Fungsi Gelombang Pemrograman dengan Mathematica 7

Dengan persamaan Schrödinger bebas-waktu 2.1 atau 2.2 fungsi gelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu, ψx Dari bentuk gelombang komposit untuk elektron Sx,t dengan Sx,t = ∑ kita mengambil bentuk ψx sebagai ψx Axe –jkx , dengan Ax adalah selubung paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi persamaan Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara momentum p dan energi E dengan besaran-besaran gelombang k, ,f, λ adalah p = λ λ

2.3 Fungsi Gelombang

Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan adalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa Adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dengan volume dx, dy, dz di sekitar titik x,y,z, adalah konjugat dari . Jadi persamaan Schrödinger tidak menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg. 2.5 2.4 Universitas Sumatera Utara Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang. ∆ Dan ∆ Maka ∆ Apa yang berada dalam tanda kurung pada 2.9 adalah selubung paket gelombang yang merupakan fungsi x sedangkan A memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan partikel. Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang x hasil solusi persamaan Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut. • Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang untuk satu dimensi harus memenuhi • Fungsi gelombang x, harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diterima. • Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d dx, juga harus kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum. • Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron. • Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.Kamal Singh,2006 2.6 2.7 2.8 Universitas Sumatera Utara

2.4 Probabilitas dan Normalisasi

Fungsi gelombang x menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Masalah yang muncul ketika hendak menafsirkan amplitudonya. Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo x dan variabel fisika apakah yang bergetar? Ini merupakan suatu jenis gelombang yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana | x| 2 dx memberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang dx di x. Rapat probabilitas Px terhadap x menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut: Pxdx=| x| 2 dx 2.9 Tafsiran | x| 2 ini membantu memahami persyaratan kontinu x, walaupun amplitudonya berubah secara tidak jelas dan kontinu. Probabilitas untuk menemukan partikel antara x 1 dan x 2 adalah jumlah semua probabilitas Pxdx dalam selang antara x 1 dan x 2 adalah sebagai berikut: ∫ ∫ = 2 1 2 2 1 x x x x dx x dx x P ψ 2.10 Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel disuatu titik sepanjang sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku: 1 2 = ∫ +∞ ∞ − dx x ψ 2.11 Persamaan 2.12 dikenal dengan syarat Normalisasi, yang menunjukkkan bagaimana mendapatkan tetapan A. Dimana tetapan A tidak dapat ditentukan dari persamaan Differensialnya. Sebuah fungsi gelombang yang tetapan pengalinya ditentukan dari persamaan 2.12 disebut ternormalisasikan. Hanyalah fungsi gelombang yang ternomalisasi secara tepat, yang dapat digunakan untuk melakukan semua perhitungan yang mempunyai makna fisika. Jika normalisasinya telah dilakukan secara tepat, maka persamaan 2.12 akan selalu menghasilkan suatu probabilitas yang terletak