Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak

47 Matematika Alternatif Penyelesaian Kita deinisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, dengan demikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif. Perhatikan sketsa berikut: Gambar 2.2 Sketsa lompatan Ke belakang 1 langkah Ke belakang 1 langkah Ke depan 2 langkah Ke belakang 3 langkah Ke depan 2 langkah Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan, langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan mengarah ke sumbu x positif, anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang mengarah ke sumbu x negatif dari posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah ke 5. Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang x = –1. Banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya. Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya ke arah sumbu x negatif. Banyak langkah dapat dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur 3 langkah dinyatakan dengan harga mutlak negatif 3 |-3|. Sehingga banyak langkah anak tersebut adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9 9 langkah. Perhatikan Tabel 2.1 berikut. Nilai Non Negatif Nilai Mutlak Nilai Negatif Nilai Mutlak –2 2 2 2 –3 3 3 3 –4 4 5 5 –5 5 Tabel 2.1 Nilai Mutlak Dari ilustrasi dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik sebuah kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak tersebut? Jika x adalah variabel pengganti semua bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak x tersebut? Perhatikan bahwa x elemen himpunan bilangan real, kita tuliskan dengan x ∈ R. 48 Kelas X Dari contoh pada tabel tersebut, kita melihat bahwa nilai mutlak akan bernilai positif atau nol. Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Perhatikan garis bilangan berikut. Kita lakukan beberapa percobaan perpindahan posisi sebagai berikut. Gambar 2.3 Selang Nilai Mutlak |3| = 3 |–3| = 3 |–2| = 2 |x| = x |–x| = x |0| – 0 –3 –2 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –x ... –1 1 2 ... x –x ... –1 1 2 ... x –x ... –1 1 2 ... x Berdasarkan Gambar 2.3 di atas, dapat diperoleh deinisi nilai mutlak berikut. Deinisi 2.1 Misalkan x bilangan real, dideinisikan x x x x x = ≥ −    jika jika Berikutnya, kita akan mencoba menggambar graik f x x x x x = ≥ −    jika jika . Perhatikan beberapa titik yang mewakili graik fungsi di atas. x –4 –2 –1 1 2 4 y=fx 4 2 1 1 2 4 x,y –4,4 –2,2 –1,1 0,0 1,1 2,2 4,4 Tabel 2.2 Pasangan Titik pada Fungsi f x x = Titik-titik yang kita peroleh pada tabel, disajikan dalam koordinat kartesius Gambar 2.4: Graik y = fx=|x|   –   x 2 1 1 2 3 4 y ... ... 2 ... ... ... 2 , y 3,5 ... ... 0,2 ... ... ... ,2 – y | | x 49 Matematika sebagai berikut. Gambar 2.4: Graik y = fx=|x| Berdasarkan deinisi dan gambar graik di atas dapat kita simpulkan bahwa harga |x| pada dasarnya menyatakan besar simpangan dari titik x = 0. Contoh 2.1 Gambarkan graik f x x = − 2 yang menyatakan besar simpangan pada titik x = 2. Sekarang, mari kita buat graik f x x = − 2 , dengan langkah-langkah berikut. Langkah 1. Buatlah tabel untuk menunjukkan pasangan titik-titik yang mewakili graik tersebut. Tabel 2.3 Pasangan Titik pada Fungsi f x x = − 2 x –3 –2 –1 1 2 3 4 y 5 ... ... 2 ... ... ... 2 x,y –3,5 ... ... 0,2 ... ... ... 4,2 Lengkapilah tabel di atas Langkah 2. Letakkanlah titik-titik yang kamu peroleh pada Tabel 2.3 pada koordinat kartesius. Gambar 2.5 Titik Graik fx = |x–2| 50 Kelas X Langkah 3. Hubungkanlah titik-titik yang sudah kamu letakkan di koordinat tersebut sesuai dengan urutan nilai x. Gambar 2.6 Titik Graik fx = |x–2| Latihan 2.1 Perhatikan graik f x x = − 2 Lihatlah penyimpangan graik terhadap sumbu x. Dapatkah kamu beri kesimpulan? Bagaimana dengan penyimpangan pada graik f x x p = − terhadap sumbu x, untuk p bilangan real. Selanjutnya, mari kita amati hubungan antara |x| dengan x 2 pada tabel berikut. x –3 –2 –1 1 2 3 x 2 9 4 1 1 4 9 |x| 3 2 1 1 2 3 x 2 3 2 1 1 2 3 Tabel 2.4 Hubungan |x| dan x 2 Dapatkah kamu mengambil kesimpulan hubungan antara |x| dengan x 2 berdasarkan tabel di atas? 51 Matematika Latihan 2.2 Dari deinisi nilai mutlak yang kita berikan, dapatkah anda berikan pendeinisian berikut. ≥ ... ... ... ... ... ... jika jika ax b + =    ... ... Cobalah mendiskusikannya dengan temanmu

