karena integral normalisasi tidak dapat dihitung dari - ∞ hingga +∞ , bagi fungsi
gelombang itu. Krane, 1992.
2.5.2. Partikel dalam sumur potensial
Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron
bebas. Kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju
∞, atau kita katakan sumur potensial sangat dalam. Dalam gambar 2.1 berikut kita akan menggambarkan sumur
potensial. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V= ∞, Sedangkan di
daerah II, yaitu antara 0 dan L, V= . Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini adalah L.
Vx = 0, ≤ x ≤ L
Vx = ∞,
x 0, x L, I
II III E
p
= ∞ E
p
= 0 E
p
= ∞
Ψ
1
Ψ
2
Ψ
3
Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana
kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol, Ψ
1
x = 0 dan Ψ
2
x = 0. Sedangkan pada daerah dua Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel
dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak
akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan.
Dari per nyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V
= 0 seperti yang terlihat pada gambar 2.1 di atas. Karena partikel tidak bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur,
sehingga fungsi gelombang = 0 untuk 0 ≤ x ≤ L. Maka yang perlu dicari adalah
Universitas Sumatera Utara
nilai di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L . Persamaan Schrodinger bebas waktu adalah :
2.21
Dengan 2.22
Dimana 2.23
Sesuai dengan persamaan gelombang maka : x=Asinkx+B coskx
2.24 Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga
belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan diterapkan persyaratan bahwa x harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang.
Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x 0 dan x 0 bernilai sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x L dan x L haruslah bernilai sama
di x = L. Jika x = 0, Untuk x 0 Jadi harus mengambil x = 0 pada x = 0. 0 =Asin 0 + B cos 0
0 = 0 + B.1 = 0 2.25
Jadi,didapat B = 0. Karena =0 untuk x L, maka haruslah berlaku L = 0, ΨL = AsinkL + Bcos kL = 0
2.26 Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku:
AsinkL = 0 2.27
Universitas Sumatera Utara
Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan x = 0 dan
2
x = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel Pemecahan tidak masuk akal atau sin kL = 0, maka yang benar jika:
kL = π,2π,3π,…… n=1,2,3 ….
2.28 Dengan:
2.29 Dari persamaan 2.28 dan persamaaan 2.29 diperoleh bahwa energi partikel
mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat energisitas yaitu:
Dimana energy yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born dimana pada energy Born menyatakan energy tingkat atomic sedangkan tingkat energy pada
persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energy untuk electron. Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi E
n
ialah:
2.31
Untuk memudahkan E
1
= ħ
2
π
2
2mL
2
, yang mana tampak bahwa unit energi ini ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka E = n
2
E
1
dan demikian partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E
1
, 4 E
1
, 9 E
1
, 16 E
1
dan seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu
yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik, misalnya manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan
menumbuk kedua dinding secara secara elastik dapat diberi sembarang kecepatan awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.
2 2
2 2
2mL n
E
n
h
π
=
x mE
A
n n
h 2
sin =
ψ
Universitas Sumatera Utara
Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini
disebut keadaan stasioner Disebut keadaan”stasioner”karena ketergantungan pada waktu yang dilibatkan untuk membuat
2
, ,
, t
x t
x ψ
ψ tidak bergantung waktu.
Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi
x
ψ belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya,
ditinjau kembali persyaratan normalisasi, yaitu 1
2
=
∫
+∞ ∞
−
dx x
ψ . Karena x=0,
kecuali untuk 0 ≤ x ≤ Lsehingga berlaku:
.
| | 2.32
.
Maka diperoleh A = L
2 . Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi
gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah:
.
L x
n L
n
π ψ
sin 2
= n=1,2,3,…
2.33
.
Dalam gambar 2.2 dan 2.3 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi gelombang dan rapat probabilitas
2
ψ yang mugkin untuk beberapa keadaan terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1 , dikenal sebagai keadaan dasar
dan keadaan dengan energi yang lebih tinggi n 1 dikenal sebagai keadaan eksitasi.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2. 2 Tingkat energi dalam sumur secara konstan Kamal Sing,2005
Gambar 2.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang
diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh
ψ
2
, yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi
bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama,
maka tingkat energi yang kedua pada n = 2, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan seterusnya.Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa
tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan
Universitas Sumatera Utara
demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui Pemecahan persamaan Schödinger.
Persamaan 2.30 memperlihatkan bahwa selisih energy antara satu tingkat dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n =2, berbanding terbalik dengan
kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energy tersebut, artinya tingkat-tingkat energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu
satuan misalnya, selisih energy untuk n=2 dan n=1 adalah E
2
- E
1
= 3 ћ
2
8m dan jika L 10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E
2
– E
1
= 0.03 ћ
2
8m.
Gambar 2.4. Pengaruh lebar sumur terhadap energy Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin
kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy tersebut akan semakin rapat sehingga mendekati kontinyu. Neuredine Zettili, 2009
a b
Universitas Sumatera Utara
2.6 Pemrograman dengan Mathematica 7
Kategori