14 a.
untuk setiap , yaitu setiap himpunan bagian
tidak kosong.
b. untuk setiap
i
dan
j
dengan , yaitu setiap dua himpunan
bagian yang tidak sama adalah saling lepas atau secara ekivalen, jika dua himpunan bagian beririsan, maka kedua himpunan bagian itu adalah
sama. c.
yaitu gabungan semua himpunan bagian adalah himpunan .
Contoh 2.13
Misalkan . Maka keluarga himpunan- himpunan
bagian dari yaitu merupakan suatu partisi dari .
B. Fungsi
Pada subbab ini akan dibahas konsep relasi dan fungsi secara formal dam matematis meliputi definisi dan contoh tentang relasi, fungsi dan jenis fungsi.
Definisi 2.14
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah
himpunan bagian dari
.
Ada beberapa cara untuk menyatakan relasi dua himpunan
X
dan
Y,
salah satunya menggunakan diagram panah. Pada diagram panah setiap elemen di
X
yang berelasi dengan elemen di
Y
dihubungkan dengan suatu anak panah. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15 Berikut merupakan contoh dari relasi dua himpunan dan cara penyajian relasi
menggunakan diagram panah.
Contoh 2.15
Diberikan dua buah himpunan dan
maka . Jadi
merupakan relasi dari himpunan
C
dan himpunan
D
seperti pada Gambar 2.1
Gambar 2.1. Relasi Dari Himpunan
C
Ke Himpunan
D
Selanjutnya adalahrelasi khusus antara elemen-elemen dalam himpunan
X
dan elemen-elemen dalam himpunan
Y.
Definisi 2.16
Fungsi pemetaan
adalah relasi khusus
f
antara elemen-elemen dalam suatu himpunan
X
dengan elemen-elemen dalam himpunan
Y
. Kekhususannya terletak dalam dua hal, yaitu
a. Setiap elemen dalam himpunan
X
berelasi dengan suatu elemen dalam himpunan
Y
. b.
Elemen dalam himpunan
Y
yang berelasi dengan elemen dari himpunan
X
itu tunggal. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16 Fungsi dari himpunan
X
ke himpunan
Y
dinotasikan dengan . Jika
, maka elemen yang berelasi dengan elemen itu oleh fungsi
f
disebut
bayangan
dari dan dilambangkan dengan .
Contoh 2.17
Misalkan dan
. Maka
relasi merupakan suatu fungsidari himpunan
F
ke himpunan
G
, sedangkanrelasi bukan merupakan fungsitetapi
merupakan relasi dari himpunan
F
ke himpunan
G
, sebab berelasi
dengan lebih dari satuelemen di
G
yaitu
a
dan
b,
seperti yang terlihat pada Gambar 2.2.b.
Gambar 2.2. a Fungsi Dari Himpunan
F
Ke Himpunan
G
, b Relasi Himpunan
F
Ke Himpunan
G
Berikut ini dijelaskan pengertian fungsi injektif, surjektif dan bijektif beserta contohnya.
Definisi 2.18
Suatu fungsi disebut
fungsi injektif
jika dan hanya jika untuk setiap berlaku
maka .Sedangkan suatu fungsi
disebut
fungsi surjektif
jika dan hanya jika untuk setiap terdapat
17 sedemikian sehingga
. Lalu suatu fungsi disebut
fungsi bijektif korespondensi satu-satu
jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif dan sekaligus surjektif
.
Contoh 2.19
Misalkan ,
dan adalah suatu fungsi maka
merupakan fungsi injektif tetapi tidak surjektif sebab untuk
tidak terdapat sedemikian sehingga
seperti terlihat pada Gambar 2.3. Selanjutnya misalkan
, dan
adalah suatu fungsi maka merupakan
fungsi surjektif tetapi tidak injektif sebab tetapi
seperti terlihat pada Gambar 2.3. Sedangkan misalkan
adalah suatu fungsi maka merupakan fungsi injektif dan surjektif
sehingga dapat disebut fungsi bijektif seperti terlihat pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3. a Fungsi Injektif, b Fungsi Surjektif,c Fungsi Bijektif
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Definisi 2.20
Atap dari suatu bilangan real x
adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan
x
dan dinotasikan dengan .
