Analisis dan Visualisasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier Menggunakan Mathematica 9

(1)

LAMPIRAN A : MENTERJEMAHKAN SETIAP LANGKAH DEMI LANGKAH KE BAHASA MATHEMATICA 9

Persaman gerak untuk θ1 adalah

+ + � + + � − � � + � −

� � + + � � � − � + � � � − � + + +

� � � = (2.19)

Diubah dalam program menjadi

g (m1+m2+m3) Sin[θ1[t]]+θ2’[t]^2 l2 (m2+m3) Sin[θ1[t] -θ2[t]]+θ3’[t]^2 l3 m3 Sin[θ1[t]-θ3[t]]+l1 m1 θ1’’[t]+(m2+m3)

(l1 θ1’’[t] + l2 Cos[θ1[t]-θ2[t]]θ2’’[t])+l3 m3 Cos [θ1[t] -θ3[t]]θ3’’[t]==0

Sedangkan untuk � :

+ � − � � + + � + � − � � −

+ � � � − � + � � � − � + + � � � =

(2.20)

-θ1’[t]^2 l1 (m2+m3) Sin[θ1[t]-θ2[t]]+θ3’[t]^2 l3 m3 Sin[θ2[t]-θ3[t]]+(m2+m3) (g Sin[θ2[t]]+l1 Cos[θ1[t]-θ2[t]]

θ1’’[t]+l2 θ2’’[t])+l3 m3 Cos[θ2[t]-θ3[t]] θ3’’[t]==0 Lalu yang terakhir untuk � :

� − � � + � − � � + � − � � � −

� − � � � − � + � � � = (2.21)

m3(g Sin[θ3[t]]-θ1’[t]^2 l1 Sin[θ1[t]-θ3[t]]-l2 Sin[θ2[t] -θ3[t]] θ2’[t]^2+ l1 Cos[θ1[t]-θ3[t]] θ1’’[t]+l2 Cos[θ2[t]

-θ3[t]] θ2’’[t] +l3 θ3’’[t])==0

Penyelesaian persamaan differensial triple pendulum:

sol=NDSolve[eqns, (θ1,θ2}, {t,0,p}, Maxsteps->Infinity, PrecisionGoal->4];pq=sol[[1,1,2,1,1,2]];

Posisi Persamaan pendulum :

(2)

pos2[t_]:={(l1 Sin[θ1[t]]+l2 Sin[θ2[t]]),(-l1 Cos[θ1[t]]-l2 Cos[θ2[t]])};

pos3[t_]:={(l1 Sin[θ1[t]]+l2 Sin[θ2[t]]+l3 Sin[θ3[t]]),(-l1 Cos[θ1[t]]-l2 Cos[θ2[t]]-l3 Cos[θ3[t]])};

Jejak persamaan Gerak Pendulum dalam simulasi:

path=ParametricPlot[Evaluate[pos3[t]/.sol[[1]],{t,p-

p/5,p},ColorFunction- >(Directive[Lighter[Red,.10],Opacity[0.66#3]]&)MaxRecursion->ControlActive[2, 4]];

path1=ParametricPlot[Evaluate[pos2[t]/.sol[[1]],{t,p-p/5,p}, ColorFunction->(Directive[Lighter[Blue,.10],Opacity[0.66#3]]&) MaxRecursion->ControlActive[2, 4]];

Visualisasi Lingkaran Hitam:

Column[{Graphics[{GrayLevel[.4,.6], Circle[{0,0}, l1]

Visualisasi Pendulum Merah:

Darker[Red,.2],path[[1]],path[[1]],Line[Evaluate[{pos1[pq],pos2 [pq],pos3[pq]}/.Sol]],Disk[First@Evaluate[pos3[pq]/.sol],.2]

Visualisasi Pendulum Biru:

Darker[Blue,.2],Line[{pos1[pq],pos2[pq]}/.Sol],Disk[First@Evalu ate[pos2[pq]/.sol],.2]

Visualisasi Pendulum Hijau :

Darker[Green,.2],Line[{{0, 0}, First@Evaluate[pos1[pq]/.sol]}], Disk[First@Evaluate[pos1[pq]/.sol,.2]

Besar Kecilnya Visualisasi Pendulum: ImageSize->{320, 300}

Batasan dalam visualiasi Pendulum :

PlotRange->{{-(l1+l2+l3)-.5, (l1+l2+l3)+.5},{(l1+l2+l3)+.5,-(l1+l2+l3)-.5}}]

(3)

Tombol Pemilihan Grafik hasil animasi Pendulum : Switch[plottype,

(*Tampilan plot simpangan x m1 dan m2 terhadap t*)

x1x2, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

MaxRecursion->ControlActive[3, 4], PlotStyle->{Green, Blue}, Axes->False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange ->{{pq-25,pq}, Automatic}, ImageSize->{420, 150}, AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan plot simpangan y m1 dan m2 terhadap t*)

y1y2, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

(*Tampilan plot simpangan x m2 dan m3 terhadap t*)

x2x3, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

MaxRecursion->ControlActive[3, 4], PlotStyle->{Blue, Red}, Axes->False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange ->{{pq-25,pq}, Automatic}, ImageSize->{420, 150}, AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan plot simpangan y m2 dan m3 terhadap t*)

y2y3, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

(*Tampilan plot simpangan θ m1 dan m2 terhadap t*)

θ1θ2, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

MaxRecursion->ControlActive[3, 4], PlotStyle->{Green, Blue}, Axes->False,PlotLabel->Style{“θ(t)vs t”, “Label”], PlotRange

(4)

->{{pq-25,pq}, Automatic}, ImageSize->{420, 150}, AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan plot simpangan θ m2 dan m3 terhadap t*)

θ2θ3, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

MaxRecursion->ControlActive[3, 4], PlotStyle->{Blue, Red}, Axes->False,PlotLabel->Style{“θ(t)vs t”, “Label”], PlotRange ->{{pq-25,pq}, Automatic}, ImageSize->{420, 150}, AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan Plot x1 vs y1*)

x1y1, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel->Rown[{Subscript[x,1],” vs “, Subscript[y,1]}],PlotRange->{{-3Pi/4,3Pi/4}, Automatic}, ImageSize->{420,150},PlotStyle->Darker[Green,.1],AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan Plot x2 vs y2*)

x2y2, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel->Rown[{Subscript[x,2],” vs “, Subscript[y,2]}],PlotRange ->{{-3Pi/2,3Pi/2}, Automatic}, ImageSize->{420,150},PlotStyle->Darker[Blue,.1],AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan Plot x3 vs y3*)

x3y3, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel->Rown[{Subscript[x,3],” vs “, Subscript[y,3]}],PlotRange ->{{-3Pi/2,3Pi/2}, Automatic}, ImageSize->{420,150},PlotStyle->Darker[Blue,.1],AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan Plot θ1 vs θ2*)

θθ, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion -

(5)

->{{-Pi,Pi}, Automatic}, ImageSize->{420,150},ColorFunction->(Blend[{Blue, Green}, #1]&),AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan Plot θ2 vs θ3*)

θϕ, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion -

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel->Rown[{Subscript[θ,2],” vs “, Subscript[θ,3]}],PlotRange ->{{-Pi,Pi}, Automatic}, ImageSize->{420,150},ColorFunction->(Blend[{Red, Blue}, #1]&),AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan plot ω1 vs θ1*)

θθPrime1, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion

->ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel->Row[{Subscript[OverDot[θ],1],” vs “,Subscript[θ,1]}],Plot Range->{{-Pi,Pi}, Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100., PlotStyle->Darker[Green,.2]],

(*Tampilan plot ω2 vs θ2*)

