Saran 1. Model mangsa-pemangsa-parasit dengan pemanenan sebagai control terhadap penyakit
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Edisi ke-5. Terjemahan Pantur Sinaban dan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.
Bairagi N, Chaudhuri S, Chattopadhyay J. 2009. Harvesting as a disease control measure
in an
eco-epidemiological system
–A theoretical study. Mathematical BioSciences 217:134
–144. Beverton RJH dan SJ Holt. 1957. On Dynamics of Exploited Fish Population.
London : Her Majestry’s Statinery Office. 533p Borreli RL, Coleman CS. 1998. Differential Equations. USA: John Wiley and
Sons, Inc. Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York:
Springer-Verlag Chattopadhyay J, Bairagi N. 2001. Pelicans at Risk in Salton Sea-an Eco-
Epidemiological Model. Ecological Modelling 136: 103 –112.
Corsin F. 2002. Problems and Solution With the Design and Execution of an Epidemiological Study of White Spot disease in Black Tiger Shrimp
Panaeus monodon in Vietnam. Preventive Veterinary Medicine: 117-132. [DKP LIPI] Departemen Kelautan Perikanan Lembaga Ilmu Pengetahuan
Indonesia, 2010. Stok Ikan Dunia Kian Merosot. Harian Suara Pembaruan: 5kolom 2-3.
Esparza et al. 2009. Detection of Whitespot Syndrome Virus in Filtered Shrimp- farmWater Fractions and Experimental Evaluation of its Infectivity in
Penaeus Litopenaeus vannamei. Aquaculture:16-22. Edelstein-Keshe L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York: Random
House. Eisenberg JN, Don RM. 1995. The structural stability of a three-spesies food
chain model. Theo Biol. 176:501-510. Fitria. 2010. Bifurkasi sistem mangsa-pemangsa tipe Michaelis-Menten dengan
tingkat pemanenan konstan [skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Hasibuan KM, 1989. Pemodelan Matematika. PAU Ilmu Hayat IPB, Bogor. Heath TM. 1997. Scientific Computing. New York: The McGraw-Hill Companies.
Javier MJ et al. 2010. Dynamics of intensive production of shrimp Litopenaeus vannamei affected by whitespot disease. Aquaculture 300:113-119.
Lafferty, Morris. 1996. Altered behaviour of parasitized killfish increases suspectibility to predation by bird final host. Ecology. 77:1-5.
Mukhopadhyay B, Bhattacharyya R. 2009. Role of predator switching in an eco- epidemiological model with disease in the prey. Ecological Modelling 220:
931 –939.
Supriyadi et al. 2005. Prevalensi infeksi Whites Spot Syndrome Virus WSSV pada induk udang windu Penaeus monodon hasil tangkapan dari alam.
Jurnal Penelitian Perikanan Indonesia. 11:5-10. Tu PNV. 1994. Dinamical System, An Introduction with Applications in
Economics and Biology.: Heidelberg, Germany: Springer-Verlag. Tschirhart J. 2004. A new adaptive system approach to predator
–prey modeling. Ecological Modelling. 176: 255
–276. Verhlust F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System.
Heidelberg, Germany: Springer-Verlag. Yusmansyah et al. 2005. Kajian dinamika populasi udang putih Penaeus
merguiensis de Man dan udang krosok Penaeus semisulcatus de Haan di Perairan Utara Lamongan-Jawa Timur. [Skripsi] Malang: Universitas
Brawijawa.
Lampiran 1 Penentuaan titik tetap
Untuk menentukan titik tetap maka ,
,
Sehingga titik tetapnya 1.
T 0, 0, 0
2. T
1
S, 0, 0
S = K Sehingga titik tetapnya adalah K
, 0, 0 3.
