Menentukan Nilai Limit Fungsi

332 Kelas X Nilai L yang kita maksud adalah bentuk tentu limit. Jadi, jika kita substitusikan nilai c ke fungsi fx sehingga fc adalah bentuk-bentuk tak tentu seperti , ° ° , ∞ – ∞, , ∞ ∞ , dan lain-lain maka bentuk tersebut gagal menjadi nilai limit fungsi tersebut. Oleh karena itu, misi kita dalam limit fungsi adalah mencari bentuk tentu dari limit fungsi, dengan pengamatan berikut: 1. Substitusikan x = c ke fungsi sehingga diperoleh fc = L . 2. Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi: mencari beberapa titik pendekatan numerik, memfaktorkan, perkalian sekawan, dll. Ingat: x – a sekawan dengan x + a, Perhatikan beberapa contoh soal dan penyelesaian berikut. Contoh 10.11 Tentukanlah nilai lim x x x x → − + − 2 2 2 3 2 4 Cara I Numerik Jika y = lim x x x − + − 2 2 2 3 2 4 maka pendekatan nilai fungsi pada saat x mendekati 2 ditunjukkan pada tabel berikut: Tabel 10.13 Nilai pendekatan fx= lim x x x − + − 2 2 2 3 2 4 pada saat x mendekati 2 x 1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 ... 2 ... 2,001 2,01 2,1 2,3 2,5 y 0,143 0,189 0,231 0,248 0,250 ... ? ... 0,250 0,252 0,268 0,302 0,333 Dengan melihat tabel di atas, jika x mendekati 2, maka y = fx akan mendekati 0,25. Cara II Faktorisasi Perhatikan bahwa fx = x x x 2 2 3 2 4 − + − dapat kita ubah menjadi fx = x x x x 3 2 2 1 2 2 − − − + sehingga: lim x x x x → − + − 2 2 2 3 2 4 = lim x x x x x → − − − + 2 2 1 2 2 = lim x x x →2 lim x x − + 2 2 1 2 karena x ≠ 2 Dapatkah anda meneliti untuk mendapatkan metode yang lain untuk menyelesaikan permasalahan limit fungsi tesebut. 333 Matematika = 1 2 1 4 = 0,25 Contoh 10.12 Tentukanlah nilai lim x→−2 lim x x + − 2 2 1 1 2 5 2 − + + x x Cara I Numerik Misalkan y = lim x x + − 2 2 1 1 2 5 2 − + + x x . Pendekatan nilai fungsi pada saat x mendekati 2 ditunjukkan pada tabel berikut: Tabel 10.14 Nilai pendekatan fx = x x x x 2 1 2 5 2 + − − + + pada saat x mende- kati –2 x –2,3 –2,3 –2,1 –2,01 –2,001 ... –2 ... – 1,999 – 1,99 –1,9 –1,8 –1,7 y 2,594 –2,530 –2,501 –2,499 –2,5 ... ? ... –2,5 – 2,501 –2,528 2,599 – 2,763 Dengan melihat tabel di atas, jika nilai x mendekati –2 maka y = fx akan mende- kati –2,5 Cara II Perkalian sekawan Perhatikan bahwa y = x x x x 2 1 2 5 2 + − − + + dapat kita ubah dengan mengalikan bentuk sekawan dari x x x 2 5 1 2 5 + − − + sehingga: lim x→−2 x x x x x x + − − + + = 2 2 1 2 5 2 lim lim lim x→−2 x x x x x x x x + − − + + + − + + 2 2 2 1 2 5 2 1 2 5 m lim . 2 2 1 2 5 + − + + x x + − − + + + − + + x x x x x x x 2 2 2 1 2 5 2 1 2 5 lim lim x→−2 = lim x→−2 = − − + + − + + x x x x x x 2 2 2 6 2 1 2 5 lim 334 Kelas X fx xx x xx = + + − + − 2 11 1 11 fx xx x xx = + + − + − 2 11 1 11 = lim x→−2 − + + + − + + x x x x x x 2 2 3 2 2 1 2 5 lim = lim x→−2 − + − + + ≠ − karena x x x x x 2 2 3 1 2 5 2 lim = − = − 5 2 2 5 , Contoh 10.13 Tentukanlah lim lim x x x x x x → →− − − − − 1 4 2 1 4 2 1 1 1 1 dan . Jika f x x x = − − 4 2 1 1 dan , maka f f , = − = 1 1 dan . Karena kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut pada saat x mendekati 1 dan –1. Cara I Numerik Misalkan y = f x x x = − − 4 2 1 1 dan . Pendekatan nilai fungsi pada saat x mendekati 1 dan –1 ditunjukkan pada tabel berikut: Tabel 10.15 Nilai pendekatan f x x x = − − 4 2 1 1 dan pada saat x mendekati 1 x 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999 ... 1 ... 