θθPrime2, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion

->ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel->Row[{Subscript[OverDot[θ],2],” vs “,Subscript[θ,2]}],PlotRange ->{{-Pi,Pi}, Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100., PlotStyle->Darker[Blue,.2]],

(*Tampilan plot ω3 vs θ3*)

θθPrime2, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion

->ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel->Row[{Subscript[OverDot[θ],3],” vs “,Subscript[θ,3]}],PlotRange ->{{-Pi,Pi}, Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100.,

PlotStyle- >Darker[Red,.2]],_,Graphics[{White,Point[{0,0}]}]]},Dividers->None]],

Penulisan Judul Program:

Style[“ANIMASI GERAK TRIPLE”, Bold, 18, Darker[Black,.1], “Label”],

(6)

Style[“***********************************************”, Bold,16, Darker[Black, .1], “Label”],

Style[“PENDULUM NONLINIER”, Bold, 18, Darker[Black, .1], “Label”],

Style[“******************************************”, Bold, 12, Darker[Black, .1], “Label”],

Style[“ “, Bold, 12, Darker[Green,.8], “Label”],

Style[“Parameter Pendulum”,”Subsection”, Bold, 12, Darker[Black,.1], “Label”],

Tampilan Parameter massa pendulum hijau, biru, merah, panjang pendulum hijau, biru, merah, gravitasi, sudut pendulum hijau, biru, merah, kecepatan sudut pendulum hijau, biru, merah, dan waktu (Berurutan):

{{m1, 1, “Green mass (m1)”},1,5,ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{m2,1,”Blue mass (m2)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{m3,1,”Red mass (m3)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{l1,1,”Green length (l1)”},1,5,ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{l2,1,”Blue length (l2)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{l3,1,”Red length (l3)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{g,1,”Gravity (g)”},1,9.8, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

Delimiter,

Style[“Kondisi Awal”, “Subsection”, Bold, 12, Darker[Black,.1],”Label”],

{{init1,Pi/2,”green angle(θ1)

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

{{init2,0,”blue angle(θ2)

(7)

{{init3,0,”red angle(θ3) “},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

{{initprime1,0,”green velocity(ω1)”},0,5,ImageSize ->Tiny,Appearance->”Labeled”},

{{initprime2,0,”blue velocity(ω2)”},0, 5,ImageSize->Tiny,Appearance->”Labeled”},

{{initprime3,0,”red velocity(ω3)”},0,5,ImageSize ->Tiny,Appearance->”Labeled”},

Delimiter,{{p, 12,”Waktu”},0.001,100,ImageSize ->Tiny,Appearance->”Labeled”},

Tombol Pemilihan Tampilan Grafik:

[{plottype, x1x2, “Grafik”}, {x1x2->”Simpangan x m1 dan m2”,y1y2->” Simpangan y m1 dan m2”, x2x3->” Simpangan x m2 dan m3”, y2y3->” Simpangan y m2 dan m3”,θ1θ2->”Sensitivitas Kondisi Awal θ1 dan θ2”, θ2θ3->”Sensitivitas Kondisi Awal θ2 dan θ3”,x1y1->”x1 vs. y1”, x2y2->”x2 vs. y2”, x3y3->”x3 vs. y3”,θθ->”θ1 vs. θ2”, θϕ->”θ2 vs. θ3”, θθprime1->” � vs θ1”, θθprime2->” � vs θ2”, θθprime3->” � vs θ3”} ”},ControlType->PopupMenu}

Tombol untuk menganimasikan pendulum terhadap waktu:

{{p,0.001,”Animasi”},0.001,100,1.0, ControlType->Trigger},

AutorunSequencing->All,TrackedSymbols:->Manipulate,Initialization:->Get[“Barcharts”],

AutorunSequencing->{{10,10},l1}, TrackedSymbols:-> {m1, m2, m3, l1, l2, l3, g, init1, init2, init3, initprime1,initprime2, initprime3, plottype, p}

(8)

LAMPIRAN B: LISTING PROGRAM SIMULASI GERAK TRIPLE PENDULUM NONLINIER

Berikut ini merupakan listing program untukanimasi dan visualisasi gerakan triple pendulum nonlinier

(*Penentuan Variabel-variabel dan konstanta-konstanta*)

Manipulate[Module[{eqns, θ1, θ2, θ3, sol, pos1, pos2, pos3,t ,pq ,path, path1},

eqns={

g (m1+m2+m3) Sin[θ1[t]]+θ2’[t]^2 l2 (m2+m3) Sin[θ1[t] -θ2[t]]+θ3’[t]^2 l3 m3 Sin[θ1[t]-θ3[t]]+l1 m1 θ1’’[t]+(m2+m3) (l1 θ1’’[t] + l2 Cos[θ1[t]-θ2[t]]θ2’’[t])+l3 m3 Cos [θ1[t] -θ3[t]]θ3’’[t]==0,

-θ1’[t]^2 l1 (m2+m3) Sin[θ1[t]-θ2[t]]+θ3’[t]^2 l3 m3 Sin[θ2[t] -θ3[t]]+(m2+m3) (g Sin[θ2[t]]+l1 Cos[θ1[t]-θ2[t]] θ1’’[t]+l2 θ2’’[t])+l3 m3 Cos[θ2[t]-θ3[t]] θ3’’[t]==0,

m3(g Sin[θ3[t]]-θ1’[t]^2 l1 Sin[θ1[t]-θ3[t]]-l2 Sin[θ2[t] -θ3[t]] θ2’[t]^2+ l1 Cos[θ1[t]-θ3[t]] θ1’’[t]+l2 Cos[θ2[t] -θ3[t]] θ2’’[t] +l3 θ3’’[t])==0,θ1[0]==init1, θ2[0]==init2,θ3[0]==init3,θ1’[0]==initprime1,θ2’[0]==initprime2 ,θ3’[0]==initprime3};

(*Penyelesaian Persamaan Differensial*)

sol=NDSolve[eqns, (θ1,θ2}, {t,0,p}, Maxsteps->Infinity, PrecisionGoal->4];pq=sol[[1,1,2,1,1,2]];

pos1[t_]:={l1 Sin[θ1[t]],-l1 Cos[θ1[t]]};

pos2[t_]:={(l1 Sin[θ1[t]]+l2 Sin[θ2[t]]),(-l1 Cos[θ1[t]]-l2 Cos[θ2[t]])};

pos3[t_]:={(l1 Sin[θ1[t]]+l2 Sin[θ2[t]]+l3 Sin[θ3[t]]),(-l1 Cos[θ1[t]]-l2 Cos[θ2[t]]-l3 Cos[θ3[t]])};

path=ParametricPlot[Evaluate[pos3[t]/.sol[[1]],{t,p-

p/5,p},ColorFunction- >(Directive[Lighter[Red,.10],Opacity[0.66#3]]&)MaxRecursion->ControlActive[2, 4]];

(9)

path1=ParametricPlot[Evaluate[pos2[t]/.sol[[1]],{t,p-p/5,p}, ColorFunction->(Directive[Lighter[Blue,.10],Opacity[0.66#3]]&) MaxRecursion->ControlActive[2, 4]];

(*Visualisasi Pendulum*)

Column[{Graphics[{GrayLevel[.4,.6], Circle[{0,0}, l1],

Darker[Red,.2],path[[1]],path[[1]],Line[Evaluate[{pos1[pq],pos2 [pq],pos3[pq]}/.Sol]],Disk[First@Evaluate[pos3[pq]/.sol],.2], Darker[Blue,.2],Line[{pos1[pq],pos2[pq]}/.Sol],Disk[First@Evalu ate[pos2[pq]/.sol],.2],

Darker[Green,.2],Line[{{0, 0}, First@Evaluate[pos1[pq]/.sol]}], Disk[First@Evaluate[pos1[pq]/.sol,.2],ImageSize->{320,

