PERSAMAAN DIFERENSIAL SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

Jawab : Sistem di atas merupakan sistem PD linier. Untuk menyelesaikan sistem di atas, turunkan persamaan pertama di 2.1 terhadap , sehingga diperoleh Kemudian substitusi nilai ke persamaan di atas, maka Untuk mencari solusi persamaan di atas, maka variabel diubah menjadi variabel dengan melibatkan persamaan 2.1 diperoleh sehingga, 2.2 Misalkan Maka persamaan 2.2 menjadi Kemudian kedua ruas dikalikan dengan 1 diperoleh , Karena akar-akarnya real dan berbeda, maka solusi untuk persamaan 2.2 adalah 2.3 Turunan dari adalah Dengan syarat awal , maka persamaan 2.3 menjadi 1 2.4 Solusi untuk , diperoleh dengan melibatkan persamaan 2.1 kemudian substitusi nilai dan yang sudah diperoleh pada persamaan 2.3 dan 2.4 2.5 Dengan syarat , maka diperoleh 2.6 Dengan mengeliminasi persamaan 2.4 dan persamaan 2.6, maka diperoleh . Kemudian dengan mensubstitusi ke persamaan 2.4, diperoleh . Substitui dan ke solusi umum persamaan 2.3 dan persamaan 2.5, diperoleh solusi untuk sistem 2.1, dan C. METODE EULER Definisi 2.7 Metode Euler merupakan salah satu cara menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik. Perhatikan persamaan diferensial berikut : , , 2.7.1 Tahap penyelesaian pendekatan numerik adalah dengan menentukan titik-titik dalam jarak yang sama di dalam interval , yaitu dengan menerapkan dengan menyatakan jarak antar titik yang dirumuskan oleh yang juga bisa dikenal sebagai lebar langkah step size. Berikutnya, turunan dalam persamaan diferensial diganti dengan suatu turunan numerik. Untuk kesepakatan diperkenalkan singkatan . Metode Euler menghampiri turunan pertama di dalam persamaan 2.7.1 dengan persamaan pada saat persamaan 2.4.1 dapat dituliskan sebagai Jadi, metode Euler mendapatkan barisan numerik yang dinyatakan sebagai 2.7.2 Contoh 2.7 Selesaikan persamaan diferensial berikut menggunakan metode Euler, dimana . Jawab : Secara analitik. Solusi persamaan diferensial homogen dari persamaan diferensial nonhomogen di atas adalah , sebab persamaan karakteristiknya yaitu memiliki tepat satu akar . Akan dicari solusi yang terkait dengan dengan metode koefisien tak tentu. Himpunan koefisien tak tentu dari adalah . Dibentuk kombinasi linear . Substitusi ke persamaan diferensial awal menghasilkan Sehingga diperoleh Jadi Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah Diketahui maka jadi . Akibatnya solusi persamaan diferensial dari masalah nilai awal tersebut adalah Secara Numerik. Dicari jarak antar titik dalam interval yaitu