Fungsi Densitas Marginal Kontinu Peluang Bersyarat Kontinu

2.3.2 Nilai Ekspektasi Kontinu

Jika adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi peluangnya di adalah , maka rataan dari peubah acak , didefinisikan sebagai: ∫ 2.3.3 Sifat-Sifat Nilai Ekspektasi i. Jika adalah sebuah konstanta, maka . ii. Jika adalah sebuah konstanta dan adalah fungsi dari , maka: [ ] [ ] iii. Jika dan adalah dua buah konstanta dan dan adalah dua buah fungsi dari , maka: [ ] [ ] [ ] Bukti: Misalnya adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya adalah . i. ∑ ∑ terbukti ii. [ ] ∑ ∑ [ ] terbukti iii. [ ] ∑ [ ] ∑ ∑ ∑ ∑ [ ] [ ] terbukti.

2.4 Ekspektasi Bersyarat

2.4.1 Ekspektasi Bersyarat Diskrit Jika dan adalah dua peubah acak diskrit, | adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari diberikan di dan | adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari diberikan di , maka ekspektasi bersyarat dari diberikan dirumuskan sebagai berikut: | ∑ | Dan ekspektasi bersyarat dari diberikan dirumuskan sebagai berikut: | ∑ |

2.4.2 Ekspektasi Bersyarat Kontinu

Jika dan adalah dua peubah acak kontinu, | adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari diberikan di dan | adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari diberikan di , maka ekspektasi bersyarat dari diberikan dirumuskan sebagai berikut: | ∫ | Dan ekspektasi bersyarat dari diberikan dirumuskan sebagai berikut: | ∫ | Dalil Ekpektasi Bersyarat [ | ] Bukti: Berdasarkan definisi ekspektasi bersyarat diskrit, maka: | ∑ | ∑ Sehingga: [ | ] ∑ | ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ terbukti 2.5 Fungsi Kelangsungan Hidup Misalkan adalah usia seseorang meninggal dan adalah usia seseorang yang hidup pada saat menutup polis asuransi sehat, sehingga merupakan peubah acak waktu meninggal. Fungsi distribusi dinyatakan dengan : Fungsi kelangsungan hidup Survival Function selanjutnya akan disingkat dengan istilah fungsi hidup dinyatakan dengan: Jika dituliskan sehingga dan . Fungsi dapat disebut fungsi kelangsungan hidup. dapat diartikan sebagai peluang seseorang yang baru lahir berusia 0 tahun akan bertahan hidup sampai pada usia ke . Dalam ilmu aktuaria dan demografi, fungsi kelangsungan hidup digunakan sebagai langkah awal perhitungan-perhitungan yang dilakukan. Seperti untuk menentukan peluang seseorang berusia akan tetap hidup atau peluang seseorang berusia akan meninggal pada suatu selang waktu tertentu Bowers, et al., 1997.

2.6 Waktu Sisa Hidup

Fungsi waktu sisa hidup dilambangkan dengan peubah acak kontinu , yaitu dimana seseorang yang berusia akan meninggal pada usia . Dapat dinyatakan sebagai Gambar 2. Waktu Sisa Hidup x X t x+t