300},PlotRange->{{-(l1+l2+l3)-.5,

(l1+l2+l3)+.5},{(l1+l2+l3)+.5,-(l1+l2+l3)-.5}}],

g1[t_?NumberQ]=Switch[plottype,x1x2,l1 Sin[θ1[t]],y1y2,-l1 Cos[θ1[t]],x2x3,(l1 Sin[θ1[t]+l2 Sin[θ2[t]]),y2y3,(-l1 Cos[θ1[t]-l2

Cos[t]]),x1y1,pos1[t][[1]],x2y2,pos2[t][[1]],pos3[t][[1]],θ1θ2, θ1[t],θ2θ3,θ2[t],θθ,θ1[t],θϕ,θ2[t],θθprime1,θ1[t],θθprime2, θ2[t],θθprime3,θ3[t],_,1]/.sol[[1]];

g2[t_?NumberQ]=Switch[plottype,x1x2,l1 Sin[θ1[t]]+l2 Sin[θ2[t]],y1y2,(-l1 Cos[θ1[t]]-l2 Cos[θ2[t]]),x2x3,(l1

Sin[θ1[t]+l2 Sin[θ2[t]]+l3 Sin[θ3[t]]),y2y3,(-l1 Cos[θ1[t]-l2 Cos[t]]-l3

Cos[t]]),x1y1,pos1[t][[2]],x2y2,pos2[t][[2]],pos3[t][[2]],θ1θ2, θ2[t],θ2θ3,θ3[t],θθ,θ2[t],θϕ,θ3[t],θθprime1,θ1’[t],θθprime2, θ2’[t],θθprime3,θ3’[t],_,1]/.sol[[1]];

Switch[plottype,

(*Tampilan plot simpangan x m1 dan m2 terhadap t*)

x1x2, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

MaxRecursion->ControlActive[3, 4], PlotStyle->{Green, Blue}, Axes->False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq-25,pq}, Automatic}, ImageSize->{420, 150}, AspectRatio->32/100.],

(10)

(*Tampilan plot simpangan y m1 dan m2 terhadap t*)

y1y2, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

(*Tampilan plot simpangan x m2 dan m3 terhadap t*)

x2x3, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

(*Tampilan plot simpangan y m2 dan m3 terhadap t*)

y2y3, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

(*Tampilan plot simpangan θ m1 dan m2 terhadap t*)

θ1θ2, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

MaxRecursion->ControlActive[3, 4], PlotStyle->{Green, Blue}, Axes->False,PlotLabel->Style{“θ(t)vs t”, “Label”], PlotRange ->{{pq-25,pq}, Automatic}, ImageSize->{420, 150}, AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan plot simpangan θ m2 dan m3 terhadap t*)

θ2θ3, Plot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

(11)

(*Tampilan Plot x1 vs y1*)

x1y1, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel->Rown[{Subscript[x,1],” vs “, Subscript[y,1]}],PlotRange ->{{-3Pi/4,3Pi/4}, Automatic}, ImageSize->{420,150},PlotStyle->Darker[Green,.1],AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan Plot x2 vs y2*)

x2y2, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

(*Tampilan Plot x3 vs y3*)

x3y3, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

(*Tampilan Plot θ1 vs θ2*)

θθ, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion -

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel->Rown[{Subscript[θ,1],” vs “, Subscript[θ,2]}],PlotRange ->{{-Pi,Pi}, Automatic}, ImageSize->{420,150},ColorFunction->(Blend[{Blue, Green}, #1]&),AspectRatio->32/100.],

(*Tampilan Plot θ2 vs θ3*)

θϕ, ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion -

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel->Rown[{Subscript[θ,2],” vs “, Subscript[θ,3] }],PlotRange->{{-Pi,Pi}, Automatic}, ImageSize->{420,150},ColorFunction->(Blend[{Red, Blue}, #1]&),AspectRatio->32/100.],

(12)

(*Tampilan plot ω1 vs θ1*)

θθPrime1, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion

->ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel->Row[{Subscript[OverDot[θ],1],” vs “,Subscript[θ ,1]}],PlotRange->{{-Pi,Pi}, Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100., PlotStyle->Darker[Green,.2]],

(*Tampilan plot ω2 vs θ2*)

θθPrime2, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

MaxRecursion->ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel->Row[{Subscript[OverDot[θ],2],” vs “,Subscript[θ,2]}],PlotRange ->{{-Pi,Pi}, Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100., PlotStyle->Darker[Blue,.2]],

(*Tampilan plot ω3 vs θ3*)

θθPrime2, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p},

MaxRecursion->ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel->Row[{Subscript[OverDot[θ],3],” vs “,Subscript[θ,3]}],PlotRange ->{{-Pi,Pi}, Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100.,

PlotStyle- >Darker[Red,.2]],_,Graphics[{White,Point[{0,0}]}]]},Dividers->None]],

(*Tampilan Parameter Kendali*)

Style[“ANIMASI GERAK TRIPLE”, Bold, 18, Darker[Black,.1], “Label”],

Style[“***********************************************”, Bold,16, Darker[Black, .1], “Label”],

Style[“PENDULUM NONLINIER”, Bold, 18, Darker[Black, .1], “Label”],

Style[“******************************************”, Bold, 12, Darker[Black, .1], “Label”],

Style[“ “, Bold, 12, Darker[Green,.8], “Label”],

Style[“Parameter Pendulum”,”Subsection”, Bold, 12, Darker[Black,.1], “Label”],

(13)

{{m1, 1, “Green mass (m1)”},1,5,ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{m2,1,”Blue mass (m2)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{m3,1,”Red mass (m3)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{l1,1,”Green length (l1)”},1,5,ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{l2,1,”Blue length (l2)”},1,5, ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{l3,1,”Red length (l3)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

{{g,1,”Gravity (g)”},1,9.8, ImageSize->Tiny, ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},

Delimiter,

Style[“Kondisi Awal”, “Subsection”, Bold, 12, Darker[Black,.1],”Label”],

{{init1,Pi/2,”green angle(θ1)

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

{{init2,0,”blue angle(θ2)

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

{{init3,0,”red angle(θ3)

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

{{initprime1,0,”green velocity(ω1)”},0,5,ImageSize ->Tiny,Appearance->”Labeled”},

{{initprime2,0,”blue velocity(ω2)”},0,5,ImageSize ->Tiny,Appearance->”Labeled”},

{{initprime3,0,”red velocity(ω3)”},0,5,ImageSize ->Tiny,Appearance->”Labeled”},

Delimiter,{{p, 12,”Waktu”},0.001,100,ImageSize ->Tiny,Appearance->”Labeled”},

Delimiter,

(*Menu Pemilihan Tampilan*)

[{plottype, x1x2, “Grafik”}, {x1x2->”Simpangan x m1 dan m2”,y1y2->” Simpangan y m1 dan m2”, x2x3->” Simpangan x m2 dan

(14)

m3”, y2y3->” Simpangan y m2 dan m3”,θ1θ2->”Sensitivitas Kondisi Awal θ1 dan θ2”, θ2θ3->”Sensitivitas Kondisi Awal θ2 dan θ3”,x1y1->”x1 vs. y1”, x2y2->”x2 vs. y2”, x3y3->”x3 vs. y3”,θθ->”θ1 vs. θ2”, θϕ->”θ2 vs. θ3”, θθprime1->” � vs θ1”, θθprime2->” � vs θ2”, θθprime3->” � vs θ3”},

ControlType->PopupMenu},{{p,0.001,”Animasi”},0.001,100,1.0, ControlType->Trigger}, AutorunSequencing->All,TrackedSymbols:->Manipulate,Initialization:->Get[“Barcharts”],

