Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
DENGAN TREN LINEAR
BONNO ANDRI WIBOWO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Nilai
Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian
akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2014
Bonno Andri Wibowo
NIM G54100033
ABSTRAK
BONNO ANDRI WIBOWO. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses
Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN
MANGKU dan SISWADI.
Karya ilmiah ini membahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi nilai
harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Komponen
periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik
tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan Slope dari tren
linear diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak diketahui. Masalah
utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai harapan,
membuktikan kekonsistenan penduga, dan membuktikan bias, ragam, dan Mean
Square Error (MSE) penduga konvergen menuju nol untuk panjang interval
pengamatan proses menuju takhingga.
Kata kunci: Fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan
penduga, proses Poisson periodik majemuk, tren linear.
ABSTRACT
BONNO ANDRI WIBOWO. Estimating the Mean Function of a Compound
Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU
and SISWADI.
This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process with linear trend. The cyclic
component of intensity function of this process is not assumed to have any
parametric form, but it period is assumed to be known. The slope of linear trend is
assumed to be positif, but it value is unknown. The main problem of this
manuscript are constructing an estimator of this mean function, proving
consistency of this estimator, and proving that the bias, variance, and meansquared error of this estimator converge to zero as the length of the observation
time interval indefinitely expands.
Key word: Compound cyclic Poisson process, consistency, cyclic intensity
function, linear trend, the mean function.
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
DENGAN TREN LINEAR
BONNO ANDRI WIBOWO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2014
Judul Skripsi
: Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson
Majemuk dengan Tren Linear
Nama Mahasiswa : Bonno Andri Wibowo
NIM
: G54100033
Disetujui oleh
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing I
Prof Dr Ir Siswadi, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan
pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayang Mangku,
MSc selaku pembimbing I dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen
pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama
penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Ruhiyat,
MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada ibu, lukman, adi, widi atas segala dukungan,
semangat, dan doa serta kasih sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan
terima kasih kepada teman–teman math 47, adik–adik math 48–49, DPM FMIPA
IPB, Gumatika, Matematika Terapan angkatan 8 dan IKAHIMATIKA
INDONESIA Wilayah III, serta tentor–tentor katalis IPB atas segala dukungan
dan doa yang diberikan.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, Februari 2014
Bonno Andri Wibowo
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rumusan Masalah
Tujuan Penelitian
LANDASAN TEORI
Nilai Harapan, dan Ragam
Kekonvergenan
Penduga dan Sifat – sifatnya
Proses Stokastik dan Proses Poisson
Beberapa Lema Teknis
KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA PROSES
POISSON TAK-HOMOGEN
Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk
Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya
Beberapa Lema Teknis dan Buktinya
BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU
KEKONVERGENANNYA
Bukti Kekonsistenan Penduga
Bukti Laju Kekonvergenan Penduga
SIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
VI
1
1
2
2
2
2
3
4
5
6
7
7
9
11
11
12
13
18
18
18
26
27
29
33
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian
atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan
fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham,
proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan
banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk
memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan
datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan tersebut berguna
untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang.
Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini
pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik
dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk.
Proses Poisson majemuk dapat digunakan untuk memodelkan besarnya
klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan
yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969)
telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika.
Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi
(Kegler 2007), geologi (
dan
2008) dan biologi (Puig dan Barquinero
2011).
Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan
menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian
memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu
dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh
karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan,
asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan
proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya
merupakan fungsi dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan
perumuman dari proses Poisson homogen.
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear. Proses Poisson periodik majemuk dengan
tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena yang terjadi secara
periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti proses kedatangan
wisatawan ke suatu pusat rekreasi dengan periode satu tahun.
Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk dengan tren linear sulit
ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan untuk
ditentukan adalah nilai harapan dari peubah acak tersebut. Nilai harapan ini
merupakan fungsi dari waktu karena peubah acak Poisson periodik majemuk
dengan tren linear merupakan fungsi dari waktu. Oleh karena itu, nilai harapan ini
disebut sebagai fungsi nilai harapan.
2
Rumusan Masalah
Pada karya ilmiah ini fungsi intensitas dari proses Poisson periodik dengan
tren linear diasumsikan tidak diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut
diketahui, fungsi nilai harapan dapat dengan mudah diketahui. Dengan asumsi ini,
diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan
mengkaji perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear. Selanjutnya kita menganalisis kekonsistenan
penduga yang diperoleh. Kekonsistenan yang dianalisis adalah kekonsistenan
lemah ketika interval waktu pengamatan memanjang. Selain itu, kita melakukan
analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga untuk
melihat perbedaan antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya.
Tujuan Penelitian
1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear,
2. Menganalisis kekonsistenan penduga, dan
3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared
error (MSE) penduga.
LANDASAN TEORI
Nilai Harapan, dan Ragam
Definisi 1 (Nilai harapan)
1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
nilai harapan dari didefinisikan sebagai
, maka
∑
2.
jika jumlah di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Jika
adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai
∫
jika integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Definisi 2 (Ragam)
Jika adalah peubah acak, maka ragam dari didefinisikan sebagai
var
(Ghahramani 2003).
,
3
Definisi 3 (Koragam)
Misalkan
dan
adalah peubah acak dan misalkan pula
dan
masing menyatakan nilai harapan dari
dan . Koragam dari
didefinisikan sebagai
masingdan
cov
(Ghahramani 2003).
Lema 1 (Sifat ragam)
1. Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula c dan d adalah dua
buah konstanta sembarang, maka
var
cov(X,Y)
2.
Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003).
Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan misalkan pula c dan d
adalah dua buah konstanta sembarang, maka
3.
Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003).
Misalkan adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk
sembarang konstanta c dan d, berlaku
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).
Kekonvergenan
Definisi 4 (Konvergen dalam peluang)
Misalkan
adalah peubah acak pada suatu ruang peluang
Suatu barisan peubah acak
, dikatakan konvergen dalam peluang ke
peubah acak , ditulis
untuk
→
→
jika untuk setiap
→
(Ghahramani 2003).
|
berlaku
|
Definisi 5 (Konvergen hampir pasti)
Misalkan
adalah peubah acak pada suatu ruang peluang
Suatu barisan peubah acak
, dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah
acak , ditulis
→
jika untuk setiap
berlaku
untuk
→
→
|
(Ghahramani 2003).
|
Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan
untuk →
→
dan
→ dan → , maka
. Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2005).
→
.
4
Penduga dan Sifat–sifatnya
Definisi 6 (Statistik)
Misalkan
fungsi
2005).
adalah contoh acak dari peubah acak . Kemudian setiap
dari contoh acak tersebut disebut statistik (Hogg et al.
Definisi 7 (Penduga)
Misalkan
adalah contoh acak. Suatu statistik
digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah
penduga (estimator) bagi (Hogg et al. 2005).
yang
, disebut sebagai
Definisi 8 (Penduga tak-bias)
1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yang diduga,
, disebut penduga takbias bagi parameter
yaitu E
tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias.
disebut sebagai
maka
2. Jika
→
penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005).
Definisi 9 (Penduga konsisten lemah)
yang konvergen dalam peluang ke parameter
Suatu penduga
yaitu
untuk
→
→
, disebut penduga konsisten lemah bagi
(Hogg et al. 2005).
Definsi 10 (Penduga konsisten kuat)
yang konvergen dalam sebaran ke parameter
Suatu penduga
yaitu
untuk
→
→
, disebut penduga konsisten kuat bagi
(Hogg et al. 2005).
Definisi 11 (
dan
)
Simbol-simbol
dan
merupakan cara untuk membandingkan besarnya
dua fungsi
dan
dengan menuju suatu limit L.
(i)
(ii)
Notasi
→ .
Notasi
(Serfling 1980).
