38
Definisi 2.81
Untuk
graf roda
adalah graf hasil penggabungan dari dengan
. Graf roda dinotasikan dengan
.
Contoh 2.82
Perhatikan gambar-gambar di bawah ini.
Gambar 2.23. a Graf , b Graf
, c Graf Gambar
2.23a merupakan
penggabungan
K
1
C
4
yang disebut
.Selanjutnya Gambar 2.23b merupakan penggabungan
K
1
C
5
yang disebut
. Sedangkan Gambar 2.23c merupakan penggabungan
K
1
C
6
yang disebut .
F. Pewarnaan Sisi Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai pewarnaan sisi pada graf, yang diberikan dalam definisi dan contoh-contoh.
Definisi 2.83
Misalkan
G
adalah graf dengan himpunan sisi – sisi
. Himpunan bagian dari
dikatakan
himpunan bebas
jika tidak ada dua sisi di dalam himpunan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39 tersebut yang bertetangga. Sedangkan
bilangan kebebasan sisi
adalah jumlah maksimal sisi dari
G
dalam himpunan bebas.Bilangan kebebasan sisi dinotasikan dengan
.
Contoh 2.84
Diberikan sebuah graf
N
. Akan dicari bilangan kebebasan sisi dari
N
.
Gambar 2.24. Graf
N
Berdasarkan gambar diatas diperoleh bahwa
H=
,
I=
,
J=
,
K=
merupakan himpunan kebebasan sisi. Jadi = 3.
Definisi 2.85
Sebuah
pewarnaan sisi pada graf G
adalah pemberian warna pada sisi – sisi
dalam graf , di mana satu warna untuk setiap sisi .
Contoh 2.86
Gambar2.25 menunjukkan pewarnaan sisi pada graf
O
, dengan himpunan warna {1, 2, 3, 4, 5}di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau,
4=warna jingga, 5=warna ungu. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 2.25. Graf Dengan Pewarnaan Sisi-5
Definisi 2.87
Jika sisi- sisi yang bertetangga diwarnai dengan warna yang berbeda maka pewarnaan sisi dikatakan
pewarnaan sisi sejati
.
Contoh 2.88
Gambar 2.25 menunjukkan bahwa setiap dua sisi yang bertetangga memiliki warna yang berbeda, sehingga graf
O
menggunakan pewarnaan sisi sejati.
Definisi 2.89
Pewarnaan sisi - k
adalah suatu pewarnaan sisi sejati yang menggunakan
k
warna.
Contoh 2.90
Pada Gambar 2.25, pewarnaan pada graf
O
menggunakan pewarnaan sisi-3. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Definisi 2.91
Misalkan diberikan pewarnaan sisi –
k
pada graf tak kosong
G
, dengan menggunakan 1,2,….,
k
warna dan misalkan adalah himpunan
sisi – sisi di
G
yang diberi warna
i
. Maka himpunan – himpunan tak kosong
dari
E G
disebut
kelas warna sisi
dari
G
untuk pewarnaan sisi
–
k
yang diberikan.
Contoh 2.92
Perhatikan Gambar 2.25, akan dicari kelas warna sisi dari graf
O.
Gambar 2.25 menunjukkan bahwa
1. Sisi dan diberi warna warna merah. Jadi
, , dengan 1 =
warna merah. 2.
Sisi dan diberi warna warna biru. Jadi ,
, dengan 2 = warna biru.
3. Sisi dan diberi warna warna hijau. Jadi
, dengan 3 = warna hijau
4. Sisi diberi warna warna hijau. Jadi
dengan 4 = warna jingga.
5. Sisi diberi warna warna ungu. Jadi
dengan 4 = warna ungu.
Definisi 2.93
Misalkan
G
adalah graf. Suatu graf
G
disebut
graf yang sisi
–
sisinya dapat diwarnai
–
k
jika terdapat pewarnaan sisi –
k
pada
G
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Contoh 2.94 Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.26. Graf
O
Dengan Pewarnaan Sisi - Karena terdapat pewarnaan sisi
denganpada
O
maka
O
adalah graf yang sisi- sisinya dapat diwarnai
.
Definisi 2.95
Misalkan
G
adalah graf dengan pewarnaan sisi sejati.
Indeks kromatik dari G
adalah jumlah minimum warna yang diperlukan sedemikian sehingga sisi –
sisi yang bertetangga di
G
diwarnai dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks kromatik pada graf
G
dinotasikan dengan .
Contoh 2.96
Perhatikan Gambar 2.26. Gambar tersebut menunjukkan bahwa graf
O
dapat diwarnai menggunakan minimal tiga warna, sehingga indeks kromatiknya
atau .
Teorema 2.97
Jika
G
adalah graf tak kosong dengan ukuran maka
43
Bukti:
Misalkan
G
adalah graf dan . Himpunan
adalah kelas warna sisi pada pewarnaan sisi
–
k
dari graf
G.
Berarti ada sisi di
G
yang tidak termuat di
Karena maka
merupakan partisi dari
E G
. Sehingga untuk setiap
i .
Oleh karena itu
Jadi yang ekivalen dengan
, s
ehingga .
Karena graf
G
diwarnai dengan pewarnaan sisi-
k
berarti sisi – sisi yang
bertetangga di
G
diberi
k
warna berbeda. Suatu sisi dikatakan bertetangga jika bersisian dengan suatu titik yang sama. Pewarnaan sisi pada sebuah graf
G
harus memberikan warna yang berbeda pada sisi-sisi yang bertetangga sehingga untuk setiap titik
v
di
G
jumlah warna yang digunakan untuk mewarnai sisi yang bersisian dengan titik
v
harus sesuai dengan derajat titik
v
pada
G
atau deg . Jadi
1 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Contoh 2.98
Diberikan graf
P
dan pewarnaan sisi-4, dengan himpunan warna {1,2,3,4} di mana1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, 4=warna jingga. Akan
dicari .
Gambar 2.27.Graf
P
Gambar 2.27 menunjukkan graf
P
dengan orde dan ukuran
. Himpunan kebebasan sisi yang dapat dibentuk antara lain:
A
={ ,
, },
B
={ ,
, },
C
={ ,
, }. Sehingga berdasarkan Definisi 2.83didapatkan
, maka menurut Teorema 2.97 diperoleh bahwa .
Karena merupakan bilangan bulat maka
. Pewarnaan sisi-4 pada Gambar 2.27 menunjukkan bahwa
. Jadi didapatkan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
BAB III BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF
