© 2003 Digit ized by USU digit al library
2
sesuat u yang t idak diinginkan. Oleh karena it u, akibat t ersebut m erupakan penyim pangan dari apa yang seharusnya.
Dari uraian di at as, m asalah–m asalah y ang dihadapi adalah sebagai berik ut : 1. Apakah hasil yang ingin dicapai dari suat u fungsi dua peubah z= f x,y it u
sudah opt im al ? 2. Jik a hasil t ersebut t idak opt im al, berapak ah besarny a peny im pangan y ang
t erj adi ?
1 .3 Tu j u a n da n M a n fa a t
Hasil yang opt im al adalah sesuat u yang sangat pent ing dalam hal apapun. Sedikit saj a t erj adi kesalahan dalam m enent ukan langkah aw al, m aka hasilnya akan
j auh dari apa yang diharapkan. Oleh k arena it u, k am i m engharapk an dengan adany a t ulisan ini, m ak a dapat
diket ahui cara–cara apa yang harus dit em puh unt uk m encapai suat u hasil yang opt im al dari fungsi dua peubah at au lebih.
1 .4 Alu r Ke r a n gk a Pe m ik ir a n
Pem bahasan dalam t ulisan ini adalah dengan m enggunak an diferensial parsial, k hususny a pada t eori deferensial geom et ri pada pengopt im alan fungsi dua
peubah z= f x,y . Adapun langkah–langkah yang digunakan dalam t ulisan ini adalah sebagai
berik ut : a. Teori t ent ang fungsi dua peubah z= f x ,y .
b. Pengert ian m aksim um dan m inim um suat u fungsi. c. Mem perk enalkan t eori t ent ang nilai ekst rim dari fungsi dua peubah z= f x ,y dan
j enis ekst rim nya. d. Menguraikan m et ode- m et ode yang akan digunakan unt uk m endapat kan hasil
y ang opt im al dari fungsi dua peubah at au lebih z= f x ,y . e. Menggunakan diferensial parsial dalam beberapa m et ode unt uk m enent ukan luas
at au v olum e y ang opt im al. f. Mencari besarny a ham piran peny im pangan y ang t erj adi pada luas at au v olum e
y ang opt im al.
BAB I I M ETOD OLOGI
2 .1 Fu n gsi D u a Pe u ba h
Bila unt uk set iap pasangan x ,y dari harga–harga dua peubah bebas x dan y dari beberapa dom ain D , t erdapat k orespondensi harga–harga t ert ent u, m ak a
dik at ak an bahw a z adalah fungsi dari dua peubah bebas x dan y y ang t ert ent u di dalam dom ain D. Secara sim bolis, fungsi dari dua v ariabel dit ulisk an dengan z= f x ,y
.
Kum pulan pasangan–pasangan x,y dari harga–harga x dan y unt uk fungsi z= f x ,y t ert ent u, disebut daerah asal at au dom ain D . Jik a daerah asal fungsi t idak
diperinci, m ak a diam bil D y ang berupa daerah asal m ulany a nat ural dom ain , y ak ni him punan sem ua t it ik x,y pada bidang dim ana at uran fungsi berlaku dan
m enghasilkan suat u bilangan riil.
© 2003 Digit ized by USU digit al library
3
2 .2 Pe n ge r t ia n m a k sim u m da n m in im u m
Suat u fungsu y = f x dikat akan m em punyai m aksim um lokal m ak sim um relat if dim ana x = a bila f a lebih besar dari sem barang nilai f x lainnya dari x
sek it ar a, dan dik at ak an m em puny ai m inim um lok al m inim um relat if pada x = a bila f a lebih kecil dari sem barang nilai f x lain unt uk x disekit ar a. Maksim um dan
m inim um lokal suat u fungsi ini adalah m aksim um dan m inim um unt uk j arak t ert ent u yang berdekat an, sedangkan m aksim um dan m inim um absolut dari suat u fungsi
m em puny ai j arak y ang lebih besar lagi dan t erket ak pada t it ik y ang paling t inggi at au paling rendah dari j arak t ersebut , m elebihi m aksim um at au m inim um lokal yang
m anapun. Jadi, dapat dik at ak an bahw a f x m em puny ai nilai m ak sim um absolut pada nilai x = a
1
dalam bat as
c x
b ≤
≤
, apabila nilai f x pada x = a
1
m em punyai nilai paling t inggi, f a
1
f x . Sedangkan f x m em punyai nilai m aksim um lokal pada dalam bat as
c x
b ≤
≤
, apabila nilai f x pada x= a
2
. Dengan cara yang sam a dapat pula k it a t erangk an k onsep m inim um absolut dan m inim um lok al pada gam bar
di baw ah. Dengan dem ikian suat u fungsi yang m em punyai t it ik m aksim um kurvanya berbent uk cem bung keat as convex upw ard dan fungsi yang m em punyai t it ik
m inim um k urvany a berbent uk cem bung k ebaw ah conv ex dow nw ard . Bisa t erj adi bahw a suat u nilai m aksim um lokal dari suat u fungsi lebih kecil dari nilai m inum um
lokal dari fungsi t ersebut dalam suat u j arak t ersebut .
f x m aksim um lokal
f c m aksim um
lokal m inim um
lokal m inim um
f b x= b lokal
Apabila f x = 0 at au f
1
a t idak t ert ent u j ik a a = 0 , m ak a a m er upakan t it ik kr it is, yait u m aksim um at au m inim um .
