52
B. Bilangan Keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai pelangi geodesik, pewarnaan pelangi kuat, terhubung pelangi kuat,bilangan keterhubungan pelangi dan
bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf terhubung tak trivial, graf pohon, graf siklus, graf roda dan graf bipartit meliputi definisi, contoh dan
teorema.
Definisi 3.10
Misalkan adalah pewarnaan sisi pada graf terhubung tak trivial
G
. Untuk dua titik
u
dan
v
di
G
,
suatu pelangi geodesik
adalah lintasan pelangi - dengan panjang
.
Contoh 3.11
Gambar3.4 menunjukkan graf Petersen dengan pewarnaan sisi . Untuk
suatu titik dan
, lintasan adalah lintasan pelangi dengan panjang
. Sehingga lintasan pelangi adalah pelangi geodesik - .
Sedangkan lintasan bukan pelangi geodesik - sebab tidak
memiliki panjang minimum.
Gambar3.4. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi
53
Definisi 3.12
Suatu graf terhubung tak trivial
G
dikatakan
terhubung pelangi kuat
jika
G
memuat pelangi geodesik
u-v
untuk setiap titik
u
dan
v
di
G
.
Contoh 3.13
Graf Petersen
P
dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.4 terhubung pelangi
kuat sebab graf
P
memuat lintasan pelangi geodesik
u-v
untuk setiap titik
u
dan
v
di .
Tabel 3.5. Pelangi geodesik untuk setiap dua titik pada graf
P
Titik Pelangi geodesik
Tabel 3.6. Lanjutan Tabel 3.5
Titik Pelangi geodesik
54
Sedangkan graf
P
dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.1 terhubung
pelangi tapi tidak terhubung pelangi kuat sebab tidak terdapat pelangi geodesik
.
Definisi 3.14
Misalkan
G
adalah graf. Pewarnaan sisi pada
G
dikatakan
pewarnaan sisi pelangi kuat
jika pewarnaan itu menyebabkan graf terhubung pelangi kuat.
Pewarnaan sisi pelangi kuat singkatnya disebut
pewarnaan pelangi kuat
. Sedangkan pewarnaan pelangi kuat yang menggunakan
warna disebut
pewarnaan pelangi kuat
–
.
Contoh 3.15
Pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.4 merupakan pewarnaan
pelangi kuat sebab menyebabkan graf
P
terhubung pelangi kuat. Sedangkan pewarnaan sisi
graf Petersen pada Gambar3.1 bukan merupakan pewarnaan pelangi kuat
sebab tidak menyebabkan graf
P
terhubung pelangi kuat.
Definisi 3.16
55
Misalkan
G
adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat
pada
G
disebut
bilangan keterhubungan pelangi kuat pada G.
Bilangan keterhubungan pelangi kuat pada dinotasikan dengan
.
Teorema3.17
Misalkan
G
adalah graf terhubung tak trivial, maka
Bukti:
Misalkan
G
adalah suatu graf terhubung tak trivial dengan . Karena
sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada
G
Oleh karena terdapat pewarnaan pelangi
di
G
, ini berarti terhubung pelangi. Sehingga terdapat lintasan pelangi
u
-
v
, untuk setiap pasang titik
u
,
v
. Kasus 1: Misalkan untuk setiap pasang titik
, terdapat lintasan pelangi
yang merupakan pelangi geodesik , berarti
terhubung pelangi kuat sehingga pewarnaan sisi merupakan
pewarnaan pelangi kuat . Jadi
Kasus 2: Misalkan untuk suatu titik dan
, setiap lintasan pelangi bukan merupakan pelangi geodesik, ini berarti
tidak terhubung pelangi kuat. Oleh karena itu pewarnaan sisi bukan pewarnaan
pelangi kuat. Sehingga Jadi berdasarkan kasus 1 dan 2
56
Teorema3.18
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial, dengan ukuran
m G
maka .
Bukti:
Sudah cukup jelas bahwa pasti tidak pernah melampaui ukuran graf .