(
(
),
),
→
→
menyatakan bahwa |
menyatakan bahwa |
| terbatas, untuk
| → , untuk
→
5
Proses Stokastik dan Proses Poisson
Definisi 12 (Proses stokastik)
Proses stokastik =
memetakan suatu ruang contoh
2007).
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
ke suatu ruang state (state space) S (Ross
Definisi 13 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)
Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika
adalah suatu interval (Ross 2007).
Definisi 14 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua
peubah acak
adalah bebas (Ross 2007).
Definisi 15 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut memiliki
inkremen stasioner jika
memiliki sebaran yang sama untuk
semua (Ross 2007).
Definisi 16 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik
disebut proses pencacahan jika
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu (Ross 2007).
Definisi 17 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan laju ,
, jika memenuhi tiga syarat berikut
1.
(0) = 0.
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi, untuk semua t,s
,
(Ross 2007).
Definisi 18 (Proses Poisson homogen)
Suatu proses Poisson
disebut proses Poisson homogen jika laju
merupakan konstanta untuk semua t (Ross 2007).
Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen)
Suatu proses Poisson
disebut proses Poisson tak-homogen jika laju
merupakan fungsi dari waktu, yaitu
(Ross 2007).
6
Lema 3 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson)
Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson
dengan parameter berturut-turut u dan v. Maka + memiliki sebaran Poisson
dengan parameter u+v.
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2005).
Definisi 20 (Terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan
Borel terbatas , memenuhi persamaan berikut
∫
(Dudley 1989).
Definisi 21 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak-homogen dengan fungsi intensitas
pada titik s
adalah
, yaitu fungsi di s (Cressie 1993).
Definisi 22 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi disebut periodik jika
untuk setiap s
(Browder 1996).
dan k
serta
merupakan periode dari fungsi
tersebut
Definisi 23 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson takhomogen yang fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001).
Beberapa Lema Teknis
Lema 4 (Ketaksamaan Markov)
Jika adalah peubah acak taknegatif, maka untuk setiap t > 0 berlaku
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).
Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan
untuk setiap
berlaku
|
|
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).
dan ragam terbatas
, maka
7
Lema 6 (Ketaksamaan segitiga)
Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka
|
|
Bukti dapat dilihat pada Helms (1996).
| |
| |
Lema 7 (Hukum lemah bilangan besar)
Misalkan
adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan
, maka
untuk
→
∑
dan ragam
→
. Bukti dapat dilihat pada Capiński dan Kopp (2007).
Lema 8
Misalkan k, adalah konstanta maka berlaku
1.
(1)
∑
2.
⁄
∑
3.
untuk
→
(2)
(3)
∑
. Bukti dapat dilihat pada Titchmarsh (1960).
KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA
PROSES POISSON TAKHOMOGEN
Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
Misalkan
fungsi intensitas
terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
(s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi
untuk setiap
0 dan
Nilai harapan dari proses
dengan
, dengan
∫
menyatakan himpunan bilangan asli.
adalah
8
di mana untuk setiap bilangan real ,
lebih kecil dari atau sama dengan ,
⌊ ⌋
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
∫
dan
yaitu fungsi intensitas global dari proses
Diasumsikan bahwa
adalah suatu proses dengan
Selanjutnya, misalkan
∑
di mana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga bebas
disebut dengan proses
. Proses
terhadap proses
Poisson periodik majemuk.
Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik
majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:
Pendugaan fungsi nilai harapan dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan,
yang merupakan
yaitu pendugaan fungsi intensitas global , pendugaan
dan
nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu
pendugaan . Pendugaan bagi fungsi intensitas global
dirumuskan sebagai
berikut:
̂
Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
telah dikaji pada Ruhiyat (2013) dan dirumuskan
Penduga bagi
sebagai berikut:
̂
∑
Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada
, yang termasuk dalam interval
setiap interval waktu
pengamatan
. Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang
sama dengan panjang interval waktu banyaknya kejadian yang diduga, yaitu
kecuali mungkin untuk satu interval. Selain itu, masing-masing interval waktu
tersebut memiliki fungsi intensitas yang sama dengan interval waktu banyaknya
9
kejadian yang diduga, kecuali mungkin untuk satu interval. Hal ini merupakan
akibat dari sifat keperiodikan fungsi intensitas . Penduga bagi dirumuskan
sebagai berikut:
̂
∑
. Penduga ini diperoleh dari rata–rata nilai
dengan ̂
saat
peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
.
Dengan menggunakan ketiga rumusan tersebut, penduga bagi fungsi nilai
dirumuskan sebagai berikut:
harapan
̂
̂
̂
̂
. Penduga nilai harapan tersebut telah
saat
dengan ̂
dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan
kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE
penduga berturut-turut ialah
[̂
[̂
untuk
→
.
[̂
]
]
]
( )
( )
( )
Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear
Pengantar proses Poisson periodik dengan tren linear
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas (s)
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren linear, yakni memenuhi
(4)
konstanta
merupakan kemiringan dari tren dengan
> 0.
Kondisi fungsi intensitas ini juga digunakan pada Mangku (2005).
(5)
Pendugaan komponen-komponen parameter pada proses Poisson periodik
dengan tren linear
Penduga bagi slope dari tren linear, yaitu dirumuskan sebagai berikut:
(6)
̂
10
Pendugaan ini juga dilakukan pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan
yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global telah dikaji pada Mangku
(2005) dan dirumuskan sebagai berikut:
̂
⁄
∑
̂ (
⁄
(7)
telah dikaji pada Mangku (2010)
Penduga bagi fungsi intensitas sebagian
dan dirumuskan sebagai berikut:
̂
⁄
)
∑
̂
⁄
(8)
Beberapa lema dalam pendugaan parameter pada proses Poisson periodik
dengan tren linear
Lema 9: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan
lokal, maka
(9)
̂
( )
untuk → . Dengan kata lain ̂ merupakan penduga yang takbias asimtotik
bagi . Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).
Lema 10: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
memenuhi persamaan (4) dan
̂
(
. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).
Lema 11: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
)
(10)
memenuhi persamaan (4) dan
̂ →
. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).
Lema 12: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
[̂ ]
memenuhi persamaan (4) dan
(
)
(11)
untuk → . Dengan kata lain ̂ merupakan penduga yang takbias asimtotik
bagi . Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).
11
Lema 13: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
[̂ ]
memenuhi persamaan (4) dan
(
)
. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).
Lema 14: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
(12)
memenuhi persamaan (4) dan
̂ →
. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).
Lema 15: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
[̂
memenuhi persamaan (4) dan
(
]
⁄
)
(13)
merupakan penduga yang takbias
untuk → . Dengan kata lain ̂
. Bukti dapat dilihat pada Adawiyah (2011).
asimtotik bagi
Lema 16: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
̂
memenuhi persamaan (4) dan
→
. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2010).
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Misalkan
adalah suatu proses Poisson periodik majemuk
dengan tren linear, dan misalkan
adalah suatu proses dengan
∑
(14)
di mana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga bebas
terhadap
. Proses
disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear. Nilai harapan dari
, dinotasikan dengan
ialah
(15)
dengan
12
∫
(16)
Bukti persamaan (15) dapat dilihat pada Lampiran 1, maka untuk setiap
yang diberikan,
(17)
Misalkan
∫
yaitu fungsi intesitas global dari komponen periodik pada proses
Bukti persamaan (17) dapat dilihat pada Lampiran 1. Diasumsikan
.
(18)
Akhirnya, berdasarkan persamaan (15) dan (17), fungsi nilai harapan dari
dapat dituliskan menjadi
(19)
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (19) dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan
slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada
. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut:
interval waktu
(20)
̂
∑
dengan ̂
saat
. Penduga ini diperoleh dari rata – rata nilai
peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
. Dengan menggunakan penduga pada persamaan (6)-(8) dan (20) , penduga
bagi fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
dengan ̂
̂
saat
̂
.