T
2
S, I, 0
Untuk
Untuk mendapatkan S
I I = 0 atau
S = Jadi titik tetapnya adalah {
4. Untuk 0, I, P tidak mungkin
5. T
3
S, I, 0 Untuk mendapatkan S melalui persamaan
= 0 untuk I = 0 Maka didapat
Untuk mendapatkan P substitusi S ke persamaan
6. T
4
S , I
, P Untuk memudahkan maka digunakan software mathematica dengan
programnya adalah sebagai berikut: Program menentukan titik tetap
y Hasilnya untuk T
4
S , I
, P adalah:
a
a
2
r
2
-2 d
2
+d 3 m+n +2 m -m+n -d K r
d+m-3 n -d
2
K
2
-K r d-m+n
2
r+K -2 -a
d-m+n d k r r+K +r
2
2 d-3 m+n -K r d-m
+3 n +d k
2
+2 E
2
K r d-m+n
2
+E K d-m+n r+K q
1
a d +d-m+n +E d-m+n q
2
+a
d r-2 m r d k +d-m+n r-K K
2
r
2
d- m+n
2
+a
2
m-n
2
r
2
+d
2
2 r+K
2
-2 d r 2 m+n r+K m+3 n
+2 a k r d-m+n d 2 r+K - m+n r+2 n -E K d-m+n q
1
2 d 2 a+K r-2 a+K m+n r
+2 a d k +E K -d+m+n q
1
+4 a n r q
2
-E d- m+n
a r
2
2 d-3 m+n -K r d-m +3 n +d K
2
+K r d-m+n r+k -4 +r K
2
r
2
d-m+n
2
+a
2
m-n
2
r
2
+d
2
2 r+K
2
-2 d r 2 m+n r+K m+3 n
+2 a K r d-m+n d2 r+K - m+n r+2 n -E K d-m+n
q
1
2 d 2 a+K r-2 a+K m+n r +2 a d K
+E K -d+m+n q
1
+4 a n r q
2
- K K
2
r
2
d-m+n
2
+a
2
m-n
2
r
2
+d
2
2 r+K
2
-2 d r 2 m+n r+K m+3
n +2 a K r d-m+n d 2 r+K - m+n r+2 n
-E K d-m+n q
1
2 d 2 a+K r-2 a+K m+n r +2
a d K +E K -d+m+n q
1
+4 a n r q
2
2 r d-m+n
2
a m r +d K +K d-m+n +E K d-m+n q
2
a a m -m+n r +a d K -2 d+m+2 n -K -d+m+n
m r -2 d +2 n -E m q
1
-2 E d-n q
2
+m
a-K m-a+K n r +d K r+a +E K -d+m+n
+4 a r -d+m+n -a d r+K
+K -d r+m r +n +E K d-m q
1
+E K n q
2
2 d-m+n a m r
+d K +k d-m+n +E K d-m+n q
2
= a m-n r
+a d K +K d-m+n r-E q
1
- a-K m-a+K n r +d K r+a +E K -d+m+n
+4 a r -d+m+n -a d r+K +K -d r+m r +n
+E K d-m q
1
+E K n q
2
dan
a
a
2
r
2
-2 d
2
+d 3 m+n +2 m -m+n -d K r
d+m-3 n -d
2
K
2
-K r d-m+n
2
r+K -2 -a
d-m+n d k r r+K +r
2
2 d-3 m+n -K r d-m
+3 n +d k
2
+2 E
2
K r d-m+n
2
+E K d-m+n r+K q
1
a d +d-m+n +E d-m+n q
2
+a
-d r+2 m r +d k -d-m+n r-K K
2
r
2
d- m+n
2
+a
2
m-n
2
r
2
+d
2
2 r+K
2
-2 d r 2 m+n r+K m+3 n +2 a k r d-m+n d 2 r+K - m+n
r+2 n -E K d-m+n q
1
2 d 2 a+K r-2 a+K m+n r +2 a d k +E K -d+m+n q
1
+4 a n r q
2
-E d- m+n
a r
2
2 d-3 m+n -K r d-m +3 n +d K
2
+K r d-m+n r+k -4 +r K
2
r
2
d-m+n
2
+a
2
m-n
2
r
2
+d
2
2 r+K
2
-2 d r 2 m+n r+K m+3 n
+2 a K r d-m+n d2 r+K - m+n r+2 n -E K d-m+n
q
1
2 d 2 a+K r-2 a+K m+n r +2 a d K
+E K -d+m+n q
1
+4 a n r q
2
- K K
2
r
2
d-m+n
2
+a
2
m-n
2
r
2
+d
2
2 r+K
2
-2 d r 2 m+n r+K m+3
n +2 a K r d-m+n d 2 r+K - m+n r+2 n
-E K d-m+n q
1
2 d 2 a+K r-2 a+K m+n r +2
a d K +E K -d+m+n q
1
+4 a n r q
2
2 r d-m+n
2
a m r +d K +K d-m+n +E K d-m+n q
2
a a m -m+n r +a d K -2 d+m+2 n -K -d+m+n
m r -2 d +2 n -E m q
1
-2 E d-n q
2
+m
a-K m-a+K n r +d K r+a +E K -d+m+n
+4 a r -d+m+n -a d r+K
+K -d r+m r +n +E K d-m q
1
+E K n q
2
2 d-m+n a m r
+d K +k d-m+n +E K d-m+n q
2
= a m-n r
+a d K +K d-m+n r-E q
1
- a-K m-a+K n r +d K r+a +E K -d+m+n
+4 a r -d+m+n -a d r+K +K -d r+m r +n
+E K d-m q
1
+E K n q
2
Lampiran 2
Penentukan kestabilan untuk Program menentukan matriks Jacobi
Untuk menentukan kestabilan nilai eigen untuk pada
maka , maka
diperoleh:
1
1 ar
d n
a K r
EKq
dengan asumsi dan n , sehingga
atau Jika E 0 maka haruslah
, , untuk
jelas Akan dibuktikan untuk
Untuk memperjelas batas ,
dan dapat dibuat dalam garis
bilangan sebagai berikut:
Gambar 4 Batas E untuk T
1
Lampiran 3
Penentukan kestabilan untuk T
2
Program menentukan matriks jacobi untuk titik tetap T
2
Program menentukan nilai eigen untuk titik tetap E
2
Eigenvalues[j2] Hasilnya:
. Untuk
Dari nilai eigen di atas diuraikan menjadi:
+
terbukti Untuk
+
terbukti untuk
dengan asumsi sehingga dapat
diuraikan:
+
0. Persamaan diatas berupa persamaan kuadrat sehingga dapat dibuat V
+WE +Z 0.
