Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak
47
Matematika
Alternatif Penyelesaian Kita deinisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, dengan
demikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif. Perhatikan sketsa berikut:
Gambar 2.2 Sketsa lompatan
Ke belakang 1 langkah Ke belakang 1 langkah
Ke depan 2 langkah Ke belakang 3 langkah
Ke depan 2 langkah
Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan, langkah pertama si
anak sejauh 2 langkah ke depan mengarah ke sumbu x positif, anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang mengarah ke sumbu x negatif dari
posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah ke 5.
Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang x = –1. Banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep
nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya. Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya ke arah
sumbu x negatif. Banyak langkah dapat dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur 3 langkah dinyatakan dengan harga mutlak negatif
3 |-3|. Sehingga banyak langkah anak tersebut adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9 9 langkah.
Perhatikan Tabel 2.1 berikut.
Nilai Non Negatif Nilai Mutlak
Nilai Negatif Nilai Mutlak
–2 2
2 2
–3 3
3 3
–4 4
5 5
–5 5
Tabel 2.1 Nilai Mutlak
Dari ilustrasi dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik sebuah kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak tersebut? Jika x adalah variabel pengganti semua
bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak x tersebut? Perhatikan bahwa x elemen himpunan bilangan real, kita tuliskan dengan x
∈ R.
48
Kelas X
Dari contoh pada tabel tersebut, kita melihat bahwa nilai mutlak akan bernilai positif atau nol. Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis
bilangan real. Perhatikan garis bilangan berikut. Kita lakukan beberapa percobaan perpindahan posisi sebagai berikut.
Gambar 2.3 Selang Nilai Mutlak
|3| = 3 |–3| = 3
|–2| = 2 |x| = x
|–x| = x |0| – 0
–3 –2 –1 1
2 3
4 –3 –2 –1
1 2
3 4
–3 –2 –1 1
2 3
4 –x
... –1 1
2 ...
x –x
... –1 1
2 ...
x –x
... –1 1
2 ...
x
Berdasarkan Gambar 2.3 di atas, dapat diperoleh deinisi nilai mutlak berikut.
Deinisi 2.1
Misalkan x bilangan real, dideinisikan x
x x
x x
= ≥
−
jika jika
Berikutnya, kita akan mencoba menggambar graik f x x
x x
x =
≥ −
jika
jika .
Perhatikan beberapa titik yang mewakili graik fungsi di atas.
x –4
–2 –1
1 2
4 y=fx
4 2
1 1
2 4
x,y –4,4
–2,2 –1,1
0,0 1,1
2,2 4,4
Tabel 2.2 Pasangan Titik pada Fungsi f x x
=
Titik-titik yang kita peroleh pada tabel, disajikan dalam koordinat kartesius
Gambar 2.4: Graik y = fx=|x|
–
x
2 1
1 2
3 4
y
... ...
2 ...
... ...
2 , y
3,5 ...
... 0,2
... ...
... ,2
–
y
| |
x
49
Matematika
sebagai berikut.
Gambar 2.4: Graik y = fx=|x|
Berdasarkan deinisi dan gambar graik di atas dapat kita simpulkan bahwa harga |x| pada dasarnya menyatakan besar simpangan dari titik x = 0.
Contoh 2.1
Gambarkan graik f x x
= − 2 yang menyatakan besar simpangan pada titik x = 2. Sekarang, mari kita buat graik f x
x = − 2 , dengan langkah-langkah berikut.
Langkah 1. Buatlah tabel untuk menunjukkan pasangan titik-titik yang mewakili graik tersebut.
Tabel 2.3 Pasangan Titik pada Fungsi
f x x
= − 2
x –3
–2 –1
1 2
3 4
y 5
... ...
2 ...
... ...
2 x,y
–3,5 ...
... 0,2
... ...
... 4,2
Lengkapilah tabel di atas Langkah 2.
Letakkanlah titik-titik yang kamu peroleh pada Tabel 2.3 pada koordinat kartesius.
Gambar 2.5 Titik Graik fx = |x–2|
50
Kelas X
Langkah 3. Hubungkanlah titik-titik yang sudah kamu letakkan di koordinat tersebut sesuai
dengan urutan nilai x.
Gambar 2.6 Titik Graik fx = |x–2|
Latihan 2.1
Perhatikan graik f x x
= − 2 Lihatlah penyimpangan graik terhadap sumbu x. Dapatkah kamu beri kesimpulan?
Bagaimana dengan penyimpangan pada graik f x x
p = −
terhadap sumbu x, untuk p bilangan real.
Selanjutnya, mari kita amati hubungan antara |x| dengan x
2
pada tabel berikut.
x –3
–2 –1
1 2
3 x
2
9 4
1 1
4 9
|x| 3
2 1
1 2
3 x
2
3 2
1 1
2 3
Tabel 2.4 Hubungan |x| dan x
2
Dapatkah kamu mengambil kesimpulan hubungan antara |x| dengan x
2
berdasarkan tabel di atas?
51
Matematika
Latihan 2.2
Dari deinisi nilai mutlak yang kita berikan, dapatkah anda berikan pendeinisian berikut.
≥ ...
... ... ...
... ... jika
jika ax
b +
=
... ...
Cobalah mendiskusikannya dengan temanmu