Jawab : Secara analitik.
Solusi persamaan diferensial homogen dari persamaan
diferensial nonhomogen di atas adalah , sebab persamaan
karakteristiknya yaitu memiliki tepat satu akar .
Akan dicari solusi yang terkait dengan dengan metode
koefisien tak tentu. Himpunan koefisien tak tentu dari
adalah .
Dibentuk kombinasi linear .
Substitusi ke persamaan diferensial awal menghasilkan
Sehingga diperoleh Jadi
Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah
Diketahui maka jadi . Akibatnya solusi
persamaan diferensial dari masalah nilai awal tersebut adalah
Secara Numerik. Dicari jarak antar titik dalam interval
yaitu
sehingga dipunyai titik-titik diskrit yang dirumuskan oleh
yaitu
Karena diketahui bahwa dan
maka persamaan Eulernya dapat dinyatakan sebagai
=
Tabel. 2.1 Penyelesaian dengan Metode Euler t y
================= 0 0.2500
0.2000 0.5000 0.4000 0.7920
0.6000 1.1184 0.8000 1.4701
1.0000 1.8361 1.2000 2.2033
1.4000 2.5560 1.6000 2.8752
1.8000 3.1382 2.0000 3.3179
Gambar 2.1 Grafik Penyelesaian dengan Metode Euler
Tabel. 2.2 Penyelesaian Analitik dan Euler t analitik euler
======================== 0 0.2500 0.2500
0.2000 0.5239 0.5000 0.4000 0.8411 0.7920
0.6000 1.1934 1.1184 0.8000 1.5708 1.4701
1.0000 1.9613 1.8361 1.2000 2.3499 2.2033
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5
t y
1.4000 2.7186 2.5560 1.6000 3.0452 2.8752
1.8000 3.3028 3.1382 2.0000 3.4582 3.3179
Gambar 2.2 Grafik Penyelesaian Analitik dan Euler Gambar 2.2 menunjukkan perbandingan antara perhitungan yang
dilakukan secara analitik dengan perhitungan yang dilakukan menggunakan metode Euler.
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5
t y
euler analitik
D. METODE HEUN
Definisi 2.8
Metode Heun memperbaiki taksiran turunan pertama dengan mengambil rata
– rata dari kedua turunan pada titik – titik ujung subinterval. Turunan di titik awal subinterval
yaitu
Sementara itu, taksiran untuk dihitung menggunakan metode Euler :
2.8.1 yang selanjutnya digunakan untuk menaksir turunan di titik akhir subinterval :
Karena itu, diperoleh rata-rata turunan pertama di yaitu
2.8.2 Jadi, metode Heun diperoleh dengan mengganti
di persamaan 2.7.2 dengan ruas kanan dari persamaan 2.8.2 :
[ ]
dengan .
Contoh 2.8
Selesaikan persamaan diferensial berikut
menggunakan metode Heun, dengan .
Jawab :
Dicari jarak antar titik dalam interval yaitu
sehingga dipunyai titik-titik diskrit yang dirumuskan oleh
yaitu
Karena diketahui bahwa dan
maka persamaan Eulernya dapat dinyatakan sebagai
=
Kemudian persamaan Heun dapat dinyatakan sebagai
untuk Tabel.2.3 Penyelesaian dengan Metode Heun
t y ===============
0 0.2500 0.2000 0.5250
0.4000 0.8212 0.6000 1.1510
0.8000 1.5052 1.0000 1.8727
1.2000 2.2400 1.4000 2.5912
1.6000 2.9071 1.8000 3.1645
2.0000 3.3358
Gambar 2.3 Grafik Penyelesaian dengan Metode Heun
Tabel 2.4 Penyelesaian Analitik, Euler, dan Heun t Analitik Euler Heun
============================ 0 0.2500 0.2500 0.2500
0.2000 0.5239 0.5000 0.5250 0.4000 0.8411 0.7920 0.8212
0.6000 1.1934 1.1184 1.1510 0.8000 1.5708 1.4701 1.5052
1.0000 1.9613 1.8361 1.8727 1.2000 2.3499 2.2033 2.2400
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5
t y
1.4000 2.7186 2.5560 2.5912 1.6000 3.0452 2.8752 2.9071
1.8000 3.3028 3.1382 3.1645 2.0000 3.4582 3.3179 3.3358
Gambar 2.4 Grafik Penyelesaian Analitik, Euler, dan Heun Gambar 2.4 di atas menunjukkan perbandingan antara perhitungan
analitik, metode Euler, dan metode Heun. Terlihat jelas dari grafik tersebut bahwa perhitungan dengan metode Heun mendekati nilai sebenarnya
dibandingkan dengan perhitungan dengan metode Euler.
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5
t y
analik euler
heun
Tabel 2.5 Eror dari Penyelesaian Euler dan Heun t Analitik Euler Heun Eror Euler Eror Heun
=============================================== 0 0 0.2500 0.2500 0 0
0.2000 0.5239 0.5000 0.5250 0.0239 0.0011 0.4000 0.8411 0.7920 0.8212 0.0491 0.0199
0.6000 1.1934 1.1184 1.1510 0.0750 0.0424 0.8000 1.5708 1.4701 1.5052 0.1008 0.0656
1.0000 1.9613 1.8361 1.8727 0.1252 0.0886 1.2000 2.3499 2.2033 2.2400 0.1466 0.1099
1.4000 2.7186 2.5560 2.5912 0.1626 0.1274 1.6000 3.0452 2.8752 2.9071 0.1701 0.1381
1.8000 3.3028 3.1382 3.1645 0.1646 0.1383 2.0000 3.4582 3.3179 3.3358 0.1404 0.1224
