 

3 4

4 4

6 5 log 25 24 log 9

10

log 

      



3 4

6 5 24 25 9 10

log 

       

2

log

2

log

22

4





2 log . 2 1 2



2 1 1 . 2 1

 

e. log 175log 91log 52

91

52

.

175

log



91

52

175

log





100 log 

1 10 log  

f.

105 8 log 4 9 log 7

32 log 15

4

log 6 6 6

6

 



105 8

4 9 7 32 15

4

6

.

.

log



8 105 . 7 32 . 15

4 log

6



2 6 6

6

log

36

log





6

log

.

2

6



2 1 . 2  

9. 4

log

3

y



2

4

log

x



1

1

log

3

log

4 2

4





x

y

4 log 3

log ₂ 4

4 

x y

Sehingga 3₂ 4 x

y

2

4

3

y



x

2

3 4

x y

Jadi, bentukydalamxadalah 2 3 4

x y

10. a.

2

.

3

log



3

3

log



3

log



3

log



3

a

b

x

y

3 log . 3 log log log

log 2 3 3 3 3 3

3 _y  _x  _b _a

3 3 3 2 3

3

log

.

.

log



b

x

a

y

27

log

log

₃ 3

2 3



b

x

a

y

27

3 2



b

x

a

y

3 2

27

bx

a

y



a

bx

a

y

3 1 2

27





3 1 2

27

a

bx

y





3 1

27

a

bx

y





2 3 2 1 2 1

3

3

a

b

x

y





b. 5

log

y



a

5

log

x



2

5

log

b

2 5 5

5

log

log

log

y



x

a



b



2



5 5

log

log

y



x

a



b

Maka

y



x

a



b

2

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. 2log3.2log12.2log48.2log1916

10 48 log . 12 log 2

2 _



 

2log3 2log32log4



2log32log16



16





2log32log4



2log32log16



10





log3 2



log3 4



log3 6



16 3

log 2 2 2

2

  

 



2log32



2log34



10



2. 7

log

x

2

y



p

dan 7

log

xy

2



q

2

1

log

log

3 7

7

xy

xy



 

3 1

3 7

log . 2 1

xy 

  



2 2



7

. . log 3 1 . 2 1

y x y x 



7 2 7 2



log log

6 1

xy y

x  



pq





6 1

3. a. 9log x h

h

x

2



1 2

log

3

h x log 2

3 2 1

h x log 4 13

h

x

4

log

3



h

x

3 4

3

3

log

log



h x34 ….. 1

k

y



1

log

3

k

y

1



3

log

k

y





3

log

k

y





log

3

k

y



log

3



log

3

3

k

y



3

 ….. 2 Dari 1 dan 2 dapat dicari

k h

y

x

.



3

4

.

3

 k h  4

3 ….. 3 k h

y

x





3

3

4

 k h  4

3 k h  4

3

b.Jika xy9 dan



27

y

x

subtitusi nilai-nilai tersebut ke 3 dan 4 k

h

xy



4 

3

k h  4

3 9

k h  4 2

3 3

k h 4

2 ….. 5

k h

y

x

_



4

3

k h  4

3 27

k h  4 3

3 3

k h 4

3 ….. 6

Eliminasi 5 dan 6 k

h 4

2 24hk

   

h k h 8 5

4 3

 

   k

k h

2 1

4 3

8 5  h

2 1  k Maka

8 5  h dan

2 1  k

4. R

 

x asin



 

x1





b3 x12 R

b

a,  dan

R

 

log

5



5

 

log

5



5

R

maka







log5 1



log5 1 2 5 sin  _b3   

a 







log5 log10



log5 log10 5 2

sin  _b3   

a 









3

10 5 log 50

log

sin _b3 

a 

3 2 1 log 2

100 log

sin  3 

  

 _

  



 _b

a 







log100 log2



log2 3 sin  b3 1 

a 







2 log2



log2 3 sin  _b3 

a 

 



2 log2



1 log2 3 sin  _b3  3 

a   ;



2 x



sinx

sin   

 



sin log2



 

1 log2 3

sin  _b  3 

a 

 



log2



log2 3

sin  3 

a  b

 



log2



log2 3 sin _b3 

a  ….. 1



_log20



_asin





_log20₁





_b3_log20₁

R 







 





asin log2 log10 1

3_log2_log10₁

b







 



 asin log2 1 1

3_log2₁₁

b







_{2 log2}



3_log2

sin b

a  

 

 



_{2 log2}



3 _log2

sin b

a 

   ;

x x sin 2

sin  

 



_log2



3_log2

sin b

a 

  ;

persamaan 1

3

 

5.













