MATEMATIKA TEKNIK I Belajar Matematika T

Kata Pengantar

Bismillahirrahmanirrahim.

Segala puji Bagi Allah, Tuhan seru sekalian alam yang telah membimbing penulis untuk memperbaiki buku pegangan Matematika Teknik bagi mahasiswa Teknik Jurusan Teknik Elektro. Buku ini disusun selain sebagai bekal untuk mempelajari mata kuliah tingkat lanjut juga untuk memberikan gambaran bagi mahasiswa Teknik Elektro tentang permasalahan dibidang Teknik Elektro. Agar tujuan dari buku ini dapat tercapai maka disarankan bagi pengguna untuk menggunakan Scilab, yang dapat didownload di “www.scilab.org”.

Pilihan penulis untuk menggunakan Scilab karena aplikasi ini dapat didownload secara gratis serta memiliki banyak fungsi untuk bidang Engineering. Selain itu, Scilab memiliki beberapa toolbox, didalam Scial disebut ATOM, dapat kita pilih sesuai dengan kebutuhan kita. Toolbox di Scilab sangat lengkap dan Powerfull untuk bidang Teknik Elektro. Penulis menyarankan agar para pembaca tidak hanya menginstall Scilab saja tetapi juga harus melengkapi dengan ATOM (toolbox).

Penulis menyadari banyak dari pembaca belum mengetahui tentang Scilab maka penulis melampirkan tentang Scilab diakhir buku ini sebagai lampiran. Pada lampiran pertama sangat berguna bagi pembaca yang sama sekali tidak mengetahui tentang Scila. Lampiran pertama tersebut karangan Mirza Nur Hidayat. Agar pembaca memiliki pengetahuan yang lebih tentang grafik, maka penulis pada lampiran kedua menulis khusus tentang Grafik yang berjudul “Grafik Dua Dimensi”. Karena buku ini ditujukan bagi mahasiswa Elektro maka pada lampiran akhir, penulis melampirkan bagaimana menghubungkan Scilab dengan Arduino. Lampiran tersebut berjudul “SCILAB untuk Elektronika dan Instrumentasi Dasar” yang ditulis oleh Mirza Nur Hidayat.

Walaupun buku ini telah diterapkan semenjak tahun 2002 tetapi masih banyak kekurangan ataupun kesalahan karena rendahnya ilmu yang penulis miliki. Menyadari semua kekurangan dan kelemahan pada diri penulis maka sangat diharapkan kritik dan saran serta masukan dari semua pihak untuk perbaikan buku ini. Disisi lain buku ini boleh dicopy, diperbanyak, didistribusikan kepada orang lain dan mengambil keuntungan dari buku ini tampa ada pelanggaran hak cipta karena buku ini bersifat Open Content atau lebih dikenal dengan nama Copy Left. Aturan mainnya hanyalah anda tetap wajib mencantumkan nama penulis.

Kiranya buku ini dapat menjadi salah satu bagian dari untaian mutiara ilmu yang sedang dirajut dan menjadi amalan Zariah bagi Penulis. Amin Ya Rabbalalamin. Mataram, September 2017 Supriono

suprionomuda@yahoo.com

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

1. Pendahuluan

Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran besaran yang berubah, dan karena itu persamaan persamaan diferensial sering muncul dalam persoalan

persoalan teknik .

Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial tersebut. Contoh.

Orde satu : 3t dy −4y 2 dt =0

Orde dua dy :

Orde tiga :

Setelah mempelajari persamaan diferensial orde satu maka diharapkan dapat :

1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan bermacam macam metode.

2. Dapat menyelesaikan keadaan transien rangkaian RL atau rangkaian RC.

2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu

2.1 Metode Integrasi Langsung.

Jika persamaan differensial dapat disusun dalam bentuk : dy =f

 t  , maka persamaan dapat diselesaikan dengan metode integrasi sederhana.

dt

Contoh 1.

2 2t −2t −8=0

2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .(2) Persamaan (2) disebut penyeselaian umum bagi persamaan diferensial (1). Jika harga y

⇒ y= 1 t 2 4 ln t C

diketahui pada harga t tertentu maka harga C dapat ditentukan dan penyeselaiannya disebut penyelesaian khusus.

Contoh 2.

e t dy 4 e 2t −5=0 dt pada t = 0 , y = 0 … … … … … … … … … … … … … ... ...(3)

⇒ dy =−4 e t 5e −t dt

⇒ −t ∫ dy = ∫ ( −4 e +5 e ) dt

⇒ y=−4 e −t −5 e +C … … … … …. … … … … … … … … … … … … …(5)

dengan memasukkan harga t dan y kedalam persamaan (4) maka Harga C diperoleh

⇒ y=−4 e −t −5 e +9 … … … … … … …. … … … … … … … … … … … …(6) Persamaan (5) adalah penyelesaian khusus dari persamaan diferensial (3).

Penyelesaian mempergunakan komputer dengan program Scilab.

Penyelesaian persamaan differensial dengan scilab kita harus mengubah persamaan differensial menjadi bentuk : Penyelesaian persamaan differensial dengan scilab kita harus mengubah persamaan differensial menjadi bentuk :

=f (t , y)

y (t 0 )= y 0

dengan

dt

Sehingga persamaan (3) kita rubah menjadi bentuk persamaan (4). Program komputer dengan Scilab ditulis sebagai berikut :

function ydot = f ( t , y )

ydot = ( - 4 * exp ( t )) + ( 5 * exp ( - t )); //persamaan (4) endfunction

y0 = 0 ; t0 = 0 ;

//respons dinamis(perubahan thd waktu) diamati dari t = 0 sampai t = pi

t = 0 : 0.1 : %pi ; y = ode ( y0,t0,t,f ) ; plot2d ( t,y ) ; xgrid(5);

Gambar 1. Penyelesaian persamaan differensial pada persamaan (3) Sebagai bahan latihan selesaikanlah : Gambar 1. Penyelesaian persamaan differensial pada persamaan (3) Sebagai bahan latihan selesaikanlah :

3 1. 3t e −sin(3 t )+4t .e +5=0 dt

2. 3 cos (2 t ) +5sin (2 t )−5 t =0 dt

Supplemen Integral

2. Menghitung Integral dengan menggunakan Scilab. Ada dua fungsi dalam menghitung integral dengan menggunakan Scilab yaitu fungsi y = integ(a, b, “f”) dan fungsi y = integrate(“f(t)”, “t”, a, b). integral yang dimaksud adalah berbentuk :

y = ∫ f (t ). dt

Contoh .

3 Hitunglah integral : 2 3 ∫ t +2 t dt

a. Menggunakan fungsi y = intg(a, b, “f”)

function y = f ( t )

endfunction y = intg ( 0 , 3 ,f ) ;

disp ( y ) ;

b. Menggunakan fungsi y = integrate(“f(t)”, “t”, a, b)

y = integrate ( "(3*t^2) + (2*t)" , "t" , 0 , 3 )

disp ( y )

2.2 Metode Pemisahan Variabel.

Metode Integrasi langsung akan gagal jika diterapkan pada persamaan diferensial

yang berbentuk = f ( t , y ) , variabel y yang berada pada ruas kanan

dy

dt

mengakibatkan integrasi langsung tidak dapat diterapkan.

Penyelesaian persamaan diferensial berbentuk = f ( t , y ) adalah dengan

dy

dt

memisahkan variabel t dan variabel y sehingga persamaan dapat berbentuk

dy = f ( t). F ( y ) yaitu suatu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan dt

sebagai perkalian fungsi t dan fungsi y.