̂
̂
̂
(21)
Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya
Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (14), maka
(22)
̂
→
untuk
→
. Jadi ̂
merupakan penduga yang konsisten lemah bagi
.
13
Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (14), maka
untuk
→
.
→
[̂
[̂
]
. Artinya, Bias ̂
]
(
⁄
)
konvergen ke nol dengan laju
⁄
jika
Teorema 3 (Laju kekonvergenan ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (14), maka
untuk
→
.
→
[̂
. Artinya, ragam ̂
]
(
⁄
)
konvergen ke nol dengan laju
⁄
jika
Akibat 4 (Laju kekonvergenan MSE)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (14), maka
untuk
→
.
→
. Artinya,
[̂
[̂
]
(
⁄
)
] konvergen ke nol dengan laju
Beberapa Lema Teknis dan Buktinya
⁄
jika
Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga
bagi fungsi nilai harapan.
Berdasarkan Lema 9 dan 10, diperoleh akibat berikut.
Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (4) dan
terintegralkan lokal, maka
(23)
̂
( )
untuk → .
Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan seperti berikut:
̂
̂
̂
(
)
14
→ . Bukti Lengkap.
Berdasarkan Lema 12 dan 13, diperoleh akibat berikut.
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (4) dan
terintegralkan lokal, maka
untuk
(̂ )
(
⁄
)
(24)
untuk → .
Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan seperti berikut:
(̂ )
(̂ )
=
⁄
=
→
O
⁄
=
untuk
[ ( ̂ )]
⁄
⁄
⁄
. Bukti lengkap.
Lema 17: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
[̂
]
untuk → .
Bukti: Nilai ragam dari penduga
[̂
Misalkan
]
⁄
∑
⁄
∑
⁄
memenuhi persamaan (4) dan
(
adalah
dan
Sehingga dengan menerapkan Lema 1 diperoleh
[̂
)
⁄
̂
(25)
.
⁄
̂
⁄
.
(26)
]
dan
Catatan, untuk setiap j k, j,k= 1,2,..., maka
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
adalah bebas, untuk k j.
dan
∑
=
⁄
⁄
∑
⁄
∑
karena N peubah acak Poisson, maka Var(N)= E(N)
=
,
15
=
⁄
∑
∫
⁄
∑
∫ (
⁄
∫
.
Misalkan y= s-k maka persamaan di atas menjadi
=
karena
)
merupakan fungsi periodik, maka
=
∑
∫ ∑
⁄
.
(27)
Substitusi (1) pada bagian pertama persamaan (27) menjadi
=
∫
⁄
=
∫
⁄
=
=
untuk
→
⁄
(
⁄
=
→
(28)
⁄
. Substitusi persamaan (2) bagian kedua persamaan (27)
=
untuk
)
⁄
∫
⁄
⁄
⁄
(29)
. Dari persamaan (28) dan (29) maka persamaan (27) menjadi
⁄
=
(
̂
)
⁄
⁄
⁄
.
(30)
̂
Substitusi persamaan (10) maka persamaan di atas menjadi
=
=
→
⁄
⁄
=
untuk
⁄
⁄
.
⁄
⁄
(
)
(31)
16
∑
=
⁄
∑
=
⁄
=
=
=
∑
∑
(
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
∫ (
∫
⁄
⁄
∫
=
=
̂
∑
⁄
⁄
∑
∑
∑
∫
(
)
(
)
)
k
)
n d
∫ ∑
(32)
Substitusi persamaan (2) pada bagian pertama persamaan (32)
=
=
=
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
=
untuk
⁄
→
⁄
∫
⁄
⁄
. Substitusi persamaan (3) pada bagian kedua persamaan (32)
⁄
=
∫
⁄
⁄
⁄
⁄
∫
(33)
17
(34)
=
untuk
untuk
[̂
→
. Dari persamaan (33) dan (34) dapat diperoleh
→
. Dari persamaan (30), (31), dan (35) dapat diperoleh
(
(
]
)
(35)
(
⁄
=
)
⁄
⁄
⁄
⁄
)
⁄
⁄
⁄
→ . Bukti lengkap.
Berdasarkan Lema 15 dan 17, diperoleh akibat berikut.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (4) dan
terintegralkan lokal, maka
untuk
( ̂
)
⁄
untuk → .
Bukti: Momen kedua dari ̂
( ̂
)
=
=
untuk
→
⁄
(36)
̂
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
. Bukti lengkap.
)
dapat ditentukan seperti berikut:
̂
=
(
⁄
⁄
Lema 18: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (4) dan
terintegralkan lokal. Jika kondisi (5) dan (18) dipenuhi, maka dengan peluang 1,
untuk
Bukti:
→
→
.
∫
=∫
=
untuk
→
. Bukti lengkap.
BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU
KEKONVERGENANNYA
Bukti Kekonsistenan Penduga
Bukti Teorema 1:
Perhatikan kembali persamaan (21). Dengan menerapkan Lema 2, untuk
membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa
(37)
̂ →
̂
dan
(38)
̂ →
(39)
→
(40)
̂ →
untuk n→ . Dengan Lema 11 diperoleh (37), dengan Lema 14 diperoleh (38),
dengan Lema 16 diperoleh (39). Dengan Lema 18 dan Lema 7 (hukum lemah
bilangan besar) diperoleh (40). Bukti Lengkap.
Bukti Laju Kekovergenan Penduga
Bukti Teorema 2:
[̂
]
=∑
=
Untuk
Sedangkan
∑
̂
[̂
[̂
[̂
|
[̂
=
̂
(̂ )
|
]
]
.
]
̂
̂
∑
∑
∑
Dari Lema 10, Lema 12 diperoleh
(̂ )
.
̂
Sehingga untuk m
=
|
]
maka ̂
̂
|
|
̂
∑
.
19
=
=
⁄
=
⁄
=
→
untuk
[̂
]
=∑
⁄
. Jadi,
∑
⁄
⁄
∑
=
=
=
=
=
=
∑
∑
⁄
∑
⁄
(
⁄
(
(
⁄
)
(
)
⁄
̂
⁄
⁄
)
(
(
)
(
⁄
(
)
)
(
⁄
=
=
)
(
⁄
=
=
∑
⁄
⁄
⁄
(
)
)
)
)
20
=
untuk
[̂
untuk
[̂
⁄
→
. Sehingga
→
. Jadi,
(41)
]
]
⁄
[̂
=
]
=
untuk
→
⁄
⁄
.
Bukti Teorema 3:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat
diperoleh dari rumusan berikut:
(42)
])
] ( [̂
]
[ ̂
[̂
Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (42) telah diperoleh pada persamaan
(41), sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat
berikut:
[ ̂
]
=∑
[ ̂
|
∑
[ ̂
|
=[ ̂
|
̂
=
=
[
(
) |
̂
̂
]
̂
]
]
]
.
.
̂
Sehingga untuk m
(
|
maka ̂
Untuk
Sedangkan untuk
̂
[ ̂
̂
∑
∑
∑
)
]
.
