Statistika Kuantum Fungsi Partisi Kanonik Gas Ideal

Tanda positif dan negatif pada persamaan inilah yang menyebabkan perbedaan antara kedua distribusi ini. Di mana bahwa dalam distribusi Fermi-Dirac terbukti bahwa peluang elektron menempati suatu keadaan adalah antara 0 dan 1, karena dibatasi oleh pembagi +1.

2.4 Statistika Kuantum

Statistika kuantum adalah sejumlah energi yang terdistribusi diantara sistem partikel dalam kesetimbangan termal pada temperatur dimana bahwa sistem mekanika kuantum yang terdiri dari N partikel. Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk sistem partikel identik yang satu sama lain dapat di bedakan dengan fungsi gelombangnya bertumpangan. Molekul dalam gas cocok dengan pemerian tersebut, dan memenuhi statistika Maxwell-Boltzman. Jika fungsi gelombang cukup banyak saling bertumpangan, keadaannya berubah karena partikel tersebut tidak dapat dibedakan. Akibat mekanika kuantum dari partikel yang tak terbedakan, maka fungsi gelombang dalam sistem partikel tersebut yang saling bertumpangan dapat dilihat dalam dua bagian yaitu: 1. Partikel dengan spin 0 atau bilangan bulat yang disebut boson. Boson tidak me menuhi prinsip eksklusi, dan fungsi gelombang boson tidak terpengaruh oleh – pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacan ini disebut simetrik. 2. Partikel dengan spin setengah bilangin bulat-ganjil 2 1 , ,... 2 5 , 2 3 di sebut fer- mion. Fermion memenuhi prinsip eksklusi yaitu bahwa tidak terdapat dua elektron dalam sebuah atom yang barada dalam keadaan kuantum yang sama, dan fungsi gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini disebut antisimetri. Universitas Sumatera Utara BAB 3 FUNGSI PARTISI

