Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari suatu SPD taklinear dapat dilakukan dengan pelinearan pada sistem persamaan diferensialnya.
2.3 Pelinearan
Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial taklinear dapat dilakukan melalui analisis sistem linear padanannya. Misalkan diberikan sistem persamaan
diferensial taklinear sebagai berikut: . 4
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap , maka sistem persamaan 4 dapat ditulis:
5
dengan adalah matriks Jacobi, yaitu
A , 6
dan adalah suku berorde tinggi yang bersifat
. Selanjutnya,
pada persamaan 5 disebut pelinearan dari sistem persamaan diferensial taklinear pada persamaan 4 dan ditulis dalam bentuk
Tu, 1994.
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan berukuran n × n, dan SPD homogen
berikut:
, 7
Suatu vektor taknol x dalam ruang disebut vektor eigen dari jika untuk suatu
skalar λ berlaku:
Nilai skalar
λ dinamakan nilai eigen dari . Untuk mencari nilai λ dari matriks ,
maka persamaan 8 dapat ditulis kembali sebagai berikut: 9
dengan I matriks identitas. Persamaan 9 memunyai solusi taknol jika dan hanya
jika
Persamaan 10 disebut persamaan karakteristik dari matriks .
Anton, 1997
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Kestabilan titik tetap dari sistem ditentukan berdasarkan tanda nilai
eigen matriks A sebagai berikut:
1. Sistem adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen adalah
bernilai negatif. 2. Sistem
adalah takstabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen dari bernilai taknegatif.
Borrelli dan Coleman 1998
2.5 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar, dinotasikan dengan R
Kondisi yang akan timbul adalah: ialah nilai harapan
terjadinya infeksi per satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi yang seluruhnya rentan yang dihasilkan oleh satu jenis individu yang sudah terinfeksi.
1 Jika R 1, penyakit chikungunya akan hilang dari populasi.
2 Jika R
1,
penyakit chikungunya akan menetap di dalam populasi. R
dalam penelitian ini ditentukan dengan menggunakan metode yang dikenalkan oleh Watmough 2008 dan van den Driessche dan Watmough 2005
yaitu mengkonstruksi suatu matriks yang berasal dari subpopulasi-subpopulasi