21
̂
[
=
Pertama, dihitung
=
[
̂
[(
=(
)
̂ )
̂
̂
]
]
̂
̂ ̂
(̂ )
[̂ ̂
∑
[
̂
[ ̂
]
]+
]
]
̂
[̂ ]
[̂
]
[̂ ]
[̂
]
Dari Lema 10, Lema 12, Akibat 2, dan Akibat 3 diperoleh
(
(̂ )
)
=(
)
[̂ ̂
[ ̂
]
]
)
(
⁄
⁄
=(
=(
→
untuk
=
=
=
[
⁄
)
)
⁄
⁄
⁄
⁄
]
∑
(∑
⁄
(
⁄
. Kedua, dihitung
∑
[∑
)
(
(
)
∑
⁄
⁄
⁄
)
⁄
∑
∑
∑
]
( ))
⁄
22
(
=
=
( )
)
=
Jadi, diperoleh untuk m
=
[ ̂
untuk
[ ̂
∑
|
((
→
∑
(
(
(
untuk
)
⁄
]
((
∑
)
→
)
. Oleh karena itu,
∑
=
+
)
]
)
(
(
)
)
)
(
⁄
∑
∑
)
)
⁄
⁄
. Pada bukti Teorema 2 telah diperoleh
∑
∑
(43)
dan
∑
(44)
untuk
∑
→
. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
23
(
∑
Terakhir,
(45)
)
∑
(
(46)
)
untuk → . Bukti persamaan (46) dapat dilihat pada Lampiran 1. Dengan (43)(46), diperoleh
=
[ ̂
(
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
=
)
(
)
(
)
(
)
̂
(
)
⁄
(
)
(
)
⁄
]
(
=
(
(
⁄
⁄
̂
)
(
)
)
(
̂
)
⁄
(
)
24
(
)
)
(
⁄
Dari Lema 9 dan Akibat 1 diperoleh
̂
̂
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
(
)
(
)
(
(
(
)
)
⁄
= (
((
=
)
)
⁄
(
(
)
(
)
⁄
=
+
)
)
)
(
(
⁄
)
(
)
⁄
)
(
̂
)
)
⁄
⁄
⁄
⁄
=
=(
untuk
[̂
⁄
)
→
⁄
. Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah
]
[ ̂
]
( [̂
])
25
=(
=(
=
untuk
→
)
)
⁄
(
⁄
⁄
)
. Bukti lengkap.
Bukti Akibat 4:
Berdasarkan Teorema 2 dan 3,
[̂
]
=
=
=
untuk
→
[̂
]
⁄
⁄
⁄
. Bukti lengkap.
(
[̂
⁄
⁄
])
⁄
⁄
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear ialah
̂
dengan
̂
dan
̂
̂
⁄
̂
̂
∑
⁄
̂
̂
̂ (
∑
̂
̂
∑
⁄
)
⁄
dengan ̂
saat
.
Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga
yang konsisten lemah. Bias, ragam dan MSE dari penduga bagi fungsi nilai
harapan konvergen ke nol dengan laju
⁄
.
DAFTAR PUSTAKA
Adawiyah TRA. 2011. Kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi
kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear
[Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. New York (US):
Springer
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in
statistical physics. Physica 41:575-587.
Capiński M Kopp E.
7. Measure, Integral and Probability.
Ed. New
York (US): Springer.
Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised edition. New York (US):
John Wiley & Sons.
Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California (US): Wadsworth &
Brooks.
Ghahramani S. 2003. Fundamentals of Probability.
Ed. New Jersey (US):
Prentice Hall.
Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical
Mathematics 61(2009):599-628.
Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary
Application. New York (US): W. H. Freeman & Company
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of
injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations
4:1-9.
Mangku IW. 2001. Estimating the intensity a cyclic Poisson process [disertasi].
Amsterdam (NL): University of Amsterdam.
Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its
Application. 4(2):1-12
Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the
density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far
East Journal of Theoretical Statistics. 33(1): 81-91
Özel G İnal C.
8. The probabilit function of the compound oisson process
and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:7985.
Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to
biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.
467(2127):897-910.
Ross SM. 2007. Stochastic Process.
Ed. New York (US): John Wiley & Sons.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
28
Ruhiyat, Mangku IW, Purnaba IGP. 2013. Consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process. Far East Journal of
Mathematical Sciences 77(2):183-194.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New
York (US): John Wiley & Sons
Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (UK): Oxford University
Press.
29
Lampiran 1: Bukti beberapa persamaan
Bukti persamaan (15):
Berdasarkan persamaan (14),
∑
Dengan sifat nilai harapan,
∑
∑
Selanjutnya terlebih dahulu
∑
yaitu,
∑
|
|
|
[∑
∑
]
karena barisan peubah acak
bebas terhadap proses
Kemudian, karena
adalah barisan peubah acak i.i.d., maka
.
∑
∑
Sehingga
akhirnya diperoleh
∑
|
[
]
Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak
dengan proses
.
30
Bukti lengkap.
Bukti persamaan (17):
∫
∫
Berdasarkan Ruhiyat (2013):
sehingga diperoleh
=
∫
∫
∫
.
Bukti persamaan (46): ∑
Dari pembuktian Lema 18, diketahui bahwa
→
untuk
→
. Dari Lema 1, dapat diperoleh
untuk
→
. Oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan (45) seperti berikut
∑
cukup dibuktikan bahwa
untuk
→
, jika
∑
(
∑
(
→
)
untuk n→
)
(
(
)
. Pertama, perhatikan bahwa
)
31
sehingga
dan
∑
(
∑
)
∑
(
)
(
∑
)
(
)
(
)
∑
(
untuk
→
maka
. Kemudian, karena
(
)
)
(
(
(
)
)
(
)
)
)
,
∑
Perhatikan juga bahwa
sehingga
(
∑
)
∑
Misalkan k= m+1, maka
∑
)
(
∑
Selanjutnya,
∑
(
∑
(
(
)
,
∑
(
)
)
32
(
∑
)
Misalkan k= m+2, maka
(
∑
(
∑
(
∑
)
∑
(
)
(
(
)
∑
→
. Jadi,
(
)
=
untuk
→
Bukti lengkap.
(
)
(
)
(
)
(
(
(
untuk
)
∑
∑
)
(
)
)
)
)
)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 18 Maret 1992 dari pasangan bapak
(alm) Kasiman Prapto Hartono dan ibu I Gusti Ayu Akrini. Penulis merupakan
putra pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 18 Jakarta dan pada tahun yang
sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB
(USMI). Penulis memilih mayor Matematika Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Akhir Agustus 2013 penulis diterima
program fast track S-2 Matematika IPB.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II
(S-1) pada semester genap tahun akademik 2011-2012 dan semester ganjil 20122013, asisten mata kuliah Pengantar Teori Peluang (S-1) pada semester genap
tahun akademik 2012-2013 serta asisten mata kuliah Pengantar Riset Operasi (S1) pada semester ganjil 2013-2014. Pada tahun 2012 penulis meraih mendali emas
SPIRIT cabang catur, tahun 2013 penulis mewakili IPB pada kegiatan Olimpiade
Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA
PT) bidang Matematika yang diselenggarakan oleh DIKTI, penulis mendapatkan
beasiswa PPA dari IPB pada semester ganjil tahun akademik 2013-2014.
Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang
amanah sebagai Ketua RT Lorong 8 C3 Asrama Putra TPB IPB 47, Bendahara 2
kelas B 10 TPB IPB 47, Ketua Ikatan Mahasiswa Jakarta Utara tahun 2010-2011,
staf Komisi 1 Dewan Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam (DPM FMIPA) Kabinet Zwitterium 2011-2012, staf
Departemen Public Relation Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) Kabinet
Semesta 2012-2013, staf Departemen Ekonomi Ikatan Himpunan Mahasiswa
Matematika (IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2011-2012, staf
Departemen
Kaderisasi
Ikatan
Himpunan
Mahasiswa
Matematika
(IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2012-2013.
Penulis aktif di berbagai kegiatan kepanitian, Ketua Panitia Latihan
Kepemimpinan Mahasiswa Matematika
dan Musyawarah
Tahunan
IKAHIMATIKA tahun 2013, Ketua Panitia Lokakarya Lembaga Kemahasiswaan
FMIPA IPB tahun 2011, Wakil Ketua Panitia Piala Rektor tahun 2011, staf Divisi
Konsumsi Pesta Sains Nasional tahun 2011, staf Divisi PJLT MPKMB 48 tahun
2011, staf Divisi SG G-FORCE 48 tahun 2012, dan staf Divisi PJK MPD
Matematika tahun 2012 dan 2013.
