DERET FOURIER

BAB IV DERET FOURIER

1. Pendahuluan.

Penyelesaian rangkaian listrik yang mengandung R, L dan C dapat diselesaikan dengan baik menggunakan metode Pemetaan Laplace jika sumber Eksitasi berupa suatu konstanta atau suatu fungsi trigonometri seperti Sinus. Bentuk bentuk gelombang periodik tertentu misalnya bentuk gelombang gigi gergaji seperti pada gambar 5 hal. 106 hanya dapat didefinisikan secara lokal.

Menurut Fourier seluruh fungsi yang periodik dapat direpresentasikan dalam bentuk deret Fourier yaitu merupakan penjumlahan dari sejumlah fungsi-fungsi Sinus terbatas atau tak berhingga dan/atau sejumlah fungsi-fungsi Cosinus terbatas atau tak berhingga, yaitu dalam bentuk matematis :

f (t)= 1 a 2 0

+a 1 . Cos ( ωt ) +a 2 . Cos ( 2 ωt ) +a 3 . Cos ( 3 ωt ) +a 4 . Cos ( 4 ωt ) +...

b 1 . Sin ( ωt ) +b 2 . Sin ( 2 ωt ) +b 3 . Sin ( 3 ωt ) +b 4 . Sin ( 4 ωt ) +...

Setelah mempelajari Deret Fourier maka diharapakan :

1. Dapat merepresentasikan seluruh fungsi periodik dalam bentuk deret Fourier.

2. Dapat memetakan Cosinus Fourier, Sinus Fourier, Fourier terhadap fungsi fungsi yang tidak periodik.

2. Representasi fungsi fungsi periodik dalam deret Fourier

Fungsi f(t) dikatakan periodik jika fungsi f(t) terdefinisi untuk seluruh bilangan riil t dan jika ada suatu bilangan positip p sehingga F(t + p) = f(t) … … …. … … … … …. … … …. … … … … … … … ….(1)

Bilangan positip p disebut periode dari fungsi f(t) Contoh. Fungsi f(t) = Sin (t) dikatakan periodik dengan periode 2

f(t) = f(t + 2) Sin(t) = Sin(t + 2)

Dari persamaan (1) dapat diperoleh : f(t + 2p) = f[(t + p) + p] = f(t + p) = f(t) Atau dapat ditulis dengan : f(t + np) = f(t) … … …. … … … … …. … … …. … … … … … … … … … … .... (2) Dari persamaan (2) didapat :

Sin(t) = Sin(t + 8) dengan n = 4 dan p = 2

Jika f(x) dan g(x) periodik dengan periode p maka fungsi : h(x) = af(x) + bg(x) juga periodik dengan periode p

Teorema 1. Jika f(x) fungsi periodik dengan periode 2 dan piecewise continue pada interval - < x <  dan memiliki left hand derivative dan right hand derivative pada setiap titik pada interval tersebut maka deret Fourier (persamaan 3) dari fungsi

f(x) adalah convergent kecuali pada titik x 0 . titik x 0 adalah titik yang meng- akibatkan f(x) menjadi discontinue (tidak terdefinisi). Semua fungsi f(x) yang periodic dengan periode p dapat direpresentasikan dengan deret Fourier yaitu :

n =1 [  L   L  ]

f  t =a 0  ∑ a n . Cos

t b n . Sin

∫ f 2L  t  dt … … … … … … … .. …. … … … … … … ……(5)

−L

a n = ∫ f  t . Cos

b n = ∫ f  t . Sin

dengan n = 1, 2, 3, . . . Contoh 1. Tentukanlah deret Fourier dari fungsi f(x) pada gambar 1.

Gambar 1. Square Wave dengan kejenuhan positif dan kejenuhan negatif Jawab.

10  0t

f 2 t=

f(t) = f(t + )

−10 − t0

f(t) = f(t + ) periode p =  L = p/2 = /2

f  t =a 0 

[ n a ∑ n .Cos  2 nt  b n . Sin  2 nt  =1 ] [ n a ∑ n .Cos  2 nt  b n . Sin  2 nt  =1 ]

2L ∫ −L

a 0 = ∫ f t dt

f  ∫  t . Cos 2 nt dt −

 ∫ −10 . Cos 2 nt  dt  π ∫ 10 . Cos  2 nt  dt − 0

a n =0

b n = ∫ −10 . Sin  2 nt  dt

∫ 10 . Sin  2 nt  dt

[  2n ] 2 [  2n ] 0

20 1 20 1 b 2 n = . . cos 2nt  − − . . cos 2nt

⇒b n = 20 1  .