0 

2

100 ;

5 log 2 log i

n i n

n i



 





_ 

0

100 100

5 log . 2 . 2 log i

i i







_ 

0

100 100

5 log . 2 log . 2 i

i







_ 

0 100 100

2 log . 2 . 5 log

i

i



 











_



















...

2

log

.

2

2

log

.

2

2

log

2

5

log

2 100

1 100 0

100 100

Deret geometri konvergen



log

2



2

.

1

1

.

2

100 0







a

12. B.

5

,

4

,

3







v

w

u

 uv w0

w v u  

2 2

w v

u   

 

2

2 2

, cos

2u v u v w

v

u    

 

2

2 2

5

,

cos

4

.

3

.

2

4

3







u

v



 

,

0

cos



u

v



 u vw 0

v w u  

2 2

v w u  

 

2

2 2

, cos

2u w u w v w

u    

2 2

2

4 . cos 5 . 3 . 2 5

3   u w

5 3 30 18 ,

cosu w 

v w w v v

u.  .  .

 





 







u

v

cos

u

,

v

v

w

cos

v

,

w

 

w

u

v

w

cos



,

              

5 3 . 3 5 4 5 . 4 0 . 4 . 3

25 9 16

0  



20. Transformasi Geometri 1. B.

Lingkaran R4 pusat



   

a

,

b



3

,



2

Persamaan :



 

2



2 2

4 2

3   

 y

x

0

3

4

6

2

2











y

x

y

x

Diputar dengan rotasi

R

 

0

,

90

 lalu dicerminkan terhadap sumbux

                        

 

     

 R  Mx

M

x y y

x y

x

0 1

1 0

90 , 0 

                  

x y x

y

1 0

0 1

Persamaan bayangan :

   

// 2



// 2



6

//



4

//



3



0

x

y

x

y

atau

0

3

6

4

2

2











y

x

y

x

2. A.

Titik

 

7

,

4

di yx3

Misal titik cermin di

yx3

adalah



x

1

,

y

1



garis yang dilalui

 

7

,

4

dan



x

1

,

y

1



tegak lurus dengan

yx3

1

3



₁







x

m

y

Maka garis yang dilalui

 

7

,

4

Punya 1

1 1 1 1

     

m m



y



4







1



x



7



11

   x y

Maka



x

₁

,

y

₁





y



x



3



   

8 2 0

11

x x y

4

 x

3

 x y

3 4

 y

7

 y

 

4

,

7

Titik bayangan :



x

₂

,

y

₂



Titik

 

4

,

7

adalah titik tengah antara

 

7

,

4

dan bayangan



x

₂

,

y

₂



 

 

  



  

 2

2 2

2 4 , 2 7 7 ,

4 x y x

Jadi, 4 1

2 7

2

2   



x x

,

10 7

2 4

2

2   

y _y

 Bayangan

 

7

,

4

oleh yx3 adalah

 

1

,

10

lalu

 

1

,

10

dirotasi

R

 

0

,

45

       

 

    

10 1 45 cos 45 sin

45 sin 45 cos 3

3

 

 

y x





























10

1

2

2

2

2

2 1 2

1

2 1 2

1



















2

5

2

4

2 1 2 1

3. E.

 

_{}

        

 

         

   

 60 , 0 6

8 8 8

4 4 6 2 8

4 R

x

M M

         

 

 _

          

 

 _

8 8 3

3 8

8 60 cos 60 sin

60 sin 60 cos

2 1 2 1

2 1 2 1

 

 

       

  

4 3 4

3 4 4

// //

x y

x  



// //

y x

y  

4. E.































₀

₁

2

1

,

0

1

1

0

2 1

M

M

x y



















































y

x

y

x

0

1

1

0

1

0

2

1

2 2











 





























x

y

x

y

x

2

0

1

1

2

2

2

x

x

y

y







y

y

x

y

x

x

₂



2





₂



2

₂



2 2

2y

x

y





Garis : 2x y40

Bayangan :

2

y

₂





x

₂



2

y

₂





4



0

0

4

2





x

5. C.

Garis y3x1

            0 1 1 0 90 cos 90 sin 90 sin 90 cos

1 _{ }

  M











1

0

0

1

2

M















 



















y

x

y

x

0

1

1

0

1

0

0

1

2 2





























x

y

y

x

0

1

1

0

2

2

y

y

x

x







2

2

x

x

y

y







Bayangan :

x

₂





3

y

₂



1

1

3

y

₂





x

₂



6. E.

Garis x2y30

            _ _ 90 cos 90 sin 90 sin 90 cos , 1 0 0 1 2 1 M M







 



0

1

1

0

























 











y

x

y

x

1

0

0

1

0

1

1

0

2 2





























x

y

y

x

0

1

1

0

2

2

y

y

x

x







2

2

x

x

y

y







Bayangan :

0 3

2  

 y x

0

3

2

₂ 2



x





y

atau

0 3 2xy  7. D.