Contoh 3. dy =1+t+2 y +2 yt

.. … … … … … … … … … … … … … … … … … …. …(6) dt

⇒ = (1+t)(1+2 y ) ⇒

dy

( 1 +2 y )

dy

= (1+t )dt ⇒ ∫

( 1 +2 y )

dy = ∫ (1+t) dt

dt

1 1 ⇒ 2 ln ( 2 y +1)=t + t +C … … … … … … … … … … … … … … … … … (7)

Contoh 4. dy 2 3t

= dengan t = 0, y = 4 … … … … … … … … … … … … … … … … (8) dt 2y

2 ⇒ 2 y . dy=3 t 2 . dt ⇒ ∫ 2 y . dy = ∫ 3t dt

2 y 3 =t +C dengan memasukkan harga t dan y diperoleh harga C

2 ∴y 3 =t +16

t +16 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (9)

Untuk menguji jawaban sudah benar atau tidak maka perlu dicocokkan dengan metode komputer yaitu dengan fungsi ode pada Scilab. Script program tersebut adalah :

function ydot = f ( t , y )

ydot = ( 3 / 2 ) * (( t ^ 2 ) / y ) ;

endfunction y0 = 4 ; t0 = 0 ;

//respons dinamis(perubahan thd waktu) diamati dari t = 0 sampai t = pi t = linspace ( 0 , 3 , 500 ) ; ys = ode ( y0,t0,t,f ) ; // ys = y dengan Scilab ym = sqrt (( t .^ 3 ) + 16 ) ; //ym = y dengan Matematis atau persamaan (9) subplot ( 2 , 1 , 1 ) , plot2d ( t, ys ) ; xgrid () ; xtitle ( "Hasil dengan menggunakan fungsi ODE" ) ;

subplot ( 2 , 1 , 2 ) , plot2d ( t, ym ) ; xgrid () ; xtitle ( "Hasil dengan menggunakan Matematika" ) ;

Gambar 2. Penyelesaian persamaan (8) secara Matematis dan secara Komputer

Contoh 5. dy 1 +y

= … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(10) dt 2 +t

1 ⇒ 1 ∫ dy = ∫

( 1 +y ) ( 2 +t )

dt

⇒ln (1+ y )=ln ( 2+t )+ln C

∴ y=C (2+t)−1 … .. … … … … … … … … … … … … … … … … … … (11) Sebagai bahan latihan selesaikanlah persamaan diferensial dibawah ini, kemudian

verifikasilah jawaban dengan menggunakan Komputer

1. 2y +t = (4+2 y ) .cos (2 t ) y(0) = 2; dt

2 dy

dy 1

2. = +sin(5 t ) y(0) = 7. dt t

1 1 Tips. Untuk menghindari tak terhingga maka

diubah menjadi

4. dt = 2 y(0) = 3;

t y −y sin (t ) dy

5. =2 cos (t ) y(0) = 0; Tips sin(t) diubah menjadi sin(t)+1.d-7

1 +y dt

2 dy

2 6. 2 2y tan (t ) = ( 4 +2 y ) sec (t )

dt Pengerjaan untuk no.6.

dy 2 (4+2 y ). sec(t+1. d−7)

Rubahlah bentuknya menjadi :

dt 2 2 y . (tan(t)+1. d−7)

2.3 Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vt

Jika suatu persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan antara faktor y disebelah kiri dan faktor t disebelah kanan maka dapat dilakukan dengan cara substitusi (y = vt). Kunci utama untuk menggunakan metode substitusi y = vt adalah persamaan diferensial tersebut haruslah homogen. Persamaan diferensial dikatakan homogen jika pangkat t dan pangkat y yang terlibat dalam masing masing suku sama derajatnya. Contoh 6.

dy 3t +y =

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (12) dt

t dengan menggunakan substitusi y = vt kedalam persamaan (12)

dy dv ∴ =t +v … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (13) dt

dt persamaan (12) dapat ditulis menjadi dv

3t +vt

⇒t =3+v−v ⇒ =

v =3C ln(t )

v 3 =C ln (t ) … … … … … … … …. …. … …. … … …. … … … … … …(14)

y karena v = maka persamaan (14) menjadi t

y 3 =C .t ln (t ) … … … … … … … … … … …. … … … … … … … … (15) Contoh 7.

Selesaikanlah persamaan diferensial derajat dua dibawah ini dy 2 yt +y

=− dt

2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. (16) t + yt

dv 2 (v . t) t+(v .t )

⇒ v+t =−

dv

v (1+v )

dt

2 ⇒ v+ t

t +(v .t )t

dt

1 +v

⇒t =−2 v ⇒ln (v)=C ln 2 dt

dv

C ∴ v= 2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … (17)

dengan memasukkan harga v = kepersamaan (17) maka penyelesaian pers. (16)

y = C/t … … … … … … … … … … … …. …. …. … … …. …. … …. … … …. (18)

Sebagai bahan latihan selesaikanlah persamaan diferensial berikut : dy

1. ( y−t) =t+2 y dt

2. 3t =t +3 y dt

2 dy 2 2

3. 2 ( 2t + yt ) = yt− y

2 dy

dt

4. 2 ( 4t +y ) =ty

3 3 dy

dt

2.4 Persamaan Diferensial Exact.

Suatu persamaan diferensial berbentuk : M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

∂M ∂N

Exact jika memenuhi persyaratan :

= ∂y ∂x

Dikatakan Exact karena ruas kiri merupakan total atau dierensial Exact : ∂u

∂u

du = . dx + . dy ∂x

∂y

Jika persamaan persamaan Exact, maka penyelesaiannya : u = ∫ M . dx +k(y).

∂u

dk

Harga k(y) diperoleh dari ∂y untuk memperoleh dy , kemudian mengintegralkan.

Atau : u = ∫ N . dy + l( x ) .

∂u

dl

Harga l(x) diperoleh dari ∂x untuk memperoleh dx , kemudian mengintegralkan.

Contoh. selesaikanlah :

2x.Sin(3y).dx + (3x 2 .Cos(3y) + 2y).dy = 0 Jawab.

M = 2x.Sin(3y) N = (3x 2 .Cos(3y) + 2y) ∂M

∂N

=6 x . Cos(3 y ) =6 x .Cos(3 y ) ∂y

u = ∫ M . dx +k(y) u = ∫ 2 x . Sin (3 y ). dx +k ( y )

⇒x 2 . Sin (3 y ) + k ( y ) ∂u

2 d =3 x 2 .Cos (3 y ) + .k ( y )=3 x . Cos (3 y )+2 y ∂y

dy

.k ( y )=2 y ⇒ k ( y)= y +C dy

maka penyelesaiaannya :

2 u=x 2 .Sin(3y) + y +C

Sebagai bahan latihan dirumah, jika persamaan diferensial berikut Exact, selesaikanlah :

1. 2.Sin(2x).Sinh(y).dx = Cos(2x).Cosh(y).dy.

2. 4x.dx + 9y.dy = 0 y(3) = 0.

3. (y + 3)dx + (x-2)dy = 0 y(1) = -7

2.5 Metode Faktor Integral – Persamaan diferensial linear.

Persamaan diferensial yang berbentuk : dy

+Py=Q … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... (19) dt

dengan P dan Q adalah fungsi dari t atau merupakan suatu konstanta. Persamaan (19) disebut persamaan diferensial linear orde satu. Penyelesaian persamaan (19) adalah dengan menggunakan faktor integral yaitu mengalikan kedua ruas persamaan

(19) dengan faktor integral. Faktor Integral persamaan (19) adalah berbentuk P . dx ∫

e Contoh 8. dy −2 y=t … … … … … … …. …. … … …. … … … … … … … … … .. .. (20)

dt dengan membandingkan persamaan (19) dan persamaan (20) maka didapat :

P = -2 dan Q = t Faktor integral :

Kedua ruas persamaan (20) dikalikan dengan faktor integral −2 t =e −2t dy

⇒ ( y.e ) =t . e

d −2 t

dt

dt dt

−2 t

ruas kanan persamaan (21) dihitung dengan menggunakan integral perbagian.

−e ⇒y.e 1 =

−2 t −2t

t + +C

∴ y= t + +C . e … … … … … … … … … … … … … … … … …. … (22)

1 1 2t

Penyederhanaan berikut akan sangat menolong dalam menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode faktor integral

Misal ln T y =e

ln y =ln T

∴ y=T

ini menunjukkan bahwa e ln(fungsi) = fungsi

maka : e ln(x) =x ln(sin(x)) e = sin(x)

ln ( x 2 )

e 2 =x

e 2 =e =sin (x) Contoh 9.

