Pendugaan Fungsi Ragam Pada Proses Poisson Periodik Majemuk
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON
PERIODIK MAJEMUK
FITRIANI IDA MAKHMUDAH
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi Ragam
pada Proses Poisson Periodik Majemuk adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2016
Fitriani Ida Makhmudah
NIM G551150426
RINGKASAN
FITRIANI IDA MAKHMUDAH. Pendugaan Fungsi Ragam pada Proses Poisson
Periodik Majemuk. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI
SUMARNO.
Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai
fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses
Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah
dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di
bidang asuransi dan keuangan, fisika, dan demografi. Pengembangan model
proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan memperumum proses Poisson
yang digunakan. Salah satunya adalah dengan menggunakan proses Poisson
periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk.
Ada tiga tujuan dalam penelitian ini, yaitu: (1) merumuskan penduga bagi
fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk, (2) menganalisis
kekonsistenan penduga, dan (3) menganalisis bias, ragam, dan mean squared
error (MSE) penduga.
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui)
. Fungsi
intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa
fungsi periodik, yaitu memenuhi persamaan
untuk setiap
dan
n, dengan n adalah himpunan bilangan asli. Misalkan
adalah suatu proses Poisson periodik majemuk, yaitu
∑
dimana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distribution (i.i.d) dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap proses Poisson periodik
.
Fungsi ragam dari
dinotasikan dengan
, diberikan oleh
[ ]
dengan
dan
∫
∫
.
Misalkan untuk suatu
, suatu realisasi tunggal
dari suatu
proses Poisson periodik
dengan fungsi intensitas yang diamati
pada suatu interval terbatas
Selanjutnya, untuk setiap titik data pada
realisasi
yang
diamati,
misalkan
titik
data
kepeubah acak yang bersesuaian juga diamati.
dengan
Penduga bagi fungsi ragam adalah
̂
̂
̂
̂
∑
̂
dan
̂
∑
̂
∑
, saat
dimana ̂
dan ̂
Penduga bagi fungsi ragam dengan rumusan ini merupakan penduga yang
konsisten lemah dan kuat, yaitu
̂
→
dan
̂
→
untuk →
Pendekatan asimtotik untuk bias, ragam, dan MSE penduga
berturut-turut adalah
dengan
dan
[̂
]
untuk
[̂
]
→
∫
[̂
]
(
(
Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi ragam, pendugaan konsisten, proses
Poisson majemuk
SUMMARY
FITRIANI IDA MAKHMUDAH. Estimating the Variance Function of a
Compound Cyclic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and
HADI SUMARNO.
A stochastic process has an important role in modeling various real
phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson
process. Many phenomena in different fields have been modeled as a compound
Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and finance,
physics, and demography. A compound Poisson process model can be extended
by generalizing the corresponding Poisson process. One of them is using cyclic
Poisson process, so that the model becomes a compound cyclic Poisson process.
There are three objectives in this research, as follows: (1) to formulate an
estimator of the variance function of a compound cyclic Poisson process, (2) to
analyze consistency of the estimator, and (3) to analyze the bias, variance, and
mean squared error (MSE) of the estimator.
Let
be a cyclic Poisson process with (unknown) locally
integrable intensity function . We consider the case when the intensity function
has a (known) period
. We do not assume any (parametric) form of except
that it is periodic, that is, the equality
holds for all
and
n, with n denotes the set of natural numbers. Let
be a compound cyclic Poisson process, that is
∑
with
is a sequence of independent and identically distributed random
variables having mean
and variance
, which is also independent of
the process
.
The variance function of
is given by
[ ]
where
and
∫
.
∫
Suppose that, for some
, a single realization
of the process
though only within a bounded interval
. Furthermoe, suppose
that for each data point in the observed realization
say -th data
point,
, its corresponding random variable
is also
observed.
The estimator of the variance function is given by
̂
̂
̂
̂
where
̂
∑
̂
and
∑
̂
∑
, when
where ̂
dan ̂
The estimator of the variance function is both weakly and strongly
consistent estimator, that is
̂
→
and
̂
→
as →
Asymptotic approximations to the bias, variance, and MSE of the
estimator are given respectively by
where
and
[̂
]
as
[̂
]
→
∫
[̂
]
(
(
Keywords: compound Poisson process, consistent estimation, cyclic intensity
function, variance function
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah: dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON
PERIODIK MAJEMUK
FITRIANI IDA MAKHMUDAH
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga
karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak
lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih
yang sebesar- besarnya kepada :
1 Keluarga tercinta Bapak Muhamad Nadjib, Ibu Supriyati, Mbak Nisa, dan
Umar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih
sayang, dan motivasi.
2 Prof Dr Ir I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen Pembimbing I yang telah
memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya
selama penulisan tesis ini.
3 Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing II yang telah memberikan
ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, dan saran.
4 Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji yang telah memberikan
ilmu dan sarannya.
5 Kakak-kakak Matematika Terapan S2 angkatan 9 yang telah memberikan doa,
semangat, dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Agustus 2016
Fitriani Ida Makhmudah
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Kerangka Pikir Penelitian
1
Tujuan Penelitian
3
KEBARUAN PENELITIAN
3
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
3
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM
4
Perumusan Penduga
4
Kekonsistenan Penduga
5
Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga
10
SIMPULAN
19
SARAN
20
DAFTAR PUSTAKA
20
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR GAMBAR
1 Kerangka pikir penelitian
2
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti beberapa persamaan
2 Beberapa definisi, lema dan teorema teknis
22
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus dari proses
stokastik yang bermanfaat dalam memodelkan berbagai fenomena nyata yang
terjadi. Byrne (1969) menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa
masalah fisika. Sedangkan dalam bidang demografi diterapkan oleh Kegler (2007).
Bening dan Korolev (2002) juga menerapkan proses Poisson majemuk dalam
bidang asuransi dan keuangan.
Proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan menggunakan proses
Poisson homogen atau tak homogen. Proses Poisson homogen merupakan proses
Poisson yang fungsi intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu).
Sedangkan proses Poisson takhomogen fungsi intensitasnya bergantung pada
waktu. Jika suatu kejadian memiliki peluang yang lebih besar terjadi pada suatu
interval tertentu dibanding dengan interval lainnya, maka proses Poisson homogen
tak sesuai untuk digunakan. Sehingga proses Poisson takhomogen yang lebih
sesuai untuk digunakan.
Penelitian ini mengkaji proses Poisson perodik majemuk dimana proses
Poisson periodik ini merupakan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson tak
homogen. Proses Poisson periodik ini cocok untuk menggambarkan suatu
kejadian yang terjadi secara periodik, misalkan proses kedatangan nasabah ke
suatu bank dengan periode satu hari. Untuk menduga sebaran dari proses Poisson
periodik majemuk tidaklah mudah. Oleh karena itu dilakukan pendugaan terhadap
fungsi nilai harapan dan juga ragamnya. Pendugaan fungsi nilai harapan proses
Poisson periodik majemuk telah dilakukan pada Ruhiyat (2013) dan pada
penelitian ini diduga fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk.
Kerangka Pikir Penelitian
Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat dari asumsi bahwa
fungsi intesitas merupakan fungsi konstan, menjadikan model tersebut perlu
dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti proses Poisson
homogen menjadi proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses
Poisson periodik majemuk. Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk
sulit ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan
untuk ditentukan adalah nilai harapan dan ragam dari peubah acak tersebut.