antara 0 dan 1. Setiap pemecahan persamaan Schrödinger yang menghasilkan | x| 2 bernilai tak hingga, harus dikesampingkan. Karena tidak pernah terdapat probabilitas tak hingga untuk menemukan partikel pada titik manapun. Maka harus Universitas Sumatera Utara m sa di sy ak di p m p se ra 2 D m 2 b d en y m b p mengesampin ama dengan ifferensial m yaratnya A kan menjad ibatasi dalam emecahanny Kedud menjamin kep ada keduduk etiap kooord ata-rata hasil .5 Penerap Persam Dimana pem memberikan i .5.1. Pada p Yang ergerak tanp dVx dx = 0 nergi potens Partik ang mengak mekanika k ergantung w ersamaan 2 2 2 m − h ngkan suatu n nol. Seba menghasilka = 0 agar pe di tak hingg m selang 0 ya berlaku p dukan suatu pastian hasil kannnya. N dinat, maka d l dari sejuml pan Persam maan Schrö mecahan pe informasi te partikel Beb dimaksud pa dipengaru 0 sehingga m silnya nol. kel bebas dal kibatkan en kuantum da waktu. Persa 2.13 berikut 2 2 V x x ψ ψ + ∂ ∂ u pemecaha gai contoh, j an x = A emecahannn ga untuk x m 0 x L, m pada seluruh u partikel tid l suatu kali p amun jika m ditemukan h lah besar pen aan Schröd ödinger dapa ersamaan S ntang perilak bas d dengan “P uhi gaya ap menempuh l lam mekanik nergi totalny apat dipeca amaan Schro : E x V ψ ψ = an dengan jika pemec A + B nya mempun menuju tak h maka A tidak h daerah neg dak dapat d pengukuran menghitung asil yang mu ngukuran be dinger at diterapka chrödinger, ku gelomban Partikel Be papun dalam lintasan luru ka klasik ber ya jadi kon ahkan deng odinger pada x mengemba cahan matem bagi selu nyai makna hingga Teta k boleh sama gatif sumbu x dipastikan,da suatu besara probabilitas ungkin dari p erkali-kali E an dalam be yang dise ng dari parti ebas” adalah m suatu ba us dengan ke rgerak denga nstan. Tetap gan persam a partikel be alikan faktor matika bagi uruh daerah fisika. Jika api jika pe a dengan nol x 0, maka alam hal in an fisika yan s yang berk pengukuran Eisberg,1970 erbagai pers ebut fungsi ikel. h sebuah p agian ruang, elajuan konst an momentu pi partikel maan Schröd ebas dapat d r pengaliny i persamaa x 0 , mak tidak | x emecahanny l. Tetapi jik a B = 0. i tidak dapa ng bergantun kaitan denga satu kali ata 0. soalan fisika gelombang partikel yan yaitu, F = tan. Sehingg um konstan P bebas dalam dinger tida diperoleh da 2.12 ya an ka | ya ka at ng an au a. g, ng - ga P, m ak ri Universitas Sumatera Utara Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaannya menjadi 2 2 2 2 x E x x m ψ ψ = ∂ ∂ − h 2.13 atau 2 2 x x ∂ ∂ ψ = 2 2 h m x E ψ 2.14 Atau: 2 2 2 2 = + ∂ ∂ x mE x x ψ ψ h 2.15 Karena: 2 2 2 h mE k = atau m k E 2 2 2 h = 2.16 Dengan demikian diperoleh: 2 2 2 x k x x ψ ψ − = ∂ ∂ 2.17 2 2 2 = + ∂ ∂ x k x x ψ ψ 2.18 Persamaan 2.19 adalah bentuk umum dari persamaan differensial biasa berorde dua, dengan k 2 adalah positif, dimana x merupakan kuantitas kompleks yang memiliki bagian real nyata dan bagian imajiner,Maka : 2 2 2 = + ∂ ∂ x k x x ψ ψ 2.19 Maka didapatkan x=Asinkx+ B cos kx 2.20 Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada k, maka partikel yang diperkenankan memiliki semua nilai dalam istilah kuantum, bahwa energinya tidak terkuantisasi. Sedangkan penentuan nilai A dan B mengalami beberapa kesulitan, Universitas Sumatera Utara karena integral normalisasi tidak dapat dihitung dari - ∞ hingga +∞ , bagi fungsi gelombang itu. Krane, 1992.