2 ln

( 2 sin (x) ) ln ( sin (x) )

2 dy 2t 3 +2 yt=t dt

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (23) dy y ⇒ t + =

dt t 2 … … … … … … … … … …. … … …. … … … … … … … (24)

Faktor integral ∫ t dt

Kedua ruas persamaan (24) dikalikan dengan faktor integral t

⇒ yt = ∫ dt

dt

2 dt

1 2 C ∴ y= t + … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … … … (25)

sebagai bahan latihan kerjakanlah persamaan diferensial berikut dy

1. 5t +3 t y=3e dt

2. 2 5t +5 y=t sin (5 t ) dt

dy

3. cos (2 t ) +sin(2 t ) y=5 cos( 2 t ) dt

dy

4. 3 (2 t−3) − y= (2 t−3) dt

dy

2.6 Metode Persamaan Bernoulli.

Ide dasar metode persamaan Bernoulli diambil dari metode Faktor Integrasi. Bentuk

umum persamaan Bernoulli : n +Py=Qy dengan P dan Q sama seperti pada

dy

dt

metode Faktor Integrasi yaitu dapat berupa konstanta atau fungsi t. Penyelesaian persamaan Bernoulli adalah dengan mengubahnya menjadi bentuk

metode Faktor Integrasi yaitu +Py=Q . Langkah langkah yang diambil untuk

dy

dt

untuk mengubah Persamaan Bernoulli menjadi bentuk Faktor Integrasi adalah :

1. Membagi kedua ruas persamaan Bernoulli dengan y n , sehingga menghasilkan : −n dy

1 y −n + Py =Q … … … … … … … … … … … … … … … .. (26) dt

2. Substitusi persamaan (26) dengan z = y sehingga = (1−n) y −n

3. Persamaan (26) dikalikan dengan (1 – n) sehingga persamaan (26) menjadi :

−n dy (1−n) y 1 + (1−n) Py −n = (1−n)Q … … … … … … … … (27) dt

Membagi kedua ruas dengan y 2 dalam hal ini n = 2 ⇒y −2 dy 3 −1

y + y =2 t … … … … … … … … … … … … … … … … … . (28) dt t

dz

−2 dy

Substitusi z = y dan

Persamaan (28) dikalikan dengan (1 – n) = –1 −2 dy 3 −y −1 −

y =−2 t

dt t dz ⇒ 3 −

z =2 t … … … … … … … … … … … … … … … … (29) dt t

Faktor integral dari persamaan (29) ∫ 3 −

t dt −3ln (t )

⇒ ( z.t ) =2 t. dt

⇒z.t −3 −2 = +C t

2 z 3 =−2 t +Ct … … … … … … … … … … … … … … …. … … … … (30)

1 karena

1 ∴ y=

2 −2 t 3 +Ct

Kerjakanlah persamaan diferensial berikut sebagai bahan latihan.

1. 3 2t y −t =4 y sin (2t) dt

3 4. 2 −2 y sin (t)=2 y sin (t) dt

dy

5. 3 + y= y dt

3. Orthogonal Trayektori

Jika suatu kurva (f) telah diketahui, maka terkadang diperlukan untuk mengetahui lintasan kurva lain (y) yang memotong kurva f secara tegak lurus. Kurva f(x, y, c) = 0 disajikan dalam bentuk persamaan diferensial y' = f(x, y).

Lintasan orthogonal kurva y pada kurva f :

1 y =−

f (x,y) Contoh 11.

Tentukanlah trayektori orthogonal dari kurva y = cx 2 . Jawab.

orthogonal trayektori :

1 x y =− =− 2y

2y x 2y x

⇒ 2 y . dy=−x . dx

dx 2y

y = x +c

2 1 2 y + x +c=0 ⇒ ellipse

Skript program dengan scilab :

t = linspace (-6, 6, 500); // memplot

y 2 =  0.5 x C dengan c = 4 dan c = 0

y1 = sqrt(0.5*(t.^2) + 4); y2 =sqrt(0.5*(t.^2));

// memplot x 2 +y 2 = 36; y3 = sqrt(36 -(t.^2)); plot(t, y1, t, -y1, t, y2, t, -y2, t, y3, t, -y3); xgrid();

Contoh 12.

2 Sebuah konduktor sepanjang sumbu-y menghasilkan medan magnet x 2 +y = c. Silinder concentris yang terbentuk menunjukkan medan magnet dengan permukaan eqipotensial

yang sama. Tentukanlah gaya pada medan magnet (Gaya listrik merupakan trayektori orthogonal). Jawab.

2 Medan magnet x 2 +y = c. ( merupakan linkaran concentris atau eqipotensial)

2x + 2yy' = 0 y' = - x/y

orthogal trayektori atau gaya listrik pada medan magnet y' = y/x.

y = kx

konduktor gaya listrik

medan magnet

sumbu y

sumbu x

Latihan

Tentukanlah orthigonal trayektori dari kurva berikut.

2 1. 2 x +2 y =c

2. y = ce x

4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu

Rangkaian RL Contoh 11.

Gambar 1. Rangkaian RL dengan sumber DC Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada

saat switch menutup adalah nol. Tentukanalah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah arus Vs waktu. Dik. E = 12 V, R = 1,2 ohm, L = 250mH.

Penyelesaian Persamaan tegangan pada rangkaian gambar 1.

E =Ri + L … … … … … … … … …. … … … … … … …. …. …. … … (31) dt

di

di R ⇒ E +

i = … … … … … … …. …. … … … … … … … … … … … … (32) dt L L

Faktor Integral persamaan (32)

L dt

L e t ⇒e … …. … … … … … … … … …. …. … … … … … (33)

L ∫ e dt dt L L

⇒i= ( 1 +Ce ) … … … …. … … … … …. …. … … … … … … … … ... .(34)

R pada saat t = 0 (switch terbuka) arus sama dengan nol, maka persamaan (34) menjadi

∴i= ( 1 −e ) … … … … … … … … … … … … … … …. …. … .. … ... .(35)

R dengan memasukkan harga untuk E, R dan L maka persamaan (35) menjadi

i −4,8t =10 ( 1 −e ) Skript program dengan Scilab.

t = linspace(0, 1.2, 400); i = 10*(1 - exp(-4.8*t)); plot2d(t, i); xgrid();

Penyelesaian dengan menggunakan fungsi ode, dari persamaan (32) dirubah menjadi di E = R −

.i dt L L

function idot = f ( t , i )

R = 1.2 ;L = 250.d-3 ;E = 12 ; idot = ( E / L ) - (( R / L ) * i ) ;

endfunction y0 = 0 ; t0 = 0 ;

t = linspace ( 0 , 1.2 , 500 ) ;

is = ode ( y0,t0,t,f ) ; plot2d ( t, is ) ; xgrid () ;

Gambar 2. Grafik Arus Vs Waktu dari rangkaian RL pada gambar 1

Contoh 12. Gambar 3 memperlihatkan rangkaian RL, pada saat t = 0 switch pada posisi 1 dengan arus yang mengalir pada t = 0 adalah nol. Pada saat t = 0,25 detik switch dipindahkan ke posisi 2. tentukanlah arus yang mengalir melalui induktor dan plotlah arus Vs Waktu dari t = 0 detik sampai t = 1,2 detik. Dik. E = 12 V, R1 = 1,2 ohm, R2 = 1,0 ohm, L = 250 mH.

1 R1 S

R2

Gambar 3. Rangkaian contoh 12.

Penyelesaian

a. Pada saat t = 0 detik sampai t = 0,25 detik (switch pada posisi 1) Arus yang mengalir :

i L ( t ) = ( 1 −e ) … … … … … …. … … … … … … … … … … (36)

E − R1 t

R1 dengan memasukkan harga E, R1 dan L kedalam persamaan (36)

i (t ) =10 ( 1 −e −4,8 t )

b. Pada saat t = 0,25 detik sampai t = 1,2 detik. di

0=L +Ri dengan R = R1 + R2 ⇒ =− i dt

i (t )=Ce … … … … … … … … … … …. … …. … … … … …. … … (37) Pada saat switch dipindahkan keposisi 2 arus yang mengalir pada induktor sebesar :

i (t ) −4,8 .( 0 , 25) =10 ( 1 −e ) =6 , 99 A

6 ,99 −8,8 . (0 , 25 ) =Ce

⇒C =63 , 0848

dengan memasukkan R = R1 + R2 = 2,2 ohm, L = 250 mH dan konstanta C = 63,0848

i (t ) −8,8t =63 , 0848 e … … … … … …. … … … … … … … … …. … .. … (38) Grafik arus Vs waktu mulai t = 0 detik sampai t = 1, 2 detik diperlihatkan gambar 4.