Fungsi intensitas dari fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson
periodik majemuk umumnya tidak diketahui, sehingga fungsi nilai harapan dan
ragamnya juga tidak diketahui. Oleh karena itu, diperlukan pendugaan terhadap
fungsi nilai harapan dan juga fungsi ragamnya. Pada Ruhiyat (2013) telah
dilakukan pendugaan fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk.
Oleh karena itu pada penelitian ini dilakukan pendugaan bagi fungsi ragamnya.
Pendugaan diawali dengan merumuskan penduga bagi fungsi ragam. Suatu
penduga merupakan penduga yang tidak baik apabila tidak dapat mendekati nilai
yang diduganya ketika banyaknya sampel yang digunakan membesar. Oleh karena
itu, penduga yang diperoleh harus dianalisis kekonsistenannya.
2
Keterbatasan Model
Proses Poisson
Majemuk
Pengembangan Model
Proses Poisson
Majemuk
Keperiodikan Fungsi
Intensitas
Model Proses Poisson
Periodik Majemuk
Fungsi Nilai Harapan
pada Proses Poisson
Periodik Majemuk
Fungsi Ragam pada
Proses Poisson Periodik
Majemuk
Pendugaan
Komponen Fungsi
Ragam
Penjabaran Fungsi
Ragam
Perumusan Penduga
Fungsi Ragam
Bias, Ragam, dan
Mean Squared Error
(MSE)
Kekonsistenan
Penduga
Kekonsistenan
Lemah
Kekonsistenan
Kuat
Gambar 1. Kerangka pikir penelitian
3
Kekonsistenan yang dianalisis ada dua, yaitu kekonsistenan lemah dan
kuat. Selain itu, dilakukan analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error
(MSE) dari penduga.
Tujuan Penelitian
1
2
3
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
merumuskan penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik
majemuk,
menganalisis kekonsistenan penduga, dan
menganalisis bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga.
KEBARUAN PENELITIAN
Semua teorema dan bukti yang dihasilkan pada penelitian ini merupakan
kebaruan penelitian.
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui)
. Fungsi
intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa
fungsi periodik, yaitu memenuhi persamaan
(1)
untuk setiap
dan
n, dengan n menyatakan himpunan bilangan asli.
Proses
dengan fungsi intensitas yang demikian disebut dengan
proses Poisson periodik.
Misalkan
adalah suatu proses dengan
∑
(2)
dimana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distribution (i.i.d) dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap proses Poisson periodik
. Proses
disebut dengan proses Poisson periodik majemuk.
Fungsi nilai harapan dari
dinotasikan dengan
, diberikan oleh
,
(3)
dengan
(4)
∫
Bukti persamaan (3) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013).
Misalkan [ ]
Fungsi ragam dari
dapat dinotasikan dengan
,
diberikan oleh
=
[ ]
(5)
Bukti persamaan (5) dapat dilihat pada Lampiran 1. Misalkan
(6)
dimana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar
yang lebih kecil dari atau sama dengan dan misalkan pula
4
(7)
maka
.
(8)
Misalkan
yaitu fungsi intensitas global dari proses
maka untuk setiap
∫
(9)
dan diasumsikan
(10)
,
.
(11)
Bukti persamaan (11) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013).
Pada Ruhiyat (2013) telah dirumuskan penduga untuk fungsi nilai harapan
proses Poisson periodik majemuk yaitu
̂
̂
̂
̂
(12)
∑
dengan ̂
saat
dan ̂
Berdasarkan persamaan (5) dan (11), fungsi ragam dari
dituliskan sebagai berikut
dapat
(13)
Fungsi ragam inilah yang diduga dalam tulisan ini.
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM
Pendugaan fungsi ragam
pada persamaan (13) dilakukan dengan
menggunakan realisasi tunggal
dari suatu proses Poisson periodik
dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval terbatas
untuk suatu
yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, , P).
Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi
yang diamati,
misalkan titik data kepeubah acak
yang bersesuaian
juga diamati.
Perumusan Penduga
Pendugaan fungsi ragam
pada persamaan (13) dapat dibagi menjadi
yang
tiga pendugaan yaitu pendugaan fungsi intensitas global , pendugaan
merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
,
Penduga bagi fungsi intensitas global
dan pendugaan
Misalkan
telah dikaji pada Mangku et al (2013) dan rumusannya adalah sebagai berikut:
̂
∑
.
Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
juga dirumuskan pada Mangku et al {2013)
[
] Penduga bagi
̂
∑
.
Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada setiap
yang termasuk dalam interval pengamatan
interval waktu
5
Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang sama yaitu .
Selain itu, masing-masing interval waktu tersebut memiliki fungsi intensitas yang
sama dengan interval waktu banyaknya kejadian yang diduga.
Untuk menduga fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk
dibutuhkan juga penduga bagi . Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut
∑
,
̂
dimana ̂
saat
Dengan menggunakan rumusan penduga
yang telah diberikan, penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik
majemuk dirumuskan sebagai berikut
̂
̂
̂
̂
(14)
saat
dimana ̂
Kekonsistenan Penduga
Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga
bagi fungsi ragam
Lema 1 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal maka
[̂ ]
Dengan kata lain ̂ merupakan penduga tak bias bagi .
Bukti:
Nilai harapan ̂ dapat dihitung seperti berikut:
[̂ ]
∑
∑
∑
∫
Bukti lengkap.
Dalam tulisan ini, untuk setiap barisan peubah acak
dan dalam suatu
→ menyatakan
konvergen lengkap ke , untuk
ruang peluang (Ω, , P),
→
Barisan peubah acak
disebut konvergen lengkap ke jika untuk setiap
∑
(Grimmett and Stirzaker 1992).
|
|
6
Lema 2 (Kekonvergenan lemah dan lengkap bagi ̂ )
Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
̂ →
(15)
dan
̂ →
(16)
untuk → .
Bukti:
Karena berlakunya (16) mengakibatkan berlakunya (15), maka cukup dibuktikan
(16) saja. Untuk membuktikan (16), harus diperiksa bahwa untuk setiap
Sekarang lihat bahwa
(| ̂
|
|
|
∑
| ∑
Misalkan
∑ (| ̂
∑
|
∑
(∑
|
∑
∑
(| ̂
(|
|
(
Sehingga,
|
|
|
[
Misalkan
, sehingga
|
|
]
7
∫
(
Jadi, berdasarkan uji banding dan uji integral diperoleh
∑
Bukti lengkap.
(| ̂
⌊ ⌋
|
Lema 3 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
]
[̂
̂
merupakan penduga tak bias bagi
Dengan kata lain,
Bukti:
dapat dihitung seperti berikut:
Nilai harapan ̂
[̂
]
∑
∑ ∫
∑ ∫
Bukti lengkap.
)
Lema 4 (Kekonvergenan lemah dan lengkap bagi ̂
Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
̂
(18)
→
dan
̂
(19)
→
untuk → .
Bukti:
Sama seperti pada bukti Lema 2, karena berlakunya (19) mengakibatkan
berlakunya (18), maka cukup dibuktikan (19) saja. Untuk membuktikan (19) harus
ditunjukkan bahwa untuk setiap
Sekarang lihat bahwa
[̂
(|̂
|
∑
∑ (|̂
]|
|
∑
|
8
|
Misalkan
∑
| ∑
(∑
|
∑
∑
(|̂
(|
(|
|
Sehingga
]|
[̂
|
|
[
]
maka
Misalkan
∫
(
Jadi, berdasarkan uji banding dan uji integral diperoleh
Bukti lengkap.