Contoh 3.19
Misalkan adalah graf Petersen dengan . Menurut Contoh 3.9
maka menurut Teorema 3.17 dan Teorema3.18 diperoleh bahwa . Namun pewarnaan pelangi
pada Gambar3.1 bukan merupakan pewarnaan pelangi kuat karena tidak menyebabkan terhubung
pelangi maka . Karena pewarnaan sisi
merupakan pewarnaan pelangi kuat sehingga
Oleh karena dan
maka
Dari Teorema 3.8, Teorema 3.17 dan Teorema3.18 maka didapatkan sebuah pertidaksamaan
2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Contoh 3.20
Akan dicari dan
untuk graf . Perhatikan gambar berikut
T
Gambar 3.5. Graf Penyelesaian:
Akan dicari
Tabel 3.7. Jarak tiap dua titik dan eksentrisitas tiap titik pada
T
Titik Nilai
v
1 2
3 2
1 1
2 3
1 1
2 3
2 2
3 3
2 1
1 2
3 3
2 3
3 2
1 1
2 2
1 3
2 3
2 1
1 3
2 3
1 2
3 2
1 2
3 3
1 2
3 2
3 2
1 3
2 3
2 1
2 3
1 3
Berdasarkan Tabel 3.7 didapatkan diam maka menurut per-
tidaksamaan 2 diperoleh bahwa . Diasumsikan
, berarti terdapat pewarnaan pelangi
di dengan himpunan warna {1, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau. Misalkan
, .
Gambar 3.6. Graf
T
Dengan Pewarnaan Sisi Menurut Gambar 3.6 , tidak terdapat lintasan pelangi
, berarti tidak terhubung pelangi, sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi
di , muncul kontradiksi. Jadi
maka dengan kata lain
terdapat pewarnaan pelangi-4 dengan himpunan warna {1, 2, 3, 4}, seperti pada Gambar 3.7di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau
dan 4=warna ungu.
Gambar 3.7. Graf
T
Dengan Pewarnaan Sisi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Akan dicari Karena
maka menurut pertidaksamaan 2 Diasumsikan
.Bilangan berarti terdapat pewarnaan
pelangi seperti pada Gambar 3.7. Untuk setiap dua titik dan di
akan dicari lintasan pelangi dengan panjang .
Tabel 3.8.Pelangi geodesik tiap dua titik di
T
Titik Pelangi geodesik
Tabel 3.9. Lanjutan Tabel 3.8
Titik Pelangi geodesik
60
Karena untuk setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi kuat, maka
T
terhubung pelangi kuat, sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan
pewarnaan pelangi kuat . Jadi
.
Teorema 3.21
Misalkan dan adalah graf terhubung tak trivial. Maka
jika dan hanya jika
Bukti :
Untuk , akan dibuktikan
jika dan hanya jika Jika
, akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan
2 dan karena terhubung maka , sehingga adalah graf
lengkap. Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi
pada . Graf adalah graf lengkap maka setiap dua titik dan dihubungkan
oleh sebuah sisi. Sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan
pewarnaan pelangi kuat . Jadi
. Jika
, akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan
2 diperoleh bahwa . Karena
adalah graf terhubung maka .
Untuk , akan dibuktikan
jika dan hanya jika Jika
, akan ditunjukkan . Maka menurut Teorema
3.8 diperoeh bahwa diam dan menurut Teorema 3.17 diperoleh
bahwa . Graf
bukan graf lengkap maka diam ,
61
dengan kata lain jumlah maksimum sisi-sisi dari suatu geodesik di
adalah 2. Selanjunya karena maka terdapat pewarnaan
pelangi di
. Karena diam dan terdapat pewarnaan
pelangi di , maka lintasan pelangi
adalah pelangi geodesik maka pewarnaan pelangi
adalah pewarnaan pelangi kuat . Jadi
. Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan
. Menurut Teorema 3.17diperoleh bahwa
. Karena bukan merupakan
graf lengkap maka .
Contoh 3.22
Perhatikan gambar berikut,
a b
Gambar3.8. a Graf , b Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Karena graf lengkap maka diam
dan menurut Teorema 3.8 diperoleh bahwa
. Karena setiap dua titik dan
di dihubungkan oleh sebuah sisi sehingga minimal warna yang digunakan
sedemikian sehingga terdapat lintasan pelangi untuk setiap dua titik dan di PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
adalah 1 warna, misalkan warna warna merah. Jadi . Maka
menurut Teorema3.21
Teorema 3.23
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan ukuran . Maka
jika dan hanya jika adalah sebuah pohon.