Skript program dengan Scilab t1 = linspace(0, 0.25, 500); t2 = linspace(0.25, 1, 500);

i1 = 10*(1 - exp(-4.8*t1)); i2 = 63.0848*exp(-8.8*t2); subplot(1,2,1), plot(t1,i1); title("Saat switch Menutup"); xlabel("detik"); ylabel("A") xgrid(); subplot(1,2,2), plot(t2,i2); title("Saat switch Membuka"); xlabel("detik"); ylabel("A") i1 = 10*(1 - exp(-4.8*t1)); i2 = 63.0848*exp(-8.8*t2); subplot(1,2,1), plot(t1,i1); title("Saat switch Menutup"); xlabel("detik"); ylabel("A") xgrid(); subplot(1,2,2), plot(t2,i2); title("Saat switch Membuka"); xlabel("detik"); ylabel("A")

Gambar 4. Grafik arus Vs waktu dari contoh soal 12 Penyelesaian contoh 12 dengan menggunakan fungsi ode

1. pada saat switch berada pada posisi 1, persamaan differensial adalah : di E R 1

= − .i dengan i(0) = 0 dt L L

2. pada saat switch berada pada posisi 2, persamaan diferensial menjadi : di

⇒ =− i dt L dengan R = R 1 +R 2 dan i(0) = 6,99A

Script program //Persamaan Differensial pada saat switch pada posisi 1

function idot1 = f1 ( t , i ) R = 1.2 ;L = 250.d-3 ;E = 12 ; idot1 = ( E / L ) - (( R / L ) * i ) ;

endfunction

//Persamaan Differensial pada saat switch pada posisi 2

function idot2 = f2 ( t , i ) R = 1.2 + 1 ;L = 250.d-3 ;

idot2 = - ( R / L ) * i

endfunction

y0 = 0 ; t0 = 0 ;

t1 = linspace ( 0 , 0.25 , 500 ) ; t1 = linspace ( 0 , 0.25 , 500 ) ;

i1 = ode ( y0, t0, t1, f1 ) ; subplot ( 1 , 2 , 1 ) ; plot2d ( t1, i1 ) ; xtitle ( "Ketika Switch pada posisi 1" ) xgrid ( 5 ) ;

t2 = linspace ( 0 , 0.8 , 500 ) ;

i2 = ode ( i1a, 0 , t2, f2 ) ;

subplot ( 1 , 2 , 2 ) , plot2d ( t2 + 0.25 , i2 ) ;

xtitle ( "Ketika Switch berada pada posisi 2" ) ; xgrid ( 5 ) ;

Contoh 13. Pada rangkaian Gambar 5 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat switch menutup adalah nol. Tentukanlah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah arus Vs waktu. Dik. E(t) = 12 Sin(2..50.t), R = 1,2 ohm, L = 250mH.

Penyelesaian di

E =Ri + L dt

di R ⇒ A + = Sin (2 π ft ) … … … … … … … … … … … … … … … … … .(39) dt L L

d ( i.e ) = .e . Sin (2 π ft )

2 2 ( RSin (2 π ft )−2 π fLCos (2 π ft ) ) +C

i. (t)=

… … … … … (40) (2 π fL) +R

2 2 ( RSin (2 π ft )−2 π fLCos( 2 π ft ) ) +C . e

dengan memasukkan harga harga pada persamaan 40.

i −4,8 t (t )=0 , 0023 . Sin(2 π 50 t )−0 , 1528. Cos(2 π50 t )+Ce … … … … … … (41) Pada saat t = 0, arus yang mengalir nol ( I = 0).

i −4,8t (t )=0 , 0023 . Sin(2 π 50 t )−0 , 1528. Cos(2 π50 t )+0 , 1528 e … … … … (42)

RS

E(t)

Gambar 5. Rangkaian RL dengan sumber AC

Skript program dengan Scilab t = linspace(0, 0.3, 500);

i = (0.0023*sin(2*%pi*50*t)) - (0.1528*cos(2*%pi*50*t)) + (0.1528*exp(- 4.88*t)); plot(t,i); xgrid(); xlabel("detik"); ylabel("A")

Skript program dengan fungsi ode

function idot = f ( t , i )

R = 1.2 ;L = 250.d-3 ;A = 12 ; idot = ( A / L ) * sin ( 2 * %pi * 50 * t ) - ( R / L ) ;

endfunction y0 = 0 ; t0 = 0 ;

t = linspace ( 0 , 0.3 , 500 ) ;

i = ode ( y0, t0, t, f ) ;

plot2d ( t, i ) ; xgrid ( 5 ) ;

Gambar 6. Grafik arus Vs Waktu dari rangkaian gambar 5

Rangkaian RC. Contoh 14. Switch S pada gambar 7 menutup pada t = 0, keadaan awal kapasitor Vc = 0, tentukanlah tegangan pada kapasitor dan plotlah tegangan terhadap waktu.

E = 12 volt, R = 22 ohm, C = 220F .

Gambar 7. Rangkaian RC dengan sumber DC

Penyelesaian. Pada saat switch S menutup persamaan tegangan :

E =Ri + ∫ i . dt … … … … … … … … … … … … …. … … … … …. … (43)

C dq

karena i = maka persamaan (43) menjadi dt

E =R + … … … … … … … … … … … … … …. … … … … … … …(44) dt C

⇒q.e = ∫ e dt

R dt R .C

⇒ q=CE +ke RC

dengan k = konstanta

Karena pada keadaan awal muatan kapasitor adalah nol

( 1 −e ) ∴ q=CE … … … … … … … … … … … … … … … .. … … .(45)

− t RC

arus yang mangalir pada kapasitor

t dq E − RC

i = = e … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... ...(46) dt R

tegangan pada kapasitor

1 − RC

v c = ∫ i . dt =−E . e +k dengan k = konstanta, karena keadaan awal V c =0

c =E ( 1 −e )

v RC

Gambar 8. Grafik tegangan di kapasitor pada gambar 7

Skript program Scilab

E = 12; R = 22; C = 220e-6; t = linspace(0, 0.025, 500); v = E*(1 - exp(-t/(R*C))); plot(t,v); xgrid(); xlabel("detik"); ylabel("volt"); title("Kenaikan Tegangan capacitor pada rangkaian RC");

Contoh 15. Switch S berada posisi 1 ketika t = 0 dan dipindahkan keposisi 2 pada t = 0,1 detik. Jika muatan awal pada kapasitor nol dan R1 = 100 ohm, R2 = 20 ohm, C = 470 F dan catu daya DC sebesar 15 volt, tentukanlah tegangan pada kapasitor dan plotlah tegangan terhadap waktu

R1

R2

Gambar 9. S pada 1 saat t = 0 dan S pada 2 pada t = 0,2 detik

Penyelesaian. Pada t = 0 sampai t = 0,1 detik

dq q

E =R 1 + … … … …. … … … … … … … …. … … … … … … ... ... ... (48) dt C

Persamaan (48) memberikan

∴ q=CE ( 1 −e )

R 1 C … … … …. … … .. .. … …. … ….. …. … … .. … … ...(49)

c =E ( 1 −e )

… … … … … … … … .. … … … … …. …. … … ... ... ... ...(50) Pada t = 0,1 detik Switch pada posisi 2, persamaan tegangan diperlihatkan pada (50).

dq q

0 =R 2 + … … … … .. … …. …. … …. …. … …. … …. … …. ... ... ... ..(50) dt C

persamaan (50) memberikan

R 2 C … … … … … … … … … … … … … …. … … …. …. … ... ... ..(51) q =−ke

Pada saat S pada posisi 2 kapasitor telah terisi muatan yang diberikan oleh persamaan (49) yang merupakan keadaan awal pada posisi 2

v c = ∫ i . dt =− 1 ,77 . 10 .e

1 1 13 R 2 C

Gambar 10. Tegangan pada kapasitor dari rangkaian gambar 9

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE DUA

1. Pendahuluan

Setelah mempelajari persamaan diferensial orde dua maka diharapkan :

1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde dua.

2. Dapat menyelesaikan suatu Sistem Linier dengan menggunakan metode Eliminasi atau dengan menggunakan metode Matrik.

3. Dapat menyelesaikan suatu rangkaian yang mengandung R, L dan C.

4. Dapat membuat model matematis suatu rangkaian Listrik yang mengandung multiple loop.

1. Persamaan diferensial linier adalah tiap suku dalam persamaan diferensial, variable- variable y, y’, y’’, …, y (n) berderajat satu atau nol.

Contoh 1. dy

1. t 3 −2 y=t

linier tak homogen orde satu

dt

d 2 y dy

2. 2 +2 +3 y=cos (t ) linier tak homogen orde dua dt

dt

3. y (4) − y =0 linier tak homogen orde empat.

2. Suatu kumpulan n fungsi f 1 , f 2 , f 3 , …, f n , masing masing terdefinisi dan kontinu, dikatakan linier dependent jika kontanta konstanta a1, a2, a3, …, an, tidak semuanya secara bersama-sama sama dengan nol, sehingga :

a 1 f 1 +a 2 f 2 +a 3 f 3 +. . .+ a n f n =0

Contoh 2.

f 1 (t )=3 t+

f 2 (t)=5 t+4

5 ⇒a 12

1 3t + +a 2 (5 t+4)=0 … … … … … …. … … … …. … … … … …. ... .(1)

persamaan (1) menghasilkan a 1 = 5, a 2 = -3.

