PERSAMAAN DIFERENSIAL SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
Jawab :
Sistem di atas merupakan sistem PD linier. Untuk menyelesaikan sistem di atas, turunkan persamaan pertama di 2.1 terhadap
, sehingga diperoleh
Kemudian substitusi nilai ke persamaan di atas, maka
Untuk mencari solusi persamaan di atas, maka variabel diubah menjadi
variabel dengan melibatkan persamaan 2.1
diperoleh
sehingga,
2.2 Misalkan
Maka persamaan 2.2 menjadi
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan 1 diperoleh
, Karena akar-akarnya real dan berbeda, maka solusi untuk persamaan 2.2
adalah
2.3 Turunan dari
adalah
Dengan syarat awal , maka persamaan 2.3 menjadi
1 2.4
Solusi untuk , diperoleh dengan melibatkan persamaan 2.1
kemudian substitusi nilai dan
yang sudah diperoleh pada persamaan 2.3 dan 2.4
2.5 Dengan syarat
, maka diperoleh
2.6 Dengan mengeliminasi persamaan 2.4 dan persamaan 2.6, maka
diperoleh . Kemudian dengan mensubstitusi
ke persamaan 2.4, diperoleh
. Substitui dan
ke solusi umum persamaan 2.3 dan persamaan 2.5, diperoleh solusi untuk sistem 2.1,
dan
C. METODE EULER
Definisi 2.7
Metode Euler merupakan salah satu cara menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik. Perhatikan persamaan diferensial berikut :
, , 2.7.1
Tahap penyelesaian pendekatan numerik adalah dengan menentukan titik-titik dalam jarak yang sama di dalam interval
, yaitu dengan menerapkan
dengan menyatakan jarak antar titik yang dirumuskan oleh
yang juga bisa dikenal sebagai lebar langkah step size. Berikutnya, turunan dalam persamaan diferensial diganti dengan suatu
turunan numerik. Untuk kesepakatan diperkenalkan singkatan .
Metode Euler menghampiri turunan pertama di dalam persamaan 2.7.1
dengan persamaan
pada saat persamaan 2.4.1 dapat dituliskan sebagai
Jadi, metode Euler mendapatkan barisan numerik yang dinyatakan
sebagai
2.7.2
Contoh 2.7
Selesaikan persamaan diferensial berikut
menggunakan metode Euler, dimana .
Jawab : Secara analitik.
Solusi persamaan diferensial homogen dari persamaan
diferensial nonhomogen di atas adalah , sebab persamaan
karakteristiknya yaitu memiliki tepat satu akar .
Akan dicari solusi yang terkait dengan dengan metode
koefisien tak tentu. Himpunan koefisien tak tentu dari
adalah .
Dibentuk kombinasi linear .
Substitusi ke persamaan diferensial awal menghasilkan
Sehingga diperoleh Jadi
Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah
Diketahui maka jadi . Akibatnya solusi
persamaan diferensial dari masalah nilai awal tersebut adalah
Secara Numerik. Dicari jarak antar titik dalam interval
yaitu