Gambar 2 Bagan kerangka analisis. Model SEIRS-LSEI
Menentukan titik tetap
Subpopulasi terinfeksi
The next generation matrix
Menentukan bilangan reproduksi
Model terlinearkan
Nilai Eigen
Kestabilan
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Titik Tetap
Dalam menentukan suatu solusi yang tidak berubah menurut waktu sering digunakan analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial. Untuk sistem
persamaan 1–8, titik tetap diperoleh pada saat ,
, ,
, ,
, , dan
sehingga sistem persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
= 0
. 4.1 Sistem persamaan 4.1 di atas memiliki empat titik tetap, yaitu:
1 Titik tetap T
1
2 Titik tetap T , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
2
3 Titik tetap T , 0, 0, 0,
,
3
,
, , ,
, ,
, ,
dengan,
4 Titik tetap T
4
, ,
, ,
, ,
, dengan,
Penentuan titik tetap ini dapat dilihat pada Lampiran 1.
4.2. Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan dari model 4.1 didefinisikan fungsi-fungsi sebagai berikut:
�
5
[ �
ℎ
,
�
ℎ
, �
ℎ
, �
ℎ
, �
�
, �
�
, �
�
, �
�
] = �
�
�1 −
�
�
�
� �
�
+ �
�
+ �
�
− �
�
�
�
− �
�
�
�
4.3 Dengan menggunakan 6 terhadap 4.3 diperoleh matriks Jacobi sebagai
berikut:
4.4 Penentuan matriks Jacobi ini dapat dilihat pada Lampiran 2.
4.2.1 Kestabilan titik tetap T
1
Untuk menentukan kestabilan titik tetap T
1
, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 yaitu dengan melakukan pelinearan pada 4.1 di atas. Titik T
1
4.5 , 0, 0, 0, 0, 0, 0
disubstitusi ke matriks Jacobi 4.4, sehingga diperoleh:
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh
nilai-nilai eigen berikut:
– .
Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, maka ,
, ,
, , dan
. Untuk akan bernilai negatif
jika . Untuk
akan bernilai negatif jika
maka jadi titik tetap T
1
stabil. Tetapi untuk akan
bernilai positif jika , maka
jadi titik tetap T
1
sadel. Jadi T
1
dapat dikatakan stabil dan juga T
1
dapat dikatan sadel.
4.2.2 Kestabilan titik tetap T
Kestabilan titik tetap tanpa penyakit ini diberikan oleh teorema berikut.
2
Teorema 1 . Jika
, maka N
h
, 0, 0, 0, L
m0
, S
m0
, 0, 0 adalah titik tetap bebas penyakit sistem 1 2, yang stabil asimtotik lokal jika
R 1 dan tidak stabil asimtotik lokal jika R
Bukti :
1.
Dari persamaan 4.1 titik tetap diperoleh pada pada saat ,
, ,
, ,
, , dan
dengan:
,
,
Dengan pemrograman berbasis fungsional diperoleh titik tetap =
, 0, 0, 0,
, . Menyimpulkan bahwa
atau , Kemudian
dan ini bahwa
dan Karena
, maka akibatnya
adalah equilibrium bebas penyakit. lihat lampiran 3 Dengan mengambil sistem persamaan 4.1 dan menyusunnya kembali
dalam urutan subpopuasi-subpopulasi yang menyebabkan infeksi saja, yaitu ,
, , dan
diperoleh sistem persamaan sebagai berikut :
Dari sistem di atas, diperoleh matriks-matriks
Φ = , ς =
sehingga,
F
= ,
V
= .
Selanjutnya, dihitung matriks K = FV
-1
sebagai berikut:
K =
.
