42 = 7-6 4 –5 │-25, karena ada bilangan bulat 5 sedemikian sehingga
–25 = 5-5 5 3 ┼ 5 karena tidak ada bilangan bulat x sedemikian sehingga
5 = x 3 6 4 ┼ 9 karena tidak ada bilangan bulat y sedemikian sehingga
9 = y 4 7 –2 ┼ 11 karena tidak ada bilangan bulat z sedemikian sehingga
11 = z-2. 8 7 │7 karena ada bilangan bulat 1 sedemikian sehingga 7 = 1 7.
Jika y │ x dan 0 y x, maka y disebut pembagi murni dari x. Notas a
k
║ x tetapi a
k+1
┼ x. Berdasarkan definisi 1 diatas selanjutnya pembagian
dalam Z dapat dilakukan tanpa memperluas Z menjadi Q. Kemudian jika
x,y
Z dan yx = 0, maka x= 0 atau y = 0 dan dikatakan bahwa Z tidak
mempunyai pembagi nol. Akibatnya dengan sifat ini dapat dilakukan suatu penghapusan Kanselasi.
Jika x,y
Z dan 5x = 5y, maka 5x – 5y = 0
5x-y = 0, diperoleh 5 = 0 atau x-y = 0, → x = y Jadi persamaan 5x = 5y menjadi x = y tidak diperoleh dengan perkalian
15 , karena 15 bukan bilangan bulat. Untuk selanjutnya pernyataan y x sudah dianggap bahwa y ≠ 0. Sehingga
dari definisi 2.1 dapat ditentukan bahwa: 1 1 │ x, untuk setiap x
Z, karena ada p
Z sedemikian sehingga
Teori Bilangan - 21
x = p1, sehingga 1 │ 3, 1│6, 1 │ 11, 1 │-21, 1 │16, 1 │ -10, semuanya bernilai benar.
2 y │ 0, untuk setiap y
Z dan y ≠ 0 karena ada 0
Z sehingga
0 =y0, sehingga 3 │ 0, 1│0, -1│ 0, 12 │0, -191 │0, 4│ 0, semuanya bernilai benar.
3 x │x untuk setiap x
Z dan x ≠ 0, karena ada 0
Z, sehingga
x = 1x, sehingga pernyataan-pernyataan 2│2, -2│-2, 42│42, 12│12, -20│-20, 21│21, semuanya bernilai benar.
4 Jika y │x, maka kemungkinan hubungan antara y dan x adalah y x, y = x, yx. Misalnya 2 │ 2 dengan 2 = 2, 2 │4 dengan 2 4, dan
2 │ -4 dengan 2 -4.
Dalil 2.1
Jika a,b,c
Z maka berlaku: 1 a│ b → a │bc, untuk setiap c
Z. 2 a │ b, b │c → a │ c.
3 a │ b, b │a → a = ± b. 4 a │ b, a │c → a │ b ± c.
5 a │ b, a │c → a │ ax + by untuk setiap x,y
Z. Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c
6 a0, b 0 dan a │b → a ≤ b. 7 a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m
Z dan m ≠ 0 8 a│b dan a │ b+c → a │c.
Teori Bilangan - 22
Pernyataan-pernyataan pada dalil 2.1 di atas dapat dibuktikan sebagai berikut:
1. Karena diketahui a│ b , maka menurut definisi 1 ada suatu bilangan
bulat p sedemikian sehingga b = pa. b = pa berarti bc = pac. Hal ini berarti terdapat bilangan bulat q = pc sedemikian sehingga bc = qa.
Jadi a │bc.
2. a │b → b = pa, untuk suatu p
Z
b │c → c = qb, untuk suatu q
Z.
b = pa, c = qb → c = qpa atau c = qpa. atau c = wa, untuk suatu w
Z. Jadi a │c.
3. a │b → b = pa, untuk suatu p
Z
b │a → a = qb, untuk suatu q
Z.
b = pa, a = qb → a = qpa atau a = qpa. Karena a │b, berarati a ≠ 0, sehingga a = qpa atau a1-qp = 0 dan dapat disederhanakan
menjadi a=0 atau qp = 1. qp = 1 → q = 1 dan p =1 atau p = -1 dan q = -1
p = q = 1 maka a = pb = b ....1 p = q = -1, maka a = pb = -b ...2
Dari 1 dan 2 didapat a = ± b 4. a │b → b = pa, untuk suatu p
Z
a │c → c = qa, untuk suatu q
Z.
b = pa, c = qa → b ± c = pa ± qa atau b ± c = a p ± q b ± c = at dengan t
Z.
Teori Bilangan - 23
Jadi a │b ± c.
5. a │b → b = pa, untuk suatu p
Z
a │c → c = qa, untuk suatu q
Z.
bx + cy = pax + qay bx + cy = a px+qy dengan px + qy
Z. Jadi a │bx+cy.
6. a │b → b = pa, untuk suatu p
Z
karena a 0, b 0 dan b = pa maka p 0. karena p
Z maka p bukan suatu pecahan.
Sehingga nilai kemungkinan x adalah 1,2,3, ..., yaitu x = 1 atau x 1 b = pa dan p =1 → b = a atau a = b
b = pa dan p 1 → b a atau a b. a = b atau a b → a = b
7. a a │b → b = pa, untuk suatu p
Z
→ mb = map → mb = map → ma │mb b ma │mb → mb = map untuk suatu p
Z→ ma │mb
mb = m ap dan m ≠ 0 → b = ap → a │b b │c → c = q b, untuk suatu q
Z. 8. a │b → b = pa, untuk suatu p
