Graik Fungsi Kuadrat FUNGSI KUADRAT a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat

237 Matematika    x 1 2 3 4 y = fx 0 3,51 14,04 31,6 56,17          0 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70    Grafik persamaan fungsi kuadrat    drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R, x  0 da       10 20 30 40 50 60 70    dapat di- gambarkan sebagai berikut. Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat 0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut.          20 x 2 , x       256          20 2 , x  R,      256          20  R, x      drat y = fx =  4 20 x 2 , x   1 2 3 4 0 3,51 14,04 31,6 56,17          0 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70    drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R, x  0, ya 1 2 3 4 0 3,51 14,04 31,6 56,17          10 20 30 40 50 60 70    Perhatikan fungsi kuadrat yang menyatakan besarnya debit air yang mengalir dari pipa. Besarnya debit air yang mengalir dari pipa tergantung besarnya ukuran diameter x pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = fx = f0 = 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = fx disajikan dalam tabel berikut.       Gambar 7.12: Grafik fungsi = fx = x 2 , x  R, x  0.     4 20 0 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 y x y = fx =  4 20 x 2 , x  R, x  0 1 2 3 4 5 6 238 Kelas X Ciri-ciri fungsi kuadrat dan parabola di atas adalah sebagai berikut. • Koeisien x 2 adalah     dalah a =  4 20     –         ’ ’ ’ ’ • Kurva terbuka ke atas • Memiliki titik puncak titik balik minimum di titik O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis x = 0 dan nilai minimum y = f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b 2 – 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x pada titik O0, 0 • Cerminkan grafik fungsi kuadrat  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –         ’ ’ ’ ’ terhadap Sumbu-x dan selidiki sifat-sifat graik fungsi kuadrat yang ditemukan. Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –         ’ ’ ’ ’ terhadap Sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa arah benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat y = fx = ANGA , 4 20 2 x        x  R b             –  ’ ’ ’ ’     berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti perubahan fungsinya dari y = fx =         =  4 20 x            –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 A ’ ’ ’ ’      drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –         ’ ’ ’ ’ 10 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6 20 30 40 50 60 70 Gambar 7.13: Grafik fungsi x = x 2 , x  R         –       4 20   ’ ’ ’ ’ D D y C C B B A A 256          –       fx =  4 20 x 2 , x  R 10 20 30 40 50 60 70 1 ’ ’ ’ ’ → x 239 Matematika Ciri-ciri fungsi kuadrat R dan parabola hasil pencer- minan terhadap sumbu-x Gambar-7.14 adalah sebagai berikut. • Koeisien x 2 adalah a = - • Kurva terbuka ke bawah • Memiliki titik puncak titik balik maksimum di titik O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis y = 0 dan nilai minimum f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b 2 – 4ac = 0 • Kurva menyinggung Sumbu x pada titik O0, 0                lah a = -  4 20     –  ’ ’ ’ ’     258           njadi y = fx = -  4 20 x 2 , x          –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 ’ ’ ’ ’     x 2 , x ∈ R menjadi 258           njadi y = fx = -  4 20 x 2 , x          –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 ’ ’ ’ ’     R . Secara lengkap bayangan graik persamaan fungsi kuadrat y = fx setelah dicerminkan terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut. Apa kesimpulan dari hasil pencerminan tersebut? 10 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6 20 30 40 50 60 257                     –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 D ’ ’ ’ ’   fx =  4 20 x 2 , x  R 257                     –  ’ ’ ’ ’ fx = -  4 20 x 2 , x  R               Gambar 7.14: Grafik fungsi fx dan grafik pencerminan fx         –  ’ ’ ’ ’     240 Kelas X Kesimpulan Misalkan gx = ax 2 , x ∈ R, jika dicerminkan terhadap Sumbu-x maka diperoleh gx = -ax 2 , x ∈ R dengan sumbu simetri adalah Sumbu-y dan memiliki titik puncak O 0, 0. Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa graik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut: 1 Apa yang dimaksud dengan graik fungsi kuadrat? 2 Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetris graik fungsi kuadrat? 3 Apa yang dimaksud dengan titik puncak graik fungsi kuadrat? 4 Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetris dan titik puncak graik fungsi kuadrat? 5 Apa yang dimaksud dengan transformasi geser ?. 6 Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang graik fungsi kuadrat dari graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, dan a ≠ 0? Masalah-7.8 Diberikan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri sumbu simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dari graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, a ≠ 0. c. Temukan titik potong graik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koeisien a dan titik puncak parabola. 7 Temukan arah pergeseran graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R untuk mendapatkan graik fungsi dan syarat-syarat yang diperlukan  ungsi                        a D a b x g x f 4 2 da t apa saja yang kamu sim                        ≠ 0 berkaitan ≠ 0. ≠ 0  b c ≠ 0  b ≠ 0  b  ≠ 0  b  ≠ 0  b   ≠ 0   b  D  ≠ 0     241 Matematika                                               ≠ 0 berkaitan ≠ 0. fx = ax 2 + bx + c, a ≠ 0  fx = ax 2 + a b x + a c , a ≠ 0  fx = ax 2 + a b x + 2 2 4a b - 2 2 4a b + a c , a ≠ 0  fx = a[x + a b 2 2 - 2 2 4 4 a ac b  ], a ≠ 0  fx = ax + a b 2 2 - a ac b 4 4 2  , a ≠ 0  fx = ax - 2 a b  2 + a D 4  , a ≠ 0 Misalkan gx = ax 2 , x  R, a  0 fx = ax - 2 a b  2 + a D 4  , a ≠ 0 dan gx = ax 2 , x  R  fx = gx - 2 a b  + a D 4  fx Graik fungsi fx = gx – - 2 a b  + a D 4  a  b   b   ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   b       ≠ 0. Misal – + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0, b  b  D  adalah graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R yang digeser sejauh satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah Sumbu-y. 8 Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari graik fungsi kuadrat dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 berkaitan dengan nilai koeisien a dan titik puncak graik fungsi? 9 Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran graik fungsi kuadrat terkait nilai koeisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. Berdasarkan Deinisi 7.2, bentuk umum fungsi kuadrat adalah fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. A                                                a D a b x a x f 4 2 2 , de ≠ 0 berkaitan ≠ 0. ≠ 0  ≠ 0  ≠ 0   ≠ 0   ≠ 0    ≠ 0   b  D  ≠ 0     242 Kelas X Dari beberapa sajian graik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat- sifat graik persamaan fungsi kuadrat dan menyajikan beberapa kemungkinan kondisi graik tersebut terkait dengan koeisien x 2 , nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut. Dari fungsi kuadrat   kuadrat fx = ax - 2 a b  2 + a D 4  , de ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   b  D    b   ≠ 0. Misal – + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,    dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat. Sifat-5 Jika a 0, maka graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum   ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   um P a b 2  , a D 4  .   b  D  ≠ 0. Misal – + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,    Sifat-6 Jika a 0, maka graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki titik balik maksimum , . 2 4 − − b D P a a Sifat-7 Graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0. Misal D = b 2 – 4ac D adalah diskriminan a. Jika D 0 maka graik y = fx memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda b. Jika D = 0 maka graik y = fx menyinggung Sumbu-x pada satu titik c. Jika D 0 maka graik y = fx tidak memotong Sumbu-x Sifat-4 Graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, memiliki a. Persamaan sumbu simetri x = 2 −b a dan b. Titik puncak , . 2 4 − − b D P a a 243 Matematika Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap Sumbu-x 244 Kelas X

