Tabel 2.5 Eror dari Penyelesaian Euler dan Heun t Analitik Euler Heun Eror Euler Eror Heun
=============================================== 0 0 0.2500 0.2500 0 0
0.2000 0.5239 0.5000 0.5250 0.0239 0.0011 0.4000 0.8411 0.7920 0.8212 0.0491 0.0199
0.6000 1.1934 1.1184 1.1510 0.0750 0.0424 0.8000 1.5708 1.4701 1.5052 0.1008 0.0656
1.0000 1.9613 1.8361 1.8727 0.1252 0.0886 1.2000 2.3499 2.2033 2.2400 0.1466 0.1099
1.4000 2.7186 2.5560 2.5912 0.1626 0.1274 1.6000 3.0452 2.8752 2.9071 0.1701 0.1381
1.8000 3.3028 3.1382 3.1645 0.1646 0.1383 2.0000 3.4582 3.3179 3.3358 0.1404 0.1224
Gambar 2.5 Grafik Eror dari Penyelesaian Euler dan Heun Gambar 2.5 di atas menunjukkan eror dari penyelesaian Euler dan eor
dari penyelesaian Heun. Dari gambar di atas terlihat bahwa eror dari penyelesaian Heun lebih kecil dibandingkan eror dari penyelesaian Euler.
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
0.02 0.04
0.06 0.08
0.1 0.12
0.14 0.16
0.18
t y
eror euler eror heun
BAB III MODEL SIR
A. PEMODELAN SIR
Model epidemi pertama kali dipublikasikan oleh Daniel Bernoulli dan model epidemi modern dikembangkan oleh A.G. McKendrick dan W.O.
Kermarck 1927. Model SIR menggambarkan alur penyebaran penyakit dari individu terinfeksi penyakit menular
Infected
ke individu yang rentan
Susceptibles
melalui kontak langsung maupun perantara lain, misal batuk, bersin, melalui makanan dan minuman. Selanjutnya, individu dalam kelompok
Infected
yang mampu bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan masuk ke kelompok individu pulih dari penyakit dan memiliki kekebalan
Recovered
.
Dalam proses pemodelan epidemi, dibutuhkan asumsi tentang 1.
Populasi yang terkena dampak. 2.
Cara penyebaran suatu penyakit. 3.
Mekanisme pemulihan atau penghapusan penyakit dari populasi. Asumsi yang berkaitan dengan populasi, yakni
1. Dinamika populasi: apakah populasi itu tertutup atau terbuka. Yang dimak-
sud populasi tertutup yaitu imigrasi, emigrasi, kelahiran dan kematian dapat diabaikan. Sedangkan yang dimaksud populasi terbuka yaitu, imigrasi, emi-
grasi, kelahiran dan kematian tidak dapat diabaikan. 2.
Struktur status penyakit dari populasi: klasifikasi yang lengkap dari individu sesuai dengan status penyakit mereka.
26
3. Struktur populasi lain yang mungkin, seperti usia atau jenis kelamin.
Asumsi yang berkaitan dengan status penyakit, seorang individu dikategorikan sebagai berikut
1. Rentan atau mudah terserang suatu penyakit.
2. Terinfeksi suatu penyakit tetapi belum menular.
3. Menularkan suatu penyakit. Suatu individu bisa jadi menularkan suatu
penyakit sebelum gejala muncul. Periode sebelum gejala muncul adalah masa inkubasi.
4. Dihapus dari status penyakit. Tidak lagi terinfeksi oleh suatu penyakit, baik
dengan memperoleh kekebalan, isolasi atau kematian. 5.
Individu pembawa suatu penyakit. Dalam beberapa penyakit, mungkin ada orang yang tetap terinfeksi untuk waktu yang sangat lama, tetapi tidak
menunjukkan gejala penyakit itu sendiri. Individu tersebut mungkin penting untuk penelitian kemajuan penyakit tersebut.
Rentan Terinfeksi
Dihapus waktu →
Gambar 3.1 Ilustrasi perkembangan penyakit Gambar di atas merupakan diagram yang merepresentasikan perkemba-
ngan penyakit pada suatu individu. Titik awal penularan penyakit terjadi pada Inkubasi
Gejala
saat t = 0. Gambar di atas menjelaskan bahwa pada saat individu mulai terinfeksi, terjadi proses masa inkubasi pada individu. Kemudian individu akan
menularkan penyakit yang diderita, bersamaan dengan munculnya gejala –
gejala penyakit yang diderita individu tersebut. Kemudian individu dihapuskan dari status penyakit yang diderita baik dengan kematian atau kesembuhan dari
suatu penyakit. Dalam suatu epidemi yang sederhana, populasinya hanya terdiri dari
individu yang rentan terserang penyakit dan individu yang menularkan penyakit. Diasumsikan individu yang menularkan penyakit berinteraksi dengan
individu yang rentan terserang penyakit. Penyakit ini menular melalui kontak antara individu yang rentan terserang penyakit dengan individu yang
menularkan penyakit. Individu yang rentan terserang penyakit, sekali terinfeksi penyakit dapat dengan cepat menularkan penyakit. Direpresentasikan dengan
dimana S adalah individu yang rentan terserang penyakit dan I adalah individu yang terserang penyakit.
Pendekatan ini masuk akal untuk tahap awal penularan penyakit. Akan diasumsikan bahwa populasi tertutup, sehingga
dimana adalah banyaknya individu yang rentan terserang penyakit,
adalah banyaknya individu yang terserang penyakit dalam kurun waktu , dan
adalah suatu konstanta yang menyatakan ukuran populasi. Sehingga diperoleh persamaan diferensialnya sebagai berikut
dengan adalah laju dari penularan penyakit, yakni rata – rata terjadinya
infeksi. Disini adalah fungsi dari dan , dan model sederhananya adalah
Dengan fungsi disebut sebagai kekuatan dari infeksi suatu penyakit.
Fungsi didefinisikan sebagai densitas probabilitas dari individu yang
rentan tertular penyakit, yakni peluang dari individu yang rentan akan tertular penyakit dalam interval waktu yang singkat. Untuk
, parameter disebut tingkat penularan penyakit, yakni rata
– rata infeksi penyakit dari individu yang rentan per individu yang tertular penyakit.
Dalam kasus individu yang terserang penyakit untuk model SIR, diasum- sikan infeksi penyakit dapat dihapus dari status penyakit yang diderita. Pengha-
pusan penyakit dalam model SIR dapat berupa pemberian kekebalan terhadap suatu penyakit, kematian, atau individu itu diisolasi. Kebanyakan penyakit
yang menyerang anak – anak seperti campak dapat dihapus dari status penyakit
yang diderita. Ini dapat direpresentasikan oleh diagram berikut
Diasumsikan bahwa durasi epidemi relatif pendek dibandingkan dengan masa hidup individu, sehingga kelahiran dan kematian dapat diabaikan. Karena
kelahiran dan kematian diabaikan maka populasi ini tertutup. Ukuran dari populasi adalah
. Diperoleh persamaan
dengan
dimana adalah rata – rata pemulihan individu dari penyakit.
Persamaan di atas dapat direpresentasikan dengan diagram berikut
B. FLU HONG KONG
Pada musim dingin 1968-1969, Amerika Serikat diserang oleh suatu jenis penyakit influenza baru bernama Flu Hong Kong. Penyakit ini dinamakan
demikian berdasarkan tempat penemuannya. Pada waktu itu, tidak terdapat vaksin flu sehingga ada lebih banyak orang yang terjangkit jika dibandingkan
pada waktu sekarang ini. Akan diteliti penyebaran penyakit ini dalam satu populasi kota yaitu, kota New York.
Biasanya hanya sedikit penderita flu yang meninggal, bahkan tanpa adanya vaksin, namun wajar jika diasumsikan bahwa angka kematian dalam
seminggu proporsional dengan jumlah kasus-kasus flu baru dalam beberapa minggu awal, misalnya 3 minggu sebelumnya. Akan dimodelkan penyebaran
penyakit semacam ini sehingga dapat memprediksi kemungkinan apa yang terjadi dengan epidemi serupa di masa yang akan datang. Diketahui total
populasi di kota New York pada tahun 1960-an adalah 7.900.000 individu. Populasi kota New York diasumsikan tertutup. Sehingga dapat kita modelkan
penyebaran Flu Hong – Kong dengan menggunakan model SIR.
C. MODEL SIR FLU HONG KONG