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
DENGAN TREN LINEAR
BONNO ANDRI WIBOWO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Nilai
Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian
akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2014
Bonno Andri Wibowo
NIM G54100033
ABSTRAK
BONNO ANDRI WIBOWO. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses
Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN
MANGKU dan SISWADI.
Karya ilmiah ini membahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi nilai
harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Komponen
periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik
tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan Slope dari tren
linear diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak diketahui. Masalah
utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai harapan,
membuktikan kekonsistenan penduga, dan membuktikan bias, ragam, dan Mean
Square Error (MSE) penduga konvergen menuju nol untuk panjang interval
pengamatan proses menuju takhingga.
Kata kunci: Fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan
penduga, proses Poisson periodik majemuk, tren linear.
ABSTRACT
BONNO ANDRI WIBOWO. Estimating the Mean Function of a Compound
Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU
and SISWADI.
This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process with linear trend. The cyclic
component of intensity function of this process is not assumed to have any
parametric form, but it period is assumed to be known. The slope of linear trend is
assumed to be positif, but it value is unknown. The main problem of this
manuscript are constructing an estimator of this mean function, proving
consistency of this estimator, and proving that the bias, variance, and meansquared error of this estimator converge to zero as the length of the observation
time interval indefinitely expands.
Key word: Compound cyclic Poisson process, consistency, cyclic intensity
function, linear trend, the mean function.
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA
PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK
DENGAN TREN LINEAR
BONNO ANDRI WIBOWO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2014
Judul Skripsi
: Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson
Majemuk dengan Tren Linear
Nama Mahasiswa : Bonno Andri Wibowo
NIM
: G54100033
Disetujui oleh
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing I
Prof Dr Ir Siswadi, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan
pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayang Mangku,
MSc selaku pembimbing I dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen
pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama
penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Ruhiyat,
MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada ibu, lukman, adi, widi atas segala dukungan,
semangat, dan doa serta kasih sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan
terima kasih kepada teman–teman math 47, adik–adik math 48–49, DPM FMIPA
IPB, Gumatika, Matematika Terapan angkatan 8 dan IKAHIMATIKA
INDONESIA Wilayah III, serta tentor–tentor katalis IPB atas segala dukungan
dan doa yang diberikan.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, Februari 2014
Bonno Andri Wibowo
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rumusan Masalah
Tujuan Penelitian
LANDASAN TEORI
Nilai Harapan, dan Ragam
Kekonvergenan
Penduga dan Sifat – sifatnya
Proses Stokastik dan Proses Poisson
Beberapa Lema Teknis
KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA PROSES
POISSON TAK-HOMOGEN
Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk
Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya
Beberapa Lema Teknis dan Buktinya
BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU
KEKONVERGENANNYA
Bukti Kekonsistenan Penduga
Bukti Laju Kekonvergenan Penduga
SIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
VI
1
1
2
2
2
2
3
4
5
6
7
7
9
11
11
12
13
18
18
18
26
27
29
33
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian
atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan
fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham,
proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan
banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk
memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan
datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan tersebut berguna
untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang.
Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini
pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik
dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk.
Proses Poisson majemuk dapat digunakan untuk memodelkan besarnya
klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan
yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969)
telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika.
Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi
(Kegler 2007), geologi (
dan
2008) dan biologi (Puig dan Barquinero
2011).
Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan
menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian
memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu
dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh
karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan,
asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan
proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya
merupakan fungsi dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan
perumuman dari proses Poisson homogen.
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear. Proses Poisson periodik majemuk dengan
tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena yang terjadi secara
periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti proses kedatangan
wisatawan ke suatu pusat rekreasi dengan periode satu tahun.
Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk dengan tren linear sulit
ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan untuk
ditentukan adalah nilai harapan dari peubah acak tersebut. Nilai harapan ini
merupakan fungsi dari waktu karena peubah acak Poisson periodik majemuk
dengan tren linear merupakan fungsi dari waktu. Oleh karena itu, nilai harapan ini
disebut sebagai fungsi nilai harapan.
2
Rumusan Masalah
Pada karya ilmiah ini fungsi intensitas dari proses Poisson periodik dengan
tren linear diasumsikan tidak diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut
diketahui, fungsi nilai harapan dapat dengan mudah diketahui. Dengan asumsi ini,
diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan
mengkaji perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear. Selanjutnya kita menganalisis kekonsistenan
penduga yang diperoleh. Kekonsistenan yang dianalisis adalah kekonsistenan
lemah ketika interval waktu pengamatan memanjang. Selain itu, kita melakukan
analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga untuk
melihat perbedaan antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya.
Tujuan Penelitian
1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear,
2. Menganalisis kekonsistenan penduga, dan
3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared
error (MSE) penduga.
LANDASAN TEORI
Nilai Harapan, dan Ragam
Definisi 1 (Nilai harapan)
1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
nilai harapan dari didefinisikan sebagai
, maka
∑
2.
jika jumlah di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Jika
adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai
∫
jika integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Definisi 2 (Ragam)
Jika adalah peubah acak, maka ragam dari didefinisikan sebagai
var
(Ghahramani 2003).
,
3
Definisi 3 (Koragam)
Misalkan
dan
adalah peubah acak dan misalkan pula
dan
masing menyatakan nilai harapan dari
dan . Koragam dari
didefinisikan sebagai
masingdan
cov
(Ghahramani 2003).
Lema 1 (Sifat ragam)
1. Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula c dan d adalah dua
buah konstanta sembarang, maka
var
cov(X,Y)
2.
Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003).
Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan misalkan pula c dan d
adalah dua buah konstanta sembarang, maka
3.
Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003).
Misalkan adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk
sembarang konstanta c dan d, berlaku
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).
Kekonvergenan
Definisi 4 (Konvergen dalam peluang)
Misalkan
adalah peubah acak pada suatu ruang peluang
Suatu barisan peubah acak
, dikatakan konvergen dalam peluang ke
peubah acak , ditulis
untuk
→
→
jika untuk setiap
→
(Ghahramani 2003).
|
berlaku
|
Definisi 5 (Konvergen hampir pasti)
Misalkan
adalah peubah acak pada suatu ruang peluang
Suatu barisan peubah acak
, dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah
acak , ditulis
→
jika untuk setiap
berlaku
untuk
→
→
|
(Ghahramani 2003).
|
Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan
untuk →
→
dan
→ dan → , maka
. Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2005).
→
.
4
Penduga dan Sifat–sifatnya
Definisi 6 (Statistik)
Misalkan
fungsi
2005).
adalah contoh acak dari peubah acak . Kemudian setiap
dari contoh acak tersebut disebut statistik (Hogg et al.
Definisi 7 (Penduga)
Misalkan
adalah contoh acak. Suatu statistik
digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah
penduga (estimator) bagi (Hogg et al. 2005).
yang
, disebut sebagai
Definisi 8 (Penduga tak-bias)
1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yang diduga,
, disebut penduga takbias bagi parameter
yaitu E
tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias.
disebut sebagai
maka
2. Jika
→
penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005).
Definisi 9 (Penduga konsisten lemah)
yang konvergen dalam peluang ke parameter
Suatu penduga
yaitu
untuk
→
→
, disebut penduga konsisten lemah bagi
(Hogg et al. 2005).
Definsi 10 (Penduga konsisten kuat)
yang konvergen dalam sebaran ke parameter
Suatu penduga
yaitu
untuk
→
→
, disebut penduga konsisten kuat bagi
(Hogg et al. 2005).
Definisi 11 (
dan
)
Simbol-simbol
dan
merupakan cara untuk membandingkan besarnya
dua fungsi
dan
dengan menuju suatu limit L.
(i)
(ii)
Notasi
→ .
Notasi
(Serfling 1980).
