5. Lakukan operasi baris elementer ERO untuk membuat koefisien EV pada
baris dengan rasio positif terkecil ini menjadi bernilai 1 dan bernilai 0 pada baris-baris lainnya.
6. Kembali ke langkah 3.
2.5 Metode Dual Simpleks
Apabila pada suatu iterasi diperoleh persoalan program linier yang sudah optimum berdasarkan kondisi optimalitas, tetapi belum fisibel ada pembatas
nonnegatif yang tidak terpenuhi, maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual Simpleks. Syarat digunakannya metode ini
adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda ≤, sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi.
Pada dasarnya metode dual Simpleks ini menggunakan tabel yang sama seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving dan entering variable-nya
ditentukan sebagai berikut: 1.
Leaving variable kondisi fisibilitas Yang menjadi leaving variable pada dual Simpleks adalah variabel basis yang
memiliki harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai.
2. Entering variable kondisi optimalitas
a. Tentukan perbandingan rasio antara koefisien persamaan z dengan
koefisien persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau nol. Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan
yang bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel. b.
Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio terkecil, sedangkan persoalan maksimasi, entering variable adalah
variabel dengan rasio absolut terkecil.
2.6 Metode Branch and Bound
Metode branch and bound pertama kali dkembangkan pada tahun 1960 oleh Land dan G. Doig yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mixed integer linear
programming dan pure integer linear programming secara umum. Selanjutnya pada tahun 1965 E. Balas mengembangkan algoritma tambahan untuk
menyelesaiakan masalah binary integer linear programming.
Metode branch and bound awalnya hanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program integer. Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata metode ini juga
dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah lainnya seperti traveling salesman problem, scheduling dan sebagainya. Ide mendasar dari metode ini adalah
membagi daerah layak menjadi beberapa sub-bagian yang mengandung titk-titik fisibel dengan koordinat integer dengan menambahkan kendala tambahan
kemudian menyelesaikannya.
Untuk menyelesaikan suatu masalah program integer dengan
menggunakan metode branch and bound, langkah pertama adalah mengabaikan kendala integer dari permasalahan awal sehingga terbentuk permasalahan LP
relaksasi kemudian diselesaikan. Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan permasalahan LP relaksasi. Namun, metode yang umum
digunakan adalah metode simpleks. Jika permasalahan tersebut tidak mempunyai penyelesaian optimum yang bernilai integer, maka dua kendala baru dibentuk.
Kendala tersebut adalah batas atas dan bawah dari variabel yang dibatasi harus bernilai integer namun belum bernilai integer.
Konsep dasar dari metode branch and bound adalah pengamatan terhadap tiap-tiap nilai
�
�
, di mana �
�
adalah variabel yang dibatasi harus bernilai integer. Jika nilai
�
�
belum integer, maka masalah awal dibagi menjadi dua masalah baru dengan menambahkan dua kendala baru yaitu,
��
�
� ≤ �
�
dan �
�
≤ ��
�
� + 1 di mana
��
�
� adalah integer terdekat yang lebih kecil dari �
�
. Proses inilah yang dinamakan branching pencabangan. Dalam kasus maksimasi, solusi awal
dijadikan sebagai batas atas upper bound. Penambahan pertidaksamaan sebagai
pencabangan masalah akan mengakibatkan berkurangnya nilai fungsi tujuan pada solusi optimal.
Sebagai salah satu hasil pencabangan variabel yang belum integer pada setiap cabang, satu dari dua kejadian berikut akan terjadi. Yang pertama, solusi
yang diperoleh tidak memenuhi syarat integer dari variabel yang dicabangkan, dan memperoleh nilai fungsi objektif yang kurang sesuai dibandingkan dengan
pencabangan lain yang semua solusinya sudah integer, dalam kasus ini pencabangan dilanjutkan. Yang kedua, mungkin diperoleh solusi lain yang sudah
memenuhi syarat integer, dalam kasus ini pencabangan dihentikan.
Terdapat dua tahap yang dipakai dalam algoritma branch and bound, yaitu:
1. Pencabangan, yaitu mempartisi masalah tersebut menjadi beberapa sub-
masalah dengan cara menambahkan kendala yang merupakan syarat perlu untuk mencari solusi integer fisibel tanpa mengubah himpunan solusi integer
semula. 2.
Pembatasan, yaitu nilai fungsi objektif dari suatu sub-masalah yang mempunyai solusi integer dipakai sebagai batas nilai fungsi objektif dari sub-
masalah lainnya.
Branch and bound adalah algoritma yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan masalah integer programming. Algoritma branch and bound juga
telah banyak digunakan sebagai kode program computer, misalnya OSL, LAMPU, dan LINDO.
Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound:
1. Selesaikan masalah program linier relaksasi dengan metode simpleks.
2. Teliti solusi optimalnya, jika variabel keputusan yang diharapkan adalah
integer, solusi optimum integer telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan integer, lanjutkan ke langkah 3.
3. Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk
batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah dibulatkan rounded–down.
4. Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar artinya bilangan
desimal terbesar dari masing-masing variabel untuk dijadikan pencabangan
ke dalam sub-masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu
dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer dengan jaminan tidak ada solusi fisibel layak yang diikutsertakan.
5. Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai
batas atas. Solusi optimum yang dibulatkan menjadi batas bawah solusi yang sebelumnya tidak bulat kemudian dibulatkan. Sub-masalah yang memiliki
batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi integer fisibel layak adalah sama baik atau lebih
baik dari batas atas untuk setiap sub-masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub-masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk
dicabangkan. Kembali ke langkah 4.
2.7 Metode Cutting Plane