∑
(|̂
⌊ ⌋
|
Lema 5
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika kondisi (10) dipenuhi, maka dengan peluang 1
→
(21)
untuk →
Bukti:
Nilai harapan dari
dapat dihitung sebagai berikut:
(
∫
9
∫
∫
∫
∫
∫
∫
⏟
∫
∫
(
∫
∫
∫
Karena fungsi intensitas
maka
→
untuk
Jadi,
→
∫
(
)
∫
terintegralkan lokal dan
, untuk
∫
(
→
untuk → . Kemudian, dengan Lema Borel-Cantelli, diperoleh persamaan (21).
Bukti lengkap.
Kekonsistenan penduga fungsi ragam disajikan dalam dua teorema berikut.
Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
̂
→
̂
merupakan penduga konsisten lemah bagi
.
untuk →
Jadi,
Bukti:
Perhatikan kembali persamaan (14). Dengan menerapkan Lema L.2
membuktikan (22), cukup diperiksa bahwa
̂ →
dan
̂
→
lokal.
(22)
untuk
(23)
(24)
(25)
̂ →
untuk → . Dengan Lema 2 diperoleh (23) dan dengan Lema 4 diperoleh (24).
Perlu diketahui jika
adalah barisan peubah acak tak negatif yang
independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan
dan
ragam
, maka {
} juga merupakan barisan peubah acak yang
10
independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan
dan
ragam
Dengan Lema 5 serta Teorema L.2 (hukum lemah bilangan
besar) diperoleh (25). Bukti Lengkap.
Teorema 2 (Kekonsistenan Kuat)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
̂
→
(26)
merupakan penduga yang konsisten kuat bagi
.
untuk →
Jadi, ̂
Bukti:
Analog dengan bukti Teorema 1, dengan menerapkan Lema L.3 untuk
membuktikan (26), cukup diperiksa bahwa
̂ →
(27)
̂
(28)
→
dan
untuk
,
→
̂
→
Berdasarkan Lema 2, ̂ → , untuk
∑ (| ̂
|
(29)
→
yaitu untuk setiap
sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh
|̂
|
→
yang merupakan (27). Dengan argument yang sama, berdasarkan Lema 4,
̂
, untuk →
yaitu untuk setiap
,
→
∑ (| ̂
|
sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh
|
|̂
→
yang merupakan (28). Terakhir, berdasarkan Lema 5 serta Teorema L.3 (hukum
kuat bilangan besar) diperoleh (29). Bukti Lengkap.
Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga
Berikut disajikan hasil analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error
(MSE) dari penduga bagi fungsi ragam.
Teorema 3 (Pendekatan asimtotik untuk bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
11
[̂
∫
dengan
untuk
→
]
Bukti:
Nilai harapan dari penduga fungsi ragam dapat ditentukan melalui nilai harapan
bersyarat berikut:
|
]
]
[̂
[̂
∑ [̂
[̂
∑ [̂
|
|
|
Berdasarkan rumusan dari ̂
untuk
Sehingga untuk
̂
(
]
]
untuk
̂
̂
[̂
|
[
]
̂
∑
̂
]
̂
(
(
(
(
]
∑
∑
∑ [
]
Oleh karena itu,
[̂
]
sedangkan
∑
(
∑
(
(
12
(
Karena
dengan
∫
∫
∫
∫
maka
[̂
]
(
(
]
]
[̂
untuk →
Jadi,
[̂
untuk →
Bukti lengkap.
Perhitungan pendekatan asimtotik untuk ragam dari penduga bagi fungsi
ragam memerlukan beberapa hasil berikut.
Lema 6 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
[̂ ]
Bukti:
Ragam dari ̂ dapat dihitung sebagai berikut:
[̂ ]
∑
∑
(
∑ ∫
∑ ∫
∑
Bukti lengkap.
∫
13
Berdasarkan Lema 1 dan Lema 6, diperoleh akibat berikut.
Akibat 1
Jika fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
̂
Bukti:
Momen kedua dari ̂ dapat dihitung sebagai berikut:
̂
[̂ ]
( [̂ ]
Bukti lengkap.
Lema 7 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas
Bukti:
Ragam dari ̂
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
[̂
]
dapat dihitung sebagai berikut:
[̂
]
∑
∑
∑
∑
∑ ∫
∑ ∫
∑
14
Bukti lengkap.
Berdasarkan Lema 3 dan Lema 7, diperoleh akibat berikut.
Akibat 2
Jika fungsi intensitas
Bukti:
Momen kedua dari ̂
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
[ ̂
]
(
dapat dihitung sebagai berikut:
[ ̂
]
(
Bukti lengkap.
Lema 8 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
[̂ ̂
Bukti:
Misalkan
]
̂
∑
sehingga ̂ dapat ditulis sebagai berikut
̂
Jadi, dapat kita peroleh
[̂ ̂
]
Perlu diketahui bahwa ̂
[̂ ̂
̂
]
[
[
[
dan ̂
̂
̂
̂
̂
]
̂
[ ̂
]
[ ̂
]
]
[̂
[̂
( [̂ ]
Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Akibat 2 diperoleh
[̂ ̂
]
(
̂
̂
]
̂
]
]
saling bebas, sehingga
[ ̂
[ ̂
̂
(
] [̂
̂
[̂
]
] [̂
]
[̂
]
]
15
(
(
Bukti lengkap.
Berdasarkan Lema 6, Lema 7, Lema 8, Akibat 1, dan Akibat 2, ragam dari
penduga fungsi ragam disajikan pada teorema berikut.
Teorema 4 (Pendekatan asimtotik untuk ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
[̂
(
]
untuk →
Bukti:
Berdasarkan sifat ragam, ragam dari penduga bagi fungsi ragam dapat diperoleh
dari rumusan berikut:
[̂
[ ̂
]
]
( [̂
]
(30)
, ̂
sedangkan
Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (30) telah diperoleh pada Lema 1,
sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga fungsi ragam dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut
[ ̂
∑
[ ̂
[ ̂
∑
[ ̂
[ ̂
]
|
|
]
|
|
]
]
]
Berdasarkan rumusan dari ̂
untuk
Sehingga untuk
[ ̂
|
̂
untuk
̂
]
̂
∑
16
̂
̂
(
̂
̂
(
̂
̂
[
Pertama, dihitung
[
̂
̂
̂
]
∑
(
∑
̂
̂ ̂
̂ ̂
[
]
[̂ ̂
]
[ ̂
]
]
[ ̂
]
(
(
Kedua, dihitung
(
∑
(∑
∑ [
]
∑∑ [
∑ [
]
∑∑ [
[
[
Perlu diketahui bahwa
[ ]
[ ] ( [
Sehingga
]
[
]
] [
( [
]
] [
]
]
]
]
17
(
∑
(
Jadi, diperoleh untuk
[ ̂
(
|
]
(
Oleh karena itu,
[ ̂
∑
|
]
(
(
[
(
]
∑
∑
Karena
, maka
∑
→
untuk
untuk →
diperoleh
[ ̂
(
Terakhir,
∑
(
Bukti persamaan (31) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013). Jadi
]
[ ̂
|
]
(
(
18
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
untuk
(
(
→
. Akhirnya, ragam dari penduga bagi fungsi ragam adalah
(
19
[̂
untuk
]
(
→
(
(
(
. Bukti lengkap.