0 7 5 3x y 





















0

1

1

0

;

1

1

3

2

2 1

M

M



































y

x

y

x

1

1

3

2

0

1

1

0

2 2

































y

x

y

x

y

x

3

2

3

2

1

1

y

x

x

₂





x



x

₂



y

y

x

y

₂



2



3

x



x

₂





y

₂



2x

₂





x

y



y

y

₂



2





x



3

x

₂



y

₂

y

x

y

₂



2

₂



2 2

2x

y

y





Bayangan :



3

 

5

2



7

0

3

x

₂



y

₂



y

₂



x

₂





0

7

2

₂

2









x

y

atau

0 7

2  

 x y 8. A.

Garis 7x2y130











1

1

2

3

1

M

,       _{ }   225 cos 225 sin 225 sin 225 cos 2 M

























2

2

2

2

2 1 2 1 2 1 2 1                         y x y x 1 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2                              y x y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 y x x 2 2 1 2

2  

y x

x 2 2 2

2 ₂  

y x y 2 2 3 2 2



x y



y

2 1 2 2

2  

 

y

x 2

2 1 2 2 

2 2 2 2 2 1

y x y  

2

2 2

2

2 x y

y 

y x

x 2 2 2

2 2   ; substitusiy y

x

x 2 2

2

2  ₂



2 2



2 2 2 2 2

2 2

2 x  x  x  y

2 2

2 4 2

2 2

2 x  x  x  y 2 2 2 6 2

2 x  x  y

2

2 2

2 1 2 2 3

y x

x 

Bayangan :



2 2 2



13 0 2

2 2 1 2 2 3

7 _{2 2} ₂ ₂  

  



_{ x  y x y}

0 13 2 2 2 4 2 2 7 2 2 21

2 2

2

2     

 x y x y

2 0 2 13 3 13

0 13 2 3 2

2 2

2 2

2 13

    

   

y x

y x

atau

0 2 13 3

13x y 

9. B.

Garis 5x3y40





































1

0

0

1

,

2

2

2

2

2 2

1 2

1

2 1 2

1

1

M

M



















































y

x

y

x

2

2

2

2

1

0

0

1

2 1 2

1

2 1 2

1

2 2



























y

x

2

2

2

2

2 1 2 1

2 1 2 1

























y

x

y

x

2

2

2

2

2 1 2

1

2 1 2

1

y x

x 2

2 1 2 2 1

2  

y x

y 2

2 1 2

1

2 

x y

x 2 2

2 1 2 2 1

 

 

x x₂ 2



2 2 2x y x

2

2 2

2 1 2 2 1

x y

x  

y x

x 2

2 1 2 2 1

2  

y x

y

x 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 2

2 

  



 _

 

y x

y 2

2 1 2 1 2 1

2

2 

 

2 2 2

2 1 2 1 2

2 1

x y x

y  

2 2

2 1 2 1 2 2 1

y x

y 

2

2 2

2 1 2 2 1

y x

y 

Bayangan :

0 4 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 1

5 2 2 2 2 

  



 _

    



 _{y  x x y}

0 4 2 2

4 y₂ x₂ 

0 2 2

4y₂x₂ 

atau

0 2 2

4  

 y

x

5. B.

0

11

8

6

2

2











y

x

y

x







 













0

1

1

0

,

0

1

1

0

2

1

M

M























 











y

x

y

x

0

1

1

0

0

1

1

0

2 2





























y

x

y

x

1

0

0

1

2

2

x

x

x

x











2

2

y

y

y

y







Bayangan :

 

6

 

2 8 2 11 0

2 2 2

2      

x y x y

0

11

8

6

2 2 2

2 2

2



y



x



y





x

21. Barisan dan Deret 1. B.

n n

Sn 3

2  

a

S

₁



4 4

1 . 3

12    

 a ….. (i)

b

a

S

₂



2



10 2 . 3

22 



10 2ab

10 4

. 2 b

2

 b

Beda 2

2. D.





10

3

u

a2b10

   4  12

22 6

b b a

3

 b

10

2 

 b a

10 3 .

2 

 a

4

 a

Suku pertama 4

3. B.

n n Sn  

2 2

11 12

12

S

S

u







2

.

12

2



12



2

.