Berdasarkan Van den Driessche dan Watmough 2005, bilangan reproduksi dasar R
= R
merupakan nilai eigen dengan modulus terbesar matriks K, ditulis:
Selanjutnya diperoleh :
R
Terlihat bahwa
R =
.
dipengaruhi oleh banyak parameter. Sebagai contoh jika rata-rata gigitan nyamuk B diperbesar, maka R
akan membesar. Artinya, peluang penyakit akan menetap di dalam populasi juga semakin besar. Untuk
meperkecil R
Berikut adalah tabel kondisi kestabilan dari kedua titik tetap yang diperoleh. , maka laju kematian nyamuk
diperbesar. Akibatnya, penyakit akan menghilang dari populasi.
Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap Kondisi
T T
1 2
dan Sadel
Stabil
dan
Sadel Tidak Stabil
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa kondisi kestabilan dari titik tetap yang diperoleh saling bertentangan. Ketika titik tetap pertama stabil, titik tetap yang kedua tidak
stabil dan ketika titik tetap yang pertama sadel, titik tetap dua stabil. Titik tetap T
3
dan titik tetap T
4
akan di cari dengan melakukan simulasi. Hal ini dilakukan karena kedua titik tetap tersebut sulit ditentukan secara analitik.
V SIMULASI
5.1 Parameter yang Ditetapkan
Misalkan dalam suatu pengamatan diperoleh parameter-parameter seperti dalam Tabel 2.
Tabel 2 Parameter model Varpa
r Keterangan
Simulasi
B Rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi
pada manusia terekspos per hari 0,05
0.05
C Tingkat interaksi manusia yang
terinfeksi dengan nyamuk yang rentan per hari
1 1
Peluang transmisi dari nyamuk yang terinfeksi ke manusia per gigitan
0.5 0.5
Peluang transmisi dari manusia yang terinfeksi ke nyamuk per gigitan
0.37 0.37
K Kapasitas maksimal larva yang hidup
3 Laju kematian manusia per hari
Rata-rata periode viremik per hari 130
130 Laju kelahiran nyamuk per hari
16 20
Laju kematian nyamuk per hari 27
17 Masa inkubasi ekstrinsik proses
masuknya virus ke tubuh nyamuk 13
13 Tingkat transmisi pematangan dari
larva menjadi dewasa 0.1
0.1 Periode inkubasi intrinsik proses
masuknya virus dalam tubuh manusia
130 20
θ Laju konstan hilangnya kekebalan
tubuh 0.001
0.001 Laju kematian larva per hari
Laju kelahiran manusia secara alami per hari.
13 13
5.2 Simulasi Analisis Kestabilan
5.2.1 Populasi untuk Kondisi 5.2.1.1 Populasi Manusia
Kondisi adalah kondisi di mana populasi akan stabil menuju
musnahnya virus dari populasi. Berdasarkan nilai-nilai parameter yang ada pada Tabel 2 dan dengan
mengambil nilai dan B yang sudah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika
populasi di bawah ini untuk nilai dan B
dengan nilai .
Nilai awal total populasi manusia yang seluruhnya rentan adalah 1000. Nilai awal total populasi nyamuk yang berupa larva adalah 3000 dengan jumlah
nyamuk yang terinfeksi 20.
Gambar 3 Dinamika populasi manusia rentan terhadap waktu untuk kondisi
. Gambar 3 menunjukkan bahwa jika laju kematian nyamuk bertambah besar
dua kali lipat dari laju kematian nyamuk semula, maka jumlah subpopulasi manusia rentan semakin bertambah.
Peningkatan laju kematian nyamuk menyebabkan penurunan pada jumlah nyamuk termasuk nyamuk terinfeksi.
Akibatnya, proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terekspos semakin berkurang.
Sebaliknya, jika laju kematian nyamuk turun dan nilai parameter lainnya tetap, maka jumlah subpopulasi manusia rentan semakin berkurang sedangkan
jumlah sub populasi lainnya semakin bertambah. Penurunan laju kematian nyamuk menyebabkan peningkatan pada jumlah nyamuk termasuk nyamuk
50 100
150 200
250 300
350 t
92 94
96 98
100 sh
m
2
7
m 1
7