(
(
),
),
→
→
menyatakan bahwa |
menyatakan bahwa |
| terbatas, untuk
| → , untuk
→
5
Proses Stokastik dan Proses Poisson
Definisi 12 (Proses stokastik)
Proses stokastik =
memetakan suatu ruang contoh
2007).
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
ke suatu ruang state (state space) S (Ross
Definisi 13 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)
Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika
adalah suatu interval (Ross 2007).
Definisi 14 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua
peubah acak
adalah bebas (Ross 2007).
Definisi 15 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut memiliki
inkremen stasioner jika
memiliki sebaran yang sama untuk
semua (Ross 2007).
Definisi 16 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik
disebut proses pencacahan jika
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu (Ross 2007).
Definisi 17 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan laju ,
, jika memenuhi tiga syarat berikut
1.
(0) = 0.
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi, untuk semua t,s
,
(Ross 2007).
Definisi 18 (Proses Poisson homogen)
Suatu proses Poisson
disebut proses Poisson homogen jika laju
merupakan konstanta untuk semua t (Ross 2007).
Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen)
Suatu proses Poisson
disebut proses Poisson tak-homogen jika laju
merupakan fungsi dari waktu, yaitu
(Ross 2007).
6
Lema 3 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson)
Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson
dengan parameter berturut-turut u dan v. Maka + memiliki sebaran Poisson
dengan parameter u+v.
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2005).
Definisi 20 (Terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan
Borel terbatas , memenuhi persamaan berikut
∫
(Dudley 1989).
Definisi 21 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak-homogen dengan fungsi intensitas
pada titik s
adalah
, yaitu fungsi di s (Cressie 1993).
Definisi 22 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi disebut periodik jika
untuk setiap s
(Browder 1996).
dan k
serta
merupakan periode dari fungsi
tersebut
Definisi 23 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson takhomogen yang fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001).
Beberapa Lema Teknis
Lema 4 (Ketaksamaan Markov)
Jika adalah peubah acak taknegatif, maka untuk setiap t > 0 berlaku
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).
Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan
untuk setiap
berlaku
|
|
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).
dan ragam terbatas
, maka
7
Lema 6 (Ketaksamaan segitiga)
Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka
|
|
Bukti dapat dilihat pada Helms (1996).
| |
| |
Lema 7 (Hukum lemah bilangan besar)
Misalkan
adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan
, maka
untuk
→
∑
dan ragam
→
. Bukti dapat dilihat pada Capiński dan Kopp (2007).
Lema 8
Misalkan k, adalah konstanta maka berlaku
1.
(1)
∑
2.
⁄
∑
3.
untuk
→
(2)
(3)
∑
. Bukti dapat dilihat pada Titchmarsh (1960).
KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA
PROSES POISSON TAKHOMOGEN
Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
Misalkan
fungsi intensitas
terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
(s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi
untuk setiap
0 dan
Nilai harapan dari proses
dengan
, dengan
∫
menyatakan himpunan bilangan asli.
adalah
8
di mana untuk setiap bilangan real ,
lebih kecil dari atau sama dengan ,
⌊ ⌋
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
∫
dan
yaitu fungsi intensitas global dari proses
Diasumsikan bahwa
adalah suatu proses dengan
Selanjutnya, misalkan
∑
di mana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga bebas
disebut dengan proses
. Proses
terhadap proses
Poisson periodik majemuk.
Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik
majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:
Pendugaan fungsi nilai harapan dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan,
yang merupakan
yaitu pendugaan fungsi intensitas global , pendugaan
dan
nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu
pendugaan . Pendugaan bagi fungsi intensitas global
dirumuskan sebagai
berikut:
̂
Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
telah dikaji pada Ruhiyat (2013) dan dirumuskan
Penduga bagi
sebagai berikut:
̂
∑
Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada
, yang termasuk dalam interval
setiap interval waktu
pengamatan
. Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang
sama dengan panjang interval waktu banyaknya kejadian yang diduga, yaitu
kecuali mungkin untuk satu interval. Selain itu, masing-masing interval waktu
tersebut memiliki fungsi intensitas yang sama dengan interval waktu banyaknya
9
kejadian yang diduga, kecuali mungkin untuk satu interval. Hal ini merupakan
akibat dari sifat keperiodikan fungsi intensitas . Penduga bagi dirumuskan
sebagai berikut:
̂
∑
. Penduga ini diperoleh dari rata–rata nilai
dengan ̂
saat
peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
.
Dengan menggunakan ketiga rumusan tersebut, penduga bagi fungsi nilai
dirumuskan sebagai berikut:
harapan
̂
̂
̂
̂
. Penduga nilai harapan tersebut telah
saat
dengan ̂
dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan
kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE
penduga berturut-turut ialah
[̂
[̂
untuk
→
.
[̂
]
]
]
( )
( )
( )
Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear
Pengantar proses Poisson periodik dengan tren linear
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas (s)
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren linear, yakni memenuhi
(4)
konstanta
merupakan kemiringan dari tren dengan
> 0.
Kondisi fungsi intensitas ini juga digunakan pada Mangku (2005).
(5)
Pendugaan komponen-komponen parameter pada proses Poisson periodik
dengan tren linear
Penduga bagi slope dari tren linear, yaitu dirumuskan sebagai berikut:
(6)
̂
10
Pendugaan ini juga dilakukan pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan
yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global telah dikaji pada Mangku
(2005) dan dirumuskan sebagai berikut:
̂
⁄
∑
̂ (
⁄
(7)
telah dikaji pada Mangku (2010)
Penduga bagi fungsi intensitas sebagian
dan dirumuskan sebagai berikut:
̂
⁄
)
∑
̂
⁄
(8)
Beberapa lema dalam pendugaan parameter pada proses Poisson periodik
dengan tren linear
Lema 9: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan
lokal, maka
(9)
̂
( )
untuk → . Dengan kata lain ̂ merupakan penduga yang takbias asimtotik
bagi . Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).
Lema 10: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
memenuhi persamaan (4) dan
̂
(
. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).
Lema 11: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
)
(10)
memenuhi persamaan (4) dan
̂ →
. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).
Lema 12: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
[̂ ]
memenuhi persamaan (4) dan
(
)
(11)
untuk → . Dengan kata lain ̂ merupakan penduga yang takbias asimtotik
bagi . Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).
11
Lema 13: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
[̂ ]
memenuhi persamaan (4) dan
(
)
. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).
Lema 14: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
(12)
memenuhi persamaan (4) dan
̂ →
. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).
Lema 15: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
[̂
memenuhi persamaan (4) dan
(
]
⁄
)
(13)
merupakan penduga yang takbias
untuk → . Dengan kata lain ̂
. Bukti dapat dilihat pada Adawiyah (2011).
asimtotik bagi
Lema 16: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
untuk
→
̂
memenuhi persamaan (4) dan
→
. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2010).
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Misalkan
adalah suatu proses Poisson periodik majemuk
dengan tren linear, dan misalkan
adalah suatu proses dengan
∑
(14)
di mana
adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga bebas
terhadap
. Proses
disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear. Nilai harapan dari
, dinotasikan dengan
ialah
(15)
dengan
12
∫
(16)
Bukti persamaan (15) dapat dilihat pada Lampiran 1, maka untuk setiap
yang diberikan,
(17)
Misalkan
∫
yaitu fungsi intesitas global dari komponen periodik pada proses
Bukti persamaan (17) dapat dilihat pada Lampiran 1. Diasumsikan
.
(18)
Akhirnya, berdasarkan persamaan (15) dan (17), fungsi nilai harapan dari
dapat dituliskan menjadi
(19)
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (19) dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan
slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada
. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut:
interval waktu
(20)
̂
∑
dengan ̂
saat
. Penduga ini diperoleh dari rata – rata nilai
peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
. Dengan menggunakan penduga pada persamaan (6)-(8) dan (20) , penduga
bagi fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
dengan ̂
̂
saat
̂
.