c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Kita cermati konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut. • Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. • Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Latihan 7.5 Berdasarkan kedua konsep di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut 1. Apakah sebuah persamaan kuadrat dapat diperoleh dari sebuah fungsi kuadrat? 2. Jika disubtitusikan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 ke dalam persamaan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c apa yang kamu dapatkan 3. Dapatkah persamaan fungsi kuadrat dipandang sebuah persamaan kuadrat? Jelaskan. 4. Apa perbedaan konsep fungsi dengan konsep persamaan? Sifat-8 Jika sebuah fungsi kuadrat diberi nilai k, dengan k ∈ R maka diperoleh sebuah persamaan kuadrat. 1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 pada saat x = 2, sedangkan untuk x = - 2 fungsi bernilai -11. Tentukan fungsi kuadrat tersebut 2. Tentukan luas minimum segi empat EFGH di bawah ini Uji Kompetensi 7.4 3. Temukan graik fungsi kuadrat fx = 4x 2 – 8x + 3 dari graik fungsi kuadrat gx = 4x 2 4. Persegi ABCD dengan panjang sisinya a cm. Pada sisi AB diberi titik E dengan panjang AE adalah x cm. Diantara sisi BC diberi titik F dengan panjang BF = AE. Panjang EB = FC. Tentukan luas minimum DEF 245 Matematika Projek Rancanglah masalah nyata yang melibatkan graik fungsi kuadrat pada bidang teknik bangunan dan isika. Buatlah pemecahan masalah tersebut dengan menerapkan berbagai sifat graik fungsi kuadrat yang telah kamu pelajari. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. 5. Daerah asal fungsi kuadrat fx = -2x 2 + 4x + 3 adalah himpunan A = {x |-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R . Tentukan daerah hasil fungsi f 6. Gambarkanlah graik fungsi kuadrat di bawah ini.untuk setiap x bilangan real a. fx = 3x 2 +5x-4, x ∈ R. b. fx =-2x 2 –3x+7, x ∈ R. Telah kita temukan konsep dan aturan yang berlaku pada persamaan dan fungsi kuadrat. Beberapa hal yang penting sebagai pegangan kita untuk mendalami dan melanjutkan materi pada bahasan berikutnya, dapat dirangkum sebagai berikut. 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. 2. Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara berikut. a. Memfaktorkan. b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. c. Menggunakan Rumus abc. Rumus abc adalah sebagai berikut. WA      ≠ 0 Rumus abc adalah sebagai ber a ac b b x 2 4 2 2 , 1     Jumlah dan Hasil Kali Akar-Ak b     3. Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, berhubungan erat dengan koeisien- koeisien a, b, dan c. Jika x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka berlaku. SWA      ≠ 0     ku. a b x x    2 1       ≠ 0     b    a c x x  2 1 . dan

D. PENUTUP