2.9. Chinese Reminder Theorem
Chinese Reminders Theorem CRT atau yang disebut juga dengan Teorema sisa China sudah ada sekitar abad ke 3
– 5 masehi. Teorema ini diperkenalkan oleh seorang matematikawan China yang bernama Sun Zi. Teorema ini pertama kali di tulis dalam sebuah buku yang
berjudul Qin Juishan yang di terbitkan pada tahun 1247, di mana dalam buku tersebut di perkenalkan metode mencari solusi sistem linear kongruen.
Berikut adalah bunyi Chinese Reminder Theorem CRT: berikan bilangan bulat positif yang semuanya saling relatif prima dan bilangan bulat
maka sistem linear kongruennya
....
Contoh Chinese Remainder Theorem 1: Setelah di ketahui nilai
dan maka tentukan kunci dekripsi Rabin Cryptosystem yang
benar dengan menggunakan banuan metode Chinese Remainder Theorem CRT. Di mana nantinya pada metode ini akan di temukan 4 kemungkinan plaintext hasil dekripsi algoritma
Rabin Cryptosystem yakni nilai r, s, t, u Setelah itu hitung nilai R,S,T dan U dengan menggunakan nilai r,s,t dan u yang di
dapat dalam proses sebelumnya. Contoh 1. Perhitungan manual proses dekripsi dengan plaintext awal “CHITRA”
1.1 Dekripsi plaintext awal : C
o Hitung nilai
dengan cara: =
mod p =
mod 11 27 mod 11
5
Universitas Sumatera Utara
o Hitung nilai
dengan cara : =
mod q =
mod 23 34012224 mod 23
8 o
Hitung nilai Chinesse Remainder Theorem CRT dengan r =
p +
q mod n
-2 11 8 + 1 23 5 mod 253 -176 + 115 mod 253
192 s =
p -
q mod n
-2 11 8 - 1 23 5 mod 253 -176
– 115 mod 253 -291 mod 253
215 t = -
p +
q mod n
- -2 11 8 + 1 23 5 mod 253 176 - 115 mod 253
61 mod 253 61
u = - p
- q
mod n - -2 11 8 - 1 23 5 mod 253
176 + 115 mod 253 291 mod 253
38 o
Hitung nilai R,S,T dan U R = K n + r
817 253 + 192 206701 + 192
206693 110010011101100101
S = K n + s 817 253 +215
206701 + 215 206916
110010100001000100
T = K n + t 817 253 + 61
206701 + 61
Universitas Sumatera Utara
206762 110010011110101010
U = K n + u 817 253 + 38
206701 + 38 206739
110010011110010011 1.2
Dekripsi plaintext awal : H o
Hitung nilai dengan cara:
= mod p
= mod 11
4096 mod 11 4
o Hitung nilai
dengan cara : =
mod q =
mod 23 16777216 mod 23
4 o
Hitung nilai Chinesse Remainder Theorem CRT dengan r =
p +
q mod n
-2 11 4 + 1 23 4 mod 253 -88 + 92 mod 253
4 mod 253 4
s = p
- q
mod n -2 11 4 - 1 23 4 mod 253
-88 – 92 mod 253
-180 mod 253 73
t = - p
+ q
mod n - -2 11 4 + 1 23 4 mod 253
88 - 92 mod 253 249 mod 253
249
u = - p
- q
mod n - -2 11 4 - 1 23 4 mod 253
88 + 92 mod 253 180 mod 253
Universitas Sumatera Utara
180 o
Hitung nilai R,S,T dan U R = K n + r
827 253 + 4 209231 + 4
209235 110011000101010011
S = K n + s 827 253 +73
209231 + 73 209304
110011000110011000
T = K n + t 827 253 + 249
209231 + 249 209480