AutorunSequencing->{{10,10},l1}, TrackedSymbols:-> {m1, m2, m3, l1, l2, l3, g, init1, init2, init3, initprime1,initprime2, initprime3, plottype, p}]

(15)

LAMPIRAN C: PENJABARAN PERSAMAAN GERAK SISTEM TRIPLE PENDULUM NONLINIER

Koordinat – koordinat posisi tiap pendulum :

x1 = l1 + l2 + l3– l1cos θ1 (2.2) y1 = l1 sin θ1 (2.3) x2 = l1 + l2 + l3– l1 cos θ1– l2 cos θ2 (2.4) y2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2 (2.5) x3 = l1 cos θ1 + l2 cos θ2 + l3 cos θ3 (2.6) y3 = l1 + l2 + l3– l1cos θ1– l2 cos θ2− l3 cos θ3 (2.7) Kemudian, setiap koordinat diatas akan diturunkan terhadap waktu untuk memperoleh kecepatan. Hasil dari turunan menghasilkan

= − � sin � = � cos �

= − � sin � − � sin � = � cos � + � cos �

= − � sin � − � sin � − � sin � = � cos � + � cos � + � cos �

Subsitusi koordinat turunan ini ke persamaan 2.12 dan mengingat rumus trigonometri untuk selisih dua sudut diperoleh energi kinetik :

 T = x + y + x + y + x + y

 cos (α –β) = cosα cosβ + sinα sinβ

T = � + [� + � + � � cos � − � ] +

[� + � + � + � � cos � − � + � � cos � − � + � � cos � − � ] (2.16)

Energi potensial diperoleh dengan mensubsitusikan persamaan 2.2, 2.4, 2.6 ke persamaan 2.9 :

V = m1gx1 + m2gx2 + m3gx3

= m1g (l1 + l2 + l3– l1cos θ1) + m2g (l1 + l2 + l3– l1 cos θ1– l2cos θ2) + m3g (l1 + l2 + l3– l1cos θ1– l2 cos θ2− l3cos θ3) (2.11)

(16)

Sehingga Fungsi Lagrangian Triple Pendulum Nonlinier: L = T – V

= � + [� + � + � � cos � − � ] + [� +

� + � + � � cos � − � + � � cos � − � +

� � cos � − � ] − � + + − cos � − � + + − cos � − cos � − � + + − cos � − cos � − cos �

(2.17)

Persamaan diatas adalah Fungsi Lagrangian dari triple pendulum, persamaan diatas akan diselesaikan dengan persamaan Lagrange agar diperoleh posisi masing-masing pendulum.

Persamaan Lagrange dirumuskan sebagai berikut: �

�� −

��

�� = , � ∈ { , , } (2.18)  Persamaan gerak untuk pendulum pertama:

��

�� = − � � sin � − � − � � cos � − �

− � � sin � − � − � sin � − � sin �

− � sin � ��

�� = � + � + � � − � + �

+ � � − � + � � − �

��

�� = � + � + � + � � − �

− � (� − � ) sin � − � + � + � � − �

− � (� − � ) sin � − �

+ � � − � − � (� − � ) sin � − �

Kemudian dengan persamaan Lagrange,

��

�� =

��

(17)

� + � + � + � � − �

− � (� − � ) � � − � + � + � � − �

− � (� − � ) � � − �

+ � � − � − � (� − � ) � � − �

= � � � � − � − � � � − �

− � � � � − � − � � � − � � �

− � � �

Untuk lebih sederhananya maka persamaan diatas dibagi l1 diperoleh hasil:

+ + � + + � − � � + � − � � +

+ � � � − � + � � � − � + + + � � � =

(2.19)

 Persamaan gerak untuk pendulum kedua:

��

�� = � � � � − � + � � � � − �

− � � � � − � − � � � − � � �

��

�� = � + � � − � + � + � � − �

+ � + � � − �

��

�� = � + � � − � − � (� − � ) � � − �

+ � � − � − � (� − � ) � � − � + �

+ � � − � − � (� − � ) � � − �

Kemudian dengan persamaan Lagrange,

��

�� =

��

� + � � − � − � (� − � ) � � − �

+ � � − � − � (� − � ) � � − � + �

+ � � − � − � (� − � ) � � − �

= � � � � − � + � � � � − �

(18)

Untuk lebih sederhananya maka persamaan diatas dibagi l2 diperoleh hasil:

+ � − � � + + � + � − � � −

+ � � � − � + � � � − � + + � � � =

(2.20)

 Persamaan gerak untuk pendulum ketiga:

��

�� = � � sin � − � + � � sin � − � − � sin �

��

�� = � + � � − � + � � − �

��

�� = � + � � − � − � (� − � ) � � − �

+ � � − � − � (� − � )sin � − �

Kemudian dengan persamaan Lagrange,

��

�� =

��

� + � � − � − � (� − � ) � � − �

+ � � − � − � (� − � ) sin � − �

= � � sin � − � + � � sin � − � − � sin �

Untuk lebih sederhananya maka persamaan diatas dibagi l3 diperoleh hasil:

� − � � + � − � � + � − � � � −

(19)

LAMPIRAN D: GRAFIK RUANG FASA UNTUK PERBANDINGAN SISTEM DENGAN VARIASI NILAI BEBERAPA PARAMETER

 Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.1 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi sudut simpangan awal, m1 = m2 = m3 = 1 dan l1 = l2 = l3 = 1)

Gambar C.1, Ruang fasa dengan θ1 = 1.15-1.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.2, Ruang fasa dengan θ1 = 0.85-1.14, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.3, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.85, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.4, Ruang fasa dengan θ1 = 1.0-1.14, θ2 = 1.2, dan θ3 = 1.65

1vs. 1

(20)

Gambar C.5, Ruang fasa dengan θ1 = 0.9-0.99, θ2 = 1.2, dan θ3 = 1.65

Gambar C.6, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.89, θ2 = 1.2, dan θ3 = 1.65

Gambar C.7, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.89, θ2 = 1.05, dan θ3 = 1.05

Gambar C.8, Ruang fasa dengan θ1 = 0.7-0.79, θ2 = 1.05, dan θ3 = 1.05

1vs. 1

(21)

Gambar C.9, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.69, θ2 = 1.05, dan θ3 = 1.05

Gambar C.10, Ruang fasa dengan θ1 = 0.62-0.69, θ2 = 0.86, dan θ3 = 0.95

Gambar C.11, Ruang fasa dengan θ1 = 0.5-0.61, θ2 = 0.86, dan θ3 = 0.95

Gambar C.12, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.49, θ2 = 0.86, dan θ3 = 0.95

1vs. 1

(22)

Gambar C.13, Ruang fasa dengan θ1 = 0.4-0.49, θ2 = 0.48, dan θ3 = 0.7

Gambar C.14, Ruang fasa dengan θ1 = 0.28-0.39, θ2 = 0.48, dan θ3 = 0.7

Gambar C.15, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.27, θ2 = 0.48, dan θ3 = 0.7

 Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.2 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum1, m1 = m2 = m3 = 1, l2 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)

Gambar C.16, Ruang fasa dengan l1 = 1-1.5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

1vs. 1

(23)

Gambar C.17, Ruang fasa dengan l1 = 1.6-1.9, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.18, Ruang fasa dengan l1 = 2-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.19, Ruang fasa dengan l1 = 2-2.2, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1

Gambar C.20, Ruang fasa dengan l1 = 2.3-2.4, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1

Gambar C.21, Ruang fasa dengan l1 = 2.5-5, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1

1vs. 1

(24)

Gambar C.22, Ruang fasa dengan l1 = 2.5-3, θ2 = 0.98, dan θ3 = 0.98

Gambar C.23, Ruang fasa dengan l1 = 3.1-5, θ2 = 0.98, dan θ3 = 0.98

 Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.3 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum2, m1 = m2 = m3 =1, l1 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)

