© 2003 Digit ized by USU digit al library
1
PERAN AN GEOM ETRI D ALAM M EN GOPTI M ALKAN FUN GSI 2 PEUBAH ATAU LEBI H
D r s. R.Joh a n n e s P. M a t a n ia r i; D r s. Gim Ta r iga n Fa k u lt a s M a t e m a t ik a da n I lm u Pe n ge t a h u a n Ala m
Ju r u sa n M a t e m a t ik a Un ive r sit a s Su m a t e r a Ut a r a
BAB I PEN D AH ULUAN
1 .1 La t a r be la k a n g
St udi t ent ang perilaku fungsi um um nya m encakup hal- hal ant ara lain, penent uan daerah dim ana fum gsi naik t urun, m aksim ium m inim um , t it ik belok,
asim t ot dan sebagainy a. Tuj uan y ang ingin dicapai dalam m eny elesaik an fungsi dua peubah adalah unt uk m endapat kan hasil yang opt im al. Hal ini dipengaruhi oleh
harga–harga peubah x dan y karena peubah x dan y m erupakan peubah–peubah bebas y ang m enent uk an harga peubah t ak bebas z. Opt im al t idak dit ent uk an oleh
m aksim um at au m inim um . Akan t et api yang dim aksudkan dengan hasil yang opt im al ialah bagaim ana m em aksim um kan z= f x,y dengan harga peubah x dan y yang
m inim um .
Masalah m aksim um m inim um banyak kit a j um pai dalam kehidupan nyat a, dalam cabang ilm u sepert i ekonom i, st at ist ika, t eknik dan lain- lain. Secara singkat ,
t eori m aksim um m inim um sangat bergun unt uk m enyelesaikan m asalah m aksim um m inim um yam g banyak kit a j um pai dalam berbagai hal. Misalnya,
m enghit ung volum e, luas suat u plat dan lain- lain. Salah sat u cara yang dapat digunakan unt uk m encari penyelesaian opt im al dari fungsi dua peubah adalah secara
geom et ri diferensial. Dengan geom et ri diferensial, dapat diperoleh harga peubah x dan y yang diinginkan dan harga peubah z yang opt im al apabila peubah z= f x,y dan
k endala–k endalany a dik et ahui.
Berdasark an uraian di at as adalah m erupak an hal y ang m enarik perhat ian k am i unt uk m em bahas t ent ang “ Peranan Geom et ri dalam m engopt im alkan Fungsi
Dua Peubah at au lebih ” . dengan m em akai fungsi diferensial. Selam a ini kit a t elah m em bicarakan diferensial fungsi hanya dari sat u
variabel, yait u dalam fungsi eksplisit nya adalah y = f x , at au dalam bent uk im plisit f x,y = 0. fungsi yang dem ikian it u m em berikan pengert ian adanya hubungan
ant ara dua v ariabel y ait u, x dan y . Ak an t et api bany ak k asus sebenarny a m erupak an hubungan- hubungan dari beberapa variabel yang dinyat akan dalam suat u fungsi.
Misalny a, di dalam t eori ekonom i k it a t ahu bahw a perm int aan ak an suat u barang seringkali dipengaruhi t idak hanya oleh harga barang it u, t et api j uga oleh harga
barang- barang yang m em punyai hubungan erat bisa sebagi barang subsit usi at au barang kom plem ent er , oleh t ingkat pendapat an konsum en, selera, j um lah
penduduk dan sebagainy a y ang dalam huk um perm int aan diasum sik an t et ap k onst an cet eris paribus . Dengan dem ik ian fungsi sepert i it u dapat dit ulis y = f x
1
, x
2
, x
2
, ...,x
n
. Oleh karena it u penurunan dari fungsi t ersebut harus dilakukan secara t erpisah unt uk set iap v ariabel bebasny a.
1 .2 Ru m u sa n M a sa la h
Dalam m engopt im alkan m ak sim um m inim um nilai fungsi dengan peubah dua at au lebih sering t erj adi berbagai nilai y ang t idak sesuai dengan sebenarny a.
Masalah adalah persoalan yang sedang dan akan dihadapi dan m asalah m erupakan
© 2003 Digit ized by USU digit al library
2
sesuat u yang t idak diinginkan. Oleh karena it u, akibat t ersebut m erupakan penyim pangan dari apa yang seharusnya.
Dari uraian di at as, m asalah–m asalah y ang dihadapi adalah sebagai berik ut : 1. Apakah hasil yang ingin dicapai dari suat u fungsi dua peubah z= f x,y it u
sudah opt im al ? 2. Jik a hasil t ersebut t idak opt im al, berapak ah besarny a peny im pangan y ang
t erj adi ?
1 .3 Tu j u a n da n M a n fa a t
Hasil yang opt im al adalah sesuat u yang sangat pent ing dalam hal apapun. Sedikit saj a t erj adi kesalahan dalam m enent ukan langkah aw al, m aka hasilnya akan
j auh dari apa yang diharapkan. Oleh k arena it u, k am i m engharapk an dengan adany a t ulisan ini, m ak a dapat
diket ahui cara–cara apa yang harus dit em puh unt uk m encapai suat u hasil yang opt im al dari fungsi dua peubah at au lebih.
1 .4 Alu r Ke r a n gk a Pe m ik ir a n
Pem bahasan dalam t ulisan ini adalah dengan m enggunak an diferensial parsial, k hususny a pada t eori deferensial geom et ri pada pengopt im alan fungsi dua
peubah z= f x,y . Adapun langkah–langkah yang digunakan dalam t ulisan ini adalah sebagai
berik ut : a. Teori t ent ang fungsi dua peubah z= f x ,y .
b. Pengert ian m aksim um dan m inim um suat u fungsi. c. Mem perk enalkan t eori t ent ang nilai ekst rim dari fungsi dua peubah z= f x ,y dan
j enis ekst rim nya. d. Menguraikan m et ode- m et ode yang akan digunakan unt uk m endapat kan hasil
y ang opt im al dari fungsi dua peubah at au lebih z= f x ,y . e. Menggunakan diferensial parsial dalam beberapa m et ode unt uk m enent ukan luas
at au v olum e y ang opt im al. f. Mencari besarny a ham piran peny im pangan y ang t erj adi pada luas at au v olum e
y ang opt im al.
BAB I I M ETOD OLOGI