Bukti
Misalkan akan dibuktikan
adalah sebuah pohon. Diasumsikan adalah bukan sebuah pohon. Maka memuat suatu
sirkuit
di mana . Maka pewarnaan sisi
yang memberikan warna 1 untuk sisi
dan dan
warna berbeda dari himpinan warna
untuk sisi lainnya pada
adalah pewarnaan pelangi, dengan 1=warna merah, 2=warna biru, =warna kuning,
=warna cokelat dan =
warna hitam, seperti pada Gambar3.9. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Gambar3.9. Graf Dengan Pewarnaan
Jadi . Kontradiksi dengan
. Sehingga haruslah sebuah pohon.
Misalkan adalah sebuah pohon dengan ukuran . Akan dibuktikan
. Diasumsikan bahwa
. Oleh karena sehingga terdapat pewarnaan pelangi
dari . Maka terdapat sisi
dan yang diwarnai dengan
warna yang sama. Misalkan diambil salah satu titik atau dan salah satu titik atau yaitu titik dan sehingga terdapat lintasan
yang memuat sisi dan diilustrasikan Gambar3.10.
Gambar3.10. Graf pohon
Karena terdapat dua sisi pada lintasan yang berwarna sama maka
lintasan bukan lintasan pelangi
, sehingga terdapat lintasan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
lain yang tidak memuat sisi dan yang merupakan lintasan pelangii
, hal tersebut menunjukkan bahwa terdapat sirkuit di ,
kontradiksi dengan adalah pohon dengan ukuran . Jadi
Contoh 3.24
Gambar3.11 menyatakan suatu graf
Gambar3.11. Graf pohon
Karena graf merupakan pohon dengan
, jadi menurut Teorema3.42 diperoleh bahwa
.
Teorema 3.25
Misalkan adalah graf siklus dengan banyak titik di mana
. Maka .
Bukti:
Misalkan terdapat graf siklus :
dan untuk setiap dengan dan
. Untuk membuktikan pernyataan di atas, akan dibagi menjadi 2 kasus tergantung nilai dari
65
Kasus 1: Untuk genap. Misalkan
, untuk setiap bilangan bulat sehingga
. Maka menurut pertidaksamaan 1, . Pewarnaan sisi dari
didefinisikan sebagai berikut,
Diilustrasikan dalam Gambar3.12 dengan 1=warna merah, 2=warna biru,
k=
hijau,
k
-1=ungu.
Gambar3.12. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Untuk setiap dua titik dan terdapat pelangi geodesik seperti yang
terlihat dalam Gambar3.11 maka terhubung pelangi kuat, maka pewarnaan
sisi adalah suatu pewarnaan pelangi kuat
– . Karena merupakan pewarnaan pelangi kuat
– maka dan menurut pertidaksamaan
2 . Oleh karena
, jadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Kasus 2: Untuk
ganjil. Misalkan , untuk bilangan bulat
. Didefinisikan pewarnaan sisi dari
sebagai berikut,
Dengan kata
lain ,
,…, , sehingga untuk setiap dua titik dan terdapat
pelangi geodesik , maka pewarnaan pelangi
adalah suatu pewarnaan pelangi kuat
. Karena pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi kuat
sehingga , maka menurut pertidaksamaan
2 . Karena diam
sehingga , jadi
atau Akan dibuktikan bahwa
. Asumsikan
sehingga terdapat suatu pewarnaan pelangi ,
misalkan dan tanpa mengurangi perumuman misalkan
. Dipandang titik-titik
dan . Misalkan lintasan
adalah pelangi geodesik dan lintasan
: adalah
pelangi geodesik maka terdapat sisi di dan yang diberi warna .
Karena lintasan juga merupakan geodesik
, sehingga .