Gambar C.24, Ruang fasa dengan l2 = 2, θ2 = 0-1.57, dan θ3 = 0-1.57

 Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.4 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum3, m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = 1, dan θ1 = Pi/2)

Gambar C.25, Ruang fasa dengan l3 = 1.1-1.2, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17 1vs. 1

1vs. 1

(25)

Gambar C.26, Ruang fasa dengan l3 = 1.3-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.27, Ruang fasa dengan l3 = 1.3-1.6, θ2 = 1.35, dan θ3 = 1.4

Gambar C.28, Ruang fasa dengan l3 = 1.7-2, θ2 = 1.35, dan θ3 = 1.4

Gambar C.29, Ruang fasa dengan l3 = 2.1-5, θ2 = 1.35, dan θ3 = 1.4

Gambar C.30, Ruang fasa dengan l3 = 2.1-2.8, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1.57 3vs. 3

3vs. 3

(26)

Gambar C.31, Ruang fasa dengan l3 = 2.9-3.2, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1.57

Gambar C.32, Ruang fasa dengan l3 = 3.3-5, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1.57

Gambar C.33, Ruang fasa dengan l3 = 3.3-4, θ2 = 0.78, dan θ3 = 1.57

Gambar C.34, Ruang fasa dengan l3 = 4.1-4.4, θ2 = 0.78, dan θ3 = 1.57

Gambar C.35, Ruang fasa dengan l3 = 4.5-5, θ2 = 0.78, dan θ3 = 1.57

3vs. 3

(27)

 Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.5 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum1, m2 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)

Gambar C.36, Ruang fasa dengan, m1 = 1-1.1, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.37, Ruang fasa dengan, m1 = 1.2-1.9, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.38, Ruang fasa dengan, m1 = 2-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.39, Ruang fasa dengan, m1 = 2-2.2, θ2 = 1.44, dan θ3 = 1.57

Gambar C.40, Ruang fasa dengan, m1 = 2.3-5, θ2 = 1.44, dan θ3 = 1.57

1vs. 1

(28)

 Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.6 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum2, m1 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)

Gambar C.41, Ruang fasa dengan, m2 = 1-2, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.42, Ruang fasa dengan, m2 = 2.1-2.4, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.43, Ruang fasa dengan, m2 = 2.5-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.44, Ruang fasa dengan, m2 = 3, θ2 = 1.17, dan θ3 = 1

Gambar C.45, Ruang fasa dengan, m2 = 3.1-5, θ2 = 1.17, dan θ3 = 1

2vs. 2

(29)

 Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.7 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum3, m1 = m2 = 1, l1 = l2 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)

Gambar C.46, Ruang fasa dengan, m3 = 1-1.2, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.47, Ruang fasa dengan, m3 = 1.3, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.48, Ruang fasa dengan, m3 = 1.4-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.49, Ruang fasa dengan, m3 = 2, θ2 = 0.9, dan θ3 = 0.9

Gambar C.50, Ruang fasa dengan, m3 = 2.1-2.2, θ2 = 0.9, dan θ3 = 0.9

3vs. 3

(30)

Gambar C.51, Ruang fasa dengan, m3 = 2.3-5, θ2 = 0.9, dan θ3 = 0.9

Gambar C.52, Ruang fasa dengan, m3 = 2.3-2.5, θ2 = 0.78, dan θ3 = 0.69

Gambar C.53, Ruang fasa dengan, m3 = 2.6-5, θ2 = 0.78, dan θ3 = 0.69

 Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.8 (Hasil pengujian sistem untuk massa dan tali yang sama)

Gambar C.54, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = 2, l1 = l2 = l3 = 1, θ1 = 1.15-1.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.55, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = 3, l1 = l2 = l3 = 1, θ1 = 1.15-1.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

3vs. 3

1vs. 1

(31)

Gambar C.56, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 = 2, θ1 = 1.15-1.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.57, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 = 3, θ1 = 1.15-1.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Gambar C.58, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = l1 = l2 = l3 = 2, θ1 = 1.15-1.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

1vs. 1

(32)

DAFTAR PUSTAKA

Baker, G.L. and Gollub,J.P. 1996. Chaotic Dynamics: An Introduction. 2nd Edition. New York: Cambridge Unversity Press.

Deserio, Robert. 2004. Chaotic Pendulum: The Complete Attractor. Florida: University of Florida.

Kusmarni, Yani. 2008. Teori Chaos Sebuah Keteraturan Dalam Keacakan. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.

McCrummen, John. 2015. The Double Pendulum Differential Equations. Flathead Valley: Community College.

Panggabean, Eva Suraya. 2011. Analisis dan Visualisasi Gerak Pendulum Ganda Nonlinier. Medan: Universitas Sumatera Utara.

Rahayu, Siti Utari. 2010. Analisis Kualitatif Gejala Chaos Pada Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali. Medan: Universitas Sumatera Utara.

Sahid, 2003. Teori Keos (Chaos Theory) : Dapatkah Gejala Dinamika Alam dan Sosial Diprediksi dalam Jangka Panjang?. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.

Setiawan, Sandi. 1991. Chaos Gelora Sains Baru. Yogyakarta: Andi. Situngkir, H., Surya, Y. 24 Juli 2010. Teori Chaos dan Bank Century.

http://www.yohanessurya.com/chaosekonom.htm

Spigel, Murray. 1967. Schaums’s Outlines Series: Theory and Problems of Theoretical Mechanics. Toronto: Mc-Graw Hill Book Company.

Stroup, Adrianne. 2004. The Dynamics of Pendula: An Introduction to Hamiltonian System and Chaos. California: California Institute of Technology

Raharjo, Agus. 2007. Fenomena Chaos dalam Kehidupan Hukum Indonesia. Jakarta: Universitas Indonesia.

Tel, H. and Gruiz M. 2006. Chaotic Dynamics An Introduction based on Classical Mechanics. 1st Edition. New York: Cambridge University Press.

Tam, P.T. 2008. A Physicist’s Guide to Mathematica®. 2nd Edition. New York: Academic Press.

(33)

Tipler, A.P. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik. Edisi Ketiga, Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Walker, J. S. 1991. “Chaos: Suatu Ketidakteraturan yang teratur”. Fisika untuk Sains dan Teknik. Hal:457-463

(34)

BAB 3

ANALISIS MASALAH DAN PERANCANGAN PROGRAM

3.1 Analisis Masalah

3.1.1 Persamaan Gerak Triple Pendulum Nonlinier

Persamaan gerak triple pendulum nonlinier adalah persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 pada subbab 2.4. Berdasarkan ketiga persamaan maka dapat dikatakan bahwa sistem triple pendulum memiliki tiga variabel, maka lintasannya terletak pada ruang fasa 3 dimensi, ruang minimum terbentuknya gejala chaos.

Agar sistem dapat menampilkan gejala chaos dengan jelas, maka ditentukan dalam keadaan tanpa dimensi (Dimensionless) yaitu m = l = g = 1 (Baker et al, 1996), berdasarkan hal ini, maka ditetapkan m1 = m2 = m3 = l1 = l2 = l3 = g = 1, yang merupakan bentuk penyederhanaan yang sering digunakan dalam simulasi.

Nilai kecepatan awal pendulum, ω1, ω2, dan ω3 pada program dapat divariasikan, tetapi dalam menganalisis gejala chaos nilai ω1, ω2, dan ω3 yang dipakai adalah pada ω1= ω2 = ω3 = 0 rad/s, hal ini dimaksudkan agar pendulum tidak berputar sehingga keadaan chaos dapat dianalisis dengan jelas. Sedangkan nilai θ pada program terdiri dari tiga, yaitu θ1, θ2, dan θ3. Hal ini dimaksudkan untuk menguji sesitivitas kondisi awal dari setiap gejala dari periodik hingga chaos jik kondisi awal ketiga pendulum diubah sedikit (Pi/12 rad). Adapun nilai dipakai sebenarnya adalah pada θ0 = Pi/2 rad, hal ini juga dimaksudkan agar diperoleh keadaan dimensionless.