3. Suatu kumpulan n fungsi f 1 , f 2 , f 3 , …, f n , masing masing terdefinisi dan kontinu, dikatakan linier independent jika kontanta konstanta a1, a2, a3, …, an, semuanya secara bersama-sama sama dengan nol, sehingga :

a 1 f 1 +a 2 f 2 +a 3 f 3 +. . .+a n f n =0 menghasilkan a1 = a2 = a3 = … = an = 0

∴ y=C ln(t )

1 (t)+a 2 ( t ) =0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... ... (2)

persamaan (2) menghasilkan a1 = a2 = 0 Teorema :

Jika y 1 ,y 2 .y 3 ,…,y n merupakan n buah persamaan diferensial, misalkan bahwa fungsi fungsi tersebut linier independent dikatakan bahwa fungsi fungsi tersebut membentuk himpunan fundamental (sistem fundamental) penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Akibat.

Jika y 1 ,y 2 .y 3 ,…,y n membentuk himpunan fundamental penyelesaian persamaan diferensial. Maka pernyataan :

y =c 1 y 1 +c 2 y 2 +c 3 y 3 +. . .+c n y n

dengan c i adalah konstanta konstanta sembarang, merupakan penyelesaian umum persamaan diferensial.

Contoh 4.

y ' −6 y +11 y −6 y=0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... (3) Jawab.

''' ''

Persamaan diferensial pada persamaan (3) memiliki persamaan karakteristik :

3 m 2 −6 m +11m−6=0 (m−1)(m−2)(m−3) himpunan fundamental persamaan (3) adalah :

Penyelesaian umum persamaan (3) adalah :

y 3t =C

t 2t

1 e +C 2 e +C 3 e … … … … … … … … … … … .. … … … … … … … …(4)

1. Persamaan Diferensial Orde Dua dengan Koefisien konstant – Penyelesaiaan Umum

Bentuk umum persamaan diferensial orde dua :

d 2 y dy

a 2 +b +cy= f (t) … … … … … … … … … … … … … … … … … …. (5) dt

dt Untuk memudahkan pemahaman maka kita tinjau dahulu persamaan diferensial (5) dengan

f(t) = 0. Bentuk persamaan (5) menjadi persamaan (6)

d 2 y dy

a 2 +b +cy=0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (6) dt

dt Penyelesaian persamaan (6) adalah :

m 2 y t = Ae +Be … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...(7) Dengan A dan B adalah konstanta sembarang, m 1 , m 2 adalah akar akar persamaan

karakteristik : am 2 +bm+c=0

Contoh 5. Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan diferensial (8) Contoh 5. Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan diferensial (8)

2 +3 +2 y=0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..(8) dt

dt dengan y(0) = 4 dan y’(0) = 0

Jawab. m 2 +3 m+2=0 ⇒(m+1)(m+2)=0

m = -1, dan m = -2

y −2 t = Ae +Be … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(9a)

−t

y −2 t =−Ae −2 Be … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(9b) dengan memasukkan harga awal kedalam persamaan (9a) dan (9b) maka didapat :

−t

y −2t =8 e −4 e

−t

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(9c)

Menyelesaikan dengan Scilab

Menyelesaikan persamaan differensial orde dua dengan menggunakan komputer mempergunakan metode reduksi order. Persamaan differensial order dua kita ubah menjadi order pertama. Kita tulis kembali persamaan (8)

d 2 y dy

2 +3 +2 y=0

dengan y(0) = 4 dan y’(0) = 0

dt dt misalkan :

x 1 (t) = y(t) x 2 (t) = y’(t)

masing masing diturunkan terhadap t

1 (t)= y (t) ⇒ x 1 =x 2 (t) … … … … … … … … … … … … … … …(9d)

2 (t)= y (t) x 2 (t)=−3 y −2 y

2 (t)=−3 x 2 (t)−2 x 1 (t) … … … … … … … … … … … … … … … … …(9e) sehingga persamaan (8) dapat ditulis menjadi :

⇒x .

1 =x 2 (t)

2 (t)=−3 x 2 (t)−2 x 1 (t) 2 (t)=−3 x 2 (t)−2 x 1 (t)

x 1 (0) = 4 dan x 2 (0) = 0

Penulisan persamaan (8) dengan memasukkan keadaan awal menjadi :

⇒x . =x (t) dengan x 1

1 2 (0) = 4 … … … … … … … … … … … … … … … … (9f)

2 (t)=−3 x 2 (t)−2 x 1 (t) dengan x 2 (0) = 0… … … … … … … … … … … … … (9g) Script program dalam Scilab.

function dx = f ( t , x ) dx ( 1 ) = x ( 2 ) ; //persamaan (9f)

dx ( 2 ) = - 3 * x ( 2 ) - 2 * x ( 1 ) ; //persamaan (9g)

endfunction

y = ode ([ 4 , 0 ] , 0 , 1 ,f ) ;

disp ( "solusinya : " ,y )

Solusinya : 2.4016944

dt ⇒m 2 +m−12=0 ⇒(m−3)( m+4)=0

y 3t = Ae +Be

−4 t

Macam macam akar karakteristik persamaan diferensial orde dua Persamaan diferensial orde dua dalam bentuk :

d 2 y dy

a 2 +b +cy=0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...(10) dt

dt dengan persamaan karakteristik : am 2 +bm+c=0

Memiliki kemungkinan akar karakteristik sebagai berikut :

a) Kedua akar riil dan berbeda m = m 1 dan m = m 2

m 2 y t = Ae +Be

b) Kedua akar riil dan sama m 1 =m 2 =  b) Kedua akar riil dan sama m 1 =m 2 = 

c) Kedua akar kompleks m 1 =  + j dan m 2 =  - j

y αt =e ( A.Cos ( βt ) +B . Sin( βt) )

Contoh 7. Tentukanlah penyelesaian umum persamaan diferensial (11)

d 2 y dy

2 +4 +4 y=0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... ...(11) dt

dt ⇒m 2 +4 m+4=0 m

1 =m 2 = -2

y −2 t =e ( A+Bt ) Contoh 8.

d 2 y dy

2 −2 +10 y =0 dt

dt ⇒m 2 −2 m+10=0

m 1 = 1 + j3, m 2 = 1 – j3 y t =e (

A. Cos(3 t ) +B . Sin (3 t ) ) Contoh 9.

2 +16 y =0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(12) dt

⇒m 2 +16=0 m

1 = j4, m 2 = -j4

y = A. Cos (4 t )+ B . Sin(4 t ) Contoh 10.

2 −25 y=0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (13) dt

⇒m 2 −25=0 m

1 = 5, m 2 = -5 1 = 5, m 2 = -5

5t

d 2 y dy

a 2 +b +cy= f (t) … … … … … … … … … … … … … … … … … …(14) dt

dt dengan f(t) = 0.

Penyelesaian persamaan (14) terdiri dari :

m 2 y t = Ae +Be

disebut juga fungsi komplementer dan

y = f(t) fungsi t disebut juga integral khusus. Penyelesaian persamaan (14) berbentuk :

Jawab lengkap = fungsi komplementer + integral khusus

Integral khusus diperoleh dengan menggunakan bentuk umum dari fungsi diruas kanan persamaan yang diberikan, yaitu dengan mensubstitusikan bentuk umum tersebut kedalam persamaanya dan kemudian menyamakan koefisien koefisiennya. Contoh 11.

d 2 y dy

2 −5 +6 y=t … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..(15) dt

dt fungsi komplementer :

⇒m 2 −5 m+6=0 m

1 = 2, m 2 =3

⇒ y= Ae 3t +Be … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ….. .. (16) Integral Khusus

2t

y 2 =Ct +Dt + E … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .(17)

dy =2 Ct +D … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(18) dt

2 =2 C … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ….. (19) dt

Subtitusikan persamaan (17), (18), (19) kedalam persamaan (15)

2 6 Ct 2 +(6 D−10 C )t +(2C −5 D+6 E )=t … … … … … … … … … … … … … ..(20) 2 6 Ct 2 +(6 D−10 C )t +(2C −5 D+6 E )=t … … … … … … … … … … … … … ..(20)

Persamaan (17) integral khusus

1 2 5 19 y = t + t + … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (21)

6 18 108 Jawab lengkap persamaan (15)

Bentuk berikut akan sangat berguna dalam mencari integral khusus

1. f(t) = k

y=C

2. f(t) = kt

y = Ct + D

2 3. f(t) = kt 2 y = Ct + Dt + E

4. f(t) = k.Sin(t) atau k.Cos(t)

y = C.Cos(t) + D.sin(t)

5. f(t) = k.Sinh(t) atau k.Cosh(t)

y = C.Cosh(t) + D.sinh(t)

kt

6. f(t) = e kt y = C.e

Sebagai bahan latihan anda kerjakanlah persamaan diferensial berikut.

d 2 y dy

1. 3t

2 − −2 y=10 e dt

2 +4 −2 y=5 t +t ; y = 1 dan y’ = -2 pada t = 0 dt

dt

d 2 y dy

3. 2 2 −7 −5 y =5. Sin(2 t ) dt

dt

4. 3t

2 −2 y=e dt

5. 2 2 +12 y=Sin(3 t ) dt

d 2 y dy

6. 2 +3 +2 y=3 . Sin(t ) pada t = 0, y = 0,9 dan y’ = -0,7 dt

dt

2. Persamaan Diferensial Dalam Sistem Linier

Sampai saat ini kita hanya menyelesaikan persamaan diferensial dengan satu fungsi yang tak diketahui. Penerapan persamaan diferensial dalam Teknik, banyak mengandung n persamaan diferensial dengan n buah fungsi yang tidak diketahui. Pusat perhatian kita pada penerapan persamaan diferensial yaitu dalam sistem linier.

