∫
Maka adalah martingale dirinya sendiri, karena increment
pada mempunyai ekspektasi bersyarat nol, yaitu:
| |
Predictable variation process dari 2.12 dapat didefinisikan: |
Sehingga
∫
Suatu predictable covariation process atau covarians process didefinisikan dalam bentuk increment
{ |
Pada , dan
dan dikatakan orthogonal jika
Untuk dua martingale dan
, ≠ yang merupakan multivariate
counting process diperoleh {
| {
|
Ini karena dan
adalah predictable, dan fakta bahwa dan
tidak dapat berpindah secara bersamaan. Jadi martingale yang didefinisikan pada 2.10 adalah
orthogonal Andersen,dkk, 1985.
2.20 Diagonalisasi
Matriks kuadrat dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks yang dapat dibalik
sehingga diagonal; matriks dikatakan mendiagonalisasi . Dalam
pembahasan, bagian ini digunakan untuk menentukan peluang transisi Anton,2000.
2.21 Premi Tunggal dalam Multistate
Untuk menentukan premi tunggal dari kasus multistate perlu diketahui fungsi kepadatan peluang yang dapat meliputi semua anggota ruang state. Dengan
memanfaatkan matriks peluang transisi sebagai peluang sisa hidup yang diperoleh dari solusi persamaan Chapman Kolmogorov Forward dan Backward, perhitungan
nilai premi tunggal secara simultan dapat ditentukan. Misalkan
menyatakan rangkaian pembayaran premi dengan laju dengan benefit
yang dibayarkan pertahun secara kontinu bila seseorang pada state awal berada di state
, dan pada waktu akan berada di state untuk sedangkan benefit
sebesar akan dibayarkan bila terjadi transisi dari state
ke state , untuk nilai dan . Menurut Jones 1993 nilai premi tunggal dapat dicari dengan
rumus:
∑ ∫ ∑ ∑ ∫
2.22 Risiko dalam Multistate
Risiko dalam multistate ditentukan dengan mencari varians dari multistate tersebut. Dalam hal ini varians dari multistate dapat ditentukan berdasarkan Teorema
Hattendorf. Pada teorema Hattendorf didefinisikan gain obtain laba yang diperoleh perusahaan
selama insured berada di state pada [ ], yaitu
∑ ∫ ∑ ∫
∑ ∫ ∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
Dengan didefinisikan sebagai berikut:
Teorema Hattendorf
Gain process , adalah zero mean square orthogonal martingale,
sehingga varians process sebagai berikut:
∑ ∫
Bukti: Diketahui
merupakan gain process maka
∑ ∫
1 Akan ditunjukkan
merupakan zero mean square martingale
∑ ∫
∑ ∫
Karena merupakan zero mean martingale
∑ ∫
Karena jadi
merupakan zero mean square martingale.
2 Akan ditunjukkan
orthogonal Karena
mengandung dimana
duturunkan dari multivariate counting process maka
{ } ≠
Dari 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa merupakan zero mean square
orthogonal martingale. Maka varians process dari
dapat didefinisikan
∑ ∫ Persamaan di atas diperoleh dari:
[ ]
[ ]
Kemudian dari 2.19 didapat:
∑ ∫
∑ ∫ Ramlau-Hansen, 1988.