110011001001001000 U = K n + u
827 253 + 180 209231 + 180
209339 1100110001100111011
1.3 Dekripsi plaintext awal : I
o Hitung nilai
dengan cara: =
mod p =
mod 11 421875 mod 11
3 o
Hitung nilai dengan cara :
= mod q
= mod 23
177978515 mod 23 12
o Hitung nilai Chinesse Remainder TheoremCRT dengan
r = p
+ q
mod n -2 11 12 + 1 23 3 mod 253
-264 + 69 mod 253
Universitas Sumatera Utara
-195mod 253 58
s = p
- q
mod n -2 11 12 - 1 23 3 mod 253
-264 – 69 mod 253
-333 mod 253 173
t = - p
+ q
mod n - -2 11 12 + 1 23 3 mod 253
264- 69 mod 253 195 mod 253
195 u = -
p -
q mod n
- -2 11 12 - 1 23 3 mod 253 264+ 69 mod 253
333 mod 253 80
o Hitung nilai R,S,T dan U
R = K n + r 829 253 + 58
209737 +58 209795
110011001101001001 S = K n + s
829 253 +173 209737 + 173
209910 110011001111110110
T = K n + t 829 253 + 195
209737+ 195 209932
110011010000001100 U = K n + u
829 253 + 80 209737 + 80
209817 110011001110011001
Universitas Sumatera Utara
1.4 Dekripsi plaintext awal : T
o Hitung nilai
dengan cara: =
mod p =
mod 11 729 mod 11
3 o
Hitung nilai dengan cara :
= mod q
= mod 23
9 mod 23 9
o Hitung nilai Chinesse Remainder Theorem CRT dengan
r = p
+ q
mod n -2 11 9 + 1 23 3 mod 253
-198 + 69 mod 253 -129mod 253
124
s = p
- q
mod n -2 11 9 - 1 23 3 mod 253
-198 – 69 mod 253
-267 mod 253 239
t = - p
+ q
mod n - -2 11 9 + 1 23 3 mod 253
198- 69 mod 253 129 mod 253
129
u = - p
- q
mod n - -2 11 9 - 1 23 3 mod 253
198+ 69 mod 253 267 mod 253
14 o
Hitung nilai R,S,T dan U R = K n + r
1021 253 + 124 259313 +124
Universitas Sumatera Utara
258437 111111000110000101
S = K n + s 1021 253 +239
209313 + 239 258552
111111000111111000
T = K n + t 1021 253 + 129
209313+ 129 258442
111111000110001010 U = K n + u
1021 253 + 14 209313 + 14
258327 111111000100010111
1.5 Dekripsi plaintext awal : R
o Hitung nilai
dengan cara: =
mod p =
mod 11 27 mod 11
5 o
Hitung nilai dengan cara :
= mod q
= mod 23
64mod 23 18
o Hitung nilai Chinesse Remainder Theorem CRT dengan
r = p
+ q
mod n -2 11 18 + 1 23 5 mod 253
-396 + 115 mod 253 -281mod 253
225 s =
p -
q mod n
-2 11 18 - 1 23 5 mod 253
Universitas Sumatera Utara
-396 – 115 mod 253
-511 mod 253 248
t = - p
+ q
mod n - -2 11 18 + 1 23 5 mod 253
396- 115 mod 253 281 mod 253
28 u = -
p -
q mod n
- -2 11 18 - 1 23 5 mod 253 396+ 115 mod 253
511 mod 253 5
o Hitung nilai R,S,T dan U
R = K n + r 1017 253 + 225
257301 +124 257526
1111101101111110110 S = K n + s
1017 253 +248 257301 + 248
257549 111110111000001101
T = K n + t 1017 253 + 28
257301+ 28 257329
111110110100110001 U = K n + u
1017 253 + 5 257301 + 5
257306 111110110100011010
1.6 Dekripsi plaintext awal : A
o Hitung nilai
dengan cara: =
mod p =
mod 11 64 mod 11
Universitas Sumatera Utara
9 o