Berdasarkan Teorema 3 dan Teorema 4, diperoleh MSE dari penduga
fungsi ragam seperti berikut.
Akibat 3
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
[̂
untuk →
→
Bukti:
]
Artinya, MSE ̂
konvergen ke nol dengan laju
]
]
[̂
[̂
Berdasarkan Teorema 3 dan Teorema 4,
]
]
[̂
[̂
untuk
→
(
(
[̂
[̂
(
jika
]
]
(
(
Bukti lengkap.
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik
majemuk adalah
̂
̂
̂
̂
dengan
̂
∑
20
̂
dan
∑
̂
∑
, saat
Penduga bagi fungsi ragam
dimana ̂
dan ̂
dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten, baik konsisten lemah,
maupun konsisten kuat.
Pendekatan asimtotik untuk bias, ragam, dan MSE penduga berturut-turut
adalah
dengan
dan
[̂
]
untuk
[̂
]
→
∫
[̂
]
(
(
SARAN
Pendugaan fungsi ragam penting dilakukan karena suatu peubah acak selain
diketahui nilai harapannya juga perlu diketahui ragamnya agar dapat diketahui
error atau kesalahan dari penduga tersebut. Studi lebih lanjut tentang penelitian ini
adalah dapat dilakukan pengolahan pada suatu data atau simulasi tertentu
sehingga penduga ini dapat diaplikasikan.
DAFTAR PUSTAKA
Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their
Applications in Insurance and Finance. Boston (US): VSP International
Science Publishers.
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with application in
statistical physics. Physica 41:575-587
Capinski M. Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. Ed ke-2. New
York (US): Springer.
Dasgupta A. 2011. Probability for Statistics and Machine Learning:
Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.
Dudley, RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth &
Brooks.
Grimmett, GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes.Ed. ke-2.
Oxford: Clarendon Press.
21
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of
injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations
4:1-9.
Mangku IW, Ruhiyat, and Purnaba IGP. 2013. Statistical Properties of an
Estimator for The Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process. Far
East J. Math. Sci. (FJMS) 82(2): 227-237.
Reiss RD. 1993. A Course on Point Processes. New York (US): Springer-Verlag.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk [thesis]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Sokol A, Nielsen AR. 2010. Advanced Probability. Copenhagen (DK): University
of Copenhagen.
22
LAMPIRAN
Lampiran 1 Bukti beberapa persaman
Bukti persamaan (5): Berdasarkan persamaan (2),
∑
Dengan sifat ragam,
Dengan sifat nilai harapan,
]
[ ∑
[
[(
∑
|
∑∑
∑ [
]
∑∑
[
]
[
[
∑
]
]
]
]
]
|
|
)]
dan diperoleh
[ ∑
∑
[
∑
∑
∑ [
[
sehingga
[
[
Pertama tentukan terlebih dahulu
[
]
[ ∑
∑
]
|
[ ]
]
]
(
]
]
23
(
Akhirnya, diperoleh
(
∑
[
[(
[
[(
(
]
]
(
(
(
(
]
]
Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak
} dengan proses
,
{
[ ]
Bukti lengkap.
24
Lampiran 2 Beberapa definisi, lema, dan teorema teknis
Definisi D.1 (Kekonvergenan dalam Peluang)
Misalkan
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang
peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak
dikatakan konvergen dalam peluang
ke peubah acak X, dinotasikan
→
, jika untuk setiap
berlaku
|
P |
→ , untuk → (Grimmet and Stirzaker 1992).
Definisi D.2 (Kekonvergenan almost surely (a.s))
Misalkan
adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu
ruang peluang (Ω, , P). Suatu barisan peubah acak
dikatakan konvergen
hampir pasti (almost surely (a.s)) ke peubah acak X, ditulis
→ , jika
adalah kejadian dengan peluang satu (Grimmett
and Stirzaker 1992).
Definisi D.3 (Fungsi Terintegralkan Lokal)
Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang
(Dudley 1989).
himpunan Borel terbatas B diperoleh
∫
Lema L.1
Jika adalah peubah acak Poisson dengan
berlaku
|
|
(
Bukti dapat dilihat pada Reiss (1993).
, maka untuk setiap
{
}
Lema L.2
Jika
→
dan
→
maka
→
maka
→
dan
Bukti dapat dilihat pada Hogg et al, (2005)
→
Lema L.3
Jika
→
dan
→
dan
→
Bukti dapat dilihat pada Sokol dan Nielsen (2010).
Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli)
Misalkan
adalah barisan kejadian pada ruang contoh . Jika
,
25
∑
maka
Jika
(⋂ ⋃
→
adalah barisan kejadian yang saling bebas dan
∑
maka
(⋂ ⋃
→
Bukti dapat dilihat pada DasGupta (2011).
Teorema L.2 (Hukum lemah bilangan besar)
Jika
adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan
dan ragam
, maka
∑
→
untuk → .
Bukti dapat dilihat pada Capinski dan Kopp (2007).
Teorema L.3 (Hukum kuat bilangan besar)
Jika
adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan
, maka
∑
→
untuk → .
Bukti dapat dilihat pada Capinski dan Kopp (2007).
dan ragam
26
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 11 Januari 1993 sebagai anak
kedua dari pasangan Muhamad Nadjib dan Supriyati. Tahun 2011 penulis lulus
dari SMAN 10 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk
Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Nasional Masuk
Perguruan Tinggi (SNMPTN) Undangan dan diterima di Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada Tahun 2015 penulis lulus
sebagai sarjana sains dari Departemen Matematika dan pada tahun yang sama
diterima di program studi S2 Matematika Terapan, Sekolah Pascasarjana, Institut
Pertanian Bogor
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah
Kalkulus 2 pada semester ganjil dan genap tahun ajaran 2013/2014, asisten mata
kuliah Pemodelan Matematika pada semester genap tahun ajaran 2014/2015,
asisten mata kuliah Analisis Model Empirik pada semester ganjil tahun ajaran
2015/2016, asisten mata kuliah Matematika Ekonomi pada semester genap tahun
ajaran 2015/2016 dan menjadi pengajar Pengantar Matematika, Landasan
Matematika, dan Kalkulus TPB di Bimbingan Belajar Katalis. Penulis pernah
mendapatkan beasiswa Bidik Misi pada tahun 2011-2015. Penulis juga aktif pada
organisasi kemahasiswaan, antara lain Bendahara Divisi Keilmuan Himpunan
Profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) FMIPA IPB pada periode
tahun 2012/2013 dan staf Divisi Keilmuan Himpunan Profesi Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA) FMIPA IPB periode 2013/2014.
Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan,
antara lain Panitia Math Camp Divisi Pendidikan tahun 2012 dan 2013, Panitia
Welcome Ceremony Mathematics (WCM) sebagai Komisi Disiplin (KOMDIS)
tahun 2013, Panitia IPB’s Mathematics Challenge (IMC) Divisi Tim Khusus
tahun 2013, Panitia Matematika Ria sebagai Bendahara tahun 2013, dan Panitia
Matematika Ria sebagai Ketua Divisi Dana Usaha tahun 2014. Penulis juga
pernah menjadi wakil dari IPB untuk mengikuti Olimpiade Sains Nasional bidang
Matematika (ON-MIPA) di tingkat regional/wilayah III pada tahun 2014.