1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 y 1,49 1,64 1,81 1,98 2,00 ... ? ... 2,00 2,02 2,21 2,44 2,69 Tabel 10.16 Nilai pendekatan f x x x = − − 4 2 1 1 dan pada saat x mendekati –1 x –1,3 –1,2 –1,1 –1,01 –1,001 ... –1 ... –0,999 –0,99 –0,9 –0,8 –0,7 y 2,69 2,44 2,21 2,02 2,00 ... ? ... 2,00 1,98 1,81 1,64 1,49 Dengan melihat tabel-tabel di atas, jika nilai x mendekati 1 maka y = fx akan mendekati 2 dan jika nilai x mendekati –1 maka y = fx akan mendekati 2. Cara II Faktorisasi Perhatikan bahwa f x x x = − − 4 2 1 1 dapat kita ubah menjadi f x x x x x x = + + − + − 2 1 1 1 1 1 sehingga: 335 Matematika 2 2 4 4 2 2 1 1 1 1 1 lim li 1 → → → → + + − + + − − − = = + − + − + − − + − x x x x = lim x x x x x x → + + − + − 1 2 1 1 1 1 1 = 2 1 1 1 1 lim 1 li → → → → + + − + + − − − = = + − + − + − − + − x x x = lim x→ + 1 2 1 1 = 2 dan lim l x x x x →− − − 1 4 2 1 1 = m lim x x x x x x x →− + + − + − 1 2 1 1 1 1 1 1 1 = lim x→− 1 1 1 2 1 1 x + − = 1 2 1 1 1 x + − + →− lim = 2 Contoh 10.14 Tentukanlah lim x x x x x → + − + 2 1 4 1 4 Cara I Numerik Misalkan y = lim x x x x + − + 2 1 4 1 4 . Pendekatan nilai fungsi pada saat x mende- kati 0 ditunjukkan pada tabel berikut: Tabel 10.17 Nilai pendekatan f x = 1 4 1 4 2 x x x x + − + pada saat x mendekati 0 x –0,3 –0,2 –0,1 –0,01 –0,001 ... ... 0,001 0,01 0,1 0,2 0,3 y –0,08 –0,08 –0,07 –0,07 –0,06 ... ? ... –0,06 –0,06 –0,06 –0,05 –0,04 Dengan melihat tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati 0 maka y = fx akan semakin mendekati –0,06. Cara II Faktorisasi Fungsi fx = 1 4 1 4 2 x x x x + − + dapat kita ubah menjadi fx = 4 4 4 4 4 2 2 x x x x x + − + + + sehingga: Karena x ≠ 1 dan x + 1 x ≠ 0 Karena x ≠ 1 dan x + 1 x ≠ 0 336 Kelas X lim lim x x x x x x x x x x x → → + − + + − + + + 2 2 2 1 4 1 4 4 4 4 4 = 2 2 2 2 1 4 4 lim 4 4 1 4 4 lim lim 4 4 → → → → → → →    + − +   =        + +        + − +   =        + +        + − + + + +   =      + + +   + +       −   =   + +   + +   x x x x x x x x x x x x x → →     +      −   =     + + +   + +     −    =       = − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 4 4 lim lim . 4 4 4 4 1 1 lim lim . 4 4 4 → → → → → → →    + − +   =        + +        + − +   =        + +        + − + + + +   =      + + +   + +       −   =   + +   + +   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 4 1 1 lim lim 4 4 4 4 1 1 4 4 1 16 → →     +      −   =     + + +   + +     −    =       = − x x x x x x x Sifat-10.2 337 Matematika Uji Kompetensi 10.1 Pilihlah strategi pendekatan atau numerik untuk menentukan limit fungsi pada soal no. 1 sampai no. 5. Kemudian kamu pilih strategi lain dan membandingkan jawaban kamu dengan jawaban kamu pada strategi sebelumnya. 1. lim x x x x → + − − 1 2 2 3 2 2 = ... A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0 2. lim x x x x → − − 2 3 2 2 2 4 = ... A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0 3. lim ... x x x x → − + − +       = 1 1 1 1 3 1 1 3 A. –2 D. 2 B. – 1 8 E. 1 8 C. 0 4. lim x x x x → + − + − 1 2 2 2 3 1 = ... A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0 5. lim x x x x x → + − − − + − 1 2 1 2 1 3 2 = ... A. –2 D. 2 B. – 1 8 E. 1 8 C. 0 Selesaikanlah permasalahan berikut. 