10
BAB II GRAF DAN PEWARNAAN SISI
Pada bab ini akan dijelaskan dasar-dasar teori graf yang digunakan dalam penulisantugas akhir ini. Dasar-dasar teori meliputi: himpunan,fungsi, teori graf,
jarak dan keterhubungan, macam-macam graf dan pewarnaan sisi pada graf.
A. Himpunan
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai penggunaan konsep himpunan, misalnya himpunan hewan berkaki empat, himpunan warna
pelangi, himpunan fakultas di Universitas Sanata Dharma, Himpunan Mahasiswa Matematika HMM, dan lain-lain. Konsep himpunan tidak hanya
diterapkan secara intuitif dalam kehidupan, namun konsep himpunantelah dikembangkan menjadi konsep dasar dalam matematika. Pada subbab ini akan
dijelaskan mengenai himpunan.
Definisi 2.1
Himpunan
adalah suatukumpulan atau koleksi objek-objek yang mempunyai kesamaan sifat tertentu dan dilambangkan dengan huruf besar.
Contoh 2.2
adalah himpunan semua bilangan asli. adalah himpunan semua bilangan bulat.
adalah himpunan semua bilangan real. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Definisi 2.3
Suatu himpunan
A
dalam semesta
X
dikatakan
himpunan bagian
dari himpunan
B
jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunan
A
juga merupakan anggota dari himpunan
B
. Secara matematis ditulis dengan
Definisi 2.4
Suatu himpunan
A
dikatakan
berhingga
jika banyaknya elemen yang termuat di
A
dapat dihitung.
Definisi 2.5
Kardinalitas dari himpunan berhinggaX
adalah jumlah elemen yang termuat di dalam
X
. Kardinalitas dari himpunan berhingga
X
dinotasikan dengan |
X|.
Definisi 2.6
Gabungan dua buah himpunan A dan B
adalah himpunan semua elemen dari semesta yang merupakan anggota himpunan
A
atau anggota himpunan
B
dan dinotasikan dengan
. Secara matematis ditulis dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.7
Irisan dua himpunan dan
adalah himpunan semua elemen dari semesta yang merupakan anggota dan anggota , dinotasikan dengan
. Secara matematis ditulis dengan
Bila maka dan disebut dua buah himpunan
saling asing atau saling lepas.
Definisi 2.8
Selisih dua buah himpunan dan
adalah himpunan semua elemen dalam semesta yang merupakan anggota himpunan dan bukan anggota himpunan
dan dinotasikan dengan . Secara matematis ditulis dengan
Definisi 2.9
Hasil kali kartesius buah himpunan
adalah himpunan
A
yang memuat semua rangkap terurut
dengan untuk
setiap , yaitu
13
Definisi 2.10
Hasil kali kartesius dua buah himpunan dan
adalah himpunan semua pasangan terurut
dengan dan
dan dinotasikan dengan .
Secara matematis ditulis dengan
Berikut merupakan contoh dari himpunan berhingga, himpunan bagian, kardinalitas dua buah himpunan, gabungan dua buah himpunan, irisan dua
buah himpunan, selisih dua buah himpunan, hasil kali kartesius dua buah himpunan.
Contoh 2.11
Misalkan dan
. Maka diperoleh bahwa: 1.
dan merupakan himpunan berhingga. 2.
3. dan
4. 5.
6. 7.
Definisi 2.12
Partisi dari suatu himpunan A
adalah keluarga berhingga himpunan- himpunan bagian
dari
A
yang memenuhi: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14 a.
untuk setiap , yaitu setiap himpunan bagian
tidak kosong.
b. untuk setiap
i
dan
j
dengan , yaitu setiap dua himpunan
bagian yang tidak sama adalah saling lepas atau secara ekivalen, jika dua himpunan bagian beririsan, maka kedua himpunan bagian itu adalah
sama. c.
yaitu gabungan semua himpunan bagian adalah himpunan .
Contoh 2.13
Misalkan . Maka keluarga himpunan- himpunan
bagian dari yaitu merupakan suatu partisi dari .
B. Fungsi