Berdasarkan ketetapan diatas, parameter yang divariasikan nilainya dalam penelitian ini untuk menganalisis gejala chaos adalah sudut pendulum2 dan sudut pendulum3. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa penentuan parameter-parameter di atas dimaksudkan agar keadaan-keadaan periodik, kuasiperiodik, dan chaos pada sistem dapat dianalisis dengan jelas.

(35)

Namun, sebagai perbandingan akan diteliti pula keadaan-keadaan sistem selain pengujian secara dimensionless. Pengujian akan dilakukan dengan beberapa variabel parameter yang nilainya dapat divariasikan, yaitu m1,m2,m3, l1,l2,l3, dan θ1(simpangan awal) untuk mengetahui keterkaitan hubungan varibel tersebut dengan keadaan periodik atau chaos. Dalam hal ini, suatu ruang parameter tiga dimensi yang setiap titiknya mewakili ketiga parameter tersebut dapat ditentukan. Penyelidikan yang akan dilakukan untuk mengamati pengaruh variasi:

1. θ1 sedangkan l1, m1, l2, m2, l3, dan m3 dianggap konstan. 2. m1 sedangkan l1, θ1, l2, m2, l3, dan m3 dianggap konstan. 3. m2 sedangkan l1, θ1, l2, m1, l3, dan m3 dianggap konstan. 4. m3 sedangkan l1, θ1, l2, m1, l3, dan m2 dianggap konstan.

5. l1 sedangkan sedangkan m1, θ1, l2, m2, l3, dan m3 dianggap konstan. 6. l2 sedangkan sedangkan m1, θ1, l1, m2, l3, dan m3 dianggap konstan. 7. l3 sedangkan sedangkan m1, θ1, l1, m2, l2, dan m3 dianggap konstan.

Ketika variasi – variasi di atas diuji, θ2 dan θ3 akan diubah untuk mempertahankan keperiodikan. Demikian metode tersebut dilakukan karena penyelidikan menyeluruh terhadap perilaku sistem sebagai fungsi ketiga variabel parameter tersebut tidak dapat dilakukan (Baker et al, 1996).

3.1.2 Penentuan Ruang Fasa

Seperti yang telah dijelaskan pada subbab 2.1.1.1 bahwa ruang fasa memiliki koordinat-koordinat yang mewakili variabel-variabel yang diperlukan untuk menentukan keadaan sistem pada saat tersebut. Dalam penelitian ini variabel-variabel yang digunakan sebagai analisis terhadap ruang fasa adalah kecepatan sudut, ω(t), dan posisi sudut, θ(t), dan ruang fasanya berbentuk bidang.

Jika hasil penyelesaian persamaan gerak pendulum yang diperoleh pada subbab 2.4 diplot antara kecepatan sudur dengan posisi sudut, maka hasil yang diperoleh yaitu lintasan bergerak sepanjang –~ sampai +~, hal ini secara matematika sudah benar. Tetapi secara fisika, lintasan hanya dapat bergerak antara –π sampai +π dengan garis penghubung yang berdekatan diabaikan. Berdasarkan hal ini, maka lintasan sistem yang akan dianalisis dipotong, sehingga lintasan yang tersisa hanya pada batas –π sampai +π.

(36)

Pada ruang fasa yang telah dijelaskan di atas, koordinat ω(t), dan θ(t) ditentukan pada t = 1, 2, 3 dan seterusnya, hingga tmax yakni t = 100. Hal ini agar dapat memperlihatkan karakteristik sistem dinamis dengan baik, maka jejak lintasan yang muncul harus ditampilkan dengan jelas. Jika lintasan pada ruang fasa ini berulang, maka dapat dikatakan bahwa sistem tersebut periodik, sedangkan jika lintasannya tidak tepat berulang maka sistem tersebut dapat dikatakan tidak periodik.

3.2 Perancangan Program

Simulasi gerak triple pendulum nonlinier ini dirancang dengan menggunakan seperangkat laptop yang menggunakan prosesor AMD E-300 APU with Radeon(tm) HD Graphics 1.30 Ghz dengan menggunakan software Wolfram Mathematica versi 9.

Adapun proses perancangan program penelitian ini dirancang melalui tahapan-tahapan sebagai berikut:

a. Perancangan diagram alir (flowchart) dan algoritma simulasi penyelesaian persamaan gerak triple pendulum nonlinier dengan metode Euler-Lagrange

b. Pembuatan program lengkap berdasarkan rancangan diagram alir dan algoritma dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica versi 9.

3.2.1 Perancangan Diagram Alir (Flowchart)

Dalam merancang suatu program yang terstruktur dan terkendali dengan baik, terlebih dahulu perlu dilakukan perancangan diagram alir (flowchart) serta algoritma program sehingga memperjelas langkah-langkah dalam membuat program secara utuh. Rancangan diagram alir program bantu dapat dilihat pada gambar berikut :

(37)

Mulai

Input nilai m1,m2, m3, l1,

l2, l3, θ1,θ2, θ3,

ω1, ω2, ω3, t, g

Selesaikan persamaan gerak triple pendulum nonlinier Tentukan komponen tangensial dan radial masing-masing pendulum dari hasil penyelesaian Visualisasi Triple Pendulum nonlinier Hasil animasi Baca Pemilihan Tampilan

Tampilan = Grafik Simpangan x pada m1

dan m2

Tampilan = Grafik Simpangan x pada m2

dan m3?

Tampilan = Grafik Simpangan y pada m1

dan m2?

Tampilan = Grafik Simpangan y pada m2

dan m3?

Tampilan = Sensitivitas kondisi awal? Grafik posisi x(t) vs t Grafik posisi x(t) vs t Grafik posisi y(t) vs t Grafik posisi y(t) vs t Grafik posisi θ1 vs

t dan θ2 vs t

Tombol Pause Ditekan Selesai ya Tidak Animasikan pendulum ya Tidak Pemilihan Tampilan a b c d e f A B

(38)

Tampilan = Sensitivitas kondisi

awal?

Tampilan = Grafik x1 vs y1?

Tampilan = Grafik x2 vs y2?

Tampilan = Grafik x3 vs y3?

Tampilan =Grafik θ1 dan θ2?

Grafik posisi θ2 vs t dan θ3 vs t

Grafik x1 vs y1

Grafik x2 vs y2

Grafik x3 vs y3

Grafik posisi θ1

vs θ2

Tampilan =Grafik

θ2 dan θ3?

Tampilan = Ruang Fasa m1?

Tampilan = Ruang Fasa m2?

Tampilan = Ruang Fasa m3?

Grafik posisi θ2 vs

t dan θ3 vs

Tentukan posisi sudut yang akan

ditampilkan

Tentukan posisi sudut yang akan ditampilkan

Plot ω1(t) vs θ1(t)

pada posisi sudut yang telah ditentukan

Plot ω2(t) vs θ2(t)

pada posisi sudut yang telah ditentukan

Plot ω3(t) vs θ3(t)

pada posisi sudut yang telah ditentukan

Ruang Fasa m1

Ruang Fasa m3

Ruang Fasa m2 C

Gambar 3.1 Diagram alir simulasi dan animasi persamaan gerak triple pendulum nonlinier dengan metode Euler-Lagrange

Keterangan Gambar: a. Input Data.

