Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
Jika
1
ˆ ρ dan
2
ˆ ρ adalah penaksir tak bias untuk parameter ρ , maka
1
ˆ ρ dinamakan lebih
efisien dari
2
ˆ ρ jika Va
1 2
ˆ ˆ
var
ρ ρ
r. Kriteria ini menyatakan bahwa penaksir yang mempunyai penyimpangan terkecil dari rataannya adalah yang paling efisien.
3 Konsistensi Penaksir parameter
ρ dikatakan konsiten bila nilai taksiran akan sama dengan parameter yang ditaksir dengan bertambahnya ukuran contoh sampai tak terhingga. Bila ukuran contoh
semakin besar, penaksir ρ akan mendekati titik tertentu, bias semakin kecil demikian pula
dengan nilai ragamnya. Jadi,penduga ρ adalah penaksir konsisten bagi parameter populasi.
Adapun besar kesalahan kuadrat rata –rata penaksir ρ terdiri atas ragam dan bias kuadrat yang
dihitung sebagai berikut:
[ ]
2 2
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 2
MSE E
E E
E E
E E
E E
E ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ ρ
= −
= −
+ −
= −
+ −
− +
−
Misalnya membuktikan bahwa X adalah
µ
lim lim
2 2
2
≅ =
+ =
+ =
∞ →
∞ →
n X
MSE n
X bias
X ragam
X MSE
n n
σ σ
Jadi X adalah penaksir yang konsisten bagi µ
2.5 Turunan Parsial
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
Misalkan y
x f
z ,
= fungsi 2 variabel yang terdefenisi disekitar titik
y x,
. Turunan parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhadap x dan y tetap konstan
Turunan parsial y
x f
z ,
= terhadap x ditulis:
y x
f y
x f
x z
x ,
, =
∂ ∂
= ∂
∂ didefenisikan sebagai berikut:
h y
x f
y h
x f
y x
f y
x f
x
h x
, ,
lim ,
, −
+ =
= ∂
∂
→
Turunan parsial y
x f
z ,
= terhadap y ditulis:
y x
f y
x f
y z
y ,
, =
∂ ∂
= ∂
∂ didefenisikan sebagai berikut:
k y
x f
k y
x f
y x
f y
x f
y
k y
, ,
lim ,
, −
+ =
= ∂
∂
→
2.6 Analisa Korelasi
Analisa korelasi merupakan suatu analisis yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antar variabel. Perhitungan derajat keeratan didasarkan pada persamaan regresi. Derajat keeratan
di antara dua variabel disebut koreladi sederhana simple correlation, derajat keeratan yang berkaitan dengan tiga atau lebih variabel disebut sebagai korelasi berganda multiple
correlation. Analisa regresi dari korelasi sederhana menunjukkan hubungan antara dua variabel, yakni
1 variabel bebas dan 1 variabel tak bebas. Sedangkan analisa regresi berganda dan analisa korelasi berganda menggunakan tiga atau lebih variabel, satu varibel tak bebas dan dua atau
lebih variabel bebas. Perlu diingat bahwa tingginya tingkat korelasi tidak menunjukkan hubngan sebab akibat
antar variabel, mungkin diperoleh korelasi yang tinggi antar dua variabel namun tidak mempunyai hubungan.
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
Untuk melihat korelasi antara variabel bebas dan tak bebas dapat dilihat melauli formula:
{ }{
}
i i
i 2
2 2
2 i
i i
n X Y
X Y r
n Y
Y n
X X
∑ − ∑
∑ =
∑ − ∑
∑ − ∑
2.13
dengan r adalah koefisien korelasi antar variabel.
2.7 Autokorelasi
Salah satu asumsi penting dari beberapa asumsi model linier klasik adalah bentuk gangguan dari pengamatan yang berbeda
,
i j
e e
bersifat bebas. Dengan kata lain asumsi ini mengharuskan tidak terdapatnya korelasi diri atau korelasi serial autokorelasi di antara bentuk
i
e yang ada dalam fungsi regresi populasi.
Pada dasarnya autokorelasi dapat didefinisikan sebagai korelasi di antara nilai-nilai pengamatan yang terurut dalam waktu time series data atau nilai-nilai pengamatan yang terurut
dalam ruang cross-sectional data. Autokorelasi berkaitan dengan hubungan antara nilai-nilai yang berurutan dari variabel
yang sama. Dengan demikian terlihat adanya perbedaan pengertian antara autokorelasi dengan korelasi. Yang mana sama-sama mengukur derajat keeratan hubungan. Korelasi mengukur
derajat keeratan hubungan di antara dua buah variable yang berbeda, sedangkan autokorelasi mengukur derajat keeratan hubungan di antara nilai-nilai yang berurutan pada variable yang
sama atau pada variable itu sendiri.
2.7.1. Pengaruh Autokorelasi
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
Autokorelasi merupakan kasus khusus dari korelasi. Dimana autokorelasi berkaitan antara hubungan antara nilai-nilai yang berurutan dari variabel yang sama atau variabel itu sendiri.
