Menentukan Nilai Limit Fungsi
332
Kelas X
Nilai L yang kita maksud adalah bentuk tentu limit. Jadi, jika kita substitusikan nilai c ke fungsi fx sehingga fc adalah bentuk-bentuk tak tentu seperti
, °
° , ∞ – ∞,
, ∞
∞
, dan lain-lain maka bentuk tersebut gagal menjadi nilai limit fungsi tersebut. Oleh karena itu, misi kita dalam limit fungsi adalah mencari bentuk tentu dari limit
fungsi, dengan pengamatan berikut: 1. Substitusikan
x = c ke fungsi sehingga diperoleh fc = L . 2. Jika
L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi: mencari beberapa titik
pendekatan numerik, memfaktorkan, perkalian sekawan, dll. Ingat: x – a sekawan dengan x + a,
Perhatikan beberapa contoh soal dan penyelesaian berikut.
Contoh 10.11
Tentukanlah nilai lim
x
x x
x
→
− +
−
2 2
2
3 2
4
Cara I Numerik
Jika y = lim
x x
x −
+ −
2 2
2
3 2
4 maka pendekatan nilai fungsi pada saat x mendekati 2 ditunjukkan
pada tabel berikut:
Tabel 10.13 Nilai pendekatan fx=
lim x
x x
− +
−
2 2
2
3 2
4
pada saat x mendekati 2
x 1,5
1,7 1,9
1,99 1,999
... 2
... 2,001
2,01 2,1
2,3 2,5
y 0,143 0,189 0,231 0,248 0,250
... ?
... 0,250 0,252 0,268 0,302 0,333
Dengan melihat tabel di atas, jika x mendekati 2, maka y = fx akan mendekati 0,25.
Cara II Faktorisasi
Perhatikan bahwa fx = x
x x
2 2
3 2
4 −
+ −
dapat kita ubah menjadi fx = x
x x
x 3
2 2
1 2
2 −
− −
+ sehingga:
lim
x
x x
x
→
− +
−
2 2
2
3 2
4 = lim
x
x x
x x
→
− −
− +
2
2 1
2 2
= lim
x
x x
→2
lim x
x −
+
2 2
1 2
karena x ≠ 2
Dapatkah anda meneliti untuk mendapatkan metode yang
lain untuk menyelesaikan permasalahan limit fungsi
tesebut.
333
Matematika
= 1
2 1
4 = 0,25
Contoh 10.12
Tentukanlah nilai lim
x→−2
lim x
x + −
2 2
1 1
2 5
2 −
+ +
x x
Cara I Numerik
Misalkan y = lim
x x
+ −
2 2
1 1
2 5
2 −
+ +
x x
. Pendekatan nilai fungsi pada saat x mendekati 2 ditunjukkan pada tabel berikut:
Tabel 10.14 Nilai pendekatan fx =
x x
x x
2
1 2
5 2
+ − −
+ +
pada saat x mende- kati –2
x –2,3
–2,3 –2,1
–2,01 –2,001
... –2
... – 1,999
– 1,99 –1,9
–1,8 –1,7
y 2,594 –2,530 –2,501 –2,499
–2,5 ...
? ...
–2,5 – 2,501 –2,528 2,599 – 2,763
Dengan melihat tabel di atas, jika nilai x mendekati –2 maka y = fx akan mende- kati –2,5
Cara II Perkalian sekawan
Perhatikan bahwa y = x
x x
x
2
1 2
5 2
+ − − +
+ dapat kita ubah dengan mengalikan
bentuk sekawan dari x
x x
2
5 1
2 5
+ − − +
sehingga: lim
x→−2 x
x
x x
x x
+ − − +
+ =
2 2
1 2
5 2
lim lim
lim
x→−2
x x
x x
x x
x x
+ − − +
+ + − +
+
2 2
2
1 2
5 2
1 2
5
m lim
.