PERIODIK MAJEMUK
FITRIANI IDA MAKHMUDAH
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi Ragam
pada Proses Poisson Periodik Majemuk adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2016
Fitriani Ida Makhmudah
NIM G551150426
RINGKASAN
FITRIANI IDA MAKHMUDAH. Pendugaan Fungsi Ragam pada Proses Poisson
Periodik Majemuk. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI
SUMARNO.
Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai
fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses
Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah
dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di
bidang asuransi dan keuangan, fisika, dan demografi. Pengembangan model
proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan memperumum proses Poisson
yang digunakan. Salah satunya adalah dengan menggunakan proses Poisson
periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk.
Ada tiga tujuan dalam penelitian ini, yaitu: (1) merumuskan penduga bagi
fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk, (2) menganalisis
kekonsistenan penduga, dan (3) menganalisis bias, ragam, dan mean squared
error (MSE) penduga.
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui)
. Fungsi
intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa
fungsi periodik, yaitu memenuhi persamaan
untuk setiap
dan
n, dengan n adalah himpunan bilangan asli. Misalkan
adalah suatu proses Poisson periodik majemuk, yaitu
∑
dimana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distribution (i.i.d) dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap proses Poisson periodik
.
Fungsi ragam dari
dinotasikan dengan
, diberikan oleh
[ ]
dengan
dan
∫
∫
.
Misalkan untuk suatu
, suatu realisasi tunggal
dari suatu
proses Poisson periodik
dengan fungsi intensitas yang diamati
pada suatu interval terbatas
Selanjutnya, untuk setiap titik data pada
realisasi
yang
diamati,
misalkan
titik
data
kepeubah acak yang bersesuaian juga diamati.
dengan
Penduga bagi fungsi ragam adalah
̂
̂
̂
̂
∑
̂
dan
̂
∑
̂
∑
, saat
dimana ̂
dan ̂
Penduga bagi fungsi ragam dengan rumusan ini merupakan penduga yang
konsisten lemah dan kuat, yaitu
̂
→
dan
̂
→
untuk →
Pendekatan asimtotik untuk bias, ragam, dan MSE penduga
berturut-turut adalah
dengan
dan
[̂
]
untuk
[̂
]
→
∫
[̂
]
(
(
Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi ragam, pendugaan konsisten, proses
Poisson majemuk
SUMMARY
FITRIANI IDA MAKHMUDAH. Estimating the Variance Function of a
Compound Cyclic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and
HADI SUMARNO.
A stochastic process has an important role in modeling various real
phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson
process. Many phenomena in different fields have been modeled as a compound
Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and finance,
physics, and demography. A compound Poisson process model can be extended
by generalizing the corresponding Poisson process. One of them is using cyclic
Poisson process, so that the model becomes a compound cyclic Poisson process.
There are three objectives in this research, as follows: (1) to formulate an
estimator of the variance function of a compound cyclic Poisson process, (2) to
analyze consistency of the estimator, and (3) to analyze the bias, variance, and
mean squared error (MSE) of the estimator.
Let
be a cyclic Poisson process with (unknown) locally
integrable intensity function . We consider the case when the intensity function
has a (known) period
. We do not assume any (parametric) form of except
that it is periodic, that is, the equality
holds for all
and
n, with n denotes the set of natural numbers. Let
be a compound cyclic Poisson process, that is
∑
with
is a sequence of independent and identically distributed random
variables having mean
and variance
, which is also independent of
the process
.
The variance function of
is given by
[ ]
where
and
∫
.
∫
Suppose that, for some
, a single realization
of the process
though only within a bounded interval
. Furthermoe, suppose
that for each data point in the observed realization
say -th data
point,
, its corresponding random variable
is also
observed.
The estimator of the variance function is given by
̂
̂
̂
̂
where
̂
∑
̂
and
∑
̂
∑
, when
where ̂
dan ̂
The estimator of the variance function is both weakly and strongly
consistent estimator, that is
̂
→
and
̂
→
as →
Asymptotic approximations to the bias, variance, and MSE of the
estimator are given respectively by
where
and
[̂
]
as
[̂
]
→
∫
[̂
]
(
(
Keywords: compound Poisson process, consistent estimation, cyclic intensity
function, variance function
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah: dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON
PERIODIK MAJEMUK
FITRIANI IDA MAKHMUDAH
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga
karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak
lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih
yang sebesar- besarnya kepada :
1 Keluarga tercinta Bapak Muhamad Nadjib, Ibu Supriyati, Mbak Nisa, dan
Umar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih
sayang, dan motivasi.
2 Prof Dr Ir I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen Pembimbing I yang telah
memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya
selama penulisan tesis ini.
3 Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing II yang telah memberikan
ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, dan saran.
4 Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji yang telah memberikan
ilmu dan sarannya.
5 Kakak-kakak Matematika Terapan S2 angkatan 9 yang telah memberikan doa,
semangat, dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Agustus 2016
Fitriani Ida Makhmudah
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Kerangka Pikir Penelitian
1
Tujuan Penelitian
3
KEBARUAN PENELITIAN
3
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
3
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM
4
Perumusan Penduga
4
Kekonsistenan Penduga
5
Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga
10
SIMPULAN
19
SARAN
20
DAFTAR PUSTAKA
20
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR GAMBAR
1 Kerangka pikir penelitian
2
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti beberapa persamaan
2 Beberapa definisi, lema dan teorema teknis
22
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus dari proses
stokastik yang bermanfaat dalam memodelkan berbagai fenomena nyata yang
terjadi. Byrne (1969) menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa
masalah fisika. Sedangkan dalam bidang demografi diterapkan oleh Kegler (2007).
Bening dan Korolev (2002) juga menerapkan proses Poisson majemuk dalam
bidang asuransi dan keuangan.
Proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan menggunakan proses
Poisson homogen atau tak homogen. Proses Poisson homogen merupakan proses
Poisson yang fungsi intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu).
Sedangkan proses Poisson takhomogen fungsi intensitasnya bergantung pada
waktu. Jika suatu kejadian memiliki peluang yang lebih besar terjadi pada suatu
interval tertentu dibanding dengan interval lainnya, maka proses Poisson homogen
tak sesuai untuk digunakan. Sehingga proses Poisson takhomogen yang lebih
sesuai untuk digunakan.
Penelitian ini mengkaji proses Poisson perodik majemuk dimana proses
Poisson periodik ini merupakan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson tak
homogen. Proses Poisson periodik ini cocok untuk menggambarkan suatu
kejadian yang terjadi secara periodik, misalkan proses kedatangan nasabah ke
suatu bank dengan periode satu hari. Untuk menduga sebaran dari proses Poisson
periodik majemuk tidaklah mudah. Oleh karena itu dilakukan pendugaan terhadap
fungsi nilai harapan dan juga ragamnya. Pendugaan fungsi nilai harapan proses
Poisson periodik majemuk telah dilakukan pada Ruhiyat (2013) dan pada
penelitian ini diduga fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk.
Kerangka Pikir Penelitian
Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat dari asumsi bahwa
fungsi intesitas merupakan fungsi konstan, menjadikan model tersebut perlu
dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti proses Poisson
homogen menjadi proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses
Poisson periodik majemuk. Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk
sulit ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan
untuk ditentukan adalah nilai harapan dan ragam dari peubah acak tersebut.
Fungsi intensitas dari fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson
periodik majemuk umumnya tidak diketahui, sehingga fungsi nilai harapan dan
ragamnya juga tidak diketahui. Oleh karena itu, diperlukan pendugaan terhadap
fungsi nilai harapan dan juga fungsi ragamnya. Pada Ruhiyat (2013) telah
dilakukan pendugaan fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk.
Oleh karena itu pada penelitian ini dilakukan pendugaan bagi fungsi ragamnya.
Pendugaan diawali dengan merumuskan penduga bagi fungsi ragam. Suatu
penduga merupakan penduga yang tidak baik apabila tidak dapat mendekati nilai
yang diduganya ketika banyaknya sampel yang digunakan membesar. Oleh karena
itu, penduga yang diperoleh harus dianalisis kekonsistenannya.
2
Keterbatasan Model
Proses Poisson
Majemuk
Pengembangan Model
Proses Poisson
Majemuk
Keperiodikan Fungsi
Intensitas
Model Proses Poisson
Periodik Majemuk
Fungsi Nilai Harapan
pada Proses Poisson
Periodik Majemuk
Fungsi Ragam pada
Proses Poisson Periodik
Majemuk
Pendugaan
Komponen Fungsi
Ragam
Penjabaran Fungsi
Ragam
Perumusan Penduga
Fungsi Ragam
Bias, Ragam, dan
Mean Squared Error
(MSE)
Kekonsistenan
Penduga
Kekonsistenan
Lemah
Kekonsistenan
Kuat
Gambar 1. Kerangka pikir penelitian
3
Kekonsistenan yang dianalisis ada dua, yaitu kekonsistenan lemah dan
kuat. Selain itu, dilakukan analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error
(MSE) dari penduga.
Tujuan Penelitian
1
2
3
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
merumuskan penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik
majemuk,
menganalisis kekonsistenan penduga, dan
menganalisis bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga.
KEBARUAN PENELITIAN
Semua teorema dan bukti yang dihasilkan pada penelitian ini merupakan
kebaruan penelitian.
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui)
. Fungsi
intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa
fungsi periodik, yaitu memenuhi persamaan
(1)
untuk setiap
dan
n, dengan n menyatakan himpunan bilangan asli.
Proses
dengan fungsi intensitas yang demikian disebut dengan
proses Poisson periodik.
Misalkan
adalah suatu proses dengan
∑
(2)
dimana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distribution (i.i.d) dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap proses Poisson periodik
. Proses
disebut dengan proses Poisson periodik majemuk.
Fungsi nilai harapan dari
dinotasikan dengan
, diberikan oleh
,
(3)
dengan
(4)
∫
Bukti persamaan (3) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013).
Misalkan [ ]
Fungsi ragam dari
dapat dinotasikan dengan
,
diberikan oleh
=
[ ]
(5)
Bukti persamaan (5) dapat dilihat pada Lampiran 1. Misalkan
(6)
dimana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar
yang lebih kecil dari atau sama dengan dan misalkan pula
4
(7)
maka
.
(8)
Misalkan
yaitu fungsi intensitas global dari proses
maka untuk setiap
∫
(9)
dan diasumsikan
(10)
,
.
(11)
Bukti persamaan (11) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013).
Pada Ruhiyat (2013) telah dirumuskan penduga untuk fungsi nilai harapan
proses Poisson periodik majemuk yaitu
̂
̂
̂
̂
(12)
∑
dengan ̂
saat
dan ̂
Berdasarkan persamaan (5) dan (11), fungsi ragam dari
dituliskan sebagai berikut
dapat
(13)
Fungsi ragam inilah yang diduga dalam tulisan ini.
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM
Pendugaan fungsi ragam
pada persamaan (13) dilakukan dengan
menggunakan realisasi tunggal
dari suatu proses Poisson periodik
dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval terbatas
untuk suatu
yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, , P).
Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi
yang diamati,
misalkan titik data kepeubah acak
yang bersesuaian
juga diamati.
Perumusan Penduga
Pendugaan fungsi ragam
pada persamaan (13) dapat dibagi menjadi
yang
tiga pendugaan yaitu pendugaan fungsi intensitas global , pendugaan
merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
,
Penduga bagi fungsi intensitas global
dan pendugaan
Misalkan
telah dikaji pada Mangku et al (2013) dan rumusannya adalah sebagai berikut:
̂
∑
.
Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
juga dirumuskan pada Mangku et al {2013)
[
] Penduga bagi
̂
∑
.
Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada setiap
yang termasuk dalam interval pengamatan
interval waktu
5
Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang sama yaitu .
Selain itu, masing-masing interval waktu tersebut memiliki fungsi intensitas yang
sama dengan interval waktu banyaknya kejadian yang diduga.
Untuk menduga fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk
dibutuhkan juga penduga bagi . Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut
∑
,
̂
dimana ̂
saat
Dengan menggunakan rumusan penduga
yang telah diberikan, penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik
majemuk dirumuskan sebagai berikut
̂
̂
̂
̂
(14)
saat
dimana ̂
Kekonsistenan Penduga
Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga
bagi fungsi ragam
Lema 1 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal maka
[̂ ]
Dengan kata lain ̂ merupakan penduga tak bias bagi .
Bukti:
Nilai harapan ̂ dapat dihitung seperti berikut:
[̂ ]
∑
∑
∑
∫
Bukti lengkap.
Dalam tulisan ini, untuk setiap barisan peubah acak
dan dalam suatu
→ menyatakan
konvergen lengkap ke , untuk
ruang peluang (Ω, , P),
→
Barisan peubah acak
disebut konvergen lengkap ke jika untuk setiap
∑
(Grimmett and Stirzaker 1992).
|
|
6
Lema 2 (Kekonvergenan lemah dan lengkap bagi ̂ )
Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
̂ →
(15)
dan
̂ →
(16)
untuk → .
Bukti:
Karena berlakunya (16) mengakibatkan berlakunya (15), maka cukup dibuktikan
(16) saja. Untuk membuktikan (16), harus diperiksa bahwa untuk setiap
Sekarang lihat bahwa
(| ̂
|
|
|
∑
| ∑
Misalkan
∑ (| ̂
∑
|
∑
(∑
|
∑
∑
(| ̂
(|
|
(
Sehingga,
|
|
|
[
Misalkan
, sehingga
|
|
]
7
∫
(
Jadi, berdasarkan uji banding dan uji integral diperoleh
∑
Bukti lengkap.
(| ̂
⌊ ⌋
|
Lema 3 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
]
[̂
̂
merupakan penduga tak bias bagi
Dengan kata lain,
Bukti:
dapat dihitung seperti berikut:
Nilai harapan ̂
[̂
]
∑
∑ ∫
∑ ∫
Bukti lengkap.
)
Lema 4 (Kekonvergenan lemah dan lengkap bagi ̂
Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
̂
(18)
→
dan
̂
(19)
→
untuk → .
Bukti:
Sama seperti pada bukti Lema 2, karena berlakunya (19) mengakibatkan
berlakunya (18), maka cukup dibuktikan (19) saja. Untuk membuktikan (19) harus
ditunjukkan bahwa untuk setiap
Sekarang lihat bahwa
[̂
(|̂
|
∑
∑ (|̂
]|
|
∑
|
8
|
Misalkan
∑
| ∑
(∑
|
∑
∑
(|̂
(|
(|
|
Sehingga
]|
[̂
|
|
[
]
maka
Misalkan
∫
(
Jadi, berdasarkan uji banding dan uji integral diperoleh
Bukti lengkap.