2.5.2. Partikel dalam sumur potensial

Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron bebas. Kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju ∞, atau kita katakan sumur potensial sangat dalam. Dalam gambar 2.1 berikut kita akan menggambarkan sumur potensial. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V= ∞, Sedangkan di daerah II, yaitu antara 0 dan L, V= . Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini adalah L. Vx = 0, ≤ x ≤ L Vx = ∞, x 0, x L, I II III E p = ∞ E p = 0 E p = ∞ Ψ 1 Ψ 2 Ψ 3 Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol, Ψ 1 x = 0 dan Ψ 2 x = 0. Sedangkan pada daerah dua Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan. Dari per nyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V = 0 seperti yang terlihat pada gambar 2.1 di atas. Karena partikel tidak bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur, sehingga fungsi gelombang = 0 untuk 0 ≤ x ≤ L. Maka yang perlu dicari adalah Universitas Sumatera Utara nilai di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L . Persamaan Schrodinger bebas waktu adalah : 2.21 Dengan 2.22 Dimana 2.23 Sesuai dengan persamaan gelombang maka : x=Asinkx+B coskx 2.24 Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan diterapkan persyaratan bahwa x harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang. Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x 0 dan x 0 bernilai sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x L dan x L haruslah bernilai sama di x = L. Jika x = 0, Untuk x 0 Jadi harus mengambil x = 0 pada x = 0. 0 =Asin 0 + B cos 0 0 = 0 + B.1 = 0 2.25 Jadi,didapat B = 0. Karena =0 untuk x L, maka haruslah berlaku L = 0, ΨL = AsinkL + Bcos kL = 0 2.26 Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku: AsinkL = 0 2.27 Universitas Sumatera Utara Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan x = 0 dan 2 x = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel Pemecahan tidak masuk akal atau sin kL = 0, maka yang benar jika: kL = π,2π,3π,…… n=1,2,3 …. 2.28 Dengan: 2.29 Dari persamaan 2.28 dan persamaaan 2.29 diperoleh bahwa energi partikel mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat energisitas yaitu: Dimana energy yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born dimana pada energy Born menyatakan energy tingkat atomic sedangkan tingkat energy pada persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energy untuk electron. Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi E n ialah: 2.31 Untuk memudahkan E 1 = ħ 2 π 2 2mL 2 , yang mana tampak bahwa unit energi ini ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka E = n 2 E 1 dan demikian partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E 1 , 4 E 1 , 9 E 1 , 16 E 1 dan seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik, misalnya manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan menumbuk kedua dinding secara secara elastik dapat diberi sembarang kecepatan awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut. 2 2 2 2 2mL n E n h π = x mE A n n h 2 sin = ψ Universitas Sumatera Utara Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini disebut keadaan stasioner Disebut keadaan”stasioner”karena ketergantungan pada waktu yang dilibatkan untuk membuat 2 , , , t x t x ψ ψ tidak bergantung waktu. Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi x ψ belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya, ditinjau kembali persyaratan normalisasi, yaitu 1 2 = ∫ +∞ ∞ − dx x ψ . Karena x=0, kecuali untuk 0 ≤ x ≤ Lsehingga berlaku: . | | 2.32 . Maka diperoleh A = L 2 . Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah: . L x n L n π ψ sin 2 = n=1,2,3,… 2.33 . Dalam gambar 2.2 dan 2.3 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi gelombang dan rapat probabilitas 2 ψ yang mugkin untuk beberapa keadaan terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1 , dikenal sebagai keadaan dasar dan keadaan dengan energi yang lebih tinggi n 1 dikenal sebagai keadaan eksitasi. Universitas Sumatera Utara Gambar 2. 2 Tingkat energi dalam sumur secara konstan Kamal Sing,2005 Gambar 2.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh ψ 2 , yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama, maka tingkat energi yang kedua pada n = 2, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan seterusnya.Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan Universitas Sumatera Utara demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui Pemecahan persamaan Schödinger. Persamaan 2.30 memperlihatkan bahwa selisih energy antara satu tingkat dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n =2, berbanding terbalik dengan kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energy tersebut, artinya tingkat-tingkat energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu satuan misalnya, selisih energy untuk n=2 dan n=1 adalah E 2 - E 1 = 3 ћ 2 8m dan jika L 10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E 2 – E 1 = 0.03 ћ 2 8m. Gambar 2.4. Pengaruh lebar sumur terhadap energy Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy tersebut akan semakin rapat sehingga mendekati kontinyu. Neuredine Zettili, 2009 a b Universitas Sumatera Utara

2.6 Pemrograman dengan Mathematica 7

Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri dan presiden perusahaan tersebut adalah Stephen Wolfram, P.hD. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan berkebangsaan Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika, ilmu pengetahuan, teknologi, bisnis dan aplikasi lainnya. Pada Penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan perintah-perintah berikut ini 1. Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data yang diberikan. Sintaks umumnya: Graphics[primitives,options]. 2. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi program, grafik dan objek lainnya. Sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,u min ,u max }]. 3. Module: perintah untuk membuat variabel lokal dengan nama tertentu yang dapat dipanggil. Sintaks umumnya: Module[{x,y,…},expr]. 4. If: perintah untuk memberikan suatu ekspresi tertentu jika kondisi benar dan ekspresi lainnya jika kondisi salah. Sintaks umumnya: If[condition,t,f]. 5. ListLinePlot: perintah untuk memplot grafik linier dua dimensi berdasarkan pasangan data yang telah ditentukan. Sintaks umumnya: ListLinePlot[{{x 1 ,y 1 },{x 2 ,y 2 },…}]. Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya di situs resmi Wolfram www.wolfram.com . Universitas Sumatera Utara

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Rancangan Penelitian

Langkah awal yang dilakukan adalah memecahkan persamaan Schrodinger dengan metode analitik kemudian mencari pemecahannnya dengan metode komputasi, maka langkah-langkah penyusunan program dilakukan sebagai berikut: a. Membahas Persoalan fisika b. Mengkonfirmasikan persoalan fisika ke dalam bentuk numerik c. Penyusunan algoritma d. Pengkodean yaitu menterjemahkan algoritma kedalam kode bahasa pemograman. e. Menjalankan program f. Analisis hasil visualisasi g. Penulisan laporan

3.2 Teknik Analisis Data

1. Mengumpulkan data yang diperoleh dalam program dan data tersebut dibuat dalam bentuk visualisasi. 2. Hasil visualisasi fungsi gelombang persamaan Schrodinger dengan metode komputasi akan dilihat kesesuaiannya dengan hasil analitik 3. Harga-harga peluang pada grafik visualisasi fungsi gelombang dengan metode komputasi akan dilihat tingkat kesesuaiannya dengan hasil analitiknya Universitas Sumatera Utara