1 −Cos nπ 

b n = 0 untuk n = 2, 4, 6, 8, …

Gambar 2 memperlihatkan representasi dalam deret fourier masing masing dalam bentuk

a. sampai suku pertama : 40 f  t = . Sin  2t 

f b. sampai suku kedua : 40  t = . Sin

 2t  1 Sin  6t 

f 40 c. Sampai suku ketiga : 1  t = . Sin 1  2t  Sin Sin

 6t  5  10 t   6t  5  10 t 

f  t = . Sin  2t  Sin  6t  Sin  10 t  Sin  14 t 

40 1 1 1

Gambar 2. Representasi fungsi gambar 1 dalam deret Fourier

Bila penjumlahan suku suku sampai suku ke-100 maka akan diperoleh grafik yang mendekati dengan gambar 1 seperti ditunjukkan pada gambar 2.b. Script program, ditulis dengan Scilab, untuk grafik gambar 2.b adalah :

t = linspace ( - 8 , 8 , 400 ) ; for n = 1 : 2 : 200 y1 = ( 40 / ( n * %pi ) * sin ( 2 * n * t )) ;

y = y + y1; end

plot ( t, y ) ; xgrid ( 1 ) ;

3. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Suatu fungsi periodik y = g(t) dikatakan fungsi genap jika :

1. g(-t) = g(t).

2. Grafik dari fungsi tersebut simetris terhadap sumbu - y Fungsi f(t) = Cos(t) dikatakan fungsi genap karena :

1. Cos(60) = Cos(-60) = 0,50.

2. Grafik fungsi f(t) = Cos(t) simetris terhadap sumbu-y (gambar 3)

Fungsi y = h(t) dikatakan fungsi ganjil jika :

1. h(-t) = -h(t).

2. Grafik dari fungsi tersebut simetris terhadap titik asal (nol). Fungsi f(t) = Sin(t) dikatakan fungsi ganjil karena :

1. Sin(-30) = - Sin(30) = - 0,50.

2. grafik f(t) = Sin(t) simetris terhadap titik asal koordinat (gambar 4).

Gambar 3. Grafik fungsi cos(t) simetris terhadap sumbu - y

Gambar 4. Grafik sin(t) simetris terhadap titik asal koordinat

Teorema : Deret Fourier dari fungsi genap f(x) dengan periode p = 2L adalah merupakan deret Fourier yang hanya mengandung deret Cosinus (Fourier Cosine Series).

f  x = a 0  ∑ a n n .Cos

L ∫ f t dt

a n = ∫ f  t . Cos

t dt

n = 1, 2, 3, 4, …

Deret Fourier dari fungsi ganjil f(x) dengan periode p = 2L adalah merupakan deret Fourier yang hanya mengandung deret Sinus (Fourier Sine Series)

f  t =  ∑ b n . Sin t

b n = ∫ f t . Sin

t dt

n = 1, 2, 3, 4, …

Teorema : Koefisien-koefisien Fourier dari penjumlahan f1 + f2 adalah penjumlahan terhadap koefisien koefisien dari f1 dan f2 yang bersesuaian. Koefisien-koefisien dari C.f adalah C kali terhadap koefisien koefisien dari f.

Terkadang yang diperlukan dari suatu deret Fourier adalah amplitudo dari masing masing harmonik deret Fourier gelombang (fx) tersebut atau yang lebih dikenal dengan nama Spektrum garis. Dengan mendefinisikan :

C 0 1 =∣ a ∣

… … … … … … …. … … … … … … … …. … …. … … ..(12) dengan C n = Amplitudo harmonik ke – n . n = 1, 2, 3, 4, …

n b n

Contoh 2. Tentukanlah deret Fourier dan spektrum garis dari gelombang pada gambar 5. Plotlah penjumlahan deret Fourier sampai suku ke-6

Jawab. Gelombang gigi gergaji adalah fungsi ganjil, jadi fungsi tersebut hanya mengandung deret sinus (Fourier Sine Series).

n  f  t =

n ∑ n =1  L 

b . Sin

2  V 2.V 1 ⇒b 1

n = ∫ .t . Sin  n . . dt

. Sin  nt − . t .Cos  nt 

⇒− 2V .  1 . Cos  nπ  n

1  t = 1  t −  2t   3t −  4t  Sin  5t − Sin  6t .. .

