Dengan persamaan Schrödinger bebas-waktu 2.1 atau 2.2 fungsi gelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu,
ψx Dari bentuk gelombang komposit untuk elektron Sx,t
dengan Sx,t = ∑
kita mengambil bentuk ψx sebagai ψx Axe
–jkx
, dengan Ax adalah selubung paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger.
Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi
persamaan Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara
momentum p dan energi E dengan besaran-besaran gelombang k, ,f, λ adalah
p =
λ λ
2.3 Fungsi Gelombang
Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan adalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa
Adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dengan volume dx, dy, dz di sekitar titik x,y,z, adalah konjugat dari . Jadi persamaan Schrödinger tidak
menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak mengatakan secara pasti
bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.
2.5 2.4
Universitas Sumatera Utara
Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang.
∆
Dan
∆
Maka
∆
Apa yang berada dalam tanda kurung pada 2.9 adalah selubung paket gelombang yang merupakan fungsi x sedangkan A
memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan partikel.
Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang x hasil solusi persamaan Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut.
• Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang untuk satu dimensi harus memenuhi
• Fungsi gelombang x, harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat
diterima. • Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d dx, juga harus kontinyu. Kita
telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat
diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum. • Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti
ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron. • Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab
kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.Kamal Singh,2006 2.6
2.7
2.8
Universitas Sumatera Utara
2.4 Probabilitas dan Normalisasi
Fungsi gelombang x menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Masalah yang muncul
ketika hendak menafsirkan amplitudonya. Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo x dan variabel fisika apakah yang bergetar? Ini merupakan suatu jenis gelombang
yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana | x|
2
dx memberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang dx di x. Rapat probabilitas Px terhadap
x menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut: Pxdx=| x|
2
dx 2.9
Tafsiran | x|
2
ini membantu memahami persyaratan kontinu x, walaupun amplitudonya berubah secara tidak jelas dan kontinu. Probabilitas untuk menemukan
partikel antara x
1
dan x
2
adalah jumlah semua probabilitas Pxdx dalam selang antara x
1
dan x
2
adalah sebagai berikut:
∫ ∫
=
2 1
2 2
1 x
x x
x
dx x
dx x
P ψ
2.10 Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel disuatu titik sepanjang
sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku: 1
2
=
∫
+∞ ∞
−
dx x
ψ 2.11
Persamaan 2.12 dikenal dengan syarat Normalisasi, yang menunjukkkan bagaimana mendapatkan tetapan A. Dimana tetapan A tidak dapat ditentukan dari
persamaan Differensialnya. Sebuah fungsi gelombang yang tetapan pengalinya ditentukan dari persamaan 2.12 disebut ternormalisasikan. Hanyalah fungsi
gelombang yang ternomalisasi secara tepat, yang dapat digunakan untuk melakukan semua perhitungan yang mempunyai makna fisika. Jika normalisasinya telah
dilakukan secara tepat, maka persamaan 2.12 akan selalu menghasilkan suatu probabilitas yang terletak antara 0 dan 1.
Setiap pemecahan persamaan Schrödinger yang menghasilkan | x|
2
bernilai tak hingga, harus dikesampingkan. Karena tidak pernah terdapat probabilitas tak
hingga untuk menemukan partikel pada titik manapun. Maka harus
Universitas Sumatera Utara
m sa
di sy
ak di
p m
p se
ra
2
D m
2
b d
en
y m
b p
mengesampin ama dengan
ifferensial m yaratnya A
kan menjad ibatasi dalam
emecahanny Kedud
menjamin kep ada keduduk
etiap kooord ata-rata hasil
.5 Penerap
Persam Dimana pem
memberikan i
.5.1. Pada p
Yang ergerak tanp
dVx dx = 0 nergi potens
Partik ang mengak
mekanika k ergantung w
ersamaan 2
2
2
m −
h ngkan suatu
n nol. Seba menghasilka
= 0 agar pe di tak hingg
m selang 0 ya berlaku p
dukan suatu pastian hasil
kannnya. N dinat, maka d
l dari sejuml
pan Persam
maan Schrö mecahan pe
informasi te
partikel Beb
dimaksud pa dipengaru
0 sehingga m silnya nol.
kel bebas dal kibatkan en
kuantum da waktu. Persa
2.13 berikut
2 2
V x
x ψ
ψ +
∂ ∂
u pemecaha gai contoh, j
an x = A emecahannn
ga untuk x m 0 x L, m
pada seluruh u partikel tid
l suatu kali p amun jika m
ditemukan h lah besar pen
aan Schröd
ödinger dapa ersamaan S
ntang perilak
bas
d dengan “P uhi gaya ap
menempuh l
lam mekanik nergi totalny
apat dipeca amaan Schro
: E
x V
ψ ψ
= an dengan
jika pemec A
+ B nya mempun
menuju tak h maka A tidak
h daerah neg dak dapat d
pengukuran menghitung
asil yang mu ngukuran be
dinger
at diterapka chrödinger,
ku gelomban
Partikel Be papun dalam
lintasan luru
ka klasik ber ya jadi kon
ahkan deng odinger pada
x mengemba
cahan matem bagi selu
nyai makna hingga Teta
k boleh sama gatif sumbu x
dipastikan,da suatu besara
probabilitas ungkin dari p
erkali-kali E
an dalam be yang dise
ng dari parti
ebas” adalah m suatu ba
us dengan ke
rgerak denga nstan. Tetap
gan persam a partikel be
alikan faktor matika bagi
uruh daerah fisika. Jika
api jika pe a dengan nol
x 0, maka alam hal in
an fisika yan s yang berk
pengukuran Eisberg,1970
erbagai pers ebut fungsi
ikel.
h sebuah p agian ruang,
elajuan konst
an momentu pi partikel
maan Schröd ebas dapat d
r pengaliny i persamaa
x 0 , mak tidak | x
emecahanny l. Tetapi jik
a B = 0. i tidak dapa
ng bergantun kaitan denga
satu kali ata 0.
soalan fisika gelombang
partikel yan yaitu, F =
tan. Sehingg
um konstan P bebas dalam
dinger tida diperoleh da
2.12 ya
an ka
| ya
ka at
ng an
au
a. g,
ng -
ga
P, m
ak ri
Universitas Sumatera Utara
Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaannya menjadi
2
2 2
2
x E
x x
m ψ
ψ =
∂ ∂
− h
2.13 atau
2 2
x x
∂ ∂
ψ
=
2
2 h
m x
E
ψ
2.14 Atau:
2
2 2
2
= +
∂ ∂
x mE
x x
ψ ψ
h 2.15
Karena:
2 2
2 h
mE k
= atau
m k
E 2
2 2
h =
2.16 Dengan demikian diperoleh:
2 2
2
x k
x x
ψ ψ
− =
∂ ∂
2.17
2 2
2
= +
∂ ∂
x k
x x
ψ ψ
2.18 Persamaan 2.19 adalah bentuk umum dari persamaan differensial biasa berorde dua,
dengan k
2
adalah positif, dimana x merupakan kuantitas kompleks yang memiliki bagian real nyata dan bagian imajiner,Maka :
2 2
2
= +
∂ ∂
x k
x x
ψ ψ
2.19 Maka didapatkan
x=Asinkx+ B cos kx 2.20 Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada k, maka partikel yang
diperkenankan memiliki semua nilai dalam istilah kuantum, bahwa energinya tidak terkuantisasi. Sedangkan penentuan nilai A dan B mengalami beberapa kesulitan,
Universitas Sumatera Utara
karena integral normalisasi tidak dapat dihitung dari - ∞ hingga +∞ , bagi fungsi
gelombang itu. Krane, 1992.
2.5.2. Partikel dalam sumur potensial
Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron
bebas. Kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju
∞, atau kita katakan sumur potensial sangat dalam. Dalam gambar 2.1 berikut kita akan menggambarkan sumur
potensial. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V= ∞, Sedangkan di
daerah II, yaitu antara 0 dan L, V= . Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini adalah L.
Vx = 0, ≤ x ≤ L
Vx = ∞,
x 0, x L, I
II III E
p
= ∞ E
p
= 0 E
p
= ∞
Ψ
1
Ψ
2
Ψ
3
Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana
kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol, Ψ
1
x = 0 dan Ψ
2
x = 0. Sedangkan pada daerah dua Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel
dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak
akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan.
Dari per nyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V
= 0 seperti yang terlihat pada gambar 2.1 di atas. Karena partikel tidak bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur,
sehingga fungsi gelombang = 0 untuk 0 ≤ x ≤ L. Maka yang perlu dicari adalah
Universitas Sumatera Utara
nilai di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L . Persamaan Schrodinger bebas waktu adalah :
2.21
Dengan 2.22
Dimana 2.23
Sesuai dengan persamaan gelombang maka : x=Asinkx+B coskx
2.24 Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga
belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan diterapkan persyaratan bahwa x harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang.
Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x 0 dan x 0 bernilai sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x L dan x L haruslah bernilai sama
di x = L. Jika x = 0, Untuk x 0 Jadi harus mengambil x = 0 pada x = 0. 0 =Asin 0 + B cos 0
0 = 0 + B.1 = 0 2.25
Jadi,didapat B = 0. Karena =0 untuk x L, maka haruslah berlaku L = 0, ΨL = AsinkL + Bcos kL = 0
2.26 Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku:
AsinkL = 0 2.27
Universitas Sumatera Utara
Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan x = 0 dan
2
x = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel Pemecahan tidak masuk akal atau sin kL = 0, maka yang benar jika:
kL = π,2π,3π,…… n=1,2,3 ….
2.28 Dengan:
2.29 Dari persamaan 2.28 dan persamaaan 2.29 diperoleh bahwa energi partikel
mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat energisitas yaitu:
Dimana energy yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born dimana pada energy Born menyatakan energy tingkat atomic sedangkan tingkat energy pada
persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energy untuk electron. Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi E
n
ialah:
2.31
Untuk memudahkan E
1
= ħ
2
π
2
2mL
2
, yang mana tampak bahwa unit energi ini ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka E = n
2
E
1
dan demikian partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E
1
, 4 E
1
, 9 E
1
, 16 E
1
dan seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu
yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik, misalnya manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan
menumbuk kedua dinding secara secara elastik dapat diberi sembarang kecepatan awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.
2 2
2 2
2mL n
E
n
h
π
=
x mE
A
n n
h 2
sin =
ψ
Universitas Sumatera Utara
Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini
disebut keadaan stasioner Disebut keadaan”stasioner”karena ketergantungan pada waktu yang dilibatkan untuk membuat
2
, ,
, t
x t
x ψ
ψ tidak bergantung waktu.
Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi
x
ψ belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya,
ditinjau kembali persyaratan normalisasi, yaitu 1
2
=
∫
+∞ ∞
−
dx x
ψ . Karena x=0,
kecuali untuk 0 ≤ x ≤ Lsehingga berlaku:
.
| | 2.32
.
Maka diperoleh A = L
2 . Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi
gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah:
.
L x
n L
n
π ψ
sin 2
= n=1,2,3,…
2.33
.
Dalam gambar 2.2 dan 2.3 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi gelombang dan rapat probabilitas
2
ψ yang mugkin untuk beberapa keadaan terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1 , dikenal sebagai keadaan dasar
dan keadaan dengan energi yang lebih tinggi n 1 dikenal sebagai keadaan eksitasi.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2. 2 Tingkat energi dalam sumur secara konstan Kamal Sing,2005
Gambar 2.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang
diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh
ψ
2
, yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi
bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama,
maka tingkat energi yang kedua pada n = 2, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan seterusnya.Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa
tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan
Universitas Sumatera Utara
demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui Pemecahan persamaan Schödinger.
Persamaan 2.30 memperlihatkan bahwa selisih energy antara satu tingkat dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n =2, berbanding terbalik dengan
kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energy tersebut, artinya tingkat-tingkat energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu
satuan misalnya, selisih energy untuk n=2 dan n=1 adalah E
2
- E
1
= 3 ћ
2
8m dan jika L 10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E
2
– E
1
= 0.03 ћ
2
8m.
Gambar 2.4. Pengaruh lebar sumur terhadap energy Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin
kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy tersebut akan semakin rapat sehingga mendekati kontinyu. Neuredine Zettili, 2009
a b
Universitas Sumatera Utara
2.6 Pemrograman dengan Mathematica 7
Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri dan presiden perusahaan tersebut adalah Stephen
Wolfram, P.hD. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan berkebangsaan Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika, ilmu pengetahuan,
teknologi, bisnis dan aplikasi lainnya. Pada Penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan
perintah-perintah berikut ini 1. Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data yang
diberikan. Sintaks umumnya: Graphics[primitives,options].
2. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi program, grafik dan objek lainnya.
Sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,u
min
,u
max
}]. 3. Module: perintah untuk membuat variabel lokal dengan nama tertentu yang dapat
dipanggil. Sintaks umumnya: Module[{x,y,…},expr].
4. If: perintah untuk memberikan suatu ekspresi tertentu jika kondisi benar dan ekspresi lainnya jika kondisi salah.
Sintaks umumnya: If[condition,t,f]. 5. ListLinePlot: perintah untuk memplot grafik linier dua dimensi berdasarkan pasangan
data yang telah ditentukan. Sintaks umumnya: ListLinePlot[{{x
1
,y
1
},{x
2
,y
2
},…}]. Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya di situs
resmi Wolfram www.wolfram.com
.
Universitas Sumatera Utara
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Rancangan Penelitian
Langkah awal yang dilakukan adalah memecahkan persamaan Schrodinger dengan metode analitik kemudian mencari pemecahannnya dengan metode komputasi, maka
langkah-langkah penyusunan program dilakukan sebagai berikut: a. Membahas Persoalan fisika
b. Mengkonfirmasikan persoalan fisika ke dalam bentuk numerik c. Penyusunan algoritma
d. Pengkodean yaitu menterjemahkan algoritma kedalam kode bahasa pemograman.
e. Menjalankan program f. Analisis hasil visualisasi
g. Penulisan laporan
3.2 Teknik Analisis Data
1. Mengumpulkan data yang diperoleh dalam program dan data tersebut dibuat
dalam bentuk visualisasi.
2. Hasil visualisasi fungsi gelombang persamaan Schrodinger dengan metode
komputasi akan dilihat kesesuaiannya dengan hasil analitik
3. Harga-harga peluang pada grafik visualisasi fungsi gelombang dengan metode
komputasi akan dilihat tingkat kesesuaiannya dengan hasil analitiknya
Universitas Sumatera Utara