Simulasi dimulai dengan memberikan data-data input terlebih dahulu. Data input pada simulasi ini yaitu, percepatan gravitasi, g, massa masing-masing pendulum, m1, m2, dan m3, panjang tali masing-masing pendulum l1, l2, dan l3,

(39)

rentang waktu, t, dan syarat awal persamaan gerak pendulum, θ (θ1, θ2 dan θ3) dan ω (ω1, ω2, dan ω3).

Dalam program ini, rentang nilai massa, panjang, dan kecepatan sudut masing-masing pendulum dibatasi dari 0 sampai 5. Untuk gravitasi, rentang nilai yang dibatasi antara 1 sampai 9,8, sedangkan untuk rentang sudut masing-masing pendulum dibatasi dari 0 sampai π/2.

b. Menyelesaikan Persamaan Gerak Triple Pendulum

Persamaan gerak triple pendulum diselesaikan dengan menggunakan operasi numerik dengan fungsi NDSolve yang terdapat pada pemrograman pada Mathematica.

c. Penentuan Komponen Tangensial dan Radial Pendulum

Komponen tangensial dari pendulum yaitu, sin θ dan komponen radial pendulum, yaitu cos θ berdasarkan hasil penyelesaian persamaan gerak pendulum.

d. Menampilkan Hasil Visualisasi dari Triple Pendulum

Hasil visualisasi diperoleh dari fungsi Graphics yang terdapat pada bahasa pemrograman Mathematica versi 9 berdasarkan komponen tangensial dan radial pada point c. Untuk pendulum1 warna pendulum adalah hijau, untuk pendulum2 warna pendulum adalah biru, dan untuk pendulum3 warna pendulum adalah merah.

e. Membaca pemilihan tampilan

Program membaca pemilihan tampilan yang dipiliah oleh pengguna, jika tampilan yang diinginkan adalah ”Simpangan x m1 dan m2” atau

”Simpangan x m2 dan m3”, maka plot yang ditampilkan adalah x(t) vs t. Jika

tampilan yang diinginkan adalah ”Simpangan y m1 dan m2” atau

”Simpangan y m2 dan m3” maka plot yang ditampilkan adalah plot y(t) vs t.

Jika tampilan yang diinginkan ”Sensitivitas kondisi awal θ1 dan θ2” atau

(40)

vs t. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”x1 vs y1” maka plot yang

ditampilkan adalah x1 vs y1. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”x2 vs y2” maka plot yang ditampilkan adalah x2 vs y2. Jika tampilan yang diinginkan

adalah ”x3 vs y3” maka plot yang ditampilkan adalah x3 vs y3. Jika tampilan

yang diinginkan adalah ”θ1 vs θ2” maka plot yang ditampilkan adalah θ1 vs

θ2. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”θ2 vs θ3” maka plot yang ditampilkan adalah θ2 vs θ3. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”ruang fasa

m1” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang –π sampai +π,

dan memplot titik lintasan ω1(t), dan θ1(t) pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga tmax. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”ruang fasa m2” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang –π sampai +π, dan memplot titik lintasan ω2(t), dan θ2(t) pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga tmax. Dan jika tampilan yang diinginkan adalah ”ruang fasa m3” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang –π sampai +π, dan memplot titik lintasan ω3(t), dan θ3(t) pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga tmax.

f. Menganimasikan Visualisasi Triple Pendulum

Hasil visualisasi dianimasikan sesuai dengan penyelesaian persamaan gerak triple pendulum nonlinier dengan menggunakan fungsi Trigger pada bahasa pemrograman Mathematica 9. Jika terdapat perbedaan pada keadaan pendulum, maka pendulum hijau, pendulum biru, dan pendulum merah akan memiliki gerak yang berbeda.

3.2.2 Algoritma Program Bantu

Adapun algoritma program bantu yang digunakan dalam penyelesaian persamaan gerak pendulum adalah sebagai berikut:

INPUT

a. m1, m2 dan m3 = Massa masing-masing pendulum 1, pendulum 2, dan pendulum 3.

(41)

c. l1, l2, dan l3 = Panjang tali masing-masing pendulum 1, pendulum 2, dan pendulum 3.

d. θ1, θ2, dan θ3 = Sudut masing-masing pendulum dalam program terdiri dari θ1 untuk pendulum 1, θ2 untuk pendulum 2, dan θ3 untuk pendulum 3. e. ω1, ω2, dan ω3 = Kecepatan sudut masing-masing pendulum dimana ω1

untuk pendulum 1, ω2 untuk pendulum 2, dan ω3 untuk pendulum 3. f. p = Waktu maksimum terjadinya osilasi pendulum

PROSES

a. Membaca data masukkan berupa, percepatan gravitasi bumi, panjang tali masing-masing pendulum, massa masing-masing pendulum, waktu maksimum, dan syarat awal persamaan gerak pendulum, θ1, θ2, θ3, ω1, ω2, dan ω3.

b. Menyelesaikan persamaan gerak triple pendulum nonlinier dengan fungsi NDSolve.

c. Menentukan komponen tangensial dan radial dari pendulum.

d. Memvisualisasikan triple pendulum dengan fungsi Graphics berdasarkan komponen tangensial dan radial.

e. Menentukan potongan lintasan pada rentang –π sampai +π sebagai ruang fasa.

f. Menentukan titik-titik lintasan pada setiap lintasan grafik yang diinginkan. g. Menganimasikan visualisasi triple pendulum dengan fungsi Trigger.

OUTPUT

a. Hasil ditampilkan dengan menekan tombol Shift + Enter. b. Menampilkan hasil visualisasi triple pendulum

c. Menganimasikan visualisasi triple pendulum ganda dengan menekan

tombol ”animasi” pada setiap setiap hasil eksekusi

d. Hasil grafik-grafik yang ditampilkan setelah animasi:

1. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot x(t) vs t, (simpangan x). 2. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot y(t) vs t, (simpangan y).

(42)

3. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot θ(t) vs t, (sensitivitas kondisi awal).

4. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot x1 vs y1 5. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot x2 vs y2 6. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot x3 vs y3 7. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot θ1 vs θ2 8. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot θ2 vs θ3 9. Memplot ω1(t) vs θ1(t) (ruang fasa m1) 10.Memplot ω2(t) vs θ2(t) (ruang fasa m2) 11.Memplot ω3(t) vs θ3(t) (ruang fasa m3)

(43)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil eksekusi simulasi pada Lampiran adalah berupa grafik-grafik keluaran dari penyelesaian persamaan gerak triple pendulum nonlinier yang terintegrasi pada suatu tampilan GUI seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.1. Tampilan grafik pada hasil eksekusi program tersebut dapat diganti dengan mengubah menu

”Tampilan” yang berbentuk Pop Up Menu. Grafik-grafik keluaran tersebut

meliputi Grafik Simpangan x (plot x(t) vs t), grafik simpangan y (plot y(t) vs t), grafik x1 vs y1 (plot x1 vs y1), grafik sensitivitas terhadap kondisi awal(plot θ(t) vs t), grafik x2 vs y2 (plot x2 vs y2), grafik x3 vs y3 (plot x3 vs y3), grafik θ1 vs θ2 (plot

θ1 vs θ2), grafik θ2 vs θ3 (plot θ2 vs θ3), ruang fasa m1 (plot ω1 vs θ1), ruang fasa

m1 (plot ω2 vs θ2), dan ruang fasa m1 (plot ω3 vs θ3). Grafik keluaran ini digunakan untuk menganalisis perilaku sistem triple pendulum nonlinier, yaitu periodik, kuasiperiodik, atau chaos. Analisis tersebut diperkuat oleh perbandingan plot posisi terhadap sudut vs waktu yang menunjukkan sensitivitas sistem terhadap kondisi awal dan menujukkan karakteristik chaos deterministik dalam sistem, yaitu perubahan yang kecil pada kondisi awal dapat menyebabkan perubahan besar dan tak terprediksi untuk sistem chaos.