2 2
1 2
5 + − +
+ x
x + −
− +
+ + − +
+ x
x x
x x
x x
2 2
2
1 2
5 2
1 2
5
lim
lim
x→−2
=
lim
x→−2
= − −
+ + − +
+ x
x x
x x
x
2 2
2
6 2
1 2
5
lim
334
Kelas X
fx xx
x xx
= +
+ −
+ −
2
11 1
11 fx
xx x
xx =
+ +
− +
−
2
11 1
11 = lim
x→−2
− +
+ + − +
+ x
x x
x x
x
2 2
3 2
2 1
2 5
lim
= lim
x→−2
− + − +
+ ≠ −
karena x
x x
x x
2 2
3 1
2 5
2
lim
= − = −
5 2
2 5 ,
Contoh 10.13
Tentukanlah lim
lim
x x
x x
x x
→ →−
− −
− −
1 4
2 1
4 2
1 1
1 1
dan .
Jika f x x
x =
− −
4 2
1 1
dan , maka f
f ,
= − =
1 1
dan . Karena kita harus mencari bentuk tentu
limit fungsi tersebut pada saat x mendekati 1 dan –1.
Cara I Numerik
Misalkan y = f x
x x
= −
−
4 2
1 1
dan . Pendekatan nilai fungsi pada saat x mendekati 1 dan –1
ditunjukkan pada tabel berikut:
Tabel 10.15 Nilai pendekatan
f x x
x =
− −
4 2
1 1
dan
pada saat x mendekati 1
x 0,7
0,8 0,9
0,99 0,999
... 1
... 1,001
1,01 1,1
1,2 1,3
y 1,49
1,64 1,81
1,98 2,00
... ?
... 2,00
2,02 2,21
2,44 2,69
Tabel 10.16 Nilai pendekatan
f x x
x =
− −
4 2
1 1
dan
pada saat x mendekati –1
x –1,3
–1,2 –1,1
–1,01 –1,001
... –1
... –0,999
–0,99 –0,9
–0,8 –0,7
y 2,69
2,44 2,21
2,02 2,00
... ?
... 2,00
1,98 1,81
1,64 1,49
Dengan melihat tabel-tabel di atas, jika nilai x mendekati 1 maka y = fx akan mendekati 2 dan jika nilai x mendekati –1 maka y = fx akan mendekati 2.
Cara II Faktorisasi
Perhatikan bahwa f x x
x =
− −
4 2
1 1
dapat kita ubah menjadi f x
x x
x x
x =
+ +
− +
−
2
1 1
1 1
1 sehingga:
335
Matematika
2 2
4 4
2 2
1
1 1
1 1
lim li
1
→ →
→ →
+ +
− +
+ −
− −
= =
+ −
+ −
+ −
− +
−
x
x x
x =
lim
x
x x
x x
x
→
+ +
− +
−
1 2
1 1
1 1
1 =
2 1
1
1 1
lim 1 li
→ →
→ →
+ +
− +
+ −
− −
= =
+ −
+ −
+ −
− +
−
x x
x =
lim
x→
+
1 2
1 1
= 2 dan
lim l
x x
x x
→−
− −
1 4
2
1 1
= m
lim
x x
x x
x x
x
→−
+ +
− +
−
1 2
1 1
1 1
1 1
1 =
lim
x→−
1
1 1
2
1 1
x + −
=
1 2
1 1
1
x
+ −
+
→−
lim = 2
Contoh 10.14
Tentukanlah lim
x
x x x x
→
+ −
+
2
1 4
1 4
Cara I Numerik
Misalkan y = lim
x x x x
+ −
+
2
1 4
1 4
. Pendekatan nilai fungsi pada saat x mende- kati 0 ditunjukkan pada tabel berikut:
Tabel 10.17 Nilai pendekatan f x =
1 4
1 4
2
x x x x
+ −
+
pada saat x mendekati 0
x –0,3
–0,2 –0,1
–0,01 –0,001
... ...
0,001 0,01
0,1 0,2
0,3 y
–0,08 –0,08
–0,07 –0,07
–0,06 ...
? ...
–0,06 –0,06
–0,06 –0,05
–0,04
Dengan melihat tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati 0 maka y = fx akan semakin mendekati –0,06.