Gambar 5. Gelombang gigi gergaji dengan simetris terhadap titik asal Jika V = 5 volt maka amplitudo masing masing harmonisa :

Harmomisa ke-1 : 3,183 Harmomisa ke-2 : 1,59 Harmomisa ke-3 : 1,06 Harmomisa ke-4 : 0,79 Harmomisa ke-5 : 0,64 Harmomisa ke-6 : 0,53

Gambar 6. Spektrum garis gelombang gigi gergaji gambar 5

Gambar 7. Deret Fourier dari suku I s/d suku VI dari gel. gigi gergaji Skript program penjumlahan sampai suku ke-100 yang ditulis dengan scilab :

t = linspace ( - 15 , 15 , 400 ) ; for n = 1 : 1 : 100 y1 =- (( 10 / ( %pi * n )) * cos ( n * %pi )) * sin ( n * t ) ;

y = y + y1; end plot ( t, y ) ;

xgrid ( 1 ) ;

Soal Latihan.

Tentukanlah deret Fourier Spektrum garis kemudian plotlah deret Fourier tersebut sampai penjumlahan suku ke-6.

-4 -3

4. V

5.

6.

0 -4

-2

ms

Gambar 8. Soal Latihan no.7

Soal latihan no. 7 terdiri dari 5 pulsa yang dijumlahkan, masing masing pulsa tersebut adalah :

a.

n. π .t [cos (

1.10 skript program dengan scilab :

n. π

a1 = 0 ; t = linspace ( - 20e-3 , 30e-3 , 400 ) ;

for n = 1 : 1 : 200 a = ( 1 / n * %pi ) * ( cos ( - n * %pi / 20 ) - cos ( - n * %pi * 9.5 / 10 ) - cos ( n * %pi * 9.5 / 10 ) + cos ( n * %pi / 20 )) * sin ( n * %pi * t / 10e-3 ); a1 = a1 + a;

end end

b.

1,5. n. π n. π.t [cos(

)].sin ( ) n. π

10 10 10 10 1.10 −3 Skript program dengan Scilab :

t = linspace ( - 20e-3 , 30e-3 , 400 ) ; b1 = 0 ; for n = 1 : 1 : 200 b = ( 1 / n * %pi ) * ( cos ( - n * %pi * 1.5 / 10 ) - cos ( - n * %pi * 8.5 / 10 ) - cos ( n *

%pi * 8.5 / 10 ) + cos ( n * %pi * 1.5 / 10 )) * sin ( n * %pi * t / 10e-3 ) ;

b1 = b1 + b end plot ( t, b1 ) ;

xgrid () ;

n. π.t [cos(

)].sin ( ) n. π

Skript program dengan Scilab :

t = linspace ( - 20e-3 , 30e-3 , 400 ) ; n = 1 ; c1 = 0 ;

for n = 1 : 1 : 200 c = ( 1 / n * %pi ) * ( cos ( - n * %pi * 3 / 10 ) - cos ( - n * %pi * 7 / 10 ) - cos ( n *

%pi * 7 / 10 ) + cos ( n * %pi * 3 / 10 )) * sin ( n * %pi * t / 10e-3 ) ;

c1 = c1 + c end

figure ( 3 ) ; plot ( t, c1 ) ; xgrid () ;

d.

n. π .t [cos(

)].sin( ) n. π

Skript program dengan Scilab :

t = linspace ( - 20e-3 , 30e-3 , 400 ) ; n = 1 ; d1 = 0 ;

for n = 1 : 1 : 200 d = ( 1 / n * %pi ) * ( cos ( - n * %pi * 4 / 10 ) - cos ( - n * %pi * 6 / 10 ) - cos ( n *

%pi * 6 / 10 ) + cos ( n * %pi * 4 / 10 )) * sin ( n * %pi * t / 10e-3 ) ;

d1 = d1 + d end

figure ( 4 ) ; plot ( t, d1 ) ; xgrid () ;

4,5. n. π n. π .t [cos(

)].sin ( ) n. π

Skript program dengan Scilab :

t = linspace ( - 20e-3 , 30e-3 , 400 ) ; n = 1 ; e1 = 0 ;

for n = 1 : 1 : 200 e = ( 1 / n * %pi ) * ( cos ( - n * %pi * 4.5 / 10 ) - cos ( - n * %pi * 5.5 / 10 ) - cos ( n *

%pi * 5.5 / 10 ) + cos ( n * %pi * 4.5 / 10 )) * sin ( n * %pi * t / 10e-3 ) ;

e1 = e1 + e end figure ( 5 ) ; plot ( t, e1 ) ; xgrid () ;

Bila a s/d e dijumlahkan maka hasilnya :

4. Pemetaan Cosinus Fourier dan Pemetaan Sinus Fourier

Fourier Integral Penerapan dalam bidang Teknik banyak fungsi-fungsi yang tidak periodik sehingga dikehendaki untuk mengeneralisir suatu metode dari deret Fourier mencakup nonperiodic function. Hal ini adalah tujuan utama dari subbab ini. Fungsi periodik pada gambar 8a didefinisikan sebagai :

f ( x )= 0 − L<x <−1

f ( x )= f ( x+np )

Gambar 8. Fungsi periodic dengan periode menuju tak terhingga

Jika L → ∞ maka fungsi pada gambar 8a tidak periodik lagi (gambar 8b)

{ 0 untuk lainnya }

1 −1< x <1

f (x )=lim f L ( x)=

L →∞

Kita telah mengetahui bahwa setiap fungsi periodik f L (x) dengan periode 2L dapat direpresentasikan dalam deret Fourier :

f L ( x )=a 0 + ∑ [ a n .Cos (w n .x )+b n . Sin (w n .x ) ]

n π dengan w n =

Jika L →∞ sehingga f L (x) menjadi tidak periodik lagi (nonperiodik function) dan deret pada deret Fourier dari fungsi f L (x) (pers. 7) digantikan dengan integral.

Dengan menggantikan : w n = w dan

=π L L

Notasi baru untuk variable integral v sebagai ganti x, maka persamaan (7) disebut integral Fourier (Fourier integral) didefinisikan sebagai :

f ( x )= ∫ [ A ( w).Cos (wx ) + B (w ). Sin( wx ) ] dw

A ( w)=

π ∫ f ( v ). Cos( wv )dv

( w)=

B π ∫ f ( v ). Sin( wv )dv

Jika f L (x) adalah fungsi genap maka B(w) = 0 persamaan (8) menjadi :

f ( x )= ∫ [ A ( w).Cos (wx ) ] dw

A ( w)= dengan

π ∫ f (v ). Cos(wv )dv

begitu juga jika f L (x) adalah fungsi ganjil maka A(w) = 0 persamaan (8) menjadi :

f ( x )= ∫ [ B ( w ). Sin(wx ) ] dw

dengan B ( w)= π ∫ f (v ). Sin(wv )dv

Pemetaan cosinus Fourier Fourier integral dari fungsi genap f(x) adalah merupakan integral Cosinus Fourier

f ( x )= ∫ [ A ( w).Cos (wx ) ] dw

2 ∞ dengan

A ( w)= π ∫ f (v ). Cos(wv )dv

0 … … … … … … …… … … … … … (11) dengan menggantikan v dengan x, dan menuliskan A(w) sebagai :

A(w)= 2 √

π ^f c (w) dengan notasi c menunjukkan Cosinus maka persamaan (11) menjadi

^f c ( w)=

f ( x ). Cos(wx )dx

f c (w )

= Pemetaan cosinus Fourier

inversi dari Pemetaan Cosinus Fourier adalah : ∞ 2 ¿

f ( x )=

^f c ( w )Cos( wx )dw

Pemetaan Sinus Fourier Jika pada Pemetaan Cosinus Fourier adalah fungsi genap, maka Pemetaan Sinus Fourier adalah untuk fungsi fungsi ganjil, yaitu :

^f s ( w)=

f ( x ). Sin( wx)dx

f s (w ) = Pemetaan Sinus Fourier

f ( x )= π. ∫ ^f s (w )Sin(wx )dw

¿ Penulisan notasi yang lain untuk pemetaan :

ℑ c ( f )= ^f c ℑ s ( f )= ^f s

Invers dari masing masing pemetaan (Fourier Cosine Transformation, Fourier sine Trans

formation) adalah : ℑ c dan ℑ s .