Timbulnya masalah kesalahan yang berkorelasi serial biasanya disebabkan oleh salah satu asumsi yang tidak terpenuhi. Meskipun adanya autokorelasi, koefisien penduga parameter
masih bersifat tak bias, dalam pengertian bahwa nilai harapan sama dengan parameter yang sesungguhnya, hanya saja varians dari koefisien penduga itu akan menjadi lebih besar. Dengan
demikian apabila bentuk gangguan mempunyai autokorelasi, maka varians dari penduga Metode Kuadrat Terkecil akan menjadi lebih besar dari pada penduga lainnya. Sehingga penaksiran
dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil tidak akan menghasilkan parameter seperti yang diinginkan.
Apabila bentuk gangguan menunjukkan atau memperlihatkan adanya korelasi serial atau autokorelasi, maka hal ini akan berpengaruh pada nilai galat baku standart error dari parameter
dugaan atau galat baku dari koefisien penduga parameter model. Seperti telah dikemukakan dalam pembatasan masalah pada BAB I, bahwa error kesalahan diasumsikan memenuhi
hubungan : e
t
= ρ e
t-1
+ µ
t
……………………………. 2.14 dimana adalah koefisien autokorelasi dengan nilai -1
ρ 1 Persamaan 2.1 dikenal sebagai regresi diri tingkat satu First Order Autoregresif ditulis
sebagai AR1, yang menunjukkan bahwa kesalahan pada periode t dituis e
t
bergantung pada kesalahan pada periode sebelumnya
1 −
t
ditulis e
t-1
. Bentuk lengkap dari AR 1 adalah sebagai berikut :
e
t
= ρ e
t-1
+ µ
t
e
t-1
= ρ e
t-2
+ µ
t
e
t-r
= ρ e
t-r-1
+ µ
t-r
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
Selanjutnya substitusikan
1 −
t
ε pada persamaan 2.14, sehingga diperoleh : e
t
= e
t-2
+ µ
t-1
+ µ
t
=
2
e
t-2
+ µ
t-r
+ µ
t
selanjutnya substitusikan
2 −
t
ε , sehingga diperoleh : e
t
e
t-3
+ µ
t-2
+ µ
t-1
+ µ
t
dan apabila langkah tersebut dilakukan terus menerus untuk periode r besar, maka diperoleh : e
t
= µ
t
+ µ
t-1
+
2
µ
t-2
+…
maka :
1 1
1 1
t t
t-1 t
t t-1
1 ˆ
Y = Y Y
ˆ X
X
r t
t r r
t t
t t
t
e Y
X X
Y X
ρ µ β
ρ β
ρβ ρ
ε ρ
ρ
∞ −
= −
−
= =
− +
− +
+ −
= −
∑
sehingga =
t
E µ
2.7.2 Alasan Terjadinya Autokorelasi
Terjadinya autokorelasi diantara nilai-nilai dari variabel gangguan e dapat diakibatkan karena beberapa hal berikut:
1. Adanya variabel-variabel penjelas yang dihilangkan dari model. Seperti diketahui bahwa kebanyakan variabel-variabel ekonomi cenderung mengandung autokorelasi, dimana
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
nilai-nilai dari periode sekarang akan tergantung pada periode sebelumnya. Jika variabel yang memiliki sifat autokorelasi ini dihilangkan atau dikeluarkan dari model atau
dipisahkan dari sekumpulan variabel penjelas yang lain, maka jelas hal ini akan berpengaruh yang direfleksikan dalam variabel gangguan e , sehingga nilai-nilai dari
gangguan akan mengandung autokorelasi. Kasus ini sering disebut sebagai “quasi- autocorrelation”, krena merupakan pola autokorelasi dari variabel penjelas X yang
dihilangkan yang muncul dalam model regresi itu, bukan menunjukkan pola perilaku dari nilai-nilai e yang sesungguhnya.
2. Adanya kesalahan spesifikasi bentuk matematik dari model. Jika kita merumuskan atau menetapkan bentuk matematik yang berbeda dari bentuk hubungan yang sesungguhnya,
maka nilai- nilai gangguan akan menunjukkan autokorelasi.
3. Adanya fenomenal Cobweb, di mana nilai variabel yang sekarang bereaksi atau ditentukan oleh variabel sebelumnya.
4. Di dalam analisis regresi yang melibatkan data deret waktu, jika model regeresi mengikutsertakan tidak hanya nilai-nilai sekarang, tetapi juga nilai-nilai pada waktu yang
lalu sebagai variabel penjelas, maka variabel itu disebut sebagai model distribusi “lags”. 5. Adanya manipulasi data. Di dalam análisis empirik, data mentah sering dimanipulasi.
Sebelum membahas manipulasi data, maka perlu dikemukakan di sini bahwa kata “manipulasi” tidak berkaitan dengan hal-hal negatif seperti memalsukan data, mengarang
data, dan sebagainya, tetapi “manipulasi data” yang dimaksudkan di sini adalah suatu teknik mengubah data yang berkonotasi positif, di mana teknik mengubah data atau
memperkirakan data itu dapat dibenarkan tetapi sering menimbulkan masalah yang berkaitan dengan betuk gangguan.
