23
Persamaan kurva pada bidang parametrik secara umum adalah: •
x = f t, y = gt
dengan
t
adalah parameter
independent
dalam interval tertentu [t
1
, t
2
]. Contoh:
- Persamaan garis:
xt = 2t + 7 , yt = 4t + 11
dengan 0 ≤ t ≤ 1
- Persamaan lingkaran kuadran I:
dengan 0 ≤ t ≤ 1
Representasi dengan menggunakan persamaan parametrik mengatasi masalah yang dihadapi bentuk eksplisit maupun implisit. Karena itulah
kurva parametrik lebih umum digunakan dalam CAGD
Computer Aided Geometric Design
.
Baik representasi parametrik maupun non-parametrik
memiliki keunggulan dan kelemahan masing- masing. Misalnya pada representasi
non-parametrik, dapat dengan mudah mengetahui apakah suatu titik
x,y
terletak pada kurva atau tidak. Sedangkan pada representasi parametrik, hal ini menjadi sesuatu yang sulit. Ke dua representasi ini berguna dalam
aplikasi grafika komputer. Semuanya relatif dari tujuan penggambaran kurva. Untuk kurva ruang persamaannya sama, hanya saja perlu
menambahkan satu koordinat
z
, dengan demikian titik-titik kurva terdiri atas koordinat
x, y,
dan
z
.
2.2.1 Kurva Polinomial
Representasi yang umumnya digunakan adalah parametrik. Diharapkan adanya suatu fungsi yang perhitungannya sederhana
namun dapat menggambarkan berbagai variasi kurva. Fungsi polinomial dikatakan cukup memenuhi kriteria ini, karena itu
fungsi polinomial banyak digunakan sampai saat ini.
Universitas Sumatera Utara
24
Bentuk umum fungsi polinomial adalah sebagai berikut:
= a + a
1
t+ a
2
t
2
+…+a
n
t
n
dengan ketentuan
n
adalah derajat polinomial tersebut.
Berbagai variasi kurva dapat disajikan tergantung pada derajat polinomial yang digunakan, misalnya:
Polinomial derajat satu
linea r
hanya dapat
menggambarkan garis lurus.
Gambar 2.3 Kurva Polinomial derajat satu
Polinomial derajat dua
kuadratik
dapat menggambarkan parabola. Fungsi ini belum memiliki titik belok
point of inflection
, suatu titik di mana kurva berubah dari cembung ke cekung atau sebaliknya. Namun titik ini dapat diperoleh
dengan menggabungkan beberapa polinomial derajat dua menjadi satu kurva utuh.
Gambar 2.4 Kurva Polinomial derajat dua
1 1
1 1
1 1
1
1 1
x x
a a
t t
x a
t a
x a
t a
1
a t
a t
x
,
x t
,
1 1
x t
2 1
2 1
2 2
2 2
1 1
2 2
2 1
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
2 2
1 1
1
x x
x a
a a
t t
t t
t t
x a
t a
t a
x a
t a
t a
x a
t a
t a
1 2
2
a t
a t
a t
x
, x
t ,
1 1
x t
,
2 2
x t
Universitas Sumatera Utara
25 Polinomial derajat tiga
kubik
adalah polinomial yang dapat dikatakan sebagai standar dalam penyajian kurva.
Karena polinomial ini cukup fleksibel dan mampu merepresentasikan
bermacam- macam bentuk
kurva. Semakin tinggi suatu derajat polinomial, memang semakin
baik hasil
gambar yang direpresentasikan,
namun perhitungan yang dilakukan juga semakin besar da n rumit.
Karena itulah, umumnya polinomial kubik yang digunakan dalam penyajian kurva.
Gambar 2.5 Kurva Polinomial derajat tiga
2.2.2 Kurva Spline
Kurva yang merupakan hasil gabungan polinomial-polinomial berderajat
n
. Kurva
spline
dapat didefinisikan sebagai gabungan potongan-potongan polinomial
piecewise polynomial function
yang didefinisikan sepanjang interval tertentu. Berikut merupakan bentuk persamaan umumnya:
Secara alamiah spline kubik merupakan model matematis untuk sejenis
thin strip
, yang mana melalui semua titik kontrol yang dapat meminimalkan energi dasar. Spline kubik alami
natural cubic spline
mempunyai kontinuitas C
2
terdiri C
1
, C dan lebih halus
dibandingkan dengan kurva Hermite ataupun Bezier.
3 1
3 1
3 1
3 1
1 1
1
1 1
1
x x
x
a a
a
t t
t t
t t
n n
n n
n n
,
3 3
x t
,
1 1
x t
, x
t
1 2
2 3
3
a t
a t
a t
a t
x
1 2
2 3
3
a t
a t
a t
a t
x
Universitas Sumatera Utara
26
Contoh kurva
spline
:
xt = 2t + 7 , yt = 4t + 11
0 ≤ t ≤ 1
xt = t
2
+ 7t+ 1, yt = t
2
+ 5t + 9 1 ≤ t ≤ 2
Gambar 2.6 Koordinat Kurva Spline
2.2.3 Kontinuitas
