KALKULUS DIFERENSIAL VEKTOR

BAB V KALKULUS DIFERENSIAL VEKTOR

1. Pendahuluan

Setelah mempelajari Kalkulus Diferensial Vektor maka diharapkan :

1. Dapat melakukan bermacam macam operasi pada Vektor.

2. Dapat melakukan diferensiasi pada dua fungsi Vektor atau lebih.

3. Dapat menyelesaikan Medan Magnet dan Medan Listrik.

Definisi definisi v(t) merupakan fungsi vektor (function vector) dari sebuah variabel riil t dikatakan

memiliki limit l dengan t menuju t 0 , jika v(t) terdefinisi disekitar (neighborhood) t 0 dan ditulis :

lim v (t )=l

t →t 0

Fungsi vector v(t) dikatakan kontinu pada t = t 0 jika fungsi vector tersebut terdefinisi lim v (t ) =v (t

disekitar t 0 dan

t →t 0 , jika diwujudkan dalam koordinat kartesian :

v(t) = [v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)] = v 1 (t)i + v 2 (t)j + v 3 (t)k

Fungsi vector v(t) dikatakan dapat dideferensialkan pada suatu titik t jika :

v (t+ Δt ) − v (t ) v (t )= lim

exist, dan vektor v(t) disebut derivative dari v(t)

V’(t)

V(t+t)

V(t)

Gambar 1. Derivative dari fungsi vektor

Kaedah kaedah diferensial pada fungsi vektor :

1. (cv)’ = cv’; c = konstanta

2. (u + v)’ = u’ + v’

3. (u.v)’ = u’.v + u.v’

4. (u x v)’ = (u’ x v) + (u x v’)

5. (u.v.w)’ = (u’.v.w) + (u.v’.w) + (u.v.w’) Diferensial parsial dari fungsi vector. Misal komponen-komponen dari fungsi vector v(t) : v(t) = v 1 .i + v 2 .j + v 3 .k dapat dideferensialkan terhadap t 1 , t 2 , … , t n , maka diferensial parsial dari v(t) terhadap t 1

∂v

dinotasikan dengan ∂t

Misal v(t 1 ,t 2 ) = a.Cos(t 1 )i + b.Sin(t 2 )j + 3t 2 2 k

∂v

∂v

=−a . Sin( t 1 )i

=b . Cos(t 2 ) j+6 t 2 k

∂t 1 ∂t 2

Latihan

1. Tentukanlah derivative pertama dan derivative kedua dari fungsi vektor berikut, kemudian tentukanlah panjang masing masing vector tersebut :

2 a. 5t 2 i + 3t j + tk

b. Cos(2t)i + Sin(t)j + 5tk

2 2 2. Misalkan u = ti + 2t 2 k, v = 3t j + tk, w = i + 2tj – t k

a. (u.v)’ . (v.u)’

b. (u x v)’ . (v x u)’ b. (u x v)’ . (v x u)’

d. [ (u x v) x w ]’

3. Tentukanlah derivative parsial terhadap x, y, z dari :

a. 3xyi + 5zj + y 2 k.

b. 2e 2 i + 3e j – 5xyz k

xy -y

c. Cos(2yz)i + 5Sin(3x)j + e xyz k

1. Tangen, Panjang Busur dari Kurva

Sebuah kurva C disajikan dengan fungsi vektor dalam sistem koordinat kartesian : r(t) = [x(t)i + y(t)j + z(t)k ] … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... .(1) Penyajian dalam bentuk persamaan (1) disebut bentuk parameter dari kurva C. Contoh 1. Plotlah fungsi vector r(t) berikut :

r(t) = 4Cos(t)i + 2Sin(t)j

Jawab. Fungsi vector merupakan ellips (diperlihatkan pada gambar 2).

Gambar 2. Fungsi vektor r(t) merupakan ellips

Contoh 2. Plotlah fungsi vektor r(t) = 2Cos(t)i + 2Sin(t)j + tk Jawab. Fungsi vektor r(t) membentuk kurva berbentuk helix (diperlihatkan pada gambar 3).

Tangen pada sebuah kurva C pada titik P merupakan suatu garis lurus L yang melalui P dan titik lain Q, sebagaimana Q mendekati P pada sepanjang kurva C Misalkan kurva disajikan oleh fungsi vektor r(t) yang kontinu dan dapat dideferensialkan dengan t merupakan parameter maka tangen vektor dari kurva C pada titik P :

1 r (t )= lim

[ r (t+ Δt )−r (t ) ]

Δt →0 Δt Unit tangen vektor kurva C pada titik P dirumuskan dengan :

u = .r

|r | |r |

Gambar 4. Tangen pada kurva C Contoh 3.