2.8 Uji Durbin Watson
Uji ini dikemukakan oleh statistikawan J. Durbin dan G.S. Watson, sehingga uji ini dikenal dengan nama Uji Durban-Watson. Uji ini hanya cocok untuk pola regresi diri order pertama yang
mengambil bentuk :
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
1 t
t t
e e
ρ µ
−
= +
Adapun beberapa asumsi yang melandasi Uji Durban Watson ini antara lain : 1. Uji Durbin Watson diterapkan untuk model regresi yang mencakup parameter
β , dengan kata lain dipergunakan untuk model regresi yang mengandung intersep.
2. Variabel – variabel penjelas
X
, adalah nonstokastik, atau bersifat tetap dalam penarikan contoh yang berulang Repeated Sampling
3. Bentuk gangguan
t
e dibangkitkan melalui pola regresi diri order pertama dengan mengambil bentuk :
1 t
t t
e e
ρ µ
−
= +
4. Model regresi tidak mencakup nilai – nilai lag dari variabel tak bebas sebagai suatu variabel penjelas.
5. Tidak ada parameter yang hilang dalam data, dengan demikian uji Durbin Watson dapat digunakan untuk model regresi yang dibangun berdasarkan data yang lengkap, terutama
untuk data deret waktu. Uji Durbin Watson ini sendiri dirumuskan sebagai berikut :
∑ ∑
= =
−
− =
n t
t n
t t
t
e e
e d
1 2
2 2
1
……………………….. 3.15
Kebaikan dari statistik Uji d Durbin Watson ini sendiri adalah bahwa perhitungannya didasarkan atas
i
e , perkiraan residual pengganggu
i
e yang secara rutin dihitung didalam analisis regresi. Karena
∑
2 t
e
dan
∑
− 2
1 t
e
hanya berbeda satu pengamatan, maka keduanya dapat dianggap sama. Sehingga
∑
2 t
e
=
∑
− 2
1 t
e
, maka persamaan 3.1 dapat ditulis kembali sebagai berikut ;
−
∑ ∑
− 2
1
1 2
~
t t
t
e e
e d
……………………… 2.16
Gkan koefisien korelasi dapat ditentukan dengan formula :
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
∑ ∑
− ∧
=
2 1
t t
t
e e
e
ρ ………………………
2.17
Sebagai penduga dari koefisien autokorelasi tingkat satu ρ , yang nilainya berada pada
1 1
− ρ
, maka dengan menggunakan persamaan 2.17 bentuk persamaan 2.16 dapat dinyatakan sebagai berikut :
1 2
~ ρ
− d
……………………… 2.18
Ini berarti bila ρ mendekati 0 yang menunjukkan tidak adanya autokorelasi, d akan mendekati
2. Demikian pula bila ρ mendekati 1, yang menunjukkan ada autokorelasi serial positif, d akan
mendekati 0, dan bila ρ mendekati -1, ini menunjukkan ada korelasi serial negatif, d akan
mendekati 4.
Dari uraian yang dikemukakan, maka dapat ditarik kesimpulan tentang beberapa sifat dari uji Durbin Watson antara lain:
1. :
= ρ
H Tidak ada autokorelasi
:
1
≠ ρ
H Ada autokorelasi
2. :
= ρ
H Tidak ada autokorelasi
:
1
ρ H
Ada autokorelasi positif
3. :
= ρ
H Tidak ada autokorelasi
:
1
ρ H
Ada autokorelasi negatif
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
Dengan demikian statistik d Tidak ada autokorelasi yang dihitung berdasarkan persamaan
3.1 akan dibandingkan atau dilihat hasilnya dari tabel keputusan Durbin-Watson untuk memperoleh kesimpulan apakah perlu menolak atau menerima
H . Kaídah keputusan dari Uji Durbin-Watson dapat diikuti dalam tabel 1.
Masalah yang mendasar dari Uji Durbin-Watson ini adalah tidak diketahui secara tepat mengenai distribusi dari statistik d ini sendiri. Meski demikian Durbin-Watson telah berhasil
menghitung batas atas
U
d dan batas bawah
L
d dari nilai – nilai kritis tersebut.
Tabel 1 Kaídah Keputusan Durbin-Watson
Hipótesis nol H
Keputusan Jika
Tidak ada Autokorelasi positif Tidak ada Autokorelasi positif
Tidak ada Autokorelasi Negatif Tidak ada Autokorelasi Negatif
Tidak ada Autokorelasi Positif atau Negatif Tolak
H Tidak ada
Tolak H
Tidak ada
Tarima H
L
d d
u L
d d
d ≤
4 4
− d
d
l l
u
d d
d −
≤ ≤
− 4
4
U U
d d
d −
4
Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009
BAB III
PEMBAHASAN
3.2 Mendeteksi Kehadiran Autokorelasi