Sebaliknya karena lintasan adalah geodesik
, sehingga
. Diilustrasikan pada Gambar 3.13 dengan 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau,
k=
ungu,
k
-1=warna jingga. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Gambar 3.13. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Ini berarti tidak terdapat lintasan pelangi . Jadi
bukan pewarnaan pelangi
. Kontradiksi dengan pewarnaan pelangi
. Jadi . Oleh karena
berdasarkan persamaan 2 di- peroleh bahwa
, sehingga .
Jadi
Contoh 3.26
Diketahui graf siklus , akan dicari nilai
dan .
Penyelesaian:
Menurut Teorema3.46 diperoleh bahwa .
Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi
di dengan himpunan
warna {1,2,3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, seperti pada Gambar3.14.
68
Gambar3.14. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Teorema 3.27
Bilangan keterhubungan pelangi dari graf roda untuk
adalah
Bukti:
Berdasarkan definisi , itu berarti terdapat
dengan dan satu titik yang terhubung dengan setiap titik di
. Akan dibagi menjadi 3 kasus:
Kasus1: Untuk
, karena , menurut pembuktian Teorema3.22 diperoleh
bahwa .
Kasus 2: Untuk
, karena graf bukan graf lengkap sehingga
. Didefinisikan pewarnaan sisi
, dengan 1=warna merah, 2= warna biru sebagai berikut,
69
dan
Seperti yang terlihat dalam Gambar3.15
a b
c
Gambar 3.15.a Graf Dengan Pewarnaan Sisi
, b Graf Dengan
Pewarnaan Sisi , c Graf
Dengan Pewarnaan Sisi Oleh karena pewarnaan sisi
merupakan pewarnaan pelangi , maka
diperoleh bahwa .
Kasus 3: Untuk
,karena bukan graf lengkap sehingga diperoleh
wa . Diasumsikan
. Ini berarti terdapat pewarnaan pelangi
di dengan himpunan warna {1, 2} di mana 1=warna merah dan
2=warna biru. Karena terdapat pewarnaan pelangi di
berarti untuk setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi
Misalkan adalah pewarnaan pelangi dari
. Diasumsikan dan
adalah satu-satunya lintasan pelangi dengan panjang ,
sehingga untuk setiap dengan
yang ditunjukkan oleh Gambar3.16 dengan 1=warna merah, 2=warna merah.
70
Gambar3.16. Graf
Karena satu- satunya lintasan yang memiliki panjang 2 adalah
sehingga jika maka
supaya terdapat lintasan pelangi . Dengan cara yang sama didapatkan jika
maka . Karena
maka Selanjutnya jika
maka . Sehingga karena
dan maka tidak terdapat lintasan pelangi
. Ini kontradiksi dengan terdapat pewarnaan pelangi
pada Jadi
. Didefinisikan pewarnaan sisi
dengan pada
sebagai berikut
dan untuk setiap
yang ditunjukan oleh Gambar3.17 dengan 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau.
71
Gambar3.17. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Karena setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi sehingga
pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi
sehingga diperoleh Oleh karena
, jadi untuk
.
Contoh 3.28
Diberikan sebuah graf , akan dicari nilai dari
. Menurut Teorema3.46 diperoleh bahwa
, sehingga terdapat pewarnaan pelangi
di dengan himpunan warna {1,2},di mana 1=warna merah,
2=warna biru, 3=warna hijau. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Gambar3.18. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi
Teorema3.29
Bilangan keterhubungan pelangi pada graf roda untuk
adalah
Bukti:
Misalkan terdiri dari graf
dan satu titik yang
terhubung dengan setiap titik di . Akan dibagi menjadi 3 kasus
Kasus 1: Untuk , graf
dan menurut Teorema 3.27diperoleh bahwa
maka berdasarkan Teorema 3.21diperoleh bahwa .
