gelombang yang tidak dipengaruhi oleh pertukaran partikel dan sebaliknya fungsi gelombang yang berpengaruh terhadap pertukaran partikelnya disebut gelombang
asimetrik.
2.2 Mekanika Statistik
Kita menggunakan mekanika statistik untuk membuktikan sistem riil sistem banyak partikel. Dengan mudah kita dapat memecahkan persamaan schrodinger satu
partikel. Untuk banyak partikel,solusinya adalah ψ
total
= kombinasi linier ψ
a
1ψ
b
2ψ
c
3… 2.9 ψ
a
artinya partikel dalam keadaan a dengan suatu energi E
a
. Jika distribusi dari partikel-partikel dari sistem sepanjang energi keadaannya
diketahui, sifat-sifat makroskopik dari sistem dapat ditentukan. Jadi masalah inti dari mekanika statistik adalah menentukan distribusi yang mungkin dari partikel-partikel
sepanjang energi level dan energi keadaan.
Gambaran dari suatu kumpulan partikel tunggal tergantung kepada apakah partikel- partikel tersebut terbedakan distinguishable atau tak-terbedakan indistinguishable.
2.2.1 Mikrokanonik,Kanonik dan Kanonik Total
Tinjau suatu sistem partikel-partikel yang tidak saling berinteraksi, dengan Hamiltoniannya diberikan oleh
Λ
H =
∑
m a
a
E
a
N
Λ
2.10
Dimana E
a
merupakan energi keadaan kuantum partikel tunggal
α
i
dan α
N
Λ
merupakan operator yang mencacah banyaknya partikel yang berada pada
α
i
,
Universitas Sumatera Utara
sedangkan m menunjukkan jumlah aras energi yang berbeda dapat merosot, dinotasikan sebagai
i
α
= 1,…,m, dengan m dapat tak berhingga.
Mekanika statistik kita diperhadapkan dengan situasi dimana keadaan kuantum dari sistem tidak diketahui.Nilai harap dari suatu observabel harus dirata-
ratakan
A
=
∑
i
w
i A
i |
|
2.11 Dimana keadaan
i
adalah ortonormal dari Hamiltonian H dan w
i
adalah peluang berada dalam keadaan
i
.w
i
harus memenuhi
∑
i
w
= 1. Nilai harap dapat dituliskan dalam bentuk bebas
A
= Tr{ }
A ρ
2.12
ρ adalah matriks densitas. Dalam hal ini
=
ρ
∑
i i
w
i i
. Keadaan
∑
i
w
= 1 yakni peluangnya bertambah 1,yaitu
Tr{ ρ } = 1 2.13
Kita selalu diperhadapkan kepada tiga ensemble: mikrokanonik ensemble, kanonik ensemble, dan kanonik ensemble total. Dalam mikrokanonik ensemble
diasumsikan sistim dalam keadaan tertutup, sehingga energi E tetap, tetapi semua keadaan dengan energi E sama dengan probabilitas
ρ = Cδ H – E 2.14 dimana
ρ adalah matriks densitas. δ adalah delta kronecker.
C adalah konstanta normalisasi dan entropi diberikan oleh: S = - ln C 2.15
Universitas Sumatera Utara
Dengan demikian S = ln keadaan dari energi E. Temperatur invers,
T k
B
1 =
β 2.16
V
E S
∂
∂ =
β 2.17
Tekanan P,
E B
V S
T k
P
∂
∂ =
2.18 Dari hukum pertama termodinamika
dS =
dV V
S dE
E S
∂ ∂
+ ∂
∂
2.19
dE = k
B
TdS – PdV 2.20 Energi bebas,
F = E - k
B
TS 2.21
Jika persamaan ini diturunkan dan dihubungkan dengan persamaan sebelumnya
dF = dE - k
B
SdT + TdS = k
B
TdS – PdV - k
B
SdT - k
B
TdS 2.22 = - k
B
SdT – PdV
Maka diperoleh persamaan –persamaan
Entropi,
Universitas Sumatera Utara
S = -
V B
T F
T k
∂ ∂
1 2.23
Tekanan P, P = -
T
V F
∂
∂ 2.24
Energi E kita peroleh kembali dalam formulasi yang baru E = F + k
B
TS = F - T
V
T F
∂
∂ 2.25
= - T
2
∂ ∂
T F
T
Dalam kesetimbangan termal, asumsinya sistem kontak dengan panas reservoir sehingga temperatur dalam keadaan konstan. Matrik densitasnya
H
Ce
β
ρ
−
= 2.26
Ini berguna untuk menurunkan konstanta normalisasi, C dan bekerja dengan matriks densitas tanpa normalisasi sehingga kita dapat mendefenisikan fungsi partisi
Z = Tr{ ρ } 2.27
atau
Z =
∑
− i
E
i
e
β
2.28
Energi rata-ratanya diperoleh
E =
∑
− a
E a
i
e E
Z
β
1
Universitas Sumatera Utara
= - Z
ln β
∂ ∂
2.29 = - k
Z T
T ln
2
∂ ∂
β
Oleh karena itu dapat diperoleh persamaan energi bebas berdasarkan kanonik ensembel F = - k
β
T ln Z 2.30 Potensial kimia
µ di defenisikan sebagai
N F
∂ ∂
=
µ 2.31
N adalah jumlah partikel.
Dalam kanonik lengkap total, temperatur T dan potensial kimia µ diketahui
dan matriks densitas
N H
Ce
µ β
ρ
− −
= 2.32
Di sini juga berlaku matriks densitas tanpa normalisasi dan membentuk fungsi partisi kanonik lengkap
Z =
∑
− −
a a
E N
N E
e
,
µ β
2.33 Jumlah partikel rata-rata di peroleh
N = - k
β
T µ ∂
∂ ln Z 2.34
Sehingga energi rata-ratanya diperoleh
E = - β ∂
∂ ln Z +
µ µ
∂ ∂
T k
B
ln Z 2.35
Universitas Sumatera Utara
Pada skripsi ini kita akan menggunakan fungsi partisi kanonik lengkap untuk kondisi temperatur dan potensial kimia yang diketahui dalam suatu sistem.
2.2.2 Ensemble Kanonik