Hitung nilai dengan cara :
= mod q
= mod 23
1mod 23 1
o Hitung nilai Chinesse Remainder Theorem CRT dengan
r = p
+ q
mod n -2 11 1 + 1 23 9 mod 253
-22 + 207 mod 253 185mod 253
185
s = p
- q
mod n -2 11 1 - 1 23 9 mod 253
-22 – 207 mod 253
-229mod 253 24
t = - p
+ q
mod n - -2 11 1 + 1 23 9 mod 253
22- 207 mod 253 -185 mod 253
68
u = - p
- q
mod n - -2 11 1 - 1 23 9 mod 253
22+ 207 mod 253 229 mod 253
229 o
Hitung nilai R,S,T dan U R = K n + r
813 253 + 185 205689 +185
205689 110010001101111001
S = K n + s 813 253 +24
205689 + 24 205713
110010001110010001
Universitas Sumatera Utara
T = K n + t 813 253 + 68
205689+ 28 205757
110010001110111101 U = K n + u
813 253 + 229 205689 + 229
205918 110010010001011110
Maka dari hasil proses perhitungan metode Chinese Remainder Theorem CRT maka di dapatkan nilai dekripsi RABIN cryptosystem yang sebenarnya yakni untuk plainiteks
“CHITRA” adalah 206739, 209304, 209817, 258552,257526, 205713. nilai. Di mana nilai biner dari nilai tersebut sama dengan nilai kunci enkripsi pada algoritma Extended Polybius
Square. Namun untuk nilai m 0000,0003,0006 dan 009 terdapat anomali dalam perhitungan
algortima dimana perhitungan untuk masing – masing nilai m tersebut akan di jabarkan di
dalam contoh enkrips di bawah ini.
Contoh enkripsi 2: Di mana didalam contoh 2, penulis akan menghitung nilai m yang bernilai 3. Sedangkan untuk
nilai p dan q 11 dan 23 bernilai dan nilai kunci privat dan
sama seperti contoh enkripsi 1. Oleh karena itu untuk kedua nilai tersebut pada contoh 2 yang akan di masukan
akan sama dengan contoh enkripsi 1. .1. Enkripsi
o Nilai N : 253
o m enkripsi Extended Polybius Square:
Dengan m : 3
: 11 : 1111
: 15 o
Enkripsi Rabin Cryptosystem:
Universitas Sumatera Utara
C = mod n
C
mod 253 C
225mod 253 C
225 2. Dekripsi
o Hitung nilai
dengan cara: =
mod p
mod 11 11390625 mod 11
4 o
Hitung nilai dengan cara :
= mod q
mod 23
mod 23
mod 23 13 13 mod 23
169
o Perhitungan Chinese Remainder Theorem CRT
o r =
p +
q mod n
= -2 11169 + 1 23 4 mod 253 = -3718 + 92 mod 253
= -3626 mod 253 = 169
= 10101001 o
s = p
- q
mod n = -2 11 169 - 1 23 4 mod 253
= -3718 – 92 mod 253
= -3810 mod 253 = 238
= 11101110 o
t = - p
+ q
mod n = - -2 11 169 + 1 23 4 mod 253
= --3718 + 92 mod 253 = 3810 mod 253
= 84 = 1010100
o u = -
p -
q mod n
=- -2 11169 - 1 23 4 mod 253 = 3718
– 92 mod 253
Universitas Sumatera Utara
= 3810 mod 253 = 15
= 1111 Contoh 3:
Di mana didalam contoh 3, penulis akan menghitung nilai m yang bernilai 9. Sedangkan untuk nilai p dan q 11 dan 23 bernilai dan nilai kunci privat
dan sama
seperti contoh enkripsi 1. Oleh karena itu untuk kedua nilai tersebut pada contoh 2 yang akan dimaskan akan sama dengan contoh enkripsi 1.