Untuk memudahkan penulisan kita menggantikan y dengan x, yaitu fungsi y(t) dengan x(t). x .

Setiap kombinasi linier dari penyelesaian penyelesaian (23) juga merupakan suatu penyelesaian persamaan diferensial (23)

Contoh.

x 1 =x 2

x 2 =−2 x 1 +3 x 2

Penyelesaian persamaan (24) Penyelesaian persamaan (24)

2t

2e ]

2t

Persamaan (25) dan persamaan (26) adalah penyelesaian persamaan (24), karena persamaan (25) dan (26) linier independent maka kombinasi linier dari persamaan (24) dan persamaan (25) juga merupakan penyelesaian persamaan diferensial (24)

x 2t

2e ]

Jika determinant penyelesaian-penyelesaian persamaan diferensial tidak nol, maka kombinasi linier dari penyelesaian-penyelesaian tersebut adalah linier independent Dalam contoh diatas

Dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier dengan n persamaan dan n variable kita dapat mempergunakan metode eliminasi atau metode matrik. Metode eliminasi akan sangat bermamfaat jika hanya mengandung dua persamaan diferensial. Jika sistem linier tersebut mengandung lebih dari dua persamaan diferensial maka akan sangat bermamfaat jika dipergunakan metode matrik.

2.1 Metode Eliminasi

Contoh 12.

x 1 =x 2 +t

x 1 (0)=3 . x 2 (0)=5 … …. … … …. … … … … … … … … … … (28)

x 2 =−2 x 1 +3 x 2 +1 Bagian atas persamaan (28) dideferensialkan terhadap t

x 1 =x 2 +1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...(29) Subtitusikan bagian bawah persamaan (28) kedalam persamaan (29)

x 1 =−2 x 1 +3 x 2 +2 … … .. … ….. …. ….. … … …. … … … … …. … …. …. ...(30)

dari persamaan (28) diketahui bahwa x 2 =x 1 −t , maka persamaan (30) menjadi

x 1 =−2 x 1 +3 x 1 −3 t+2 … … … .. … … … … … … …. … .. … …. … … … … ..(31)

x 1 −3 x 1 −2 x 1 =3 t−2 … … … … … … … … … … …. … ... … …. … … … … .(32) fungsi komplementer dari persamaan (32)

1 =C 1 e +C 2 e … … … … … .. … … … … … … …. … .. … …. … … … … ..(33) Integral khusus dari persamaan (32)

x 2t

=At + B , x ..

1 =A, x 2 =0

0 −3 A−2 At +2 B=3 t−2 … … … … … … … … … … … … …. … … … … ... (34) dari persamaan (34) diperoleh :

A =−

dan B =−

jadi integral khusus : x 1 =− t −

sehingga penyelesaian lengkap persamaan diferensial (32)

2 4 … … … … … … … … … … … … …. … … … … ... (35) Persamaan (35) kita substitusiakan kedalam persamaan (28) sehingga diperoleh

x 2 =C 1 e +2 C 2 e −t− … … … … … … … … … … … … …. … … … … ... .. (36)

dengan memasukkan harga awal ke pers.(35) dan pers,(36) didapat :

C 1 +C 2 = 4,25

C 1 + 2C 2 = 6,5

diperoleh harga C 1 dan C 2 , yaitu :

C 1 = 2 dan C 2 = 2,25

Sehingga persamaan (35) dan persamaan (36) ditulis menjadi :

x 1 =2 e +2,25 e − t − … … … … … … … … … … … … …. … … … … ... (35a)

t 2t

x 2 =2 e +2,25 e −t− … … … … … … … … … … … … …. … … … … ... .. (36a)

t 2t

Penyelesaian dengan mempergunakan Scilab. function dx=f(t, x)

dx(1)= x(2) + t; dx(2) = -2*x(1) + 3*x(2) + 1;

endfunction // Uji untuk t = 1 y = ode([3, 5], 0, 1, f); disp(y); 19.311947 36.18733

2.2 Metode Matrik. Contoh 13.

x 1 =2 x 1 +x 2

x 2 =−3 x 1 +6 x 2

Penyelesaian Penyelesaian persamaan (37) adalah berbentuk

x λt

λt

 adalah akar persamaan karakteristik kita bentuk determinant dengan koefisien koefisien dari persamaan (37) dengan diagonal utamanya dikurangi 

 1 = 3 dan  2 =5

Jika  =  1 = 3 maka konstanta A 1 dan A 2

2 −3 1 A . 1 =0 … … … .. … … … … … … …. … .. … …. … … … … ..(39)

[ −3 6 −3 ] [ A 2 ]

-A 1 +A 2 =0

-3A 1 + 3A 2 =0 A 1 =A 2

Dengan mengambil A 1 =A 2 = 1 kita peroleh persamaan (38) menjadi

Jika  =  2 = 5 maka konstanta A 1 dan A 2

Dengan mengambil A 1 = 1, maka A 2 = 3, kita peroleh persamaan (38) menjadi x 5t

3e ]

e 3e … … … .. … … … … … … …. … .. … …. … … … … ..(43)

Contoh 14.

x 1 =2 x 1 −x 2

x 2 =9 x 1 +2 x 2

Penyelesaian

Penyelesaian persamaan (44) adalah berbentuk x λt

λt

 adalah akar persamaan karakteristik kita bentuk determinant dengan koefisien koefisien dari persamaan (44) dengan diagonal utamanya dikurangi 

 1 = 2 + 3i dan  2 = 2 – 3i

Jika  =  1 = 2 + 3i maka konstanta A 1 dan A 2

1 A 1 [ =0 … … … .. … … … … … … …. … .. … …. … …(45)

2 −2+3i

6 −2+3 i ] [ A 2 ]

-3iA 1 -A 2 =0

9A 1 – 3iA 2 =0 A 2 = -3iA 1

Dengan mengambil A 1 = 1 maka A 2 =-3i

x ( 2+3i) t

[ x 2 ] [ −3 ie ]

( 2+3i) t

dari deret Euler e a =e ( Cos(b ) +iSin (b) ) sehingga persamaan (46) menjadi x 2

a +bi

[ x 2 ] [ −3 ie (Cos 3 t+isin 3 t ) ]

1 e = (Cos 3 t+iSin 3 t)

Jika  =  2 = 2 - 3i maka konstanta A 1 dan A 2

1 A 1 [ =0

2 −2−3 i

6 −2−3i ] [ A 2 ]

3iA 1 –A 2 =0

9A 1 +3iA 2 =0 A 2 = 3iA 1

Dengan mengambil A 1 = 1 maka A 2 = 3i Dengan mengambil A 1 = 1 maka A 2 = 3i

[ x 2 ] [ 3 ie ]

( 2−3 i)t

x 2t

[ x 2 ] [ −3 ie ( Cos 3 t −i sin 3t ) ]

1 e ( Cos 3t −iSin 3 t ) =

2t

sehingga penyelesaian persamaan (44)

[ x 2 ] [ 3C 1 ie Sin 3t −3 C 2 e Cos 3 t ]

x 2 =−x 1 +2 x 2

Penyelesaian persamaan diferensial pada persamaan (50) berbentuk : x λt

λt

persamaan akar akar karakteristik persamaan (50)

untuk  =  1 =1 −1 1 A 1

[ −1 1 ] A [ 2 ]

1 =A A 2

dengan mengambil A 1 = 1 maka A 2 =1

maka persamaan (51) menjadi : x t

e t … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... ...(52)