11

2



11





45 231

276 



Suku ke-1245

4. D.

 



2 4 1



17

2 4 17

4   a  b 

S



2

3



17

2

a



b



17 6

4a b ... (i)

 



2 8 1



58

2 8 58

8   a  b 

S



2

7



58

4

a



b



29 14

4a b ….. (ii) Eliminasi (i) dan (ii)

17 6 4a b

  

 



10 8

27 14 4

b b a

4 5

 b

17 6 4a b

17 4 5 . 6

4a 

4 30 17 4a 

4 38 4a

8 19 16 38

  a

Suku pertama

8 19

 5. B.

Perbandingan segitiga siku-siku yang membentuk barisan aritmetika 3 : 4 : 5 Sisi siku-siku terpanjang 16cm

Sisi miring 16cm 4

5

 

cm 20

 6. B.

Bilangan ab,a,ab

Membentuk barisan aritmetika jumlah 36



a



b





a





a



b





36

36 3a

12

 a

Hasil kali 1.536



a



b

 

a

a



b





1

.

536



12



b

 

12

12



b





1

.

536



144



1

.

536

12



b

2



128 144b2 

16 2  b

4

  b

Maka bilangan terbesar

4 12

 b a

16

 7. E.

Deret geometri

64

,

1

,

5

1







U

U

n

k

1

1

.





k

n

U

U

r

6 6

64

64

.

1





2 2 6 6

 

Banyak suku 527

 

1

1

1







r

r

U

S

n

n





22

7

u

 

₁₂₇

1

2

1

2

1

7

7









S

8. C.

...

5

log

5

log

1





2





p

padalah deret geometri tak hinga yang konvergen

5 log 1

5 log ,

1  

 r a

5

log

1

1







S



p

5 10 log

1 5 log 10 log

1

 



10

log

2

log

1



2







2

log

10

p

10

2

2

p



2log10



9. D.

a

a

1

a _a2

...

4

1

1











Deret geometri tak hingga konvergen

a

U

₁



a r 1

a

a

S ₁

1





1

2

1







_

a

a

a

a a

Jika

S

_



4

a

maka

a

a

a

4

1

2





 

 

a

a

a

a

a

a

:

1

4

1

4

2









4

4 

 a a

4 3a

3 4

 a

3 4

  a

10. E.

BAC AC

AB ABC

U    sin

2 1 Luas

1



60 sin 10 . 10 . 2 1

 sama sisi

3 2 1 . 50



3 25





r perbandingan luas



?

Karena bangun berikutnya mempunyai sisi

2 1

dari semula, sedangkan perbandingan dari kuadrat sisi-sisinya

Jadi,

4 1 2 12

  r





Luas

1 1 1

Luas

ABC

A

B

C

...

Luas

A

₂

B

₂

C

₂



r U S

   

1 1

4 3 2 1

3 25 1

3 25

  

3 3 100

 11. A.

Deret geometri tak hingga

2 ,

1 ganjil  S

a

2 1

ganjil 

 



r a S

2 1

1 2  r

1

2

2



r

2



1

2

2







r

0 2 1 r2 



1 2r



1 2r



0

0

2

1



r



atau

1



2

r



0

2 2 1

 

r 2

2 1

 r

pilihr0

r a S

 

 ₁

2

2

2

2

1

1

2

1









12. C.

Diagonal sisi

B

₁ adalah diameter lingkaran

10

5

2

1







L

sisi

B

₁ misalkan

S

₁

Jika

S

₁ panjang sisi, maka diagonal sisinya

2 1 S

10 2

1 

S

2 5 2 10

1 

S

Luas B₁

 

5 2 250cm2



1

S

diameter lingkaran 2 diagonal sisi

2

B

adalah diameter lingkaran 2, maka

2 2 1 S S 

2 2

5 S₂

cm

5

2



S

Luas B₂ 

 

5 2 25

Deret luas

B

₁

,

B

₂

,

...

merupakan deret geometri dengan

a



luas

B

₁



50

2 1 50 25 Luas

Luas 1

2  



B B r

r a S

 



1

100 1

50 2 1    13. A.

... , 33 , 18 , 3

Diantara dua bilangan disisipkan 4 bilangan baru

3 ,

4 

 a

k

3 5 15 1 4

3 18

    b

 



2.3 7 13



2

7

7   

S

 

24 84 2

7

 

14. C.

...

2

2

2

2

1









Merupakan deret geometri dengan

2 ,

1 

 r a

 

17 1 17

1

.

2





U

 

16

 

16

2 1

2

2





256 28 

 15. A.

Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian dan membentuk deret geometri

160

,

5

,

6



6





a

U

n



n

S

?

160 5 6 ar  U

160 5r5 

32 5  r

5

32



r

2

 r

 

1

2

1

2

5

6 6







S

315 63 .

5 