Dalil 2.4
1. Jika d = x,y maka d adalah bilangan bulat positip terkecil yang
mempunyai bentuk umum a
o
x + b
o
y dengan a
o
, b
o
Z
Bukti. Dibentuk kombinasi linear ax + by dengan a,b
Z. Barisan bilangan ax + by memuat bilangan-bilangan negatip, bilangan nol untuk a = 0
dan b = 0, dan bilangan-bilangan yang bernilai positip. Ambil S = {ax + by │ ax + by 0 }, maka dapat ditentukan bahwa S
N. Karena N adalah himpunan terurut dan S
N, maka S mempunyai unsur terkecil dan sebutlah dengan t, dan t
S, maka tentu ada a = a
o
dan b = b
o
sehingga t = a
o
x + b
o
y dan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa t │ x dan t │ y.
Untuk membuktikan apakah t │ x, digunakan bukti tidak langsung . Misal t ┼ x, maka menurut dalil sebelumnya ada q, r
Z sehingga x = qt + r dengan 0 r t
r = x – qt = x – qa
o
x + b
o
y r = 1-a
o
qx + -b
o
qy r = a
1
x + b
1
y dengan a
1
= 1-a
o
q
Z, dan b
1
= -b
o
q
Z. Jadi r = a
1
x + b
1
y
Z dengan r, t
S, t merupakan unsur terkecil S ran r t. Hal ini bertentangan dengan dengan pemisalan t ┼ x.
Dengan demikian anggapan t ┼ x tidaklah benar. Jadi haruslah t │ x.
Teori Bilangan - 31
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa t │ y. Dari t │ x dan t │ y berarti t adalah pembagi persekutuan dari x dan y.
d = x,y berarti d │ x sehingga
p
S sehingga x = dp. d = x,y berarti d │ y sehingga
p
S sehingga y = dp. t = a
o
x + b
o
y = a
o
dp + b
o
dp d │ t, d
0, t 0 maka sesuai dengan dalil sebelumnya d
t dan d tidak lebih kecil dari t, sedangkan d adalah pembagi persekutuan dari x
dan y. Jadi d = t = a
o
x + b
o
y Berdasarkan urian di atas jelaslah bahwa d = x,y merupakan bilangan
bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk ax + by dengan a,b
Z. Dengan demikian terlihat bahwa tidak ada bilangan positip selain d
yang membagi x dan y dan mempunyai bentuk ax + by
2. Jika t
Z dan t 0, maka tx,ty = t x,y
Bukti Sesuai dengan bukti dalil 1 di atas, maka:
tx,ty = bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentukatx + bty dengan bilangan a,b
Z = atx + bty
= t ax + by = t merupakan bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai
bentuk ax+by
Teori Bilangan - 32
= t ax +by
3. Jika x,y
Kategori