2 .3 N ila i Ek st r im
Nilai m aksim um dari fungsi z= f x,y dicapai pada pasangan nilai variabel- v ariabel bebas x dan y adalah nilai t erbesar dari fungsi f x ,y dalam suat u
lengk ungan dari t it ik x
o
,y
o,
o dan nilai m inim um dari z= f x,y adalah nilai t erkecil di lengk ungan dari t it ik x
1
,y
1,
o . Ada beberapa bat asan yang harus kit a perhat ikan unt uk m enget ahui nilai ekst rim
suat u fungsi, yakni: 1. Fungsi z= f x,y m em punyai nilai m aksim um di x
o,
y
o
j ik a t erdapat bilangan – bilangan posit if S
1
dan S
2
sehingga berlak u : ∀
x,y ∈
H = { x,y |
| x- x
o
| S
1,
x,y |
| y- y
o
| S
2
} berlaku f x
o,
y
o
≥ f x,y .
2. Fungsi z= f x,y m em punyai nilai m inim um j ika f x
o,
y
o
≤ f x,y .
© 2003 Digit ized by USU digit al library
4
3. Jika fungsi z= f x,y di x
o,
y
o
m encapai nilai m inim um at au m inim um m ak a fungsi z= f x ,y m encapai nilai ekst rim dan t it ik ny a disebut dengan t it ik ekst rim .
4. Misalkan z= f x ,y m erupak an suat u perm uk aan dan andaikan T adalah t it ik pada perm uk aan.
Jika berlaku dz dz dx T
= 0
dan dy T
= 0
m ak a T disebut t it ik st asioner pada perm uk aan.
Pandang f suat u fungsi dua peubah yang kont iniu dalam suat u daerah siku em pat t erbuk a H di bidang x y . j ik a a,b suat u t it ik - dalam di dalam H dan j ik a f
x
a,b dan f
y
a,b ada, m ak a sy arat perlu agar f a,b m enj adi suat u nilai ekst rem f adalah f
x
a,b = f
y
a,b = 0 at au
, =
∇ b
a f
Pandang f suat u fungsi dua peubah yang kont iniu yaang m em punyai t urunan parsial pert am a dan k edua y ang k ont iniu j uga dalam suat u daerah sik u em pat
t erbuk a Hdi bidang x y . Misalkan a,b suat u t it ik dlam H dengan
, =
∇ b
a f
Dan andaikan
. ,
, ,
2
b a
f b
a f
b a
f
xy yy
xx
− =
∆
Mak a i. j ika
∆
dan f
x x
a,b 0, m aka f a,b adalah nilai m aksim um lokal f ii. j ik a
∆
dan f
x x
a,b 0, m aka f a,b adalah nilai m inim um lokal f iii. j ik a
∆
m ak a f a,b adalah buk an suat u nilai ekst rem f iv. j ika
= ∆
, m aka uj i ini t ak berkeput usan.
2 .4 La gr a n ge M u lt iplie r
Jika f fungsi t iga peubah x, y, dan z, m em iliki t urunan parsial pert am a t erhadap t iap perubah m ak a suat u sy arat perlu agar f a,b,c m enj adi nilai ekst rem f
adalah f
x
a,b,c = 0, f
y
a,b,c = 0 dan f
z
a,b,c = 0. Sy arat ini dapat dit ulis dengan pendek sebagai
∇ f a,b,c = 0
Tit ik- t it ik a,b,c yang m em enuhi persam aan ini adalah t it ik krit is unt uk f. sem ua t it ik dim ana f m em iliki m aksim um lokal at au m inim um lokal t erm asuk dalam
k uk m pulan t it ik k rit is. Nam un dem ik ian, sapert i t elah k it a lihat , t idak sem ua t it ik krit is m em berikan nilai ekst rem .
Dit em ukan nilai ekst r em fungsi dua var iabel F x,y = 3x
3
+ y
2
– 9x + 4y . Soal 1: Apabila dim int a unt uk m enent ukan j arak m inim um t it ik P: x,y,z dari t it ik
asal, dengan sy arat P harus pada perm uk aan z
2
= x
2
y + 4, yait u kit a t ent ukan m inim um dari fungsi f x ,y ,z = x
2
+ y
2
+ z
2
, yang m em enuhi kendala at au syarat bat as . g x , y , z = x
2
y – z
2
+ 4. F x ,y = 3x
3
+ y
2
– 9x + 4y adalah nilai ekst rem bebas. Dan soal 1 adalah soal nilai ekst rem t erkendala at au nilai ekst rem bersy arat .
Soal 1 dipecahk an dengan m enghilangk an z diant ara dua persam aan lalu k em udian dit ent ukan t it ik krit is dari fungsi yang t erj adi. Karena selalu m ungkin unt uk
m enghilangkan perubah diant ara dua persam aan dan karena m enent ukan t urunan parsial persam aan yang dibent uk, m aka diaj ukan disini sat u cara lain unt uk
m enangani soal- soal nilai ekst rem t erkenadala yang dikenal dengan nam a m et ode pengali lagrange.
© 2003 Digit ized by USU digit al library
5
BAB I I I PEM BAH ASAN