.1. Enkripsi o
Nilai N : 253 o
m enkripsi Extended Polybius: m
: 9 : 1001
: 10011001 : 153
o Enkripsi Rabin Cryptosystem:
C = mod n
C mod 253
C 23409mod 253 C 133
2. Dekripsi o
Hitung nilai dengan cara:
= mod p
mod 11
2352637 mod 11 1
o Hitung nilai
dengan cara : =
mod q
mod 23
mod 23 34012224 mod 23
8
Universitas Sumatera Utara
o Perhitungan Chinese Remainder Theorem CRT
o r =
p +
q mod n
= -2 118 + 1 23 1 mod 253 = -176 + 23 mod 253
= -153 mod 253 = 100
= 1100100
o s =
p -
q mod n
= -2 11 8 - 1 23 1 mod 253 = -176-23 mod 253
= -199 mod 253 = 54
= 110110 o
t = - p
+ q
mod n = - -2 11 8 + 1 23 1 mod 253
= 176 + 23 mod 253 = 199 mod 253
= 199 = 11000111
o u = -
p -
q mod n
=- -2 118 - 1 23 1 mod 253 = 176
– 23 mod 253 = 153 mod 253
= 153 = 10011001
Contoh 4: Dimana didalam contoh 4, penulis akan menghitung nilai m yang bernilai 6. Sedangkan
untuk nilai p dan q 11 dan 23 bernilai dan nilai kunci privat dan
sama seperti
Universitas Sumatera Utara
contoh enkripsi 1. Oleh karena itu untuk kedua nilai tersebut pada contoh 2 yang akan dimaskan akan sama dengan contoh enkripsi 1.
.1. Enkripsi o
Nilai N : 253 o
m enkripsi Extended Polybius Square: Dengan m
: 6 : 110
: 110110 : 54
o Enkripsi Rabin Cryptosystem:
C = mod n
C mod 253
C 2916mod 253 C 133
Berdasarkan hasil perhitungan manual proses enkripsi untuk nilai m = 6, maka di dapatlah nilai C sebesar 133. Di mana jika dilihat kembali contoh
– contoh yang telah ada, maka dapat kita simpulkan untuk nilai m = 6 akan bernilai sama dengan nilai
m = 9.
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 LatarBelakang
Di Era globalisasi saat ini, kemajuan teknologi informasi dan komunikasi telah berkembang pesat. Kemajuan teknologi informasi dan komunikasi ini juga
memberikan pengaruh yang besar bagi kehidupan manusia. Perkembangan teknologi juga memungkinkan setiap orang untuk saling bertukar data, informasi, atau pesan
kepada orang lain tanpa batasan jarak dan waktu. Pada saat ini telah banyak fasilitas yang dapat digunakan untuk melakukan
pertukaran data dan informasi. Pertukaran informasi dapat dilakukan dengan cara mengirimkan pesan berupa pesan teks, baik dalam bentuk Document, PDFPortable
Document File ataupun gambar. Terjaminnya kerahasiaan data dalam pengiriman pesan tersebut merupakan salah satu hal yang perlu diperhatikan. Karena tidak
tertutup kemungkinan terjadinya proses pertukaran informasi yang bersifat rahasia dalam data tersebut. Sehingga mungkin saja terjadi duplikasi data karena kurangnya
keamanan data pada pesan yang dikirimkan, maupun tersebar serta terjadi plagiatisme terhadap isi data yang akhirnya dapat merugikan pihak pengirim ataupun penerima.
Sehingga untuk itu dirancanglah sebuah aplikasi yang menerapkan algoritma kriptografi yang berfungsi untuk membantu mengamankan file data tersebut sebelum
nantinya akan disebarluaskan atau dikirimkan kepada seseorang. Algoritma kriptografi yang di gunakan diantaranya adalah algoritma kunci publik Rabin
Cryptosystem dan algoritma Extended Polybius Square. Kriptografi adalah suatu ilmu dan seni yang berfungsi untuk menjaga
kerahasiaan suatu pesan dengan cara menyandikannya kedalam bentuk pesan yang tidak dapat diartikan lagi maknanya. Kriptografi telah digunakan sejak berabad
– abad yang lalu. Yang dikenal dengan kriptografi klasik. Dalam ilmu kriptografi, data yang
akan dirahasiakan disebut plaintext. Data atau pesan hasil penyandian disebut ciphertext Mollin, 2007. Proses untuk mengkonversi plaintext menjadi ciphertext
Universitas Sumatera Utara
Kategori