Cara II Faktorisasi
Fungsi fx = 1
4 1
4
2
x x x x
+ −
+ dapat kita ubah menjadi fx =
4 4
4 4
4
2 2
x x
x x
x +
− +
+ +
sehingga: Karena x
≠ 1 dan x + 1 x ≠ 0
Karena x ≠ 1 dan x + 1 x ≠ 0
336
Kelas X
lim lim
x x
x x x x
x x
x x
x
→ →
+ −
+ +
− +
+ +
2 2
2
1 4
1 4
4 4
4 4
=
2 2
2 2
1 4
4 lim
4 4
1 4
4 lim
lim 4
4
→
→ →
→ →
→ →
+ −
+
=
+
+
+ − +
=
+ +
+ −
+ + +
+
=
+ +
+
+
+
−
=
+ +
+
+
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
→ →
+
−
=
+ + +
+ +
−
=
= −
2 2
2 2
2 2
2 2
1 4
4 4
4 lim
lim .
4 4
4 4
1 1
lim lim
. 4
4 4
→
→ →
→ →
→ →
+ −
+
=
+
+
+ − +
=
+ +
+ −
+ + +
+
=
+ +
+
+
+
−
=
+ +
+
+
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2 2
2
4 1
1 lim
lim 4
4 4
4 1
1 4
4 1
16
→ →
+
−
=
+ + +
+ +
−
=
= −
x x
x x
x x
x Sifat-10.2
337
Matematika
Uji Kompetensi 10.1
Pilihlah strategi pendekatan atau numerik untuk menentukan limit
fungsi pada soal no. 1 sampai no. 5. Kemudian kamu pilih strategi lain dan
membandingkan jawaban kamu dengan jawaban kamu pada strategi sebelumnya.
1. lim
x
x x
x
→
+ −
−
1 2
2 3
2 2
= ... A.
–2 D.
1 B.
–1 E.
2 C. 0
2. lim
x
x x
x
→
− −
2 3
2 2
2 4
= ... A.
–2 D.
1 B.
–1 E.
2 C. 0
3. lim
...
x
x x
x
→
− +
− +
=
1
1 1
1 3
1 1
3 A.
–2 D.
2 B. –
1 8
E. 1
8 C. 0
4. lim
x
x x
x
→
+ −
+ −
1 2
2 2
3 1
= ... A.
–2 D.
1 B.
–1 E.
2 C. 0
5. lim
x
x x
x x
→
+ − − −
+ −
1 2
1 2
1 3
2 = ...
A. –2
D. 2
B. – 1
8 E.
1 8
C. 0 Selesaikanlah permasalahan berikut.
6. Sketsalah dan analisislah limit fungsi di x = –1 dan x = 1.
f x x
x x
x x
x x
x x
= −
− +
− ≤ ≤ + −
+ +
−
3
1 1
1 2
1 1
1 2
3 2
1 1
jika jika
jika
7. Sebuah garis y – 2x – 3 = 0 menying- gung kurva y = x
2
+ x + 2. a.
Coba kamu tunjukkan koordinat pendekatan kedua
kurva titik singgung. Gunakan strategi numerik untuk
mendapatkannya
b. Carilah metode lain untuk mendapatkan titik singgung ter-
sebut c. Sketsalah permasalahan ter-
sebut 8. Tentukan limit fungsi berikut dengan
menggunakan dua atau lebih metode penyelesaian Bandingkan jawaban
yang anda peroleh
338
Kelas X
a. Jika fx = 3x
2
maka tentukanlah lim
h
f x h
f x h
→
+ −
2 b. Jika
fx = 3x
2
maka tentukanlah lim
h
f x h
f x h
h
→
+ −
− 2
2 c. Jika
fx = 3x
2
maka tentukanlah lim
h
f x h
f x h
h
→
− −
+ 4
2 3
9. Tentukanlah nilai limit fungsi fx =
x x
− −
2 4
2 3
3
dengan menggu- nakan numerik dan perkalian seka-
wan pada saat x mendekati 2. 10. Jika fungsi
f x f
x x
− −
=
2 2013
2 m
x f x
x
x
lim −
→
3 2013
2013
maka
Projek
Himpun informasi penerapan limit fungsi dalam bidang teknik, masalah nyata, isika, dan teknologi informasi. Rancanglah minimal dua masalah
terkait informasi yang kamu peroleh dan buatlah pemecahannya. Buat laporan hasil kerja kelompokmu, dan sajikan di depan kelas.