6. Sketsalah dan analisislah limit fungsi di x = –1 dan x = 1. f x x x x x x x x x x = − − + − ≤ ≤ + − + + −      3 1 1 1 2 1 1 1 2 3 2 1 1 jika jika jika    7. Sebuah garis y – 2x – 3 = 0 menying- gung kurva y = x 2 + x + 2. a. Coba kamu tunjukkan koordinat pendekatan kedua kurva titik singgung. Gunakan strategi numerik untuk mendapatkannya b. Carilah metode lain untuk mendapatkan titik singgung ter- sebut c. Sketsalah permasalahan ter- sebut 8. Tentukan limit fungsi berikut dengan menggunakan dua atau lebih metode penyelesaian Bandingkan jawaban yang anda peroleh 338 Kelas X a. Jika fx = 3x 2 maka tentukanlah lim h f x h f x h → + − 2 b. Jika fx = 3x 2 maka tentukanlah lim h f x h f x h h → + − − 2 2 c. Jika fx = 3x 2 maka tentukanlah lim h f x h f x h h → − − + 4 2 3 9. Tentukanlah nilai limit fungsi fx = x x − − 2 4 2 3 3 dengan menggu- nakan numerik dan perkalian seka- wan pada saat x mendekati 2. 10. Jika fungsi f x f x x − −       = 2 2013 2 m x f x x x lim −       → 3 2013 2013 maka Projek Himpun informasi penerapan limit fungsi dalam bidang teknik, masalah nyata, isika, dan teknologi informasi. Rancanglah minimal dua masalah terkait informasi yang kamu peroleh dan buatlah pemecahannya. Buat laporan hasil kerja kelompokmu, dan sajikan di depan kelas.

D. PENUTUP

Setelah kita membahas materi limit ini, terdapat beberapa hal penting yang menjadi kesimpulan dari hasil penemuan berbagai konsep dan aturan tentang limit, disajikan sebagai berikut. 1. Penentuan limit suatu fungsi di suatu titik c, sangat bergantung pada kedudukan titik c dan daerah asal fungsi tersebut. Dalam pembahasan limit fungsi pada buku ini, yang menjadi daerah asal fungsi adalah himpunan bilangan real di mana fungsi tersebut terdeinisi. 2. Sebuah fungsi f dikatakan mempunyai limit di titik c jika dan hanya jika nilai fungsi untuk x dari kiri dan kanan menuju ke bilangan yang sama. 3. Suatu fungsi f mempunyai limit di titik c, apabila limit kiri sama dengan limit kanan fungsi di titik c. 4. Tidak semua fungsi mempunyai limit di titik c. Titik c tidak harus anggota daerah asal fungsi, tetapi c bilangan real. 339 Matematika 5 Misalkan f sebuah fungsi yang terdeinisi pada himpunan bilangan real dan c dan L adalah bilangan real, fungsi f mendekati L pada saat x mendekati c dapat kita tuliskan dengan: lim x c f x L → = 6. Misalkan fx, gx adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif. a. lim x c → k =k b. lim x c → x = c c. lim[ ] lim x c x c kf x k f x → → =     d. lim x c f x → → [ ] lim x c g x → ±     lim x c g x f x → → ± [ ] =     + + e. lim lim lim x c x c x c f x g x f x g x → → → − [ ] =     −     f. lim[ ] lim x c x c f x g x f x → → × =     ×     → lim lim x c g x f x   g.       = → → → lim lim lim x c x c x c f x g x f x g xx g x x c lim         ≠ → dengan h. lim lim x c n x c n f x f x → → [ ] =     i. lim lim x c n x c n f x f x → → = , asalkan bilamana genap lim x c f x n → 7. Selanjutnya kita akan membahas tentang materi statistika. Materi prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, operasi hitung bilangan, dan pengukuran. Hal ini sangat berguna dalam penentuan nilai rata-rata, median, modus, quartil, standar deviasi, dan sebagainya. Pada jenjang yang lebih tinggi, kamu harus menguasai tentang fungsi, limit fungsi, dan fungsi yang kontinu sebagai prasyarat untuk mempelajari statistik. Semua apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk melanjutkan bahasan berikutnya dan seluruh konsep dan aturan-aturan matematika dibangun dari situasi nyata dan diterapkan dalam pemecahan masalah kehidupan.