Dengan: V =
W =
Z =
Karena V 0 maka grafik terbuka keatas. Sehingga untuk memperoleh akar-akar persamaan kuadrat hasilnya didapat dengan menggunakan software mathematica
Akar-akar persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut:.
Setelah dimasukkan parameter selain dan m = 31n maka didapat:
= -0.76536-23.6394 λ-5202. n λ-135. -54. n +
23.6394 +5202. +135. 2+54. 22−4 0.777 +4.662 −4185.
2 0.777 +4.662 λ -4185. n
= -0.76536-23.6394 λ -5202. n λ -135. -54. n -
23.6394 +5202. +135. 2+54. 22−4 0.777 +4.662 −4185.
2 0.777 +4.662 λ -4185. n
Dari hasil di atas terlihat bahwa hasilnya berbentuk persamaan kuadrat berbeda nilai yaitu:
Dengan: .
.
Misalkan = dengan asumsi
0, sehingga dan
. Karena 0 maka akar-akar persamaan memotong absis
Jadi batasnya agar nilai 0 adalah E
atau E E
2
Untuk mendapatkan E agar 0,
0 dan 0 maka dapat dibuat dalam
garis bilangan sebagai berikut:
Gambar 5 Batas E untuk T
2 ,
Lampiran 4
Menentukan kestabilan nilai eigen untuk T
3
Program menentukan matriks Jacobi untuk T
3
menentukan matriks jacobi untuk je3=
{
Program menentukan nilai eigen untuk Eigenvalues[j3]
Menghasilkan =
=
. =
Dari hasil diatas dapat disederhanakan menjadi: =
= dengan:
. Untuk
dengan
kedua ruas dikuadratkan
atau
dengan
untuk
untuk
dengan
0 dipenuhi bila
Untuk memperjelas batas dan
dapat dibuat dalam garis bilangan
Gambar 6 Batas E untuk T
3 E
Lampiran 5
Program membuat simulasi ClearAll;
Clear[r,K, m, n, a, , , d, q2, q1, T, sol1, sol2, sol3]; r = 3;
K = 45; a = 15;
= 0.24; = 0.4;
d = 0.09; q1 = 0.2;
q2 = 0.5; m
= …; dapat diubah-ubah n
= ….; dapat diubah-ubah T= 80;
S = 20;
I = 30;
P = 10;
Needs[PlotLegends`]; parameter E,
n diubah-ubah Manipulate[Module[{sol, S, I, P, t}, sol1 = First[S. NDSolve
L A M P I R A N
ABSTRACT
MAULIDAINI. The Study of Predator-Prey-Parasite Model with Harvesting as a
Disease Control Measure. Under supervision of TONI BAKHTIAR and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Predator-prey interaction in presence of parasite can change the system stability in the population. This study aims to analyze the stability of predator-prey-parasite
model with harvesting as a disease control measure and to study the effects of decreasing or increasing the harvesting process to the disease. Predator-prey-
parasite with harvesting model is applied to a system with shrimp Penaeidae sp population as prey, Whitespot disease as disease, and blekok birds as predator in
estuary waters. Mathematica software is used to carry out some numerical simulations. The results from this study show that harvesting can be used as a tool
for controlling disease by choosing certain harvesting way.
Keywords : predator-prey-parasite model, harvesting, disease control, stability
analysis
I PENDAHULUAN