Untuk  =  2 =1

Karena akar karakteristik sama maka penyelesaian persamaan (50) berbentuk : x t

[ x 2 ] a t +b [ e ( 2 2 ) ]

1 ( a 1 t +b 1 ) = e

penyelesaian persamaan (50) adalah persamaan (52) dan persamaan (53) dan harus linier independent. Konstanta a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 pada persamaan (53) ditentukan dengan cara : Substitusikan persamaan (53) kedalam persamaan (50)

tt

1 e + ( a 1 t +b 1 ) e = ( a 2 t +b 2 ) e

tt

2 e + ( a 2 t +b 2 ) e =− ( a 1 t +b 1 ) e +2 ( a 2 t +b 2 ) e … … … … … … … … … … ..(54)

dengan membagi dengan e t dan menyamakan koefisien t dari persamaaan (54)

a 1 +b 1 =b 2 1 =a 2 a

a 2 +b 2 = -b 1 + 2b 2 2 = -a a 1 + 2a 2

dengan mengambil a 1 = 1 maka a 2 =1

a 1 +b 1 =b 2 ; jika b 1 = 0 maka b 2 =1

maka persamaan (53) menjadi : x t

(t+1) e ]

1 te =

Jika persamaan (52) dan persamaan (55) adalah penyelesaian persamaan (50), maka haruslah linier independent. Untuk itu kita uji persamaan (52) dan persamaan (55) apakah linier indpendent atau tidak.

e t te 2t

[ e (t +1)e ]

t =e

linier independent

maka penyelesaian persamaan (50) :

(t+1) e ]

1 e =C te

1 t +C 2 t

Contoh 16.

x 1 =x 2 −x 3 +x 4 ¿ x 1 (0)=2

x 2 =−x 2 +x 4 dengan x 2 (0)=2 … … … … … … … … … … … … … … … ….(57)

penyelesaiaan persamaan (57) berbentuk :

persamaan akar karakteristik dari persamaan diferensial (57) −λ

-(-1 - )(1 - )(2 - ) = 0

Dengan mengambil A 1 = 1 maka penyelesaian persamaan (57) menjadi:

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... ... ... ...(59) 3 0 x

Jika  =  2 = -1

3A 4 =0 Jika A 1 = 1 maka A 2 = -1 Maka penyelesaian persamaan (57)

A 4 = 0 jika A 1 = 1, maka A 3 = -1

Maka penyelesaian persamaan (57) Maka penyelesaian persamaan (57)

x t … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... ..(61) 3 −e

dengan mengambil A 4 = 1, A 3 = -1 A 2 = 1/3

maka A 1 = -7/6 maka penyelesaian persamaan (57)

3 3 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (62) x 2t −e

maka penyelesaian umum persamaan (57)

4 [ ] [ 0 ] [ 0 ] [ −e ] 2t

dengan memasukkan harga awal maka diperoleh dengan memasukkan harga awal maka diperoleh

dengan mempergunakan Scialab untuk mendapatkan c 1 ,c 2 ,c 3 dan c 4

A= [1, 1, 1, -7/6; 0, 1, 0, 1/3; 0, 0, 1, 1; 0, 0, 0, 1];

b = [2; 2; 4; 6];

c = inv(A) * b

diperoleh : c 1 = 11, c 2 =0, c 3 = -2 dan c 4 =6

sehingga persamaan (63) ditulis menjadi persamaan (63a) :

[ 0 ] 0 0 4 −e [ ] [ [ ] ]

3 … … … … … … … … … ... … ...(63a) x 2t

3 0 0 −e

e 2t

Penyelesaian persamaan (57) dengan mempergunakan fungsi ode. function dx=f(t, x)

dx(1) = x(2) - x(3) + x(4); dx(2) = -x(2) + x(4); dx(3) = x(3) - x(4); dx(4) = 2*x(4);

endfunction //Pengujian pada titik t = 1 y = ode([2, 2, 4, 6], 0, 1, f); disp(y)

x 1 = 29.540581; x 2 = 14.778114 x 3 =-17.151524 x 4 =44.334342

Sistem Linier tak Homogen – Metode Variasi Parameter. Contoh 17.

x 1 =2 x 1 +x 2 +f (t)

x 2 =−3 x 1 +6 x 2 +g (t)

dengan f(t) = e 3t , dan g(t) = 2e Penyelesaian umum persamaan diferensial homogen dari persamaan (64)

x 2h [ e ] [ 3e

1 3t +C 2 5t

Penyelesaian khusus system linier tidak homogen dari persamaan (64)

[ [ e ] [ 3e

Substitusikan persamaan (66) kedalam persamaan (64)

. 3t . 5t

u 1 (t) e +u 2 (t) e = f (t )

. 3t . 5t

u 1 (t) e +3 u 2 (t )e =g (t ) Dengan menggunakan aturan Cramer

f 5t (t) e

[ g (t ) 3 e ] 1 −3 t

5t

˙u 1 (t)= 3t

= [3 f (t)−g (t)]e

5t

[ e 3e ]

3t 5t

e 3t f (t)

[ e g (t ) ] 1 −5 t

3t

u ˙ 2 (t)= 3t

= [ g (t)− f (t)]e

5t

[ e 3e ]

. 1 −2 t

1 −2 t u 2 (t )= e ⇒u 2 (t )=− e

sehingga persamaan (66) menjadi : sehingga persamaan (66) menjadi :

1p

3t − e 5t

Penyelesaian umum persamaan diferensial dari persamaan (64) x

4 [ 3e ]

3. Aplikasi Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.

Contoh. 18. Switch S mentup pada t = 0, muatan pada kapasitor pada t = 0 adalah nol dan arus pada keadaan

awal nol. Tentukanlah tegangan V c (t) pada gambar 1 pada saat Switch S menutup. Diketehui R = 0,1, L = 0,25H, C = 220F, E = 120 volt. Penyelesaian.

E =R . i+L +

di 1

dt C ∫ i . dt

dq karena i=

persamaan (67) menjadi dt

dq 2 d q q

E =R +L 2 + … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .(68) dt

dt C

+ C E Vc(t)

Gambar 1. Rangkaian Seri RLC dengan Sumber DC Gambar 1. Rangkaian Seri RLC dengan Sumber DC

d 2 q dq ⇒ 4

2 +0,4 +1 .82 .10 q =0 … … … … … … … … … … … … … … … ... .(69) dt

dt

2 m 4 + 0,4m + 1,82.10 =0 m1 = -0,2 + j134,91, m2 = -0,2 – j134,91

q −0,2 t =e ( A .Cos (134 , 91 t )+ B . Sin(134 , 92 t ) ) … … … … … … … … … … … .(70) Integral Khusus

q = C. q ” =0 q = 0 1,82.10 4 C = 480 C = 0.026 Jawab Lengkap.

q −0,2 t =e ( A .Cos (134 , 92 t )+B . Sin(134 , 92 t ) ) +0 , 026 … … … … … … … … ... .(71) arus yang mengalir pada rangkaian tertutup gambar 1.

i (t )= dt

dq

i (t )=−0,2e −0,2 t (

A. Cos (134 ,92 t )+B . Sin(134 ,92 t ) ) +

e ( −134 ,92 A. Sin(134 ,91 t )+134 ,92 B . Cos(134 ,92 t ) ) karena keadaan awal rangkaian yaitu arus nol dan tegangan kapasitor Vc = nol., maka dari

−0,2 t

persamaan (71) dan persamaan (72)

0 = A + 0 + 0,026 A = -0,026 dan

0 = -0,2(A + 0) + (0 + 134,92B) B = -3,854.10 -5 tegangan pada kapasitor

1 v c (t)=

C ∫ idt

q (t ) v c ( t )= q (t ) v c ( t )=

Gambar 2. Tegangan kapasitor dari rangkaian RLC seri

Skript program dengan Scilab :

t = linspace(0, 19, 400); v = 4.546e3 *(exp(-0.2*t).*(-0.0026*cos(134.91*t) - 3.854e-5*sin(134.91*t)) + 0.026); plot(t, v); xgrid(3);

Contoh 19.

