2.3.2 Nilai Ekspektasi Kontinu
Jika adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi peluangnya di adalah ,
maka rataan dari peubah acak , didefinisikan sebagai:
∫ 2.3.3
Sifat-Sifat Nilai Ekspektasi
i. Jika adalah sebuah konstanta, maka .
ii. Jika adalah sebuah konstanta dan adalah fungsi dari , maka:
[ ] [ ] iii.
Jika dan
adalah dua buah konstanta dan dan
adalah dua buah fungsi dari
, maka: [
] [
] [
] Bukti:
Misalnya adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya adalah .
i. ∑
∑ terbukti
ii. [ ] ∑
∑ [ ] terbukti
iii. [
] ∑ [ ]
∑ ∑
∑ ∑
[ ]
[ ] terbukti.
2.4 Ekspektasi Bersyarat
2.4.1
Ekspektasi Bersyarat Diskrit
Jika dan adalah dua peubah acak diskrit, | adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari diberikan di dan | adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari diberikan di , maka ekspektasi bersyarat dari diberikan
dirumuskan sebagai berikut: | ∑
|
Dan ekspektasi bersyarat dari diberikan dirumuskan sebagai berikut:
| ∑ |
2.4.2 Ekspektasi Bersyarat Kontinu
Jika dan adalah dua peubah acak kontinu, | adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari diberikan di dan | adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari diberikan di , maka ekspektasi bersyarat dari diberikan
dirumuskan sebagai berikut: | ∫ |
Dan ekspektasi bersyarat dari diberikan dirumuskan sebagai berikut:
| ∫ |
Dalil Ekpektasi Bersyarat
[ | ] Bukti:
Berdasarkan definisi ekspektasi bersyarat diskrit, maka: | ∑ |
∑
Sehingga: [ | ] ∑ |
∑ ∑
∑ ∑
∑ terbukti
2.5
Fungsi Kelangsungan Hidup
Misalkan adalah usia seseorang meninggal dan adalah usia seseorang yang hidup
pada saat menutup polis asuransi sehat, sehingga merupakan peubah acak waktu
meninggal. Fungsi distribusi
dinyatakan dengan :
Fungsi kelangsungan hidup Survival Function selanjutnya akan disingkat dengan istilah fungsi hidup dinyatakan dengan:
Jika dituliskan sehingga
dan .
Fungsi dapat disebut fungsi kelangsungan hidup. dapat diartikan sebagai
peluang seseorang yang baru lahir berusia 0 tahun akan bertahan hidup sampai pada usia ke
. Dalam ilmu aktuaria dan demografi, fungsi kelangsungan hidup digunakan sebagai langkah awal perhitungan-perhitungan yang dilakukan. Seperti
untuk menentukan peluang seseorang berusia akan tetap hidup atau peluang
seseorang berusia akan meninggal pada suatu selang waktu tertentu Bowers, et
al., 1997.
2.6 Waktu Sisa Hidup
Fungsi waktu sisa hidup dilambangkan dengan peubah acak kontinu , yaitu
dimana seseorang yang berusia akan meninggal pada usia . Dapat dinyatakan
sebagai
Gambar 2. Waktu Sisa Hidup
x X
t
x+t