̂
̂
̂
(21)
Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya
Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (14), maka
(22)
̂
→
untuk
→
. Jadi ̂
merupakan penduga yang konsisten lemah bagi
.
13
Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (14), maka
untuk
→
.
→
[̂
[̂
]
. Artinya, Bias ̂
]
(
⁄
)
konvergen ke nol dengan laju
⁄
jika
Teorema 3 (Laju kekonvergenan ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (14), maka
untuk
→
.
→
[̂
. Artinya, ragam ̂
]
(
⁄
)
konvergen ke nol dengan laju
⁄
jika
Akibat 4 (Laju kekonvergenan MSE)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (14), maka
untuk
→
.
→
. Artinya,
[̂
[̂
]
(
⁄
)
] konvergen ke nol dengan laju
Beberapa Lema Teknis dan Buktinya
⁄
jika
Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga
bagi fungsi nilai harapan.
Berdasarkan Lema 9 dan 10, diperoleh akibat berikut.
Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (4) dan
terintegralkan lokal, maka
(23)
̂
( )
untuk → .
Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan seperti berikut:
̂
̂
̂
(
)
14
→ . Bukti Lengkap.
Berdasarkan Lema 12 dan 13, diperoleh akibat berikut.
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (4) dan
terintegralkan lokal, maka
untuk
(̂ )
(
⁄
)
(24)
untuk → .
Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan seperti berikut:
(̂ )
(̂ )
=
⁄
=
→
O
⁄
=
untuk
[ ( ̂ )]
⁄
⁄
⁄
. Bukti lengkap.
Lema 17: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
[̂
]
untuk → .
Bukti: Nilai ragam dari penduga
[̂
Misalkan
]
⁄
∑
⁄
∑
⁄
memenuhi persamaan (4) dan
(
adalah
dan
Sehingga dengan menerapkan Lema 1 diperoleh
[̂
)
⁄
̂
(25)
.
⁄
̂
⁄
.
(26)
]
dan
Catatan, untuk setiap j k, j,k= 1,2,..., maka
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
adalah bebas, untuk k j.
dan
∑
=
⁄
⁄
∑
⁄
∑
karena N peubah acak Poisson, maka Var(N)= E(N)
=
,
15
=
⁄
∑
∫
⁄
∑
∫ (
⁄
∫
.
Misalkan y= s-k maka persamaan di atas menjadi
=
karena
)
merupakan fungsi periodik, maka
=
∑
∫ ∑
⁄
.
(27)
Substitusi (1) pada bagian pertama persamaan (27) menjadi
=
∫
⁄
=
∫
⁄
=
=
untuk
→
⁄
(
⁄
=
→
(28)
⁄
. Substitusi persamaan (2) bagian kedua persamaan (27)
=
untuk
)
⁄
∫
⁄
⁄
⁄
(29)
. Dari persamaan (28) dan (29) maka persamaan (27) menjadi
⁄
=
(
̂
)
⁄
⁄
⁄
.
(30)
̂
Substitusi persamaan (10) maka persamaan di atas menjadi
=
=
→
⁄
⁄
=
untuk
⁄
⁄
.
⁄
⁄
(
)
(31)
16
∑
=
⁄
∑
=
⁄
=
=
=
∑
∑
(
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
∫ (
∫
⁄
⁄
∫
=
=
̂
∑
⁄
⁄
∑
∑
∑
∫
(
)
(
)
)
k
)
n d
∫ ∑
(32)
Substitusi persamaan (2) pada bagian pertama persamaan (32)
=
=
=
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
=
untuk
⁄
→
⁄
∫
⁄
⁄
. Substitusi persamaan (3) pada bagian kedua persamaan (32)
⁄
=
∫
⁄
⁄
⁄
⁄
∫
(33)
17
(34)
=
untuk
untuk
[̂
→
. Dari persamaan (33) dan (34) dapat diperoleh
→
. Dari persamaan (30), (31), dan (35) dapat diperoleh
(
(
]
)
(35)
(
⁄
=
)
⁄
⁄
⁄
⁄
)
⁄
⁄
⁄
→ . Bukti lengkap.
Berdasarkan Lema 15 dan 17, diperoleh akibat berikut.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (4) dan
terintegralkan lokal, maka
untuk
( ̂
)
⁄
untuk → .
Bukti: Momen kedua dari ̂
( ̂
)
=
=
untuk
→
⁄
(36)
̂
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
. Bukti lengkap.
)
dapat ditentukan seperti berikut:
̂
=
(
⁄
⁄
Lema 18: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (4) dan
terintegralkan lokal. Jika kondisi (5) dan (18) dipenuhi, maka dengan peluang 1,
untuk
Bukti:
→
→
.
∫
=∫
=
untuk
→
. Bukti lengkap.
BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU
KEKONVERGENANNYA
Bukti Kekonsistenan Penduga
Bukti Teorema 1:
Perhatikan kembali persamaan (21). Dengan menerapkan Lema 2, untuk
membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa
(37)
̂ →
̂
dan
(38)
̂ →
(39)
→
(40)
̂ →
untuk n→ . Dengan Lema 11 diperoleh (37), dengan Lema 14 diperoleh (38),
dengan Lema 16 diperoleh (39). Dengan Lema 18 dan Lema 7 (hukum lemah
bilangan besar) diperoleh (40). Bukti Lengkap.
Bukti Laju Kekovergenan Penduga
Bukti Teorema 2:
[̂
]
=∑
=
Untuk
Sedangkan
∑
̂
[̂
[̂
[̂
|
[̂
=
̂
(̂ )
|
]
]
.
]
̂
̂
∑
∑
∑
Dari Lema 10, Lema 12 diperoleh
(̂ )
.
̂
Sehingga untuk m
=
|
]
maka ̂
̂
|
|
̂
∑
.
19
=
=
⁄
=
⁄
=
→
untuk
[̂
]
=∑
⁄
. Jadi,
∑
⁄
⁄
∑
=
=
=
=
=
=
∑
∑
⁄
∑
⁄
(
⁄
(
(
⁄
)
(
)
⁄
̂
⁄
⁄
)
(
(
)
(
⁄
(
)
)
(
⁄
=
=
)
(
⁄
=
=
∑
⁄
⁄
⁄
(
)
)
)
)
20
=
untuk
[̂
untuk
[̂
⁄
→
. Sehingga
→
. Jadi,
(41)
]
]
⁄
[̂
=
]
=
untuk
→
⁄
⁄
.
Bukti Teorema 3:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat
diperoleh dari rumusan berikut:
(42)
])
] ( [̂
]
[ ̂
[̂
Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (42) telah diperoleh pada persamaan
(41), sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat
berikut:
[ ̂
]
=∑
[ ̂
|
∑
[ ̂
|
=[ ̂
|
̂
=
=
[
(
) |
̂
̂
]
̂
]
]
]
.
.
̂
Sehingga untuk m
(
|
maka ̂
Untuk
Sedangkan untuk
̂
[ ̂
̂
∑
∑
∑
)
]
.