C Vc(t) -

Gambar 3. Rangkaian LC dengan sumber DC

Pada gambar 3, pada saat switch S ditutup muatan kapasitor nol arus yang mengalir juga nol. Jika harga L = 2 mH, C = 0,2 mF dan E = 12 volt. Tentukanlah tegangan kapsitor sebagai fungsi waktu. Penyelesaian

E =L +

di 1

dt C ∫ i . dt

dq karena i (t )=

maka persamaan (74) menjadi

dt

E =L 2 + dt C

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... .(75) L dt LC

Penyelesaian homogen

2 m 6 + 2,5.10 = 0 m1 = j1581,1 dan m2 = -j1581,1

q (t )=A .Cos (1581 , 2 t )+B . Sin(1581 , 1t ) … … … … … … … … … … … … ..(76) integral khusus

q = C, q ” =0 q =0

C = 0,0024 Maka jawaban lengkap

q (t )=A .Cos (1581 , 2 t )+B . Sin(1581 , 1t )+0 , 0024 … … … … … … … … … … .(77)

i (t )=−1581 ,1 A . Sin(1581 , 1t )+1581 ,1 B . Cos(1581 , 1t ) … … … … … … … ...(78) dari keadaan awal

0 = A + 0 + 0,0024 A = -0,0024

0 = 0 + 1581,1B B = 0. Tegangan pada kapasitor 0 = 0 + 1581,1B B = 0. Tegangan pada kapasitor

V c ( t )=

V c ( t )=12(1−Cos(1581 ,1 t )) … … … … … … … … … … … …… … … … ...(79)

Gambar 4. Tegangan pada kapasitor dari rangkaian LC

skript program dengan Scilab:

t = linspace(0, 3e-2, 400); v = 12 * (1 - cos(1581.1*t)); plot(t, v); xgrid(5) ;

Gambar 5. Rangkaian RL parallel dengan sumber AC

Jika R1 = 1, R2 = 1,2 , R3 = 2,2 , L1 = 0,5 mH, L2 = 1 H Dengan E = 100Sin(2 50t). Tentukanlah tegangan di R3 pada saat switch S ditutup. Pada keadaan awal arus yang mengalir nol.

Penyelesaian. Persamaan tegangan pada loop pertama

E=R 1 .i 1 +L 1. i 1 ’ +R 2 .i 1 –R 2 i 2

. R 1 +R 2 R 2 E

i 1 =−

i 1 =−4,4i 1 +2 . 4 i 2 +200 Sin( 2 π 50 t ) … … … … … … … … … … … …… … (80)

Persamaan tegangan pada loop kedua

0 = (R ’

2 +R 3 )i 2 +L 2 i 2 –R 2 i 1

. R 2 +R 3 R 2

i 2 =−

i 2 =−3,4 i 2 +1,2 i 1 … … … … … … … … … … … … … … …… … … … … …(81)

i 2 +3,4i 2 ] … … … … … … … … … … … … … … …… … … … … …(82)

substitusikan persamaan (82) ke persamaan (80)

[i ..

+3,4i 1

[i i +3,4 i ]]+2,4 i +200 Sin(2 π 50 t )

i 2 +7,8 i 2 +12 , 56i 2 =200 Sin( 2 π 50 t ) … … … … … … … … … … … …… …(83) Penyelesaian persamaan diferensial (83)

2 =C 1 e +C 2 e +2 . 10 . Sin (2 π 50 t )−1 .10 . Cos (2 π50 t ) … … ….(84) substitusikan persamaan (84) ke persamaan (82)

i −4

−5 , 53 t

−2 , 27 t

−5 , 53 t

1 = [ −2 ,13 C 1 .e +1 , 13C 2 e −2 , 27 t −0 , 63. Cos( 2 π 50 t )+0 , 03 Sin( 2 π 50 t )

] .... ....

1,2

. ..... ..... (85) pada t = 0 arus yang mengalir adalah nol, persamaan (84) dan persamaan (85) menjadi :

i 1 = [ −2 , 13 C 1 +1 , 13 C 2 −0 ,63 ] =0 dan

1,2 i −4

2 = [ C 1 +C 2 −1 . 10 ] =0

1 C = -0,1932 dan C 2 = 0,1933

i −2 , 27 t

1 = [ 0 . 41 . e

1 −5 ,53 t

+0 . 22 e

−0 , 63. Cos( 2 π 50 t )+0 , 03 Sin( 2 π 50t ) ]

1,2

+2 . 10 . Sin (2 π 50 t )−1 . 10 . Cos ( 2 π 50 t ) Tegangan di R3

⇒ 2,2 −4 [ −0 , 1932 e +0 ,1933 e +2 . 10 . Sin (2 π π 50 t )−1. 10 .Cos (2 π π50 t ) ]

volt Skript program dengan Scilab : t = linspace(0, 15, 400); i2 = (-0.1932*exp(-5.53*t)) + (0.1932*exp(-2.278*t)) + (2e-3*(sin(2*%pi*50*t))) - (1e-4*(cos(2*

%pi*50*t))); v = 2.2*i2; plot(t, v); xgrid();

Contoh 21. Tentukanlah arus i 1 dan i 2 saat switch S ditutup pada gambar 7. Jika pada keadaan awal muatan pada kapasitor dan arus mengalir pada rangkaian adalah nol

Gambar 7. Menentukan arus I 1 dan arus I 2

Penyelesaian. Persamaan tegangan pada loop I

1 −4 I 2 =12 … … … … … … … … … … …. …. … … … …. … … … .... (86) Persamaan tegangan pada loop II

di +4 I dt

2 dt =0 … … … … … … … … …. …. … … … …. … …(87) Persamaan (87) dideferensialkan terhadap t

6I 2 +4 I 2 −4 I 1 +

0 , 25 ∫ I

−4 I 1 +10 I 2 +4 I 2 =0 … … … … … … … … …. …. … … … …. … … … … … .(88) Dari Penyederhanan persamaan (86) kemudian mendeferensialkan terhadap t, diperoleh :

I 2 = I 1 +I 1 −3 … … … … … … … … …. …. … … … …. … … … … … … … (89)

I 2 = I 1 +I 1 … … … … … … … … …. …. … … … …. … … … … … … ... ... (90)

4 Substitusikan persamaan (89) dan persamaan (90) kedalam persamaan (88) :

−4 I 1 +10 I 1 +I 1 +4 I 1 +I 1 −3 =0

I 1 + I 1 + I 1 = … … … … … …. …. … … … …. … … … … … … … ... .(91)

Penyelesaian persamaan (21)

1 =C 1 e +C 2 e +3 … … … … … …. …. … … … …. … … … … … … … .(92) turunan persamaan (92)

I −0,8 t

−2 t

I −0,8t

¿ −2t

1 =−2C 1 e −0,8 C 2 e … … … … …. …. … … … …. … … … … … … …(93)

I 2 diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (92) dan persamaan (93) kedalam persamaan (89) diperoleh :

1 −2 t 4 −0,8t

I 2 = C 1 e + C 2 e … … … … …. …. … … … …. … … … … … … … (94)

2 5 Dengan memasukkan syarat awal kedalam persamaan (92) dan persamaan (94)

I 1 =−8 e +5 e

−2 t −0,8 t

Gambar 8. Arus I 1 dan I 2 dari rangkaian gambar 7.

skript program dengan Scilab : t = linspace(0, 7, 400); i1 = -8*exp(-2*t) + 5*exp(-0.8*t) + 3; i2 = -4*exp(-2*t) + 4*exp(-0.8*t); plot(t, i1, t, i2); xgrid(0);

Penyelesaian dengan mempergunakan metode Matrik. Persamaan (86) dapat ditulis menjadi :

i 1 =−4i 1 + 4i 2 +12

Sementara persamaan (88) setelah dibagi dengan 10, dapat ditulis menjadi:

. . i .. … …. …. ….. …. …. …. …. …. …. …. …. … ….. …. … …. …. (96)

2 =0.4 i 1 +0.4 i 2

Substitusi persamaan (95) ke persamaan (96)

i 2 =−1,6 i 1 +1,2i 2 + 4,8

dari persamaan (95) dan persamaan (97) dapat dibentuk matrik yang berbentuk : I ’ = AI + E

i 1 −4 4 i

. i [ ] [ 2 ] [ 48 ]

Jawaban persamaan differensial linier pada persamaan (98) terdiri dari : Jawaban Lengkap = Fungsi Komplementer + Integral Khusus. Fungsi komplementer dengan mengasumsikan E = 0, sehingga persamaan (98) menjadi:

i 1 −4 4 i

−1,6 1,2 ] [ i 2 ]

dari persamaan (99) didapat harga eigen value dan eigen vektor. Mendapatkan kedua nilai tersebut dengan mempergunakan soft Scilab :

A = [-4, 4; -1.6, 1.2]; [v, e] = spec(A)

e = - 2. 0

0 - 0.8 v = - 0.8944272 - 0.7808688

- 0.4472136 - 0.6246950 −0,8944272

Dengan kata lain untuk eigen value λ = -2, maka nilai eigen vektor

eigen value λ = -0.8, maka nilai eigen vektor