2 2 1 1 Tentukanlah tangen dari sebuah lingkaran x +y = 1 pada titik

P = − √ 2, √ 2

Jawab.

r(t) = Cos(t)i + Sin(t)j r’(t) = -Sin(t)i + Cos(t)j

titik P sama dengan

4 maka r’(t) = -Sin(/4)i + Cos(/4)j

2i r’(t) = + √ 2j

Panjang Kurva Untuk mendefinisikan panjang kurva maka kurva C kita bagi-bagi menjadi n segment garis (gambar 5)

Gambar 5. Panjang sebuah kurva

Jika n segment garis menuju tak terhingga maka panjang garis l menuju nol. Jika panjang dari masing masing segment garis tersebut (l 1 ,l 2 ,l 3 , …, l n ) konvergen dan menuju kesuatu limit l maka kurva C disebut rectifiable dan l disebut panjang dari kurva C. Kurva C disajikan dalam bentuk fungsi vector r(t) dan continuously differentiable maka kurva C tersebut rectifioable dan panjang kurva C :

l = ∫ √ r .r . dt

Panjang Busur S dari Sebuah Kurva

Panjang busur dari sebuah kurva C atau fungsi panjang busur s(t)

s (t )= ∫ √ r .r .^ dt

a … … …. …. … … … … …. … … … … … … … … … .(5) ¿

Secara geometris untuk sebuah harga yang tetap yaitu t = t 0  a panjang busur s(t 0 ) merupakan panjang dari bagian kurva C diantara titik t = a sampai t = t 0 , titik t = 0 dapat digantikan dengan titik awal. Dengan mendeferensialkan kemudian mengkuadradkan persamaan (5)

( dt ) dt dt ( dt ) ( dt ) ( dt )

2 2 2 d 2 (t ) dr dr dx dy dz = . =

persamaan (6) umumnya ditulis dengan : dr = [dx, dy, dz] = dxi + dyj + dzk dan

2 2 2 ds 2 = dr.dr = dx + dy + dz …. …. … … … … …. … … … … … … … … … … ... (7) ds disebut linier element dari kurva C.

( dt )

ds 2 .

persamaan (6) dapat ditulis dengan : 2 =|r (t )|

Unit tangen vektor U(s) dirumuskan dengan U(s) = r ’ (s) Contoh 4.

Kurva C disajikan dalam bentuk r(t) = 4Cos(t)i + Sin(t)j + tk Maka r ’ (t) = (-4Sin(t)i + Cos(t)j + k). (-4Sin(t)i + Cos(t)j + k)

2 = 16 Sin 2 (t) + Cos (t) + 1 panjang busur kurva s

2 s 2 (t )= ∫ √

16 . Sin (t )+Cos (t )+1 . dt

2. Kecepatan dan Percepatan

Lintasan benda bergerak membentuk suatu kurva C dan kecepatan benda tersebut pada tiap titik lintasan merupakan tangent dari kurva C tersebut (gambar 6) dan dirumuskan :

. dr

v =r = dt

Panjang vector tersebut |v|= √ r .r = dengan s adalah panjang busur

. . ds

dt

Gambar 6. Kecepatan benda pada tiap titik dari suatu kurva

Derivative dari vektor kecepatan adalah vector percepatan a a(t) = v’(t) = r’’(t)

Contoh 5. Lintasan benda bergerak digambarkan dengan fungsi vektor :

r(t) = 5Cos(t)i + 5Sin(t)j

Tentukanlah kecepatan dan percepatan benda tersebut :

Jawab. Lintasan benda merupakan kurva bebrbentuk lingkaran (gambar 7).

Kecepatan benda v = r ’ (t) = -5Sin(t)i + 5Cos(t)j

|v|= √ r .r =5 ϖ

Magnitude kecepatan benda tersebut :

2 Percepatan benda a = v 2 ’ =r ’’ (t) = -5 Cos(t)i - 5 Sin(t)j

Gambar 7. Lintasan benda bergerak dari 5Cos(t)i + 5Sin(t)j

4. DIVERGENSI DAN CURL gradient dari vektor

Gradient dari fungsi scalar f : ∂f

∂f

∂f

∂x …. …. … … … … …. … … … … … … … (8) ∂y ∂z Penulisan lain dari gradient :

Grad f =

∂f =^b . grad f

dengan ^b =^r= ^xi+ ^yi+ ^zi

∂s Dalam sub bab ini kita diberikan operator baris yaitu nabla atau del : ∇= ∂ i +∂ j +∂ k

∂x ∂y

∂z

maka persamaan (8) menjadi : ∂f

∂f

∂f

Grad f =∇ f =

Contoh 6. Tentukanlah gradient dari :

2 f(x, y, z) = 2x 2 + 3y + 2z pada titik P(2,1,1)

Jawab. Grad f = 4xi + 6yj + 2k Pada titik P = 8i + 6j + 2k

Divergensi dari sebuah vektor v = (x, y, z) dengan v merupakan differentiable vector

∂V 1 ∂V 2 ∂V 3

function div V =

∂x

∂y

∂z

Notasi yang lain untuk divergensi :

( ) ∂z )

div V =∇ V = ∂ i +∂ j +∂ k . ( V 1 .i +V 2 j +V 3 k