21
̂
[
=
Pertama, dihitung
=
[
̂
[(
=(
)
̂ )
̂
̂
]
]
̂
̂ ̂
(̂ )
[̂ ̂
∑
[
̂
[ ̂
]
]+
]
]
̂
[̂ ]
[̂
]
[̂ ]
[̂
]
Dari Lema 10, Lema 12, Akibat 2, dan Akibat 3 diperoleh
(
(̂ )
)
=(
)
[̂ ̂
[ ̂
]
]
)
(
⁄
⁄
=(
=(
→
untuk
=
=
=
[
⁄
)
)
⁄
⁄
⁄
⁄
]
∑
(∑
⁄
(
⁄
. Kedua, dihitung
∑
[∑
)
(
(
)
∑
⁄
⁄
⁄
)
⁄
∑
∑
∑
]
( ))
⁄
22
(
=
=
( )
)
=
Jadi, diperoleh untuk m
=
[ ̂
untuk
[ ̂
∑
|
((
→
∑
(
(
(
untuk
)
⁄
]
((
∑
)
→
)
. Oleh karena itu,
∑
=
+
)
]
)
(
(
)
)
)
(
⁄
∑
∑
)
)
⁄
⁄
. Pada bukti Teorema 2 telah diperoleh
∑
∑
(43)
dan
∑
(44)
untuk
∑
→
. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
23
(
∑
Terakhir,
(45)
)
∑
(
(46)
)
untuk → . Bukti persamaan (46) dapat dilihat pada Lampiran 1. Dengan (43)(46), diperoleh
=
[ ̂
(
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
=
)
(
)
(
)
(
)
̂
(
)
⁄
(
)
(
)
⁄
]
(
=
(
(
⁄
⁄
̂
)
(
)
)
(
̂
)
⁄
(
)
24
(
)
)
(
⁄
Dari Lema 9 dan Akibat 1 diperoleh
̂
̂
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
(
)
(
)
(
(
(
)
)
⁄
= (
((
=
)
)
⁄
(
(
)
(
)
⁄
=
+
)
)
)
(
(
⁄
)
(
)
⁄
)
(
̂
)
)
⁄
⁄
⁄
⁄
=
=(
untuk
[̂
⁄
)
→
⁄
. Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah
]
[ ̂
]
( [̂
])
25
=(
=(
=
untuk
→
)
)
⁄
(
⁄
⁄
)
. Bukti lengkap.
Bukti Akibat 4:
Berdasarkan Teorema 2 dan 3,
[̂
]
=
=
=
untuk
→
[̂
]
⁄
⁄
⁄
. Bukti lengkap.
(
[̂
⁄
⁄
])
⁄
⁄
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear ialah
̂
dengan
̂
dan
̂
̂
⁄
̂
̂
∑
⁄
̂
̂
̂ (
∑
̂
̂
∑
⁄
)
⁄
dengan ̂
saat
.
Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga
yang konsisten lemah. Bias, ragam dan MSE dari penduga bagi fungsi nilai
harapan konvergen ke nol dengan laju
⁄
.
DAFTAR PUSTAKA
Adawiyah TRA. 2011. Kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi
kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear
[Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. New York (US):
Springer
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in
statistical physics. Physica 41:575-587.
Capiński M Kopp E.
7. Measure, Integral and Probability.
Ed. New
York (US): Springer.
Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised edition. New York (US):
John Wiley & Sons.
Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California (US): Wadsworth &
Brooks.
Ghahramani S. 2003. Fundamentals of Probability.
Ed. New Jersey (US):
Prentice Hall.
Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical
Mathematics 61(2009):599-628.
Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary
Application. New York (US): W. H. Freeman & Company
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of
injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations
4:1-9.
Mangku IW. 2001. Estimating the intensity a cyclic Poisson process [disertasi].
Amsterdam (NL): University of Amsterdam.
Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its
Application. 4(2):1-12
Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the
density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far
East Journal of Theoretical Statistics. 33(1): 81-91
Özel G İnal C.
8. The probabilit function of the compound oisson process
and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:7985.
Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to
biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.
467(2127):897-910.
Ross SM. 2007. Stochastic Process.
Ed. New York (US): John Wiley & Sons.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
28
Ruhiyat, Mangku IW, Purnaba IGP. 2013. Consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process. Far East Journal of
Mathematical Sciences 77(2):183-194.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New
York (US): John Wiley & Sons
Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (UK): Oxford University
Press.
29
Lampiran 1: Bukti beberapa persamaan
Bukti persamaan (15):
Berdasarkan persamaan (14),
∑
Dengan sifat nilai harapan,
∑
∑
Selanjutnya terlebih dahulu
∑
yaitu,
∑
|
|
|
[∑
∑
]
karena barisan peubah acak
bebas terhadap proses
Kemudian, karena
adalah barisan peubah acak i.i.d., maka
.
∑
∑
Sehingga
akhirnya diperoleh
∑
|
[
]
Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak
dengan proses
.
30
Bukti lengkap.
Bukti persamaan (17):
∫
∫
Berdasarkan Ruhiyat (2013):
sehingga diperoleh
=
∫
∫
∫
.
Bukti persamaan (46): ∑
Dari pembuktian Lema 18, diketahui bahwa
→
untuk
→
. Dari Lema 1, dapat diperoleh
untuk
→
. Oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan (45) seperti berikut
∑
cukup dibuktikan bahwa
untuk
→
, jika
∑
(
∑
(
→
)
untuk n→
)
(
(
)
. Pertama, perhatikan bahwa
)
31
sehingga
dan
∑
(
∑
)
∑
(
)
(
∑
)
(
)
(
)
∑
(
untuk
→
maka
. Kemudian, karena
(
)
)
(
(
(
)
)
(
)
)
)
,
∑
Perhatikan juga bahwa
sehingga
(
∑
)
∑
Misalkan k= m+1, maka
∑
)
(
∑
Selanjutnya,
∑
(
∑
(
(
)
,
∑
(
)
)
32
(
∑
)
Misalkan k= m+2, maka
(
∑
(
∑
(
∑
)
∑
(
)
(
(
)
∑
→
. Jadi,
(
)
=
untuk
→
Bukti lengkap.
(
)
(
)
(
)
(
(
(
untuk
)
∑
∑
)
(
)
)
)
)
)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 18 Maret 1992 dari pasangan bapak
(alm) Kasiman Prapto Hartono dan ibu I Gusti Ayu Akrini. Penulis merupakan
putra pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 18 Jakarta dan pada tahun yang
sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB
(USMI). Penulis memilih mayor Matematika Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Akhir Agustus 2013 penulis diterima
program fast track S-2 Matematika IPB.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II
(S-1) pada semester genap tahun akademik 2011-2012 dan semester ganjil 20122013, asisten mata kuliah Pengantar Teori Peluang (S-1) pada semester genap
tahun akademik 2012-2013 serta asisten mata kuliah Pengantar Riset Operasi (S1) pada semester ganjil 2013-2014. Pada tahun 2012 penulis meraih mendali emas
SPIRIT cabang catur, tahun 2013 penulis mewakili IPB pada kegiatan Olimpiade
Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA
PT) bidang Matematika yang diselenggarakan oleh DIKTI, penulis mendapatkan
beasiswa PPA dari IPB pada semester ganjil tahun akademik 2013-2014.
Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang
amanah sebagai Ketua RT Lorong 8 C3 Asrama Putra TPB IPB 47, Bendahara 2
kelas B 10 TPB IPB 47, Ketua Ikatan Mahasiswa Jakarta Utara tahun 2010-2011,
staf Komisi 1 Dewan Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam (DPM FMIPA) Kabinet Zwitterium 2011-2012, staf
Departemen Public Relation Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) Kabinet
Semesta 2012-2013, staf Departemen Ekonomi Ikatan Himpunan Mahasiswa
Matematika (IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2011-2012, staf
Departemen
Kaderisasi
Ikatan
Himpunan
Mahasiswa
Matematika
(IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2012-2013.
Penulis aktif di berbagai kegiatan kepanitian, Ketua Panitia Latihan
Kepemimpinan Mahasiswa Matematika
dan Musyawarah
Tahunan
IKAHIMATIKA tahun 2013, Ketua Panitia Lokakarya Lembaga Kemahasiswaan
FMIPA IPB tahun 2011, Wakil Ketua Panitia Piala Rektor tahun 2011, staf Divisi
Konsumsi Pesta Sains Nasional tahun 2011, staf Divisi PJLT MPKMB 48 tahun
2011, staf Divisi SG G-FORCE 48 tahun 2012, dan staf Divisi PJK MPD
Matematika tahun 2012 dan 2013.