Bilangan Reproduksi Dasar On the SEIRS-LSEI Model of Chikungunya
yang menyebabkan infeksi saja. Matriks tersebut dinamakan dengan the next generation matrix. Nilai eigen taknegatif dengan modulus terbesar matriks ini
yang nantinya digunakan sebagai nilai R .
III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT CHIKUNGUNYA 3.1 Model SEIRS-LSEI
Model SEIR Susceptible-Eexposed-Infected-Resistant pada penyakit chikungunya dikenalkan oleh Dumont et al., 2008 dengan mengklasifikasikan
total populasi manusia sebagai host ke dalam empat kelas, yaitu manusia yang
rentan susceptible , manusia yang terekspos exposed
, manusia yang terinfeksi infected
, dan manusia yang sembuh resistant . Manusia yang
rentan adalah manusia yang tidak terkena infeksi dan bukan imun. Manusia yang terekspos adalah manusia yang telah diinfeksi oleh virus ketika masa inkubasi
intrinsik dalam tubuh manusia sedang berlangsung. Manusia yang terinfeksi adalah manusia yang tertular virus chikungunya dan dapat menularkan virus
tersebut kepada individu lain dengan perantara nyamuk. Manusia sembuh adalah manusia yang telah sembuh dari penyakit chikungunya. Dapat juga ditulis:
Sedangkan total populasi nyamuk sebagai vektor dibagi menjadi
empat kelas, yaitu larva larvae , nyamuk yang rentan susceptible
, nyamuk yang terekspos exposed
, dan nyamuk yang terinfeksi infected .
Larva adalah jentik-jentik nyamuk atau anak nyamuk yang baru lahir. Nyamuk yang rentan adalah nyamuk yang belum tertular virus. Nyamuk yang terekspos
adalah nyamuk yang diinfeksi oleh virus ketika masa inkubasi ekstrinsik dalam tubuh nyamuk sedang berlangsung. Sedangkan nyamuk yang terinfeksi adalah
nyamuk yang tertular virus dan dapat menularkan virus tersebut kepada individu lain. Dapat juga ditulis:
+
µ N
h
µ
h
B
mh
η
L
µ
L
µ
h
v
h
C
hm
µ
m
µ
h
η
h
η
m
µ
m
µ
h
µ
m
Gambar 1 Model kompartemen penyakit chikungunya. Manusia
Nyamuk
Model SEIR ini selanjutnya dimodifikasi dengan menambahkan asumsi bahwa individu yang mempunyai kekebalan tubuh setelah terserang penyakit
menjadi rentan kembali walaupun peluangnya sangat kecil Labadie et al., 2010, sehingga model ini disebut model SEIRS Susceptible-Exposed-Infected-Resistant-
Susceptible. Secara skematis, pola penyebaran penyakit chikungunya dapat
digambarkan dalam bentuk bagan seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1. Model SEIRS pada Gambar 1 menjelaskan laju perpindahan individu antara
kelas S, E, I, R dan S. Diasumsikan bahwa laju kelahiran µ dan laju kematian
µ
h
di setiap kelas adalah sama, yaitu µ = µ
h
. Model penyebaran virus chikungunya sebelumnya menggunakan asumsi semua telur nyamuk sehat. Individu
lahir di kelas rentan S
h
dengan laju kelahiran sebesar µ . Manusia yang berada di
kelas rentan akan mati dengan laju kematian sebesar µ
h
, atau masuk ke kelas terekspos E
h
karena terjangkit penyakit dengan laju penularan sebesar β
mh
Jadi β
mh
merupakan tingkat interaksi antara nyamuk yang terinfeksi dengan manusia yang rentan sehingga menjadi manusia yang terekspos artinya tidak ada kontak
µ
b
µ
b
µ
b
Susceptible S
h
Exposed E
h
Infected I
h
Resistant R
h
Larvae L
m
Susceptible S
m
Exposed E
m
Infected I
m
langsung dari kelas rentan S
h
ke kelas terekspos E
h
. Selanjutnya manusia yang berada di kelas terekspos akan mati dengan laju kematian sebesar µ
h
, atau masuk ke kelas terinfeksi I
h
dengan laju perubahan sebesar ν
h
. Selanjutnya manusia yang berada di kelas terinfeksi akan mati dengan laju kematian sebesar µ
h
, atau sembuh dengan laju penyembuhan sebesar
η
h
sehingga dimasukkan ke kelas sembuh R
h
. Kemudian manusia di kelas sembuh akan mati dengan laju kematian sebesar µ
h
Dari penjelasan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan-persamaan berikut:
, atau menjadi rentan kembali karena sistem kekebalan tubuh dapat hilang sehingga
kembali masuk ke kelas rentan dengan laju hilangnya kekebalan sebesar θ.
Persamaan untuk populasi manusia 1
2
3
4
dengan adalah total populasi manusia,
B adalah rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi pada manusia terekspos per
hari, adalah peluang transmisi dari nyamuk yang terinfeksi ke manusia per
gigitan, adalah laju kematian manusia secara alami per hari,
adalah rata-rata rentang hidup manusia,
adalah rata-rata periode viremic di mana seekor nyamuk rentan saat menggigit manusia yang sedang mengalami viremia maka nyamuk rentan
tersebut akan tertular per hari, adalah periode inkubasi intrinsik proses masuknya virus dalam tubuh
manusia per hari,
adalah laju hilangnya kekebalan tubuh, adalah merupakan laju terjadinya interaksi antara nyamuk yang terinfeksi
dengan manusia rentan,
adalah laju kelahiran manusia secara alami per hari, dengan µ = µ
h
Model LSEI pada Gambar 1 menjelaskan laju perpindahan nyamuk antara kelas L, S, E, dan I. Nyamuk berupa larva
mati dengan laju kematian sebesar
atau tumbuh menjadi nyamuk dewasa dengan laju sebesar Nyamuk
dewasa di kelas SEI di asumsikan dapat menghasilkan larva dengan laju atau
mati dengan laju , atau terjangkit penyakit dengan laju penularan sebesar
Jadi merupakan tingkat interaksi antara manusia yang terinfeksi dengan
nyamuk yang rentan, artinya nyamuk yang rentan menjadi terekspos karena pengaruh gigitan dari manusia yang terinfeksi dalam arti tidak ada kontak langsung
antara kelas nyamuk yang rentan dan kelas terekspos
. Nyamuk yang baru lahir digolongkan ke kelas terekspos
dengan laju kelahiran sebesar ,
selanjutnya laju perubahan dari nyamuk yang terekspos menjadi terinfeksi sebesar
. Nyamuk di kelas terinfeksi akan mati dengan laju kematian
sebesar . Keadaan populasi nyamuk mengalami perubahan karena asumsi
sebagian telur nyamuk terinfeksi. Jumlah nyamuk yang rentan akan meningkat
karena bertambahnya kelahiran nyamuk sehat dan akan berkurang karena gigitan nyamuk kepada populasi manusia terinfeksi serta karena kematian alami. Populasi
nyamuk yang terkena infeksi akan meningkat karena kelahiran nyamuk
terinfeksi, gigitan nyamuk kepada populasi manusia terinfeksi dan berkurang karena kematian alami. Perubahan musim membuat perubahan suhu, sehingga pola
musiman mempengaruhi di dalam penyebaran penyakit chikungunya. Variasi di dalam masa inkubasi ekstrinsik disebabkan oleh perubaha-perubahan suhu, semakin
rendah suhu masa inkubasi semakin lama. .
Garis yang menghubungkan model SEIRS dan LSEI pada gambar menjelaskan bahwa hubungan efektif langsung atau tidak langsung antara nyamuk
yang terinfeksi dengan manusia yang terekspos adalah awal penyebaran penyakit chikungunya dari dunia nyamuk ke dunia manusia.
Dari penjelasan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan-persamaan berikut:
Persamaan untuk populasi nyamuk
dengan kondisi dan
+ =
di mana N
m
C adalah rata-rata gigitan individu nyamuk pada manusia per hari,
adalah total populasi nyamuk ekor, adalah peluang transmisi dari manusia yang terinfeksi ke nyamuk per
gigitan, adalah laju kelahiran nyamuk secara alami per hari,
adalah laju kematian tahap larva per hari, adalah rata-rata rentang hidup nyamuk dewasa,
adalah laju kematian alami larva per hari, adalah tingkat transisi pematangan dari larva menjadi dewasa per hari,
adalah masa inkubasi ekstrinsik proses masuknya virus ketubuh nyamuk per hari,
adalah kapasitas maksimal larva yang hidup, C
adalah merupakan laju terjadinya interaksi antara manusia yang terinfeksi dengan nyamuk yang rentan.
Jika faktor lingkungan musim dipertimbangkan maka dapat dilakukan penyesuaian terhadap total populasi nyamuk dan laju kelahiran nyamuk. Misalnya
dengan menjadikan kedua parameter tersebut sebagai fungsi dari waktu, yaitu dan
Nilai parameter-parameter yang lain pun dapat disesuaikan dengan lokasi di mana model akan diterapkan.
Model ini menggunakan beberapa asumsi sebagai berikut: 1 Total populasi
adalah konstan, 2 manusia dan nyamuk diasumsikan lahir rentan,
3 nyamuk tidak pernah sembuh setelah terinfeksi virus, 4 larva diasumsikan sehat.
Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan model penularan penyakit chikungunya yang menghasilkan beberapa titik tetap. Analisis titik tetap tersebut
nantinya akan dihasilkan syarat kestabilan untuk masing-masing titik tetap.