Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
23
Matematika
Mengapa kita harus mengalikan dengan
? Karena nilai
selalu positif, maka = 1. Jadi perkalian
dengan tidak akan mengubah nilai
namun menyebabkan penyebut menjadi bilangan rasional.
2 Merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
r p
q r
p q
+ −
+ −
, ,
, dan
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irrasional.
a Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional. Contoh 2 +
= 2 + 2,645751.... = 4, 645751... bilangan irrasional.
b Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional, Contoh 1
+ =
2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... bilangan irrasional, 2 2 +
-2 = 0 bilangan rasional. Jika dua bilangan irrasional dikurangkan,
bagaimana hasilnya? c Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya
bilangan irrasional. Contoh 2 ×
= 2 .
d Jika bilangan irrasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional atau bilangan irrasional.
Contoh: •
× 125 = × 5
= 25 25 adalah bilangan rasional •
adalah bilangan irrasional e
a
n
disebut bentuk akar apabila hasil akar a adalah bilangan irrasional. Untuk merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
r p
q r
p q
+ −
+ −
, ,
, dan
. dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian a + b a – b = a
2
– b
2
.
24
Kelas X
Sehingga p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q +
− =
− =
− +
− =
− =
−
2 2
2 2
2
Bentuk p q
+ dan bentuk p
q −
saling sekawan, bentuk juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan
maka dapat merasionalkan bentuk akar.
Contoh 1.8
Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-bilangan berikut 1
1 2
1 2
3 1
3 4
1 4
5 1
99 100
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
... ...?
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu,
= 1
1 2
1 2
1 2
+ ×
− −
+ 1
2 3
2 3
2 3
+ ×
− −
+ 1
3 4
3 4
3 4
+ ×
− −
+ 1
4 5
4 5
4 5
+ ×
− −
+ ... + 1
99 100
99 100
99 100
+ ×
− −
= 1
2 1
2 3
1 3
4 1
4 5
1 99
100 1
− −
+ −
− +
− −
+ −
− +
+ −
− ...
= – 1 2
2 3
3 4
4 5
99 100
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
... =
− +
= − + =
1 100
1 10 9 .
Contoh 1.9
Berapakah nilai
25
Matematika
Perhatikan pola bilangan di ruas kanan. Misalkan, P =
Dengan menguadratkan ruas kiri dan kanan, diperoleh P
2
1 3
1 3
1 3
= +
+ + ...
P P
2 2
1 3
= +
⇔ +
= ⇔
+ −
= P
P P
P
2 2
2 2 2
3 1
3 1 0
Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna, diperoleh persamaan: ⇔
+ −
= P
2 2
3 2
13 4
⇔ +
+
+
−
= P
P
2 2
3 2
13 2
3 2
13 2
⇔ = −
+ P
2
3 2
13 2
⇔ =
− +
= −
atau P
P 3
2 13
2 1
2 2 13
6 Jadi, nilai dari
adalah
Ingat materi persamaan kuadrat di SMP. Dapatkah kamu selesaikan.
P P
2 2 2
3 1
+ − =
dengan rumus abc pada persamaan kuadrat?
P
2
3 2
13 2
+ +
= tidak memenuhi.
Dapatkah kamu beri alasannya?
26
Kelas X
Contoh 1.10
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a.
2 3
2 2
3 2
3 2
3 2
− =
− ×
+ +
kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya =
+ −
+ 2 3
2 3
2 3 2
b. 3
6 3
3 6
3 6
3 6
3 3 6
3 6
3 6 3
18 3 3 36 3
18 3 3 33
6 11
3 +
= +
× −
− =
− +
− =
− −
= −
= −
1 11
kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya
c. kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya
27
Matematika
3 Menyederhanakan bentuk p
q pq
+ ± 2
Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk
p q
pq +
± 2 . Perhatikan proses berikut ini
Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu a.
p q
p q
+ +
b. p
q p
q −
− Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu akan memperoleh bentuk sederhananya
menjadi p
q pq
+ ± 2
. Selanjutnya, perhatikan contoh berikut
Contoh 1.11
Sederhanakan bentuk akar berikut ini a.
8 2 15
+ =
5 3 2 5 3
5 2 5 3
3 +
+ × =
+ × +
= 5
3 5
3
2
+ =
+ b.
9 4 5
− = 5 4 5 4
5 2
5 2
2
− +
= −
= −
28
Kelas X
Uji Kompetensi 1.2
1. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini
a. 5 15
d. 12
24 b.
2 20
e. 15
48 c. 3
18 f.
2 3
a a
2. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini
a. 1
5 3
− d.
3 5
10 −
b. 4
2 4
2 −
+ e.
xy x
y +
c. 2
3 5
a a
+ f.
24 54
150 96
+ −
3. Sederhanakanlah bentuk berikut ini a.
15 75
1 2
3 −
− b.
7 2
8 11
2 8
+ +
− c.
4 3
2 3
2 1 5
3 2
+ −
− +
− d.
10 5
6 12
6 7
14 7
8 +
+ +
+ +
4. Jika 2 3
2 3
6 −
+ =
+ a
b , tentukan
nilai a + b
5. Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 19 8 3 +
d. 21 4 5
− b. 5
2 6 +
e. 21 8 5
+ c. 43 12 7
+ SOAL TANTANGAN
1. Tentukanlah nilai dari:
a. 2 3 2 3 2 3 ...
3 3
3 3
b. 2 2
2 2
2 +
+ +
+ + ...
c. 1
1 1
1 1
1 +
+ +
...
29
Matematika
2. Jika a,b adalah bilangan asli dan
a ≤ b sehingga 3
4 +
+ a
b adalah
bilangan rasional, maka pasangan a,b adalah ...
OSN 20052006 3. Nyatakan
b dalam a dan c pada b
c c
a
3 3
= abc. 4. Bentuk 49
20 6
4
− dapat diseder-
hanakan menjadi ....
Projek
Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional. Sebagai contoh 0,333... bukanlah bilangan irrasional, karena dapat dinyatakan
sebagai pecahan murni 1
3 . Kenyataannya, bilangan pecahan desimal tak
hingga dengan desimal berulang seperti 0,333... dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Beri
contoh penerapan prosedur yang kamu rancang. b. Berdasarkan penjelasan di atas
π yang bilangan irrasional tidak mungkin sama dengan
, karena adalah pendekatan untuk nilai
π sebenarnya. 1 Berapakah kesalahan
terhadap nilai π?
2 Dengan menggunakan prosedur yang kamu rancang di atas cari pecahan yang lebih mendekati nilai
π daripada kesalahannya
lebih kecil. 3 Apakah lebih baik menggunakan angka yang kamu peroleh daripada
menggunakan Buat laporan projek ini dan paparkan di depan kelas.
5.
6.
54 14 5 12
2 35 32
10 7 +
+ −
+ −
=
7. Jika3+43
2
+4
2
3
4
+4
4
3
8
+4
8
3
16
+4
16
3
32
+4
32
= 4
x
–3
y
, maka x–y = ...
30
Kelas X