Pada gambar 4.1 dapat dilihat bahwa nilai-nilai dari m1, m2, m3, l1, l2, l3, θ1, θ2, θ3, ω1, ω2, ω3, dan t dapat divariasikan, tetapi dalam analisis gejala chaos nilai yang dipakai pada subbab 4.1, 4.2, dan 4.3 adalah, m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, dan θ1 = Pi/2, dengan memvariasikan nilai θ2 dan θ3. Kemudian, untuk melihat karakteristik sensitivitas terhadap kondisi awal, nilai θ1 dapat diubah sedikit sebesar Pi/12 rad.

Sedangkan hasil ekesekusi program animasi gerak triple pendulum nonlinier yang ditunjukkan pada gambar 4.1. Hasil eksekusi berupa visualisasi triple pendulum. Animasi Triple pendulum dapat dianimasikan dengan

(44)

Gambar 4.1 Hasil eksekusi program ”Animasi & Visualisasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier” pada lampiran

4.1 Keadaan Periodik

Keadaan Periodik dari triple pendulum nonlinier dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, tercapai pada nilai θ2 = 5Pi/12

dan nilai θ3 = 3Pi/8. Hal ini dianalisis dari grafik-grafik keluaran yang ditunjukkan

pada gambar 4.2 hingga gambar 4.17.

Gambar 4.2 Ruang fasa pada m1 dengan m1 = m2 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 =1, g =

1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8. 1vs. 1

(45)

Gambar 4.3 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 =1, g =

1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.

Gambar 4.4 Ruang fasa pada m3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g =

1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.

Pada gambar 4.2, 4.3 dan 4.4 menunjukkan keadaan triple pendulum (ditentukan oleh koordinat posisi–kecepatan sudut) yang bergerak sepanjang suatu lintasan pada bidang fasa sementara pendulum berayun. Karena adanya penurunan energi akibat pengaruh redaman dari masing-masing pendulum yang saling mempengaruhi sehingga lintasan pada keadaan transien terpilin ke pusat bidang. Selanjutnya efek redaman diantisipasi oleh energi yang diserap oleh pengaruh redaman sehingga keadaan menjadi tunak dengan bentuk lintasan tertutup. Lintasan tertutup ini menandakan bahwa pendulum bersifat periodik, dengan keadaan akhirnya datang dengan keadaan awalnya.

Gambar 4.5 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t denganm1 = m2 = m3

=1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 =

3Pi/8. 2vs. 2

3vs. 3

(46)

Gambar 4.6 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ1(t) vs t dengan m1 = m2 = m3

=1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = 5Pi/12, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 =

3Pi/8.

Gambar 4.7 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t denganm1 = m2 = m3

=1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.

Gambar 4.8 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t denganm1 = m2 = m3

=1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = 5Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 =

3Pi/8.

Pada gambar 4.5 dan 4.7 menunjukkan perilaku simpangan θ setiap saat

(t). Dalam keadaan ini terdapat dua daerah osilasi yakni osilasi yang terjadi pada pendulum1 dan pendulum2 beserta pendulum2 dan pendulum3. Jika keadaan ini

diubah sedikit yaitu θ1 menjadi 5Pi/12, maka perbandingan plot posisi sudut vs

waktu yang ditunjukkan pada gambar 4.6 dan 4.8 menunjukkan grafik yang t vs t

t vs t

(47)

tampak bahwa kedua posisi sudut berjalan selaras, berarti sistem ini tidak sensitif terhadap kondisi awal karena sifatnya yang periodik.

Berikut juga ditampilkan beberapa tampilan simpangan pada keadaan periodik ini, yang dapat dilihat pada gambar 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, 4.13, 4.14, 4.15, 4.16, 4.17.

Gambar 4.9 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum1 dan

pendulum2)

Gambar 4.10 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum2 &

pendulum3)

Gambar 4.11 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum1 &

pendulum2)

x t vs t

(48)

Gambar 4.12 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum2 &

pendulum3)

Gambar 4.13 Grafik x1 vs y1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8

Gambar 4.14 Grafik x2 vs y2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8

Gambar 4.15 Grafik x3 vs y3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8

y t vs t

x1vs.y1

x2vs.y2

(49)

Gambar 4.16 Grafik θ1 vs θ2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8

Gambar 4.17 Grafik θ2 vs θ3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1

= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8

4.2 Keadaan Kuasiperiodik

Keadaan ini adalah keadaan dimana suatu sistem dinamis mengalami penggandaan perioda. Keadaan ini merupakan jalan ke arah terjadinya chaos, dimana chaos itu sendiri terjadi bila suatu sistem mengalami penggandaan perioda beberapa kali. Pada penelitian ini, keadaan kuasiperiodik dengan m1 = m2 = m3 = l1 = l2 = l3 = g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, tercapai ketika nilai θ2 atau nilai

θ3 digeser dari sudut periodik dengan range waktu sekitar 1s - 15s. Sebagai contoh diambil sudut θ2 = 5Pi/12 dan nilai θ3 = 3Pi/7. Hal ini ditunjukkan pada gambar 4.18 sampai 4.33

Gambar 4.18 Ruang fasa pada m1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g =

1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range

waktu 1s - 15s. 1vs. 1

(50)

Pada gambar 4.18, 4.19 dan 4.20 menunjukkan koordinat posisi–kecepatan sudut. Dalam keadaan terlihat bahwa lintasam tidak bergerak lagi dengan lintasan tertutup. Lintasan pada keadaan transien tertartik ke satu titik ruang fasa, tetapi karena amplitudo pendulum yang cukup besar maka energi diserap oleh pendulum pun cukup besar. Energi ini mengantisipasi redaman juga menyebabkan perubahan drastis dari pendulum, hal ini menyebabkan pecahnya orbit awal sehingga lintasan bergerak dengan dua periode yang berbeda atau menggalami penggandaan periode.

Gambar 4.19 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g =

1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range

waktu 1s - 15s.

Gambar 4.20 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g =

1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range

waktu 1s - 15s.

2vs. 2

(51)

Gambar 4.21 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t denganm1 = m2 = m3

=1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7

pada range waktu 1s-35s.

Gambar 4.22 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t denganm1 = m2 = m3

=1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1= ω2= ω3 = 0, θ1 = 7Pi/12, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 =

3Pi/7 pada range waktu 1s-35s.

Hasil yang ditunjukkan pada gambar 4.21 memperlihatkan bahwa pendulum bergerak berlawanan arah awal pendulum dan mulai mengalami gerakan yang tidak harmonik lagi. Pada grafik juga terlihat bahwa lintasan tetap mengalami pengulangan tetapi butuh waktu yang lebih lama untuk melihat pengulangan tersebut, sehingga tampak lebih kompleks. Hal ini dikatakan sebagai penggandaan periode, namun sistem ini masih bersifat periodik.

Jika keadaan awal diubah sedikit yaitu θ1 = menjadi 7Pi/12, maka

perbandingan plot posisi sudutn vs waktu menunjuukkan bahwa kedua lintasan masih berjalan selaras, artinya sistem pada kondisi ini juga belum menunjukkan karakteristik kesensitifan terhadap kondisi awal yang ditunjukkan pada gamabr 4.22. Berikut ini juga ditampilkan simpangan pada keadaan kuasiperiodik ini, yang dapat dilihat pada gambar 4.23, 4.24, 4.25, 4.26, 4.27, 4.28, 4.29, dan 4.30.

t vs t

(52)

Gambar 4.23 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 =1, g = 1, ω1