∑
(|̂
⌊ ⌋
|
Lema 5
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika kondisi (10) dipenuhi, maka dengan peluang 1
→
(21)
untuk →
Bukti:
Nilai harapan dari
dapat dihitung sebagai berikut:
(
∫
9
∫
∫
∫
∫
∫
∫
⏟
∫
∫
(
∫
∫
∫
Karena fungsi intensitas
maka
→
untuk
Jadi,
→
∫
(
)
∫
terintegralkan lokal dan
, untuk
∫
(
→
untuk → . Kemudian, dengan Lema Borel-Cantelli, diperoleh persamaan (21).
Bukti lengkap.
Kekonsistenan penduga fungsi ragam disajikan dalam dua teorema berikut.
Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
̂
→
̂
merupakan penduga konsisten lemah bagi
.
untuk →
Jadi,
Bukti:
Perhatikan kembali persamaan (14). Dengan menerapkan Lema L.2
membuktikan (22), cukup diperiksa bahwa
̂ →
dan
̂
→
lokal.
(22)
untuk
(23)
(24)
(25)
̂ →
untuk → . Dengan Lema 2 diperoleh (23) dan dengan Lema 4 diperoleh (24).
Perlu diketahui jika
adalah barisan peubah acak tak negatif yang
independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan
dan
ragam
, maka {
} juga merupakan barisan peubah acak yang
10
independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan
dan
ragam
Dengan Lema 5 serta Teorema L.2 (hukum lemah bilangan
besar) diperoleh (25). Bukti Lengkap.
Teorema 2 (Kekonsistenan Kuat)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
̂
→
(26)
merupakan penduga yang konsisten kuat bagi
.
untuk →
Jadi, ̂
Bukti:
Analog dengan bukti Teorema 1, dengan menerapkan Lema L.3 untuk
membuktikan (26), cukup diperiksa bahwa
̂ →
(27)
̂
(28)
→
dan
untuk
,
→
̂
→
Berdasarkan Lema 2, ̂ → , untuk
∑ (| ̂
|
(29)
→
yaitu untuk setiap
sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh
|̂
|
→
yang merupakan (27). Dengan argument yang sama, berdasarkan Lema 4,
̂
, untuk →
yaitu untuk setiap
,
→
∑ (| ̂
|
sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh
|
|̂
→
yang merupakan (28). Terakhir, berdasarkan Lema 5 serta Teorema L.3 (hukum
kuat bilangan besar) diperoleh (29). Bukti Lengkap.
Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga
Berikut disajikan hasil analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error
(MSE) dari penduga bagi fungsi ragam.
Teorema 3 (Pendekatan asimtotik untuk bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
11
[̂
∫
dengan
untuk
→
]
Bukti:
Nilai harapan dari penduga fungsi ragam dapat ditentukan melalui nilai harapan
bersyarat berikut:
|
]
]
[̂
[̂
∑ [̂
[̂
∑ [̂
|
|
|
Berdasarkan rumusan dari ̂
untuk
Sehingga untuk
̂
(
]
]
untuk
̂
̂
[̂
|
[
]
̂
∑
̂
]
̂
(
(
(
(
]
∑
∑
∑ [
]
Oleh karena itu,
[̂
]
sedangkan
∑
(
∑
(
(
12
(
Karena
dengan
∫
∫
∫
∫
maka
[̂
]
(
(
]
]
[̂
untuk →
Jadi,
[̂
untuk →
Bukti lengkap.
Perhitungan pendekatan asimtotik untuk ragam dari penduga bagi fungsi
ragam memerlukan beberapa hasil berikut.
Lema 6 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
[̂ ]
Bukti:
Ragam dari ̂ dapat dihitung sebagai berikut:
[̂ ]
∑
∑
(
∑ ∫
∑ ∫
∑
Bukti lengkap.
∫
13
Berdasarkan Lema 1 dan Lema 6, diperoleh akibat berikut.
Akibat 1
Jika fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
̂
Bukti:
Momen kedua dari ̂ dapat dihitung sebagai berikut:
̂
[̂ ]
( [̂ ]
Bukti lengkap.
Lema 7 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas
Bukti:
Ragam dari ̂
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
[̂
]
dapat dihitung sebagai berikut:
[̂
]
∑
∑
∑
∑
∑ ∫
∑ ∫
∑
14
Bukti lengkap.
Berdasarkan Lema 3 dan Lema 7, diperoleh akibat berikut.
Akibat 2
Jika fungsi intensitas
Bukti:
Momen kedua dari ̂
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
[ ̂
]
(
dapat dihitung sebagai berikut:
[ ̂
]
(
Bukti lengkap.
Lema 8 (Mangku et al (2013))
Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
[̂ ̂
Bukti:
Misalkan
]
̂
∑
sehingga ̂ dapat ditulis sebagai berikut
̂
Jadi, dapat kita peroleh
[̂ ̂
]
Perlu diketahui bahwa ̂
[̂ ̂
̂
]
[
[
[
dan ̂
̂
̂
̂
̂
]
̂
[ ̂
]
[ ̂
]
]
[̂
[̂
( [̂ ]
Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Akibat 2 diperoleh
[̂ ̂
]
(
̂
̂
]
̂
]
]
saling bebas, sehingga
[ ̂
[ ̂
̂
(
] [̂
̂
[̂
]
] [̂
]
[̂
]
]
15
(
(
Bukti lengkap.
Berdasarkan Lema 6, Lema 7, Lema 8, Akibat 1, dan Akibat 2, ragam dari
penduga fungsi ragam disajikan pada teorema berikut.
Teorema 4 (Pendekatan asimtotik untuk ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
[̂
(
]
untuk →
Bukti:
Berdasarkan sifat ragam, ragam dari penduga bagi fungsi ragam dapat diperoleh
dari rumusan berikut:
[̂
[ ̂
]
]
( [̂
]
(30)
, ̂
sedangkan
Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (30) telah diperoleh pada Lema 1,
sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga fungsi ragam dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut
[ ̂
∑
[ ̂
[ ̂
∑
[ ̂
[ ̂
]
|
|
]
|
|
]
]
]
Berdasarkan rumusan dari ̂
untuk
Sehingga untuk
[ ̂
|
̂
untuk
̂
]
̂
∑
16
̂
̂
(
̂
̂
(
̂
̂
[
Pertama, dihitung
[
̂
̂
̂
]
∑
(
∑
̂
̂ ̂
̂ ̂
[
]
[̂ ̂
]
[ ̂
]
]
[ ̂
]
(
(
Kedua, dihitung
(
∑
(∑
∑ [
]
∑∑ [
∑ [
]
∑∑ [
[
[
Perlu diketahui bahwa
[ ]
[ ] ( [
Sehingga
]
[
]
] [
( [
]
] [
]
]
]
]
17
(
∑
(
Jadi, diperoleh untuk
[ ̂
(
|
]
(
Oleh karena itu,
[ ̂
∑
|
]
(
(
[
(
]
∑
∑
Karena
, maka
∑
→
untuk
untuk →
diperoleh
[ ̂
(
Terakhir,
∑
(
Bukti persamaan (31) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013). Jadi
]
[ ̂
|
]
(
(
18
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
untuk
(
(
→
. Akhirnya, ragam dari penduga bagi fungsi ragam adalah
(
19
[̂
untuk
]
(
→
(
(
(
. Bukti lengkap.
