= 2.15
3.
Menentukan nilai eigen , dengan menyelesaikan det − I = 0. Nilai eigen akan memenuhi persamaan karakteristik sebagai berikut :
p +
. 2.16
Edelstein-Keshe 1988 4.
Jika nilai eigen semua bernilai real negatif, maka titik tetap x adalah stabil.
Jika nilai eigen tidak dapat ditentukan dengan mudah, maka kestabilan untuk k 2, dapat ditentukan dengan kriteria Routh-Hurwitz berikut.
Kriteria Routh-Hurwitz
Diberikan persamaan karakteristik: p
+ .
2.17 Selanjutnya, didefinisikan matriks Hurwitz,
. 2.18
Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik 2.17 memunyai bilangan
real negatif titik tetap x stabil jika dan hanya jika determinan dari semua
matriks Hurwitz 2.18 adalah positif, yaitu , untuk
. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, untuk suatu nilai k, dengan k = 2,3,4.
Titik tetap stabil jika dan hanya jika:
k = 2; ,
k = 3; ,
k = 4; .
Edelstein-Keshe 1988
III MODEL-MODEL DASAR
3.1 Model Pertumbuhan Logistik
Menurut Shones 1997 jumlah populasi pada waktu t disebut stok dan akan berubah bergantung pada perbedaan antara arus masuk dan arus keluar. Pada
kasus populasi ikan udang, terdapat faktor penangkapan dan faktor alamiah yang dapat memengaruhi arus masuk dan keluar. Faktor penangkapan adalah faktor
yang dilakukan oleh manusia dalam suatu periode tertentu yang akan memengaruhi tingkat stok, dan faktor alamiah adalah faktor yang disebabkan oleh
alam yang memengaruhi jumlah populasi. Adapun persamaan untuk faktor alamiah adalah sebagai berikut:
Perubahan netto dalam populasi = arus masuk arus keluar
= kelahiran + imigrasi – kematian + emigrasi.
Atau dapat ditulis: Perubahan netto dalam populasi
= perubahan internal + perubahan eksternal = kelahiran
–kematian + migrasi, dengan migrasi adalah imigrasi dikurangi emigrasi.
Misalkan nt merupakan variabel yang memberikan kontribusi pada perubahan internal. Ukuran populasi pada suatu waktu adalah xt, yang
menyatakan banyaknya individu pada waktu t, maka perubahan internal dari populasi adalah nt xt.
Misalkan juga mt menotasikan migrasi yang terjadi pada suatu interval waktu t, maka mt menotasikan perubahan eksternal, sehingga laju perubahan
populasi dxtdt diberikan oleh:
. dx
n t x t m t
dt
3.1 Jika diasumsikan tidak ada migrasi maka mt = 0 untuk setiap t. Jika
diasumsikan juga ada pengurangan dalam proses pertumbuhan populasi yang proporsional terhadap ukuran populasi, dengan kata lain laju pertumbuhan r
direduksi oleh faktor axt maka variabel yang memberikan kontribusi pada perubahan internal pada populasi menjadi
nt = r axt 3.2
Dari asumsi tentang migrasi dan perubahan internal, maka persamaan 3.1 dapat dituliskan sebagai berikut:
1 1
. dx
x x
r ax t
r r
x t dt r a
K
3.3 Persamaan 3.3 merupakan persamaan logistik. Parameter
menyatakan daya dukung lingkungan carrying capacity yang menyatakan kapasitas
maksimum populasi dalam lingkungan tersebut. Hal ini berarti jika di dalam populasi ada x individu, maka lingkungan masih dapat mendukung kehidupan
individu.
3.2 Beberapa Model Mangsa Pemangsa 3.2.1 Model mangsa-pemangsa Holling
Model Holling adalah hubungan respon fungsional yang menggambarkan laju pemangsaan dan ketersediaan makanan mangsa. Secara umum dibagi
menjadi 3 tiga, yaitu model Holling tipe I, tipe II, dan tipe III Eisenberg dan Maszle, 1995.
Model Holling Tipe I
Model Holling tipe I memunyai asumsi bahwa tingkat pemangsaan terjadi secara linear terhadap meningkatnya kepadatan mangsa, sampai mencapai laju
pemangsaan maksimum. Model tipe I dapat dituliskan sebagai persamaan linear dengan bentuk:
,
I H
F t aN t
b N
3.4 dengan
adalah fungsi Holling tipe I yang menyatakan banyaknya mangsa yang dimangsa per satuan waktu t, a adalah efisiensi pemangsaan, N menyatakan
banyaknya mangsa pada suatu populasi per satuan waktu, dan b menyatakan konstanta.
