Graik Fungsi Kuadrat FUNGSI KUADRAT a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat
237
Matematika
x 1
2 3
4 y = fx 0 3,51 14,04 31,6 56,17
0 1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
Grafik persamaan fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R, x 0 da
10 20
30 40
50 60
70
dapat di- gambarkan sebagai berikut.
Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat 0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut.
20 x
2
, x
256
20
2
, x R,
256
20 R, x
drat y = fx =
4 20
x
2
, x
1 2
3 4
0 3,51 14,04 31,6 56,17
0 1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R, x 0, ya
1 2
3 4
0 3,51 14,04 31,6 56,17
10 20
30 40
50 60
70
Perhatikan fungsi kuadrat yang menyatakan besarnya debit air yang mengalir dari pipa. Besarnya debit air yang mengalir dari
pipa tergantung besarnya ukuran diameter x pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = fx = f0 = 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = fx disajikan
dalam tabel berikut.
Gambar 7.12: Grafik fungsi = fx = x
2
, x R, x 0.
4 20
0 1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
y
x y = fx =
4 20
x
2
, x R, x 0
1 2 3
4 5 6
238
Kelas X
Ciri-ciri fungsi kuadrat dan parabola di atas adalah sebagai berikut.
• Koeisien x
2
adalah
dalah a =
4 20
–
’ ’
’ ’
• Kurva terbuka ke atas • Memiliki titik puncak titik balik minimum di titik O 0, 0
• Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis x = 0 dan nilai minimum y = f0 = 0
• Nilai diskriminan, D = b
2
– 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x pada titik O0, 0
• Cerminkan grafik fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
’ ’
’ ’
terhadap Sumbu-x
dan selidiki sifat-sifat graik fungsi kuadrat yang ditemukan. Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
’ ’
’ ’
terhadap Sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa
arah benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat y = fx =
ANGA ,
4 20
2
x
x R b
–
’ ’
’ ’
berubah dari bernilai positif menjadi
negatif. Perubahan tersebut diikuti perubahan fungsinya dari y = fx =
=
4 20
x
–
1 2 3 4 5 6
10 20
30 40
50 60
70
2 -1 A
’ ’
’ ’
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
’ ’
’ ’
10 -1
1 2
3 4
5 6
-2 -3
-4 -5
-6 20
30 40
50 60
70
Gambar 7.13: Grafik fungsi
x = x
2
, x R
–
4 20
’ ’
’ ’
D D
y
C C
B B
A A
256
–
fx =
4 20
x
2
, x R
10 20
30 40
50 60
70
1
’ ’
’ ’
→
x
239
Matematika
Ciri-ciri fungsi
kuadrat R dan parabola hasil pencer-
minan terhadap sumbu-x Gambar-7.14 adalah sebagai berikut. • Koeisien x
2
adalah a = - • Kurva terbuka ke bawah
• Memiliki titik puncak titik balik maksimum di titik O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis
y = 0 dan nilai minimum f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b
2
– 4ac = 0 • Kurva menyinggung Sumbu x pada titik O0, 0
lah a = -
4 20
–
’ ’
’ ’
258
njadi y = fx = -
4 20
x
2
, x
–
1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
2 -1
’ ’
’ ’
x
2
, x ∈ R menjadi
258
njadi y = fx = -
4 20
x
2
, x
–
1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
2 -1
’ ’
’ ’
R
. Secara lengkap bayangan graik persamaan fungsi kuadrat y = fx setelah dicerminkan terhadap Sumbu-x adalah
sebagai berikut.
Apa kesimpulan dari hasil pencerminan tersebut?
10 -1
1 2
3 4
5 6
-2 -3
-4 -5
-6 20
30 40
50 60
257
–
1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
2 -1 D
’ ’
’ ’
fx =
4 20
x
2
, x R
257
–
’ ’
’ ’
fx = -
4 20
x
2
, x R
Gambar 7.14: Grafik fungsi fx dan grafik pencerminan fx
–
’ ’
’ ’
240
Kelas X
Kesimpulan
Misalkan gx = ax
2
, x ∈ R, jika dicerminkan terhadap Sumbu-x maka diperoleh
gx = -ax
2
, x ∈ R dengan sumbu simetri adalah Sumbu-y dan memiliki titik
puncak O 0, 0.
Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa graik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut:
1 Apa yang dimaksud dengan graik fungsi kuadrat? 2 Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetris graik fungsi
kuadrat? 3 Apa yang dimaksud dengan titik puncak graik fungsi kuadrat?
4 Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetris dan titik puncak graik fungsi kuadrat?
5 Apa yang dimaksud dengan transformasi geser ?. 6 Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang
graik fungsi kuadrat dari graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x ∈ R, dan a
≠ 0?
Masalah-7.8
Diberikan fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real
dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri sumbu simetri dan titik puncak graik
fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah
bilangan real dan a ≠ 0 dari graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x
∈
R, a ≠ 0.
c. Temukan titik potong graik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b,
c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koeisien a dan titik puncak parabola.
7 Temukan arah pergeseran graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x ∈ R untuk
mendapatkan graik fungsi dan syarat-syarat
yang diperlukan
ungsi
a D
a b
x g
x f
4 2
da t apa saja yang kamu
sim
≠ 0 berkaitan
≠ 0. ≠ 0
b c
≠ 0
b ≠ 0
b
≠ 0
b
≠ 0
b
≠ 0
b
D
≠ 0
241
Matematika
≠ 0 berkaitan
≠ 0. fx = ax
2
+ bx + c, a ≠ 0 fx = ax
2
+ a
b x +
a c
, a ≠ 0
fx = ax
2
+ a
b x +
2 2
4a b
-
2 2
4a b
+ a
c , a
≠ 0 fx = a[x +
a b
2
2
-
2 2
4 4
a ac
b
], a ≠ 0
fx = ax + a
b 2
2
- a
ac b
4 4
2
, a
≠ 0 fx = ax -
2 a
b
2
+ a
D 4
, a
≠ 0
Misalkan gx = ax
2
, x R, a 0
fx = ax - 2
a b
2
+ a
D 4
, a
≠ 0 dan gx = ax
2
, x R
fx = gx - 2
a b
+
a D
4
fx
Graik fungsi fx = gx –
- 2
a b
+
a D
4
a
b
b
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
b
≠ 0. Misal –
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0, b
b
D
adalah graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x
∈ R yang digeser sejauh satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah Sumbu-y.
8 Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari graik fungsi kuadrat dengan
a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0
berkaitan dengan nilai koeisien a dan titik puncak graik fungsi? 9 Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran graik fungsi kuadrat
terkait nilai koeisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya.
Berdasarkan Deinisi 7.2, bentuk umum fungsi kuadrat adalah fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0.
A
a
D a
b x
a x
f 4
2
2
, de ≠ 0 berkaitan
≠ 0. ≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
b
D
≠ 0
242
Kelas X
Dari beberapa sajian graik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat- sifat graik persamaan fungsi kuadrat dan menyajikan beberapa kemungkinan kondisi
graik tersebut terkait dengan koeisien x
2
, nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut. Dari fungsi kuadrat
kuadrat fx = ax - 2
a b
2
+ a
D 4
, de
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
b
D
b
≠ 0. Misal –
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,
dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat.
Sifat-5
Jika a 0, maka graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a
≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
um P a
b 2
,
a D
4
.
b
D
≠ 0. Misal –
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,
Sifat-6
Jika a 0, maka graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a
≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki titik balik maksimum
, .
2 4
− − b
D P
a a
Sifat-7
Graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a
≠ 0. Misal D = b
2
– 4ac D adalah diskriminan a. Jika
D 0 maka graik y = fx memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda
b. Jika D
= 0 maka graik y = fx menyinggung Sumbu-x pada satu titik c. Jika
D 0 maka graik y = fx tidak memotong Sumbu-x
Sifat-4
Graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0, memiliki a. Persamaan sumbu simetri x =
2 −b
a dan
b. Titik puncak
, .
2 4
− − b
D P
a a
243
Matematika
Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap Sumbu-x
244
Kelas X