Berdasarkan Teorema 3 dan Teorema 4, diperoleh MSE dari penduga
fungsi ragam seperti berikut.
Akibat 3
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (2), maka
[̂
untuk →
→
Bukti:
]
Artinya, MSE ̂
konvergen ke nol dengan laju
]
]
[̂
[̂
Berdasarkan Teorema 3 dan Teorema 4,
]
]
[̂
[̂
untuk
→
(
(
[̂
[̂
(
jika
]
]
(
(
Bukti lengkap.
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik
majemuk adalah
̂
̂
̂
̂
dengan
̂
∑
20
̂
dan
∑
̂
∑
, saat
Penduga bagi fungsi ragam
dimana ̂
dan ̂
dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten, baik konsisten lemah,
maupun konsisten kuat.
Pendekatan asimtotik untuk bias, ragam, dan MSE penduga berturut-turut
adalah
dengan
dan
[̂
]
untuk
[̂
]
→
∫
[̂
]
(
(
SARAN
Pendugaan fungsi ragam penting dilakukan karena suatu peubah acak selain
diketahui nilai harapannya juga perlu diketahui ragamnya agar dapat diketahui
error atau kesalahan dari penduga tersebut. Studi lebih lanjut tentang penelitian ini
adalah dapat dilakukan pengolahan pada suatu data atau simulasi tertentu
sehingga penduga ini dapat diaplikasikan.
DAFTAR PUSTAKA
Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their
Applications in Insurance and Finance. Boston (US): VSP International
Science Publishers.
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with application in
statistical physics. Physica 41:575-587
Capinski M. Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. Ed ke-2. New
York (US): Springer.
Dasgupta A. 2011. Probability for Statistics and Machine Learning:
Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.
Dudley, RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth &
Brooks.
Grimmett, GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes.Ed. ke-2.
Oxford: Clarendon Press.
21
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of
injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations
4:1-9.
Mangku IW, Ruhiyat, and Purnaba IGP. 2013. Statistical Properties of an
Estimator for The Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process. Far
East J. Math. Sci. (FJMS) 82(2): 227-237.
Reiss RD. 1993. A Course on Point Processes. New York (US): Springer-Verlag.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk [thesis]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Sokol A, Nielsen AR. 2010. Advanced Probability. Copenhagen (DK): University
of Copenhagen.
22
LAMPIRAN
Lampiran 1 Bukti beberapa persaman
Bukti persamaan (5): Berdasarkan persamaan (2),
∑
Dengan sifat ragam,
Dengan sifat nilai harapan,
]
[ ∑
[
[(
∑
|
∑∑
∑ [
]
∑∑
[
]
[
[
∑
]
]
]
]
]
|
|
)]
dan diperoleh
[ ∑
∑
[
∑
∑
∑ [
[
sehingga
[
[
Pertama tentukan terlebih dahulu
[
]
[ ∑
∑
]
|
[ ]
]
]
(
]
]
23
(
Akhirnya, diperoleh
(
∑
[
[(
[
[(
(
]
]
(
(
(
(
]
]
Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak
} dengan proses
,
{
[ ]
Bukti lengkap.
24
Lampiran 2 Beberapa definisi, lema, dan teorema teknis
Definisi D.1 (Kekonvergenan dalam Peluang)
Misalkan
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang
peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak
dikatakan konvergen dalam peluang
ke peubah acak X, dinotasikan
→
, jika untuk setiap
berlaku
|
P |
→ , untuk → (Grimmet and Stirzaker 1992).
Definisi D.2 (Kekonvergenan almost surely (a.s))
Misalkan
adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu
ruang peluang (Ω, , P). Suatu barisan peubah acak
dikatakan konvergen
hampir pasti (almost surely (a.s)) ke peubah acak X, ditulis
→ , jika
adalah kejadian dengan peluang satu (Grimmett
and Stirzaker 1992).
Definisi D.3 (Fungsi Terintegralkan Lokal)
Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang
(Dudley 1989).
himpunan Borel terbatas B diperoleh
∫
Lema L.1
Jika adalah peubah acak Poisson dengan
berlaku
|
|
(
Bukti dapat dilihat pada Reiss (1993).
, maka untuk setiap
{
}
Lema L.2
Jika
→
dan
→
maka
→
maka
→
dan
Bukti dapat dilihat pada Hogg et al, (2005)
→
Lema L.3
Jika
→
dan
→
dan
→
Bukti dapat dilihat pada Sokol dan Nielsen (2010).
Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli)
Misalkan
adalah barisan kejadian pada ruang contoh . Jika
,
25
∑
maka
Jika
(⋂ ⋃
→
adalah barisan kejadian yang saling bebas dan
∑
maka
(⋂ ⋃
→
Bukti dapat dilihat pada DasGupta (2011).
Teorema L.2 (Hukum lemah bilangan besar)
Jika
adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan
dan ragam
, maka
∑
→
untuk → .
Bukti dapat dilihat pada Capinski dan Kopp (2007).
Teorema L.3 (Hukum kuat bilangan besar)
Jika
adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan
, maka
∑
→
untuk → .
Bukti dapat dilihat pada Capinski dan Kopp (2007).
dan ragam
26
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 11 Januari 1993 sebagai anak
kedua dari pasangan Muhamad Nadjib dan Supriyati. Tahun 2011 penulis lulus
dari SMAN 10 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk
Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Nasional Masuk
Perguruan Tinggi (SNMPTN) Undangan dan diterima di Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada Tahun 2015 penulis lulus
sebagai sarjana sains dari Departemen Matematika dan pada tahun yang sama
diterima di program studi S2 Matematika Terapan, Sekolah Pascasarjana, Institut
Pertanian Bogor
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah
Kalkulus 2 pada semester ganjil dan genap tahun ajaran 2013/2014, asisten mata
kuliah Pemodelan Matematika pada semester genap tahun ajaran 2014/2015,
asisten mata kuliah Analisis Model Empirik pada semester ganjil tahun ajaran
2015/2016, asisten mata kuliah Matematika Ekonomi pada semester genap tahun
ajaran 2015/2016 dan menjadi pengajar Pengantar Matematika, Landasan
Matematika, dan Kalkulus TPB di Bimbingan Belajar Katalis. Penulis pernah
mendapatkan beasiswa Bidik Misi pada tahun 2011-2015. Penulis juga aktif pada
organisasi kemahasiswaan, antara lain Bendahara Divisi Keilmuan Himpunan
Profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) FMIPA IPB pada periode
tahun 2012/2013 dan staf Divisi Keilmuan Himpunan Profesi Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA) FMIPA IPB periode 2013/2014.
Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan,
antara lain Panitia Math Camp Divisi Pendidikan tahun 2012 dan 2013, Panitia
Welcome Ceremony Mathematics (WCM) sebagai Komisi Disiplin (KOMDIS)
tahun 2013, Panitia IPB’s Mathematics Challenge (IMC) Divisi Tim Khusus
tahun 2013, Panitia Matematika Ria sebagai Bendahara tahun 2013, dan Panitia
Matematika Ria sebagai Ketua Divisi Dana Usaha tahun 2014. Penulis juga
pernah menjadi wakil dari IPB untuk mengikuti Olimpiade Sains Nasional bidang
Matematika (ON-MIPA) di tingkat regional/wilayah III pada tahun 2014.