Contoh 3. Tentukanlah Pemetaan Cosinus Fourier dan Pemetaan sinus Fourier dari :

f  x = k 0 {  xa

0 x a }

Jawab.

√ π.k.

^f a

c ( w )= π.k. ∫ Cos ( wx )dx

. Sin

(wx )] 0

√ πk. w

2 Sin (wa )

π.k− ⇒ Cos ( wx )] √ 0

^f a

s ( w)= π.k. ∫ Sin ( wx)dx

√ π.k [ w ]

2 1 −Cos( wa)

Beberapa fungsi tertentu telah ditabelkan Pemetaan Cosinus Fourier dan Pemetaan Sinus Fourier (table 1 dan tabel 2). Seperti halnya pemetaan Laplace yang memiliki sifat lineritas, Pemetaan Cosinus Fourier dan Pemetaan Sinus Fourier memiliki sifat lineritas juga

 c (af + bg) = a c (f) + b c (g) … … …. … …. … … …. … … … … … … … … (12)  s (af + bg) = a s (f) + b s (g) … … …. … …. … … …. … … … … … … … ..(13) yaitu :

2 ∞ ℑ c (af +bg )=

[ af ( x )+bg ( x ) ] .Cos (wx )dx

⇒a π ∫ f ( x ).Cos (wx )dx + b

( x ). Cos(wx )dx

Sifat derifative pada pemetaan Laplace tidaklah sama dengan sifat derifative pada Pemetaan Cosinus Fourier dan Pemetaan Sinus Fourier

c ( f (x) ) =w ℑ s ( f (x) ) − √ π . f ( 0) … … …. … …. … … …. … … … … … (14)

ℑ s ( f (x) ) =−w ℑ c ( f (x) ) … … …. … …. … … …. … … … ….. … … .. … (15)

ℑ c ( f (x) ) =−w ℑ c ( f (x) ) − √ π.f ( 0) … … …. … … … … ….. … … .. … (16)

s ( f (x) ) =−w ℑ s ( f (x) ) + √ π . w . f (0 ) … … …. … … … … ….. … … .. (17)

4. Pemetaan Fourier

Selain Pemetaan Cosinus Fourier dan Pemetaaan Sinus Fourier, pemetaan berikutnya adalah Pemetaan Fourier yang didefinisikan sebagai :

^f (w )= 1 −iwx ∫ f ( x ). e . dx

f iwx ( x )= ∫ ^f (w ).e . dx

… … …. … … … … ….. … … … … (19) Contoh 4.

Tentukanlah Pemetaan Fourier dari :

f  x = k 0 {  xa

0 lainnya }

Jawab.

a −iwx −iwa

a −k 1

−k ( 1 −e )

^f (w )= 1 . ∫ k.e . dx

. .e −iwx ]

iw Sifat sifat Pemetaan Fourier

2 0 π iw

1. Sifat linieritas ℑ (af +bg )=a ℑ( f )+b ℑ( g )

yaitu :

ℑ −iwx [ a.f ( x )+bg ( x ) ] = [ af ( x )+bg ( x ) ] e dx

=ℑ ( f (x) ) +b ℑ ( g (x) )

2. Sifat Derifative

ℑ [ f (x) ] =iw ℑ [ f (x) ]

ℑ [ f (x) ] =−w ℑ [ f (x) ]

3. Sifat Convolusi Convolusi dari fungsi f dan fungsi g didefinisikan sebagai :

h ( x )=( f ∗g )( x )= ∫ f ( p ). g ( x − p )dp = ∫ f ( x− p )g ( p )dp

pada Pemetaan Fourier

ℑ( f ∗g )= √ 2π. ℑ( f ). ℑ( g )