3.1 Fungsi Partisi Kanonik Gas Ideal

Pada bab ini di jelaskan bahwa menurut Kerson Huang, gas ideal dikatakan bahwa jarak antar partikel dapat dianggap jauh lebih besar dibandingkan dengan ukuran partikel. Sehingga gaya tarik menarik Van der Walls antar partikel adalah sangat lemah. Juga kerapatan partikel gas ideal dapat dianggap sangat rendah. Dengan kedua anggapan tersebut maka interaksi antar partikel dapat diabaikan, sehingga energi total gas hanya disebabkan oleh gerak partikel yaitu energi kinetik. Energi total dapat dinyatakan sebagai penjumlahan atas energi masing-masing partikel yang secara diskrit dapat dinyatakan sebagai berikut ε 1 . ... 3 2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ k ε ε ε Dalam hal ini indeks k menunjukkan status energi dari masing-masing partikel. Kediskritan energi ini di pahami secara mudah dalam kuantum. Gas ideal terdiri atas N partikel, berada dalam temperatur T dan berkesetimbangan dengan reservoir panas. Status energi gas secara keseluruhan di tentukan oleh jumlah penempatan n k yaitu jumlah molekul yang menempati status energi ke k. Energi total gas dalam ensemble adalah E = ∑ ∞ =1 k k k n ε 3.1 E = ∑ ∞ = + + + 1 3 3 2 2 1 1 ... k n n n ε ε ε 3.1 Jumlah partikel gas dalam ensemble adalah N = ∑ ∞ =1 k k n 3.2 Universitas Sumatera Utara N = ∑ ∞ = + + + 1 3 2 1 ... k n n n 3.2 Jika g k adalah jumlah status yang bersesuaian dengan jumlah penempatan n k , maka g k dapat dibagi dalam dua fungsi yaitu: 1.Untuk statistik BE dan FD, → g k =1. g k = n k sedangkan 2.Untuk statistik MB setelah di koreksi dengan 1N, ∏ ∞ = = → 1 1 k k k n g Fungsi partisi N partikel di defenisikan sebagai berikut ZT,V,N = ∑ ... 2 1 n n k g e E β − 3.3 Di mana bahwa fungsi partisi untuk suatu sistem dalam ensemble adalah: Z = T s k s s e g ε − ∑ dengan ∑ ∞ = = 1 k k N n oleh sebab itu Z disebut sebagai fungsi partisi Boltzman yang secara sederhana disebut sebagai fungsi partisi dan untuk memperoleh hasil jumlah total suatu sistem partikel- partikel melalui perhitungan baik melalui penjumlahan maupun perkalian dari stastik kuantum. Fungsi partisi kanonik N partikel menurut statistik Maxwell-Boltzmann MB dibatasi dengan persyaratan berikut - jumlah ensemble dalam sistem konstan N = ∑ ∞ =1 k k n 3.4 - energi total dalam ensemble pada sistem konstan E = k k k n ε ∑ ∞ =1 3.1 Universitas Sumatera Utara Juga statistik Maxwell-Boltzmann memperbolehkan jumlah penempatan tiap status dari nol sampai tak berhingga karena status energi gas boson secara keseluruhan dapat ditentukan oleh jumlah penempatan setiap status energinya. ZT,V,N = ∑ ∏ ∞ = ... 1 2 1 1 n n k k n e ... 3 3 2 2 1 1 + + + − ε ε ε β n n n 3.5 dengan ∑ = k k N n Dengan menggunakan persamaan di bawah ini: ∑ ∞ =1 k N k n = ∑ ∏ ∞ = ... 1 2 1 n n k k n k n n N k 3.6 dengan ∑ ∞ = = 1 k k N n Maka = ∑ ∏ ∞ = − ... 1 2 1 n n k k n n e k k βε dengan ∑ = N n k ZT,V,N = N k k e N       ∑ ∞ = − 1 1 βε 3.7 Karena fungsi partisi satu partikel telah didefenisikan sebagai Z 1 = ∑ ∞ = − 1 k k e βε 3.8 Sehingga fungsi partisi untuk N partikel adalah ZT,V,N = N Z N 1 1 3.9 Berikut ini akan ditinjau fungsi partisi untuk dua partikel, yang akan diperluas untuk menentukan bentuk fungsi N partikel. Fungsi partisi untuk dua partikel adalah : ZT,V,2 = Z 2 ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = + − ∞ = − + 1 1 1 2 1 2 2 1 k k k k k k e e ε ε β βε 3.10 Universitas Sumatera Utara Suku pertama menyatakan bahwa kedua partikel menempati status energi yang sama. Tetapi karena tidak terdapat perbedaan antara status energi yang satu dengan yang lain maka perhitungan dilakukan dengan faktor 12. Suku kedua menyatakan bahwa masing-masing partikel menempati status yang berlainan. Tetapi karena antar partikel tak dapat dibedakan, maka harus disertakan faktor perhitungan sebesar 12 ZT,V,2 = ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = + − ∞ = − + 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 k k k k k k e e ε ε β βε 3.11 Di mana 2 1 k k ≠ Dengan demikian fungsi partisi untuk N partikel dapat di tuliskan sebagai berikut: ZT,V,N = ... 1 ... 1 1 1 ... 1 1 ... 1 2 2 1 + + ∑ ∑ ∑ ∑ = − ∞ = ∞ = ∞ = + + + − ε βε ε ε ε β k N k k k k N N k k k e N e N 3.12 Bentuk fungsi partisi tersebut hanyalah menyatakaan dua kemungkinan penempatan partikel atas status energinya. Suku pertama menyatakan bahwa setiap partikel menempati status energi yang berbeda. Karena antar partikel tak dapat dibedakan maka harus disertakan dalam bentuk 1N. Suku kedua menyatakan N partikel menempati status energi yang sama. Karena hanya satu status yang dipilih dan itu tidak berbeda, maka harus di lakukan dengan faktor 1N. 3.2 Fungsi Partisi Kanonik Besar Untuk Boson Dan Fermion Status energi gas boson secara keseluruhan ditentukan oleh jumlah penempatan masing-masing status energinya, yang disimbolkan dengan n k = 0,1,2,3,…, ∞, sedangkan k menunjukkan status energi, k = 1,2,3,…,∞. Fungsi partisi kanonik dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut: ZT,V,N = ∑ + + − ... 3 2 1 ... exp 2 2 1 1 n n n n n ε ε β 3.13 Perhitungan ini dilakukan dengan persyaratan : - Energi total gas : Universitas Sumatera Utara E = ∑ ∞ =1 k k k n ε 3.1 - Jumlah partikel dalam gas : N = ∑ ∞ =1 k k n 3.2 Tetapi perhitungan fungsi partisi kanonik N partikel boson ini menjadi sulit dilakukan, karena persyaratan N n k k = ∑ ∞ =1 , yang menyebabkan tidak dapat dilakukan terhadap masing-masing n k secara bebas satu sama lain. Untuk mengatasi kesulitan tersebut, maka digunakan ensemble kanonik besar, yang mana jumlah partikel dalam setiap sistem dapat berubah-ubah dari nol sampai tak berhingga. Dalam hal ini T,V dan µ potensial kimia dari sistem adalah konstan.Akibat pelonggaran persyaratan itu, bahwa dalam setiap penjumlahan terhadap n k dapat dilakukan satu per satu secara bebas. Fungsi partisi kanonik besar dapat dituliskan sebagai berikut : Untuk boson : Bose-Einstein Z T,V, µ = ∑ ∞ =0 , , N N V T z e N µβ = ∑ ∑ ∞ = + + − ... ... 2 1 2 2 1 1 N n n n n e ε ε β e ... 2 1 + + n n µβ = ∑ ∞ = − 1 1 1 n n e ε µ β ∑ ∞ = − 2 2 2 n n e ε µ β 3.14 = 1 - e 1 1 − − ε µ β 1 - e 1 2 − − ε µ β = ∏ ∞ = − − − 1 1 1 k k e ε µ β Sedangkan untuk fermion, jumlah penempatan masing-masing status adalah : n k = 0, atau 1. Fermi-Dirac Universitas Sumatera Utara T,V, µ = ∑ = − 1 1 1 1 n n e ε µ β ∑ = − 1 2 2 2 n n e ε µ β = 1 + e 1 ε µ β − 1+e 2 ε µ β − 3.15 = 1 1 ∏ ∞ = − + k k e ε µ β

3.3 Fungsi Partisi Kanonik Osilator Harmonis