Kasus 2: Untuk ,menurut Teorema 3.27 diperoleh bahwa
maka berdasarkan Teorema 3.21. diperoleh bahwa untuk
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Kasus 3: Untuk , akan dibuktikan
. Misalkan maka
terdapat suatu bilangan bulat sehingga . Selanjutnya
akan ditunjukkan Pertama-tama akan ditunjukkan
. Diasumsikan maka terdapat pewarnaan pelangi kuat
pada . Karena
maka dapat dibentuk himpunan sedemikian sehingga
dan semua sisi dengan
memiliki warna yang sama. Maka terdapat dua titik
sehingga jumlah sisi pada geodesik di
lebih dari sam dengan 3 atau dan jumlah sisi pada geodesik
di sama dengan 2 atau
. Karena merupakan satu-satunya geodesik
di , akibatnya tidak terdapat
pelangi geodesik di
. Ini berarti tidak terdapat pewarnaan pelangi kuat
,kontradiksi dengan . Jadi
. Selanjutnya, akan ditunjukkan
Didefinisikan suatu pewarnaan sisi
pada sebagai berikut
Karena setiap dua titik terdapat pelangi geodesik
di sehingga
pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi kuat
. Maka diperoleh bahwa
. Jadi untuk
.
74
Contoh 3.30
Diberikan graf sebuah graf , akan dicari nilai
dari . Menurut
Teorema3.29 terdapat pewarnaan pelangi kuat pada
, dengan kata lain 3 dengan himpunan warna {1, 2, 3} di mana 1= warna merah, 2=
warna biru, 3= warna hijau, seperti pada gambar dibawah ini.
Gambar3.19. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Teorema 3.31
Bilangan keterhubungan pelangi kuat dari graf bipartit untuk suatu
bilangan bulat dan dengan adalah
Bukti:
Untuk himpunan titik-titik pada
dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan
dan , karena
di dihubungkan ke setiap titik di sehingga
merupakan satu-satunya lintasan
dan juga merupakan geodesik dengan
dan , sehingga jumlah warna yang digunakan sedemikian sehingga
75
terdapat pewarnaan pelangi kuat di adalah seperti yang ditunjukkan pada
Gambar3.20. Jadi benar bahwa .
Gambar3.20. Graf Dengan Pewaranaan Pelangi Kuat
Selanjutnya diasumsikan untuk ,
, maka
Sehingga maka
. Akan ditunjukkan bahwa
. Asumsikan . Maka
terdapat pewarnaan yaitu pewarnaan pelangi kuat . Himpunan
titik-titik dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan
dan , dengan
dan , sehingga
kardinalitas dan
berturut- turut dan . Untuk setiap titik didefinisikan suatu kode
yang disebut kode warna dari , di mana
untuk seperti pada Gambar3.21.
Gambar3.21. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
76
Karena terdapat pewarnaan pelangi kuat sehingga untuk
setiap , maka banyaknya warna berbeda pada kode warna dari titik-
titik di paling banyak
. Tetapi karena karena maka
terdapat dua titik berbeda yaitu dan
di sehingga kode
kode . Lintasan
dan berturut- turut merupakan satu- satunya
geodesik dan geodesik
dan karena untuk
setiap sehingga tidak terdapat pelangi geodesik
di .
Sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi kuat di . Hal tersebut
kontradiksi dengan Jadi
. Selanjutnya, akan ditunjukkan
. Misalkan dan
. Himpunan adalah hasil kali kartesian
dan sebanyak kali dan himpunan
adalah hasil kartesian dan sebanyak kali. Sehingga
s
kali sehingga,
dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan terurut di
. Selanjutnya
s
kali
sehingga, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan terurut di
.Jadi .
Misalkan titik- titik di
dilabeli dengan anggota dari
sedemikian sehingga dilabeli dengan
anggota dari . Untuk setiap dengan didefinisikan label
dari dengan
untuk setiap yang diilustrasikan dengan Gambar3.22.
Gambar3.22. Graf
sehingga untuk
. Didefinisikan pewarnaan dengan
untuk dan
. Sehingga kode warna dari adalah kode
, maka titik-titik berbeda di memiliki kode warna berbeda.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa adalah pewarnaan pelangi kuat . Untuk
dan merupakan satu-satunya
78
geodesik dan karena kode warna berbeda untuk setiap titik- titik
berbeda di maka geodesik
adalah pelangi geodesik .
Diambil sebarang dua titik dan
di . Karena titik-titik tersebut
memiliki kode warna berbeda sehingga adalah pelangi geodesik
di untuk suatu dengan
. Selanjutnya diambil sebarang dua titik
dan di
sedemikian sehingga . Lintasan
merupakan satu-satunya geodesik dan karena terdapat suatu
dengan sehingga
, maka geodesik adalah pelangi geodesik
. Oleh karena itu terbukti bahwa adalah pewarnaan pelangi kuat
dari . Jadi
.
