27
Contoh 2.56
Perhatikan Gambar 2.7. Untuk dua titik dan
, lintasan merupakan
lintasan dengan panjang dua, selanjutnya lintasan
merupakan lintasan dari titik
dengan panjang dua, lalu lintasan merupakan lintasan dari titik ke
dengan panjang dua, sedangkan lintasan merupakan lintasan dari titik
dengan panjang satu. Oleh karena itu lintasan
merupakan lintasan geodesik antara titik dan
, sebab lintasan tersebut memiliki panjang yang minimal dibanding lintasan lainnya.
D. Jarak dan Keterhubungan
Definisi 2.57
Misalkan adalah graf. Dua titik dan di dikatakan
terhubung
jika dan hanya jika terdapat sebuah jalan dari ke .
Contoh 2.58
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.8. Graf
F
Untuk dua titik dan terdapat jalan dari ke , sehingga
titik dan dapat dikatakan terhubung.
Definisi 2.59
28 Suatu graf dikatakan
graf terhubung
jika dan hanya jika untuk setiap dua titik dan pada terhubung.
Contoh 2.60
Perhatikan Gambar 2.8. Untuk setiap dua titik
u
dan
v
pada
F
terdapat jalan dari titik
u
ke
v
maka
F
merupakan graf terhubung seperti yang terlihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Jalan dari titik
u
ke
v
untuk setiap , di
F
Titik
u
Jalan titik
u
ke
v
Titik
v
Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.9. Graf
G
Untuk dua titik dan pada graf
G
, tidak terdapat jalan dari titik ke , sehingga graf
G
tidak terhubung.
Definisi 2.61
29 Misalkan diberikan dua buah titik
pada graf
G Jarak antara titik dan
didefinisikan sebagai banyaknya sisi dari suatu geodesik - di
G
dan dinotasikan dengan
d u
,
v
.
Contoh 2.62
Perhatikan gambar berikut
Gambar 2.10. Graf
H
Untuk dua titik ke pada graf
H
, merupakan geodesik antara titik
dan , dengan jumlah sisi adalah satu. Jadi
d u
,
v
= 1.
Definisi 2.63
Misal diberikan suatu titik pada
G
,
eksentrisitas pada v
adalah jarak dari titik
v
ke suatu titik terjauh di
G.
Eksentrisitas pada
v
dinotasikan dengan
e v
. Secara matematis ditulis dengan
30
Contoh 2.64
Perhatikan gambar berikut , akan dicari
e
.
Gambar 2.11. Graf
I
Untuk suatu titik pada graf
I
diperoleh bahwa: 1.
Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 1.
2. Lintasan
merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2. 3.
Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3.
4. Lintasan
merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2. 5.
Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2.
6. Lintasan
merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3. 7.
Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3.
Sehingga diperoleh jarak ke setiap titik di
I
seperti pada tabel dibawah ini.
Tabel 2.2.Jarak titik
v
1
ke setiap titik di
I
Jadi
e
. Titik
Nilai
d v
1,
v
Titik
v
1 2
3 2
2 3
3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Definisi 2.65
Misalkan
G
adalah graf.
Diameter dari G
adalah maksimum dari eksentrisitas titik-titik di
G
dan dinyatakan dengan
diam G
.
Contoh 2.66
PerhatikanGambar 2.11, akan cari
diam I
. Untuk dua titik setiap
u
,
v
di
I
diperoleh jarak dari titik
u
ke
v
dan eksentrisitas titik
u
, seperti pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3. Jarak setiap dua titik dan eksentrisitas setiap titik pada graf
I
Titik Nilai
d u,v
e u
V
u
1 2
3 2
2 3
3 3
1 1
2 1
1 2
2 2
2 1
1 2
2 3
3 3
3 2
1 3
3 4
4 4
2 1
2 3
1 1
2 3
2 2
2 3
1 2
2 3
3 3
3 4
1 2
2 4
3 2
3 5
4 2
2 4
Jadi menurut Tabel 2.3,
diam
.
Definisi 2.67
Graf
G
dan
H
dikatakan
isomorfis
jika terdapat sebuah fungsi bijektif
sedemikian sehingga setiap pasang titik
u
dan
v
bertetangga di
G
jika dan hanya jika dan
bertetangga di
H.
Fungsi
f
yang mememenuhi syarat di atas disebut
isomorfisma
dari
G
ke
H,
dan
G
dikatakan isomorfis dengan
H
,dinotasikan dengan
.
32
Contoh 2.68
Gambar 2.12menyatakan graf
J
dan
K.
Fungsi didefinisikan
dengan ,
, ,
. Dapat ditunjukkanbahwa
f
adalah fungsi bijektifdari ke
dan untuk setiap dua titik
u
dan
v
di
E, u
dan
v
bertetangga jika dan hanya jika
f u
dan
f v
bertetangga pada Gambar 2.12.
a b
Gambar 2.12.aFungsi bijektif dari ke
, b Graf
E. Macam-Macam Graf
