46
A. Bilangan Keterhubungan Pelangi Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai lintasan pelangi, graf terhubung pelangi, pewarnaan pelangi dan bilangan terhubung pelangi meliputi definisi,
contoh dan teorema.
Definisi 3.1
Misalkan graf
G
adalah graf terhubung tak trivial dan adalah sebuah
bilangan bulat positif. Didefinisikan pewarnaan sisi ,
sehingga dua sisi yang bertetangga dapat memiliki warna yang sama. Suatu lintasan dari titik
u
ke
v
di
G
disebut
lintasan pelangi
jika tidak ada dua sisi pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama.
Contoh 3.2
Perhatikan graf dengan pewarnaan sisi
– 3, dengan himpunan warna {1, 2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau. Akan
ditunjukkan bahwa terdapat lintasan pelangi di
P.
Gambar3.1. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi
Untuk setiap dua titik
u
dan
v
terdapat lintasan pelangi dari titik
u
ke
v
sepertiyang dijelaskan pada Tabel 3.1. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Tabel 3.1. Lintasan pelangi untuk setiap dua titik pada graf
Titik Jalan -
v
Tabel 3.2. Lanjutan Tabel 3.1
Titik Jalan
- v
Definisi 3.3
Misalkan graf
G
adalahgraf terhubung tak trivial dan sebuah bilangan bulat positif . Didefinisikan pewarnaan sisi
, sehingga dua sisi yang bertetangga dapat memiliki warna yang sama. Graf
G
dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
pewarnaan sisi disebut
terhubung pelangi
jikauntuk setiap pasang titik terdapat lintasan pelangi.
Contoh 3.4
Graf Petersen pada Gambar3.1dapat dikatakan terhubung pelangi sebab menurut Tabel3.1 dan Tabel 3.2 setiap dua titik dan di terdapat lintasan
pelangi . Sedangkan graf
Q
dengan pewarnaan sisi 3 yang himpunan warnanya {1, 2, 3} seperti pada Gambar 3.2 bukan terhubung pelangi, sebab
tidak terdapat lintasan pelangi - .Warna merah menyatakan warna 1, warna biru menyatakan warna 2 dan warna hijau menyatakan warna 3.
Gambar3.2. Graf
Q
Dengan Pewarnaan Sisi
Definisi 3.5
Misalkan adalah graf. Pewarnaan sisi pada dikatakan
pewarnaan pelangi
jika pewarnaan itumenyebabkan graf terhubung pelangi. Sedangkan pewarnaan pelangi yang menggunakan warna disebut
pewarnaan pelangi
–
.
49
Contoh 3.6
Pewarnaan sisi graf
pada Gambar3.1 merupakan pewarnaan pelangi karena menyebabkan terhubung pelangi. Sedangkan pewarnaan sisi
graf
Q
dengan pada Gambar3.2 bukan pewarnaan pelangi karena tidak menyebabkan
Q
terhubung pelangi.
Definisi 3.7
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi
pada disebut
bilangan keterhubungan pelangi pada G.
Bilangan keterhubungan pelangi pada dinotasikan dengan
.
Selain dalam pengamanan informasi rahasia antar agen pemerintahan, bilangan keterhubungan pelangi juga diterapkan pada bidang jaringan.
Misalkan menyatakan suatu jaringan seluler. Misalkan akan dikirim sebuah pesan antara dua titik, pengiriman informasi tersebut dengan syarat bahwa rute
antara dua titik direpresentasikan sebagai sisi pada lintasan di diberikan suatu saluran atau saluran direpresentasikan sebagai warna.Akan
diminimalkan jumlah saluran berbeda yang digunakan. Jumlah saluran minimal yang digunakan dimodelkan dengan bilangan keterhubungan pelangi
pada graf . Permasalahannya adalah bagaimana cara untuk menentukan
bilangan keterhubungan pelangi tersebut.Selanjutnya diberikan Teorema 3.8 untuk mempermudah menentukan bilangan keterhubungan pelangi.
50
Teorema 3.8
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial maka .
Bukti:
Misalkan
G
adalah graf dengan pewarnaan sisi
c
dan
.
Sehingga berdasarkan Definisi 2.61 danDefinisi 2.63maka
Ini berarti terdapat dua titik di , misal dan yang dihubungkan geodesik dengan panjang . Oleh karena geoesik
adalah geodesik terpanjang sehingga minimal warna yang diperlukan untuk mewarnai graf
sedemikian sehingga setiap dua titik dan di terdapat lintasan pelangi adalah
warna .Oleh karena itu
Contoh 3.9
Berdasarkan Gambar3.1 terdapat pewarnaan pelangi pada graf Petersen
berarti Oleh karena
maka akan dicari .
Sebelum mencari terlebih dahulu dicari jarak setiap dua titik dan
eksentrisitas setiap titik di
P
yang yang disajikan pada Tabel 3.3. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Tabel 3.3. Jarak setiap dua titikdi graf
Titik Nilai
e v
v
u
1 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 1
2 2
2 1
2 2
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
1 2
2 2
1 1
2 2
1 2
2 2
2 2
2 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
Berdasarkan Tabel 3.2 dan Tabel 3.3didapatkan , sehingga
menurut Teorema 3.8 diperoleh bahwa Namun tidak terdapat
pewarnaan pelangi di , sebab jika diberikan suatu pewarnaan sisi
pada dan didefinisikan sebagai pemberian dua warna pada sisi-sisi di terdapat
dua sisi yang berwarna sama yaitu dan
seperti pada Gambar3.3.
Gambar3.3. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi
Sehingga lintasan bukan lintasan pelangi, maka tidak terhubung
pelangi. Jadi . Oleh karena
maka .
52
B. Bilangan Keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf
Kategori