Contoh 3.32
Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari
Menurut Teorema 3.31 bahwa
, dengan kata lain terdapat pewarnaan pelangi kuat
di , dengan himpunan warna {1, 2} di mana
1=warna merah, 2=warna biruseperti yang ditunjukkan Gambar3.23. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Gambar3.23. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Toerema 3.33
Bilangan keterhubungan pelangi dari graf untuk suatu bilangan bulat dan
dengan adalah
Bukti:
Diketahui bahwa sehingga
maka .
Misalkan himpunan titik- titik di dipartisi menjadi himpunan
dan , di mana
dan ,
sehingga kardinalitas dan berturut- turut dan . Akan dibagi menjadi 3
kasus: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Kasus 1: Jika maka
. Menurut Teorema 3.31 diperoleh bahwa dan
karena diam
maka menurut
pertidaksamaan 2
diperoleh bahwa
. Jadi
. Kasus 2: Jika
maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh
bahwa dan karena diam
maka menurut pertidaksamaan
2 diperoleh
bahwa .
Jadi atau
. Akan dibuktikan .
Asumsikan maka terdapat pewarnaan pelangi
di . Sehingga terdapat kode
untuk setiap di dengan
untuk . Karena
maka terdapat dua titik berbeda dan
sedemikian sehingga kode
. Ini berarti untuk setiap
sehingga tidak terdapat lintasan pelangi di
jadi tidak terdapat pewarnaaan pelangi di
. Hal ini kontradiksi dengan
. Jadi .
Kasus 3: Jika maka
. Akan ditunjukkan Asumsikan
ini berarti
terdapat pewarnaan
pelangi di
. Sehingga terdapat kode untuk setiap
di dengan
untuk . Karena
maka terdapat dua titik berbeda dan
sedemikian sehingga kode . Karena jumlah
81
sisi pada lintasan genap, maka lintasan pelangi
yang terdapat di adalah lintasan pelangi
yang memiliki panjang 2. Namun setiap sisi pada lintasan pelangi
tersebut berwarna sama sehingga tidak terdapat lintasan pelangi
di . Sehingga tidak terdapat pewarnaan
pelangi pada
. Ini kontradiksi dengan . Jadi
Selanjutnya akan dibuktikan Untuk membuktikan
, akan ditunjukan terdapat pewarnaan pelangi
di .
Misalkan ,
dan .
Himpunan adalah hasil kali kartesius dari himpunan sebanyak . Dengan
kata lain
Untuk setiap titik di
didefinisikan,
kode ,
untuk dan
dengan .Dengan kata
lain ,
, …., , dan seterusnya.
Sedangkan untuk setiap titik di
didefinisikan,
kode untuk
dan .
82
Selanjutnya diambil sebarang dua titik akan dibuktikan terdapat
pewarnaan pelangi pada
dengan membagi menjadi 3 kasus: Kasus 1: Untuk
. Karena kode kode
maka terdapat dengan yang
. Maka lintasan adalah
lintasan pelangi . Jadi terdapat pewarnaan pelangi
di .
Kasus 2: Untuk dan
. Misalkan dengan
. Karena maka
dan dengan
. Sehingga lintasan merupakan lintasan pelangi yang
sisi-sisinya berwarna dan Jadi terdapat pewarnaan pelangi di
Kasus3: Untuk . Ambil sebarang
sedemikian sehingga c
dan maka lintasan
adalah lintasan pelangi yang sisi-sisinya berwarna , 1, 2 dan 3.
Misalkan dengan
dan di mana
. Sehingga terdapat suatu titik
yang mana . Jadi
lintasan adalah lintasan pelangi
di , maka terdapat pewarnaan
pelangi di
. Jadi
Contoh 3.34
Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari
Menurut Teorema 3.33
diperoleh bahwa
83
, dengan kata lain terdapat pewarnaan pelangi di
seperti yang ditunjukkan Gambar3.24.
Gambar3.24
C. Aplikasi
Kategori