Latihan

1. Tentukanlah Pemetaan Cosinus Fourier dari:

a. −3 x f ( x )=e

b. 2 f ( x )=Cos (2 x )

c. f ( x )=e −2 x 2

2. Tentukanlah Pemetaan Sinus Fourier dari :

a. f ( x )=

b. −x f ( x )=e

3. Tentukanlah Pemetaan Fourier dari :

{ 0 lainnya }

Fourier Cosine Transform

No f(x)

 c (f)

2 Sin { (aw )

1. 1 jika 0  xa

0 untuk lainnya }

√ π. w

√ π. a

√ π. 2 ( 2 a +w )

√ 2a

. Re (a+iw) x .e

n +1 n −ax

2 n!

a +w )

2 2 n +1

Re = Bagian Real

7. cos  x  jika 0xa

 0 untuk lainnya 

√ 2 π [ 1 −w 1 +w ]

1 Sin ( a (1−w) ) Sin ( a (1+w) )

√ 2a ( 4a 4 )

Cos ( ax )

√ 2a ( 4a 4 )

Sin ax )

π u (a−w ) .

√ 2 √ a −w

Tabel 2. Fourier sine Transforms

No.

f(x)

 s (f)

{ 0 untuk lainnya }

1. 1 jika 0 xa

√ π. [ w ]

2 1 −Cos(aw )

√ π. a

e √ π. 2 (

1 +w )

−x

6. −ax

e √ π . arctan ( a )

a>0

. Im (a+iw ) x .e

( 2 2 n a +1 +w )

Im = Bagian Imajiner

{ 0 untuk lainnya }

10. sin  x  jika 0xa

√ 2 π { 1 −w 1 +w }

1 Sin [ a (1−w) ] Sin [ a (1+w) ]

12. 2a Sinh ( aw)

arctan −aw

a>0

.e

Tabel 3. Fourier Transforms

No. f(x)

(f)

{ 0 untuk lainnya } √ π. w

1. 1 jika −bxb

2 Sin (bw)

e −icw { −e

0 untuk lainnya } iw .

2. 1 jika b x c

4. x jika 0 x b

{ 0 untuk lainnya } √ 2 π.w

2x −2 ibw −a jika bx 2b −1+2 e −e

ibw

5. e −ax jika x { >0

0 untuk lainnya }

a>0

√ 2 π .(a +iw)

6. e −ax jika b xc

e (a−iw) b −e { 0 untuk lainnya } √ 2 π. (a−iw )

( a−bc)c

{ 0 untuk lainnya } √ π. w −a

7. e iax jika −b< x <b

2 Sin ( b (w−a ) )

ib (a−w)

i e −e

ic ( a−w)

iax

e jika b < x <c

a −w

0 untuk lainnya

2 1 −ax 4a a>0 .e

e √ 2a

10. Sin (ax ) π jika |w|<a 0 jika |w|>a

a>0

SUPPLEMEN

f (t )= ∑ a n . cos (2 π .n f 0 t )+b n . sin (2 π.n .f 0 .t )

n =0

dengan

T ∫ f 0 (t).dt

(T )

a n = ∫ f (t). cos(2 π . n . f 0 .t ). dt

T (0)

(T )

b n = ∫ f (t).sin (2 π . n. f 0 .t )dt

T (0)

∫ sin (2 π .n . f 0 .t ).cos (2 π . n . f 0 .t )=0

0 untuk n ≠m

∫ sin (2 πm . f 0 .t ). sin(2π n. f 0 t )dt =→ T

0 untuk n =m

0 untuk n ≠m

∫ cos (2 π. m. f 0 .t ).cos(2 π .n .f 0 .t ). dt=→ ¿ T

0 untuk n =m

Representasi dalam bentuk complex “

− j2n πf 0 f t (t )= ∑ C

n =−k

Spektrum Harmonik C n dapat dilakukan secara langsung yaitu :

1 C − j 2.n. π f

n = ∫ f (t ) e

− j 2nπ f t

0 dt C t

∫ f ( x) e

=cos θ+ jsinθ dan e −jθ e =cos θ− jsin θ

e −θ +e e −e

cos θ=

dan sin θ=