Contoh 2.22
Misalkan
x
= 8.3 dan
x
= 9 maka berdasarkan Definisi 2.21 berturut-turut diperoleh
dan .
C.
Teori Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai teori graf meliputi definisi dan contoh graf, keterhubungan dan jenis graf
Definisi 2.23
Graf G
adalah pasangan himpunan dengan
adalah himpunan tak kosong dari obyek
– obyek yang disebut
titik
dan adalah himpunan
mungkin kosong pasangan tak berurutan dari titik –titik yang berbeda dari
yang disebut
sisi
,di mana setiap sisi dipasangkan dengan himpunan yang elemennya disebut
titik ujung
dari sisi tersebut
.
Contoh 2.24
Gambar 2.4 menyatakan graf
A
dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Gambar 2.4Graf
A
Sedangkantitik dan
adalah titik ujung dari sisi
Definisi 2.25
Graf trivial
adalah graf dengan satu titik. Sedangkan
graf tak trivial
adalah graf yang memiliki dua titik atau lebih.
Contoh 2.26
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.5. aGraf Taktrivial
B
, b Graf Trivial
C
Gambar 2.5 menunjukkan bahwa dan
sehingga jumlah titik pada graf
B
dan
C
berturut-turut 3 dan 1. Jadi graf
B
merupakan graf tak trivial sedangkan graf
C
merupakan graf trivial. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Definisi 2.27
Dua buah titik dikatakan
bertetangga
jika dan hanya jika terhubung oleh suatu sisi. Sisi tersebut dikatakan
bersisian
dengan setiap titik ujungnya.
Contoh 2.28
Perhatikan pada Gambar 2.5
b
. Pada gambar tersebut titik dan
dihubungkan oleh sisi sehingga titik
dan dikatakan bertetangga, tetapi
titik tidak bertetangga dengan titik
sebab tidak dihubungkan oleh suatu sisi, sehingga sisi dikatakan bersisian dengan titik .
Definisi 2.29
Dua buah sisi yang bersisian pada titik ujung yang sama disebut
bertetangga.
Contoh 2.30
Perhatikan Gambar 2.5
a
. Gambar tersebut menunjukkan sisi dan sisi
bersisihan pada titik ujung , sehingga dan
dikatakan bertetangga.
Definisi 2.31
Misalkan
G
adalah suatu graf.
Gelung dari G
adalah suatu sisi dengan satu titik ujung.
21
Contoh 2.32
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.6. Graf
D
Sisi memiliki satu titik ujung yaitu titik , sehingga merupakan gelung dari
D
.
Definisi 2.33
Misalkan
G
adalah suatu graf. Sisi – sisi di
G
yang mempunyai himpunan ttik ujung yang sama disebut
sisi pararel dari G.
Contoh 2.34
Pada Gambar 2.6, sisi dan
menghubungkan dua titik yang sama yaitu dan
sehingga dan
merupakan sisi pararel. Sedangkan dan
tidak menghubungkan dua titik yang sama, maka
dan bukan merupakan sisi
pararel.
Definisi 2.35
Misalkan
G
adalah graf dan
v
adalah titik pada
G
.
Derajat v
atau deg
v
adalah banyaknya sisi yang bersisian dengan titik
v.
Sedangkan
derajat
22
maksimal
dari
G
adalah derajat terbesar dari titik-titik pada
G
dan dinotasikan dengan
.
Contoh 2.36
Perhatikan Gambar2.6.Gambar tersebut menunjukkan bahwa 1.
Terdapat tiga sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi , dan sehinggadeg
. 2.
Terdapat dua sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi dan sehinggadeg
. 3.
Terdapat satu sisi dan satu gelung yang bersisihan dengan titik yaitu sisi dan sehinggadeg
. Jadi
.
Definisi 2.37
Suatu graf sederhana
adalah graf yang tidak mempunyai gelung atau sisi pararel.
Contoh 2.38
PerhatikanGambar 2.5
a
. Pada graf
B
tidak terdapat gelung atau sisi pararel, sehingga graf
B
merupakan salah satu contoh dari graf sederhana. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.39
Misalkan
G
adalah graf.
Orde dari
adalah jumlah titik - titik dalam graf
G
, dinotasikan dengan .
Contoh 2.40
Graf
A
pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa ,
sehingga .
Definisi 2.41
Misalkan
G
adalah graf,
ukuran dari G
adalah jumlah sisi dalam graf
G
. Ukuran graf
G
dinotasikan dengan .
Contoh 2.42
Graf
A
pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa ,
sehingga .
Definisi 2.43
Misalkan
G
adalah graf. Sebuah
jalan W dari titik u ke titik v
adalah barisan selang seling berhingga yang terdiri dari titik dan sisi yang bertetangga
pada
G
dari titik – titik di
G
. Sehingga jalan disajikan dalam bentuk
-
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24 di mana
menyatakan titik-titik dan menyatakan sisi-sisi,
, ,
dan untuk setiap ,
-
dan adalah titik ujung dari . Jalan dari titik
u
ke titik
v
singkatnya disebut jalan
u
-
v.
Jalan pada suatu graf bisa dinyatakan hanya dengan barisan titik asalkan tidak memuat sisi pararel. Jika tidak memuat sisi pararel maka setiap jalan
di tidak menimbulkan dwimakna dan dapat dijelaskan dengan barisan titik saja. Pada skripsi ini jalan dinyatakan dengan barisan titik apabila graf tidak
memuat sisi pararel.
Contoh 2.44
Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik dan , merupakan jalan
. Oleh karena
merupakan sisi pararel maka jalan dinyatakan menggunakan barisan titik dan sisi. Untuk titik
dan ,
merupakan jalan dan
bisa nyatakan menggunakan barisan titik saja karena bukan merupakan sisi
pararel.
Definisi 2.45
Misalkan adalah graf.
Lintasan dari u ke v pada G
adalah jalan dari
u
ke
v
di mana tidak terjadi pengulangan sisi maupun titik. Lintasan dari
u
ke
v
singkatnya disebut lintasan
u
-
v.
25
Contoh 2.46
Perhatikan Gambar 2.5
a
. Pada gambar tersebut, merupakan
lintasan .
Definisi 2.47
Jalan tertutup
adalah jalan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama.
Contoh 2.48
Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik di graf
D
, jalan merupakan
jalan tertutup pada graf
D
.
Definisi 2.49
Sirkuit pada G
adalah jalan tertutup yang terdiri dari minimal satu sisi dan tidak terjadi pengulangan sisi.
Contoh 2.50
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.7. Graf
E
Jalan merupakan sirkuit pada graf
E
sebab tidak terjadi pengulangan sisi.
26
Definisi 2.51
Siklus
adalah lintasan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama.
Contoh 2.52
Perhatikan Gambar 2.7. Pada gambar tersebut jalan bukan merupakan siklus karena terdapat pengulangan titik yaitu
dan .
Sedangkan jalan merupakan siklus pada graf
E.
Definisi 2.53
Panjang dari suatu jalan
adalah jumlah dari sisi – sisi di dalam sebuah jalan
Contoh 2.54
Perhatikan pada Gambar 2.7. Pada graf
E
, jalan merupakan
jalan dari titik ke , di mana ,
, adalah sisi-sisi pada jalan, maka
panjang jalan dari titik ke adalah jumlah sisi-sisi pada jalan tersebut yaitu
tiga.
Definisi 2.55
Misalkan adalah graf. Sebuah
lintasan gedoesik antara titik dan titik pada
adalah lintasan - dengan panjang minimum. Lintasan gedoesik antara titik
u
dan
v
pada singkatnya disebut
geodesik
-
.
27
Contoh 2.56
Perhatikan Gambar 2.7. Untuk dua titik dan
, lintasan merupakan
lintasan dengan panjang dua, selanjutnya lintasan
merupakan lintasan dari titik
dengan panjang dua, lalu lintasan merupakan lintasan dari titik ke
dengan panjang dua, sedangkan lintasan merupakan lintasan dari titik
dengan panjang satu. Oleh karena itu lintasan
merupakan lintasan geodesik antara titik dan
, sebab lintasan tersebut memiliki panjang yang minimal dibanding lintasan lainnya.
D. Jarak dan Keterhubungan