2. Persamaan Linier

Masalah-2.2 Andi dalam tiga hari berturut-turut membelanjakan uangnya untuk membeli keperluan sekolah. Pada hari Minggu dia menghabiskan 1 2 1 3 dari uang yang dimilikinya. Pada hari Senin, dia membelanjakan uangnya Rp4.000,00 lebih sedikit dari uang yang dia belanjakan hari Minggu. Sementara uang yang dibelanjakan pada hari Selasa hanya 1 2 1 3 dari belanjaan hari Senin. Sekarang dia masih memiliki uang sisa belanjaan sebanyak Rp1.000,00. Dapatkah kamu membuat model dari kasus permasalahan tersebut? Buatlah model tersebut, apakah kamu dapat menentukan uang Andi sebelum dibelan- jakan? Diketahui: Belanja hari Minggu = 1 6 1 2 × jumlah uangnya. Belanja hari Senin = Rp4.000,00 lebih sedikit dari belanja hari Minggu. Belanja hari Selasa = 1 2 1 3 × belanja hari Senin. Ditanya: • Buatlah model matematika dari permasalahan di atas. • Tentukan berapa uang Andi sebelum dibelanjakan. 52 Kelas X Alternatif Penyelesaian Marilah kita bersama-sama menyelesaikan permasalahan ini. Misal banyak uang Andi = x Dari yang diketahui diperoleh Belanja hari Minggu = 1 6 1 2 x Belanja hari Senin = 1 6 1 2 x – 4000 Belanja hari Selasa = 1 3 2 4 000 x −       . Kita buat sebuah persamaan dari kasus ini, yaitu: Uang Andi = jumlah uang yang dibelanjakan + sisa uang sehingga penyelesaian permasalahan ini, adalah: x = x x x x x 2 2 4 000 1 3 2 4 000 1 000 2 2 4       + −       + −       + = + − . . . .0 000 6 4 000 3 1 000 + − + x . . 6x = 3x + 3x – 24.000 + x – 8.000 + 6.000 = 7x – 26.000 x = 26.000 Dengan demikian uang Andi mula-mula adalah Rp26.000,00. Masalah-2.3 Di sebuah desa, terdapat sepasang manula yang tinggal di rumah tua. Pada saat sensus penduduk awal tahun 2013, kakek dan nenek tersebut belum memiliki KTP. Untuk pembuatan KTP, kakek dan nenek diminta data tanggal lahir mereka, tetapi mereka tidak pernah mengetahui tanggal lahirnya. Mereka hanya mengingat bahwa saat menikah, selisih umur mereka 3 tahun. Saat itu nenek berusia 20 tahun, yaitu 11 tahun setelah proklamasi. Dapatkah kamu membuat persamaan linear dari persoalan di atas? Dapatkah kita ketahui tahun lahir mereka? Alternatif Penyelesaian Diketahui: Umur kakek – umur nenek = 3 kalikan kedua ruas dengan 6,