II LANDASAN TEORI 2.1
Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial SPD adalah suatu persamaan yang dinyatakan sebagai:
1 dengan
, dan
Jika taklinear terhadap sistem 1 disebut SPD taklinear dan jika
linear maka SPD 1 disebut linear. Braun, 1983
Definisi 2 Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
SPD linear dapat dinyatakan sebagai:
2
dengan adalah matriks koefisien konstan berukuran dan adalah vektor
konstan. Sistem tersebut dinamakan SPD linear orde satu dengan kondisi awal .
Jika , maka sistem dikatakan homogen dan jika
, maka sistem dikatakan takhomogen. Tu, 1994
Definisi 3 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: 3
dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari dan memunyai turunan parsial kontinu. Sistem 3 disebut sistem persamaan diferensial mandiri
autonomous karena tidak memuat t secara eksplisit didalamnya. Tu, 1994
2.2 Titik Tetap
Definisi 4 Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial mandiri 3. Titik disebut titik tetap atau titik kritis atau titik kesetimbangan jika
. Tu, 1994
Definisi 5 Titik Tetap Stabil Misalkan adalah titik tetap sebuah SPD dan xt adalah solusi yang memenuhi
kondisi awal x0 = dengan
. Titik dikatakan titik tetap stabil jika
untuk sembarang terdapat r
sedemikian sehingga jika posisi awal memenuhi
maka solusi xt memenuhi , untuk
t .
Verhulst, 1990
Definisi 6 Titik Tetap Takstabil
Misalkan dan xt adalah sebuah solusi SPD
dengan nilai awal x0 = dengan
Titik dikatakan titik tetap
takstabil jika terdapat 0 dan untuk sebarang r 0 terdapat nilai awal yang
memenuhi sehingga solusi xt memenuhi
, untuk t 0.
Verhulst, 1990
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari suatu SPD taklinear dapat dilakukan dengan pelinearan pada sistem persamaan diferensialnya.
2.3 Pelinearan
Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial taklinear dapat dilakukan melalui analisis sistem linear padanannya. Misalkan diberikan sistem persamaan
diferensial taklinear sebagai berikut: . 4
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap , maka sistem persamaan 4 dapat ditulis:
5
dengan adalah matriks Jacobi, yaitu
A , 6
dan adalah suku berorde tinggi yang bersifat
. Selanjutnya,
pada persamaan 5 disebut pelinearan dari sistem persamaan diferensial taklinear pada persamaan 4 dan ditulis dalam bentuk
Tu, 1994.
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan berukuran n × n, dan SPD homogen
berikut:
, 7
Suatu vektor taknol x dalam ruang disebut vektor eigen dari jika untuk suatu
skalar λ berlaku:
