C. MODEL SIR FLU HONG KONG
Sebagai langkah awal dalam proses pemodelan kita mengidentifikasi variabel-variabel bebas dan takbebas. Variabel bebas adalah waktu yang
disimbolkan dengan menunjukkan keterangan hari. Sementara terdapat dua
variabel takbebas. Yang pertama, menghitung individu dalam setiap kelompok, masing-masing merupakan sebuah fungsi terhadap waktu :
adalah banyaknya individu yang rentan. adalah banyaknya individu yang terinfeksi.
adalah banyaknya individu yang pulih. Yang kedua, merepresentasikan bagian dari total populasi dalam setiap
kategori tersebut. Sehingga jika adalah total populasi 7.900.000 sebagai
contoh, diperoleh proporsi individu rentan dari populasi.
proporsi individu terinfeksi dari populasi. proporsi individu pulih dari populasi.
Perhitungan akan lebih sederhana jika menggunakan proporsi. Kedua himpunan variabel takbebas tersebut proporsional satu sama lain, sehingga
yang manapun akan memberikan informasi yang sama menyangkut perkembangan epidemi ini.
Selanjutnya membuat beberapa asumsi tentang laju perubahan variabael- variabel tak bebas :
1. Tidak ada penambahan dalam kelompok individu yang rentan karena kelahiran dan imigrasi diabaikan. Satu-satunya cara individu keluar dari
kelompok individu rentan adalah dengan terinfeksi. Diasumsikan bahwa laju perubahan
yakni banyaknya individu rentan, tergantung pada jumlah individu yang sudah rentan, jumlah individu yang sudah terinfeksi, dan
banyaknya interaksi antara yang rentan dan yang terinfeksi. Secara khusus, jika setiap individu yang terinfeksi memiliki angka yang tetap
fix number
dari interaksi setiap harinya yang mencukupi untuk penyebaran penyakit
tersebut. Tidak semua interaksi ini terjadi dengan individu rentan. Jika mengasumsikan sebuah percampuran populasi yang homogen, proporsi dari
interaksi-interaksi yang rentan adalah . Dengan demikian, rata-rata
setiap individu terinfeksi menghasilkan individu baru yang terinfeksi
perhari. 2. Diasumsikan bahwa proporsi tetap
fixed fraction
dari kelompok terinfeksi akan pulih pada waktu tertentu. Sebagai contoh, jika durasi rata-
rata infeksi adalah 3 hari maka rata-rata 13 dari populasi yang sedang terinfeksi pulih setiap harinya.
Akhirnya, diperoleh model dengan kondisi awal terhadap masing-masing persamaan diferensial. Untuk virus tertentu yakni flu Hong Kong di New York
City pada akhir 1960-an hampir tidak ada orang kebal pada awal epidemi, sehingga hampir semua orang rentan. Diasumsikan bahwa ada infeksi pada
populasi, yaitu 10 orang. Dengan demikian, nilai awal untuk variabel populasi adalah
Diperoleh
Sehingga modelnya ,
, ,
Nilai untuk parameter dan tidak diketahui, tetapi bisa diperkirakan.
Diperkirakan rata-rata periode menular adalah tiga hari, sehingga nilai = 13.
Kemudian untuk membuat kontak yang mungkin terjadi sehingga menginfeksi individu lain dalam dua hari, maka nilai
= 12. Plot berikut menunjukkan kurva solusi untuk pilihan dari
dan . Tabel 3.1 Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu dengan Metode Euler
t s i r =========================
0 1.0000 0.0000 0 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000
2.0000 1.0000 0.0000 0.0000
3.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 1.0000 0.0000 0.0000
5.0000 1.0000 0.0000 0.0000 6.0000 1.0000 0.0000 0.0000
7.0000 1.0000 0.0000 0.0000 8.0000 1.0000 0.0000 0.0000
9.0000 1.0000 0.0000 0.0000 10.0000 1.0000 0.0000 0.0000
……… ……... ……... ……... 140.0000 0.4066 0.0001 0.5934
141.0000 0.4065 0.0000 0.5934 142.0000 0.4065 0.0000 0.5934
143.0000 0.4065 0.0000 0.5934 144.0000 0.4065 0.0000 0.5934
145.0000 0.4065 0.0000 0.5935 146.0000 0.4065 0.0000 0.5935
147.0000 0.4065 0.0000 0.5935 148.0000 0.4065 0.0000 0.5935
149.0000 0.4065 0.0000 0.5935 150.0000 0.4065 0.0000 0.5935
min i maxi mins maxs minr maxr =======================================
0.0000 0.0660 0.4065 1.0000 0 0.5935
Gambar 3.2 Grafik Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu dengan Metode Euler
Gambar 3.2 di atas menunjukkan hasil dari perhitungan dengan menggunakan metode Euler. Garis merah adalah individu yang terinfeksi, garis
hijau adalah individu yang pulih, dan garis biru adalah individu yang rentan. Terlihat dari grafik, bahwa mula
– mula tidak ada individu yang terinfeksi penyakit dan tidak ada individu yang pulih. Kemudian, mulai ada individu
yang terinfeksi penyakit, sehingga individu yang rentan mulai terinfeksi penyakit. Meningkatnya individu yang terinfeksi ini mengakibatkan
penurunan individu yang rentan. Namun, individu yang terinfeksi pun mulai pulih dari penyakit yang diderita. Hal ini mengakibatkan individu yang pulih
50 100
150 0.1
0.2 0.3
0.4 0.5
0.6 0.7
0.8 0.9
1
Hari P
ro p
o rs
i In